zestaw

Deterministyczne Modele
Badań Operacyjnych
Egzamin, II termin
Jesień 2011
14 lutego 2012
Imię, nazwisko i numer indeksu:
Zadanie
Punkty do zdobycia
1
2
Łącznie
10
15
25
Punkty uzyskane
1. (Uczta na Wawelu) Książę Krak postanowił uczcić uratowanie Baltazara Gąbki
przez Smoka Wawelskiego i jego kompanów wyprawieniem wystawnej kolacji. Bartolini Bartłomiej herbu Zielona Pietruszka otrzymał zadanie przygotowania odpowiedniego menu dla każdego z gości: księcia Kraka, Smoka Wawelskiego i Baltazara
Gąbki. Nadworny kuchmistrz postanowił ograniczyć się jedynie do dwóch posiłków:
pieczonej jagnięciny i żabich udek. W ciągu godziny pracy Bartolini jest w stanie
przyrządzić 3 kg jagnięciny albo 1 kg żabich udek. Kolacja musi być przygotowana
według określonych zasad. Wiadomo, że:
1. Bartolini może poświęcić co najwyżej 10 godzin na przygotowanie uczty;
2. według dworskiej etykiety książę Krak musi zjeść łącznie co najmniej o 50%
więcej niż Baltazar Gąbka. Ponadto, nie może dojść do sytuacji, w której
prof. Gąbka zje więcej francuskich przysmaków niż książę;
3. Smok Wawelski nie może zjeść więcej każdego z posiłków niż pozostali goście
łącznie;
4. według diety nadwornego astrologa Onufrego Arkadiusza Paralaksy optymalna
dieta dla prof. Gąbki to łączna konsumpcja 2 kg uczty i odpowiednio 2.5 kg
w przypadku księcia Kraka. Jakiekolwiek odstępstwo, niezależnie czy w postaci niedoboru czy nadmiaru, od optymalnego planu żywieniowego jest wysoce
niewskazane;
5. w celu uniknięcia kontrowersji i posądzenia przez lud o zbyt wystawne życie
księcia, łączna ilość żabich udek musi stanowić co najwyżej połowę spożywanej
jagnięciny.
Dla księcia Kraka najważniejsze są dwa cele: 1. nagrodzenie Smoka Wawelskiego
możliwie największą porcją jedzenia (dla smoka liczy się łączna ilość spożywanego
pokarmu, a nie proporcje); 2. konsumpcja Kraka i Gąbki powinna jak najmniej
odbiegać od optymalnej diety w jakąkolwiek ze stron. Cel 1. jest o 50% ważniejszy niż
cel 2. Zaproponuj optymalne menu dla każdego z gości mając na uwadze spełnienie
ograniczeń 1–5.
(1p.)
(a) Zdefiniuj zmienne decyzyjne.
(4p.)
(b) Podaj warunki ograniczające zadania w postaci ograniczeń liniowych.
(3p.)
(c) Zdefiniuj funkcję celu rozważanego problemu w postaci funkcji liniowej.
(2p.)
(d) Podaj optymalne menu dla każdego z bohaterów.
2. (Top secret) Wywiad MI6 dysponuje mapą tras dostaw pomiędzy punktami przesyłowymi przedstawioną na rysunku poniżej. Tabelka poniżej podaje przepustowość
każdej części trasy (w liczbie przesyłek), koszt przesłania jednej przesyłki oraz prawdopodobieństwo przechwycenia przesyłki przez wrogi wywiad.
Dla każdego z poniższych punktów podaj funkcję celu i ograniczenia oraz znajdź za
pomocą programowania liniowego:
(4p.)
(a) najtańszą drogę przesłania 1 przesyłki z punktu A do punktu B (wraz z min
kosztem).
(3p.)
(b) najtańszą drogę przesłania 5 przesyłek z punktu A do punktu B (wraz z min
kosztem).
(3p.)
(c) największą liczbę przesyłek, które mogą być przesłane z punktu A do B (maksymalny przepływ).
(5p.)
(d) najmniej awaryjną ścieżkę od A do B: prawdopodobieństwa przechwycenia są
niezależne dla różnych łuków na trasie (wskazówka: przyjmij, że przesyłasz
jedną przesyłkę; iloczyn prawdopodobieństw to to samo co suma logarytmów
prawdopodobieństw; przyjmij −ln(1 − pi ) jako koszt dla łuku i, pi oznacza
prawdopodobieństwo przechwycenia przesyłki na łuku i; po wyliczeniu optymalnej wartości funkcji celu f można przejść z powrotem na prawdopodobieństwo przejścia przesyłki bez przechwycenia za pomocą e−f ).
Page 2
Page 3
Page 4