WZM – ćw. 5: kongruencje i pierścienie ilorazowe wielomianów 1
Transkrypt
WZM – ćw. 5: kongruencje i pierścienie ilorazowe wielomianów 1
WZM – ćw. 5: kongruencje i pierścienie ilorazowe wielomianów 1. Znaleźć element odwrotny do danego we wskazanym ciele: a) 4 w Z11 . b) 33 w Z97 . c) 36 w Z41 . 2. Rozwiązać układ kongruencji: x ≡ 41 mod 65, x ≡ 35 mod 72. x ≡ 3 mod 7, x ≡ 4 mod 5, x ≡ 1 mod 9 Pr Można posłużyć się wzorem: x = k=1 ak xk Mk ,, gdzie Mk xk ≡ 1 mod mk . 3. Ile elementów ma pierścień Z3 [x]/(x2 + 2). Jak można je reprezentować? 4. Czy pierścień Z3 [x]/(x2 + 1) jest ciałem? Obliczyć (2x + 1)−1 . 5. Napisać tabelki operacji w pierścieniu Z2 [x]/(x2 + 1). 6. Które z elementów są nierozkładalne w danym pierścieniu? Jeśli element jest nierozkładalny, znajdź odpowiednie ciało ilorazowe modulo ideał generowany przez ten element. a) x4 − 3 w Q[x]. b) x3 + 2x + 1 w Z3 [x]. c) x4 + 2x3 + 2x + 1 w Z3 [x]. 7. Układ równań 14x − 89y −35x + 82y = −1003 = 681 rozwiązać kolejno w Z2 , Z3 oraz Z5 . Następnie przy pomocy chińskiego twierdzenia o resztach rozwiązać ten układ w Z zakładając, że istnieje rozwiązanie w postaci pary liczb zawartych między 0 i 29. 8. Korzystając z tw. Fermata: ap ≡ a mod p dla dowolnej liczby pierwszej p: 0 a) wykazać, że jeśli b ≡ b0 mod p − 1, to ab ≡ ab mod p; b) obliczyć 7126 mod 11. 9. Tw. Eulera: Jeśli nwd(a, n) = 1, to aϕ(n) ≡ 1 mod n. Obliczyć 13101 modulo 16. 10. Zbiór warstw pierścienia Q[x] względem ideału (x3 + 2) tworzy ciało. Oblicz sumę i iloczyn elementów x2 + 3x + 1 oraz −2x2 + 4 w tym ciele. 11. Napisać tabelki operacji w pierścieniu Z2 [x]/(x3 +x+1). Uzasadnić, że ten pierścień jest ciałem. Jaka jest charakterystyka tego ciała? Zadanie domowe. W.J.Gilbert, W.K.Nicholson, Algebra współczesna z zastosowaniami: 9.61—9.67