docn - Mechatronika
download 
Reklamacja Transkrypt
n - Mechatronika
Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI
DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ
W SZCZECINIE
dr inż. Ryszard Krupiński
PUBLIKACJA DYSTRYBUOWANA BEZPŁATNIE
Spis treści
Wstęp ......................................................................................................................................................5
Symbole matematyczne.......................................................................................................................5
Liczby rzeczywiste ................................................................................................................................5
Liczby naturalne ...................................................................................................................................6
Liczby całkowite ...................................................................................................................................6
Liczby wymierne ..................................................................................................................................6
Liczby niewymierne .............................................................................................................................6
Przedziały liczbowe...............................................................................................................................7
Działania na liczbach rzeczywistych .....................................................................................................7
Ułamki ............................................................................................................................................... 10
Wartośd bezwzględna ....................................................................................................................... 12
Zadania ............................................................................................................................................. 13
Funkcja ................................................................................................................................................ 14
Definicja funkcji ................................................................................................................................ 14
Własności funkcji .............................................................................................................................. 16
Funkcja złożona ................................................................................................................................ 18
Funkcja odwrotna ............................................................................................................................. 19
Zadania ............................................................................................................................................. 20
Funkcja liniowa .................................................................................................................................. 21
Wzajemne położenie dwóch prostych, a rodzaj układu równao ..................................................... 23
Zadania ............................................................................................................................................. 24
Funkcja kwadratowa ........................................................................................................................ 25
Postad kanoniczna ............................................................................................................................ 26
Miejsca zerowe ................................................................................................................................. 26
Postad iloczynowa ............................................................................................................................. 27
Równania i nierówności kwadratowe .............................................................................................. 28
Równania dwukwadratowe .............................................................................................................. 29
Zadania ............................................................................................................................................. 29
Wielomiany ......................................................................................................................................... 31
Dzielenie wielomianów ..................................................................................................................... 31
Twierdzenie Bezout .......................................................................................................................... 32
Równania .......................................................................................................................................... 32
Nierówności ...................................................................................................................................... 34
2
Zadania ............................................................................................................................................. 35
Funkcja wymierna ............................................................................................................................. 36
Równania wymierne ......................................................................................................................... 36
Nierówności niewymierne ................................................................................................................ 37
Zadania ............................................................................................................................................. 38
Ciągi ...................................................................................................................................................... 38
Monotonicznośd ciągu ...................................................................................................................... 38
Zadania ............................................................................................................................................. 40
Granice ciągów ................................................................................................................................. 41
Liczba e ............................................................................................................................................. 44
Granice niewłaściwe ciągów ............................................................................................................. 45
Zadania ............................................................................................................................................. 46
Ciąg arytmetyczny ............................................................................................................................ 47
Zadania ............................................................................................................................................. 49
Ciąg geometryczny ............................................................................................................................ 50
Zadania ............................................................................................................................................. 52
Szereg geometryczny ........................................................................................................................ 52
Zadania ............................................................................................................................................. 53
Funkcja wykładnicza ........................................................................................................................ 53
Definicja ............................................................................................................................................ 53
Własności funkcji wykładniczej ......................................................................................................... 54
Równania wykładnicze ..................................................................................................................... 54
Nierówności wykładnicze ................................................................................................................. 57
Zadania ............................................................................................................................................. 58
Funkcja logarytmiczna ..................................................................................................................... 60
Pojęcie logarytmu ............................................................................................................................. 60
Definicja funkcji logarytmicznej ........................................................................................................ 60
Własności funkcji logarytmicznej ..................................................................................................... 60
Równania i nierówności logarytmiczne ............................................................................................ 61
Zadania ............................................................................................................................................. 64
Funkcje trygonometryczne.............................................................................................................. 66
Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta .................................................................................... 66
Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej ............................................................................ 67
Wzory redukcyjne .............................................................................................................................. 69
3
Zadania ............................................................................................................................................. 70
Równania i nierówności trygonometryczne ..................................................................................... 72
Zadania ............................................................................................................................................. 79
Funkcje cyklometryczne (kołowe)................................................................................................. 83
Funkcja odwrotna ............................................................................................................................. 83
Zadania ............................................................................................................................................. 84
Funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych........................................................................... 85
Zadania ............................................................................................................................................. 87
Geometria analityczna ..................................................................................................................... 88
Wektory na płaszczyźnie .................................................................................................................. 88
Suma wektorów ................................................................................................................................ 88
Mnożenie wektora przez liczbę ........................................................................................................ 89
Iloczyn skalarny wektorów ............................................................................................................... 89
Cosinus kąta między wektorami ........................................................................................................ 90
Zadania ............................................................................................................................................. 94
Prosta na płaszczyźnie ....................................................................................................................... 95
Kąt między dwiema prostymi ........................................................................................................... 98
Zadania ........................................................................................................................................... 101
Okrąg .............................................................................................................................................. 103
Zadania ........................................................................................................................................... 105
4
I. Wstęp
Niniejszy podręcznik jest przeznaczony dla studentów I roku Akademii Morskiej w Szczecinie, uczestniczących w zajęciach wyrównawczych z matematyki, w ramach projektu „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”. W skrypcie przedstawiono podstawowe zagadnienia z matematyki z zakresu szkoły średniej, których znajomośd jest niezbędna do realizacji programu matematyki, fizyki i różnych przedmiotów technicznych na I i II roku studiów. Liczne przykłady
i komentarze do rozwiązanych zadao, umożliwią studentom szybsze opanowanie prezentowanych
zagadnieo. W celu utrwalenia poznanego materiału, do każdego rozdziału dołączono dużą liczbę
zróżnicowanych zadao do samodzielnego rozwiązania. Wiele z nich to zadania bardzo proste, ilustrujące prezentowane pojęcia. Do większości z nich podano odpowiedzi.
II. Symbole matematyczne
Matematyka posiada swój specyficzny język, składający się z obszernego zestawu znaków, symboli i
sformułowao. Niektóre z nich będą często wykorzystywane w niniejszym skrypcie i na zajęciach podczas studiów. Dlatego poniżej wyjaśniamy znaczenie najczęściej używanych symboli.
Symbol przynależności: . Zapis „x A” oznacza, że x jest elementem zbioru A, a wyrażenie „x A”
oznacza, że x nie jest elementem zbioru A.
Zapis „A B” oznacza, że zbiór A zawiera się w zbiorze B.
Zapis „A B” oznacza sumę zbiorów A i B (złączenie).
Zapis „A B” oznacza iloczyn zbiorów A i B (częśd wspólną).
Zapis „A \ B” oznacza różnicę zbiorów A i B (te elementy, które są w A, ale nie ma ich w B).
Symbol
x A
nazywamy kwantyfikatorem ogólnym, jest on równoważny wyrażeniu „dla każdego x
należącego do A”. Natomiast symbol
x A
oznaczający „istnieje taki x należący do A ”, nazywamy
kwantyfikatorem szczególnym.
Wyrażenie „z tego wynika, że” można zastąpid symbolem ;
Wyrażenie „wtedy i tylko wtedy, gdy” można zastąpid symbolem ;
Spójnik „i” często w tekstach matematycznych ma postad , a spójnik „lub” występuje jako .
III. Liczby rzeczywiste
Pierwszą rzeczą, która kojarzy się z matematyką są liczby. Dlatego zaczniemy od opisu i klasyfikacji
liczb, z którymi spotyka się każdy człowiek, czy to w życiu codziennym czy przy rozwiązywaniu złożonych problemów technicznych. W niniejszym skrypcie, tak jak w szkole średniej, będziemy poruszad
się tylko w zakresie liczb rzeczywistych. Nazwa tych liczb oznacza, że spotykamy się z nimi w naszej
5
rzeczywistości czyli w domu, w sklepie, w banku, na plaży, w parku i t.d. Liczby te w większości były
znane i stosowane już w starożytności.
Jak mówimy o liczbach, to jednocześnie trzeba wspomnied o tym, co z tymi liczbami można zrobid
czyli o działaniach. Wyróżniamy dwa podstawowe działania: dodawanie i mnożenie. Często w szkole
mówiło się o czterech podstawowych działaniach: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie,
jednak w niniejszym skrypcie odejmowanie będziemy traktowad jako dodawanie liczby przeciwnej, a
dzielenie jako mnożenie przez liczbę odwrotną. Pojęcie liczby przeciwnej i liczby odwrotnej wyjaśnimy później. Dodatkowo w tej części omówimy jeszcze potęgowanie i pierwiastkowanie.
Liczby naturalne
Tak zwany „zwykły człowiek” najczęściej stosuje liczby naturalne czyli liczby 1, 2, 3, 4, 5 i tak dalej. Są
to liczby, które pojawiły się w historii ludzkości jako pierwsze. Liczby naturalne oznaczamy symbolem
N. Dodając lub mnożąc dwie liczby naturalne otrzymamy również liczbę naturalną. Natomiast odejmowanie dwóch liczb naturalnych nie zawsze da liczbę naturalną. Pojawiają się w ten sposób liczby
ujemne.
Liczby całkowite
Uzupełniając liczby naturalne o liczbę 0 i liczby przeciwne do liczb naturalnych (-1, -2, -3, -4, i t.d.)
otrzymujemy liczby całkowite. Liczby całkowite oznaczamy symbolem C. Dodając , mnożąc lub odejmując dwie liczby całkowite otrzymamy również liczbę całkowitą. Natomiast dzielenie dwóch liczb
całkowitych nie zawsze da liczbę całkowitą. Pojawiają się wtedy ułamki.
Liczby wymierne
Liczby wymierne to wszystkie liczby postaci
p
, gdzie liczby p i q są liczbami całkowitymi i q nie może
q
byd zerem. Liczby wymierne oznaczamy symbolem W. Dodając , mnożąc, odejmując lub dzieląc dwie
liczby wymierne otrzymamy również liczbę wymierną (z zastrzeżeniem, że nie wolno dzielid przez 0).
Natomiast operacja pierwiastkowania (w starożytności znana w postaci obliczania długości przekątnej kwadratu) wykonana na liczbie wymiernej, nie zawsze daje liczbę wymierną. Pojawiają się w ten
sposób liczby niewymierne.
Liczby niewymierne
Liczby niewymierne to te liczby rzeczywiste, które nie są wymierne. Do liczb niewymiernych zaliczamy wszystkie pierwiastki z liczb wymiernych, które nie są wymierne, np.:
2, 3, 7 5 i t.p. oraz nie-
które liczby specjalne, jak na przykład liczba używana często w geometrii czy liczba e używana w
analizie matematycznej. Liczby niewymierne oznaczamy symbolem NW.
Liczby wymierne i niewymierne dają w sumie liczby rzeczywiste. Poniższy rysunek pokazuje zależności
między poszczególnymi zbiorami liczb.
6
R
W
C
NW
N
Rys. 1. Zbiór liczb rzeczywistych
Zbiór liczb rzeczywistych można przedstawid graficznie jako prostą zorientowaną, na której zaznaczony jest zwrot, konkretna wartośd oraz jednostka. Każdy punkt na tej prostej odpowiada jakiejś liczbie
rzeczywistej.
1
0
R
Rys. 2.Oś liczbowa
Przedziały liczbowe
Z osią liczbową związane są bezpośrednio przedziały liczbowe czyli zbiory liczb pomiędzy dwoma liczbami rzeczywistymi. Zbiór liczb rzeczywistych zawartych między liczbami a i b, włącznie z tymi liczbami nazywamy przedziałem domkniętym i oznaczamy symbolem a, b . Definicję tego przedziału
można również zapisad w skróconej „matematycznej” wersji:
a, b x R : x a x b
Natomiast przedziałem otwartym nazywamy zbiór:
a, b x R : x a x b
Przedziałem jednostronnie domkniętym nazywamy zbiór:
a, b x R : x a x b lub
a, b x R : x a x b
Przedziałem nieograniczonym nazywamy zbiór:
, a x R : x a
lub
, a x R : x a
lub
a, x R : x a
lub
a, x R : x a
Działania na liczbach rzeczywistych
Dodawanie
Dodawanie liczb rzeczywistych jest:
przemienne czyli a + b = b + a;
7
łączne czyli a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c).
Powyższe własności przydają się szczególnie wtedy, gdy trzeba szybko obliczyd sumę kilku lub kilkunastu liczb, np.:
12 25 48 31 15 19 12 48 25 15 31 19 60 40 50 150
Liczbą przeciwną do liczby a jest taka liczba, która po dodaniu do liczby a daje 0. Liczbę przeciwną do
liczby a oznaczamy symbolem: −a (minus a). Znak minus w tym wypadku nie musi oznaczad liczby
ujemnej. Na przykład jeżeli a = −3, to −a = 3, oznacza to, że liczbą przeciwną do liczby −3 jest liczba 3.
Mnożenie
Mnożenie liczb rzeczywistych jest:
przemienne czyli a b = b a;
łączne czyli a b c = (a b) c = a (b c);
rozdzielne względem dodawania czyli a (b c) = a b a c.
Ostatnia własnośd wykorzystywana w odwrotnej kolejności czyli a b a c = a (b c) nosi nazwę
wyłączania wspólnego czynnika przed nawias. Jest to operacja, która pozwala uzyskad postad iloczynową danego wyrażenia.
PRZYKŁADY
1) 2 x xy x 2 y
2) 4 x2 2 x 2 x 2 x 2 x 1 2 x 2 x 1
3)
x2 y3 3xy 2 2 x3 y 4 xy 2 xy 3 2 x 2 y 2
Liczbą odwrotną do liczby a jest taka liczba, która po pomnożeniu przez liczbę a daje 1. Liczbę od1
wrotną do liczby a oznaczamy symbolem: a−1 lub
a
PRZYKŁADY
1
1
1) a 3 a 1 , bo 3 1
3
3
3
5
3 5
2) a a 1 , bo 1
5
3
5 3
1
1
3) a a 1 4, bo 4 1
4
4
Potęgowanie i pierwiastkowanie
Potęgowanie pojawiło się jako skrócona wersja wielokrotnego mnożenia. Zamiast pisad 5 5 5 5
przyjęło się zapisywad ten iloczyn jako 54. Dlatego iloczyn n czynników a a a ... a nazywamy n-tą
potęgą liczby a i oznaczamy symbolem an. Liczbę a nazywamy podstawą potęgi, a liczbę n wykładni-
8
kiem potęgi. Z czasem pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym uogólniono najpierw na potęgę o
wykładniku całkowitym, a następnie o wykładniku wymiernym.
Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym oznacza odwrotnośd potęgi o wykładniku naturalnym czyli
an
1
an
PRZYKŁADY
1) 32
1 1
32 9
1
4
7
2)
7
4
3) 53
1
1
3
5 125
Dla dowolnego n naturalnego, potęga o wykładniku
1
oznacza pierwiastek n – tego stopnia z liczby a
n
1
an n a
A pierwiastkiem n-tego stopnia z nieujemnej liczby a nazywamy taką liczbę nieujemną b, że bn = a.
n
a b bn a
PRZYKŁADY
1
1) 83 3 8 2 , bo 23 = 8
1
2) 64 2 64 8 , bo 82 = 64
1
3) 625 4 4 625 5 , bo 54 = 625
Własności działań na potęgach i pierwiastkach
Dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a i b prawdziwe są następujące zależności:
a0 1
a x a y a x y
a bx
ax
a x y
y
a
a
ax
a
x
b
b
x y
ax bx
x
a
x y
Bezpośrednio z tych własności wynika sposób obliczania potęg o wykładnikach wymiernych:
9
k
n
a a
k
1
n
a
k
1
n
a
n
k
lub
k
n
a a
1
k
n
k
1
an
a
n
k
PRZYKŁADY
5
2) 125 3
2
1) 32 5
4
3
3) 814
32
3
2
125
81
3
4
22 4
4
54 625
33 27
Jako, że pierwiastki to szczególne potęgi, odnoszą się również do nich własności działao na potęgach,
które można przedstawid w następujący sposób:
n
a b n a n b
n
a
b
n
a
n
b
k n
a k n a
PRZYKŁADY
2
2
6
6 4 2
3
3
1)
3
2)
3
3 3 3 3 1 1
81
27 3
81
3) 12 4 3 4 3 2 3 2 3
4) 3 16 3 8 2 3 8 3 2 2 3 2 2 3 2
5)
450 9 50 9 50 3 50 3 25 2 3 5 2 15 2
Ułamki
Oddzielnym problemem są działania na ułamkach, z którymi niestety nawet absolwenci szkół średnich mają kłopoty.
Skracanie i rozszerzanie
Wartośd ułamka nie zmieni się, gdy licznik i mianownik pomnożymy lub podzielimy przez tę samą
liczbę. Na przykład:
1 1 4 4
2 24 8
11 11 5 55
2)
7 7 5 35
1)
10
10 10 : 5 2
25 25 : 5 5
ac ac : c a
4)
bc bc : c b
3)
Skracaniem ułamków nazywamy operację dzielenia licznika i mianownika przez tę samą liczbę. Natomiast rozszerzaniem nazywamy operację mnożenia licznika i mianownika przez tę samą liczbę.
Dodawanie
Żeby dodad dwa ułamki musimy mied wspólny mianownik.
PRZYKŁADY
1) Żeby dodad
1 5
i , pierwszy ułamek rozszerzamy przez 3, a drugi rozszerzamy przez 2 czyli
4 6
1 5 1 3 5 2 3 10 13
1
1
4 6 4 3 6 2 12 12 12 12
2) Żeby dodad
b
a
i 2 , pierwszy ułamek rozszerzamy przez x, a drugi rozszerzamy przez y czyli
xy x
a
b
ax
b y
ax
by ax by
2
2 2 2
xy x
xy x x y x y x y
x2 y
3) Żeby dodad
a c
i , pierwszy ułamek rozszerzamy przez d, a drugi rozszerzamy przez b czyli
b d
a c a d c b ad cb
b d b d d b
bd
Mnożenie
Żeby pomnożyd dwa ułamki mnożymy liczniki i mianowniki poszczególnych ułamków.
PRZYKŁADY
1)
1 5 1 5 5
4 6 4 6 24
2)
a b a b ab
y x y x xy
1 4 7 9 7 9 63
3
1
4 4
3) 2 1
3 5 3 5 3 5 15
15
5
Dzielenie
Żeby podzielid dwa ułamki mnożymy pierwszy przez odwrotnośd drugiego.
11
PRZYKŁADY
1)
1 5 1 6 6
3
:
4 6 4 5 20 10
2)
a b a x ax
:
y x y b by
1 4 7 9 7 5 35
8
1
3) 2 :1 :
3 5 3 5 3 9 27
27
Wartośd bezwzględna
Wartością bezwzględną dowolnej liczby rzeczywistej nazywamy jej odległośd od liczby 0. Wartością
bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba, a dla liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna.
Symbolicznie zapisujemy to następująco:
x dla x 0
x
x dla x 0
Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwe są następujące własności:
a 0
a a
ab a b
a b a b a b
a2 a
a b a b
a
a
, dla b 0
b
b
Nierówności zawierające wartośd bezwzględną rozwiązujemy stosując jedną z poniższych równoważności:
x a a x a,
x a x a x a
przy założeniu, że a > 0.
PRZYKŁADY
1) x 5 x 5 x 5
2)
3x 2 5 3x 2 5 3x 2 5 x 1 x
7
3
12
3) x 5 5 x 5 x 5,5
4) x 2 x 2 x 2 x , 2 2,
ZADANIA
1
1. Podaj liczby przeciwne do następujących liczb: a , b 3 , c 1 2 , d 5 6
2
1
3
2. Podaj liczby odwrotne do następujących liczb: a , b
, c 1, d 5 2
2
3
3. Doprowadź do najprostszej postaci następujące wyrażenia:
2 x 7 x
a)
x
x 1
x
1 x 4x2 x
b)
x 3 x 3 x2 9
2 7 y 1
2
c)
y
x
y
d)
1 x 1 x2
:
x 2x 1
4. Oblicz:
a)
6 3 4 2 4 3
3 2
2 5
1
2
64 6 4 3
b)
3
2
3
c)
1
94 44
1
2
2
27
6 4 2 4 3
d)
3 2
25
3
e)
f)
g)
h)
8 2
2 8
6 2 3 2 1
6 3 2 1 3
16 2 2 8
5. Usuo niewymiernośd z mianownika
a)
3
2;
b)
35
5
c)
4
5 1
3
5
d) 7 2
e) 3 4
d) 3 54
e) 3 24
6. Wyłącz czynnik przed pierwiastek
a) 48
b) 20
7. Rozwiąż równania i nierówności
c) 128
a) x 2 7
b) x 2 x 8
13
c) 4 x 5 3
d) x 5 8
e) 2 x 2 x 1 2
Odpowiedzi
1
1. a , b 3 , c 1 2 , d 5 6
2
2. a 1 2, b1 3 , c1 1, d 1 5 2
3. a)
2 x2 4 x 2
,
x2 x
4. a) 6;
b) 4;
b)
6 x2 2 x 3
,
x2 9
c) 2;
d)
1
;
6
c)
e) 6;
y 3 7 y 2 2 xy x
,
xy 2
f) 2 2 2 2 3 ;
3 2
,
2
b) 7 5 ,
c)
6. a) 4 3 ,
b) 2 5 ,
c) 8 2 ,
5. a)
7. a) x 9 x 5 , b) x 3 x 5 ,
5 1,
c) x
1
,2 ,
2
d)
2 x 1
x2 x
d)
g) 3;
3 7 3 2
5
h) −8
e)
5 3 16
4
e) 2 3 3
d) 3 3 2
d) x , 3 13, e) x
IV. Funkcja
Definicja funkcji
Funkcją f określoną w zbiorze X o wartościach ze zbioru Y nazywamy przyporządkowanie każdemu
elementowi ze zbiory X dokładnie jednego elementu ze zbioru Y.
Funkcję taką oznaczamy symbolem f : X Y.
Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji (zbiór argumentów).
Zbiór Y nazywamy zbiorem wartości funkcji.
Wykresem funkcji y = f(x) nazywamy zbiór W punktów płaszczyzny Oxy taki, że
W = {P(x, y): x D, y = f(x)}.
PRZYKŁADY
1) Niech funkcja f1 każdej liczbie naturalnej mniejszej od 10, przyporządkowuje jej kwadrat. Dziedziną
tej
funkcji
jest
zbiór
1,2,3,4,5,6,7,8,9 ,
natomiast
zbiorem
wartości
jest
1,4,9,16,25,36,49,64,81 . Wykresem tej funkcji jest 9 punktów na płaszczyźnie Oxy:
14
90
y
80
70
60
50
40
30
20
10
x
0
0
2
4
6
8
10
2) Niech funkcja f2 każdej liczbie rzeczywistej z przedziału od 1 do 9, przyporządkowuje jej kwadrat.
Dziedziną tej funkcji jest przedział 1, 9 , natomiast zbiorem wartości jest przedział 1, 81 . Wykresem tej funkcji jest nieskooczenie wiele punktów na płaszczyźnie Oxy, tworzących linę krzywą
pomiędzy punktami (1, 1) i (9, 81):
90
y
80
70
60
50
40
30
20
10
x
0
0
2
4
6
8
10
3) Niech funkcja f3 każdej liczbie rzeczywistej dodatniej przyporządkowuje jej odwrotnośd. Dziedziną
tej funkcji jest zbiór R+, zbiorem wartości jest ten sam zbiór R+. Wykresem tej funkcji jest nieskooczenie wiele punktów na płaszczyźnie Oxy, tworzących fragment linii krzywej zwanej hiperbolą:
15
3,5
y
3
2,5
2
1,5
1
0,5
x
0
0
2
4
6
8
10
Własności funkcji
Poniżej przedstawiono niektóre własności funkcji niezbędne do analizy wykresów, którą studenci
muszą często wykonywad na różnych zajęciach. Poniższe własności są też potrzebne do zrozumienia
nowych pojęd, które pojawią się na kursie matematyki podczas I i II roku studiów.
1) Funkcję f nazywamy różnowartościową w zbiorze X wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych dwóch
różnych argumentów, ich wartości są różne.
2) Funkcję f nazywamy parzystą w zbiorze D wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x D, element
przeciwny do niego należy również do D oraz f(–x) = f(x)
(wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi Oy)
3) Funkcję f nazywamy nieparzystą w zbiorze D wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x D, element
przeciwny do niego należy również do D oraz f(–x) = −f(x)
(wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych)
4) Funkcję f nazywamy okresową w zbiorze D wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba T 0, że dla
każdego x D, x + T D oraz f(x +T) = f(x)
5) Funkcję f nazywamy rosnącą w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy
x1 , x2 A
x1 x2 f x1 f x2
6) Funkcję f nazywamy malejącą w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy
x1 , x2 A
x1 x2 f x1 f x2
7) Funkcję f nazywamy stałą w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy
16
f x a
x A a R
8) Miejscem zerowym funkcji f nazywamy taką liczbę x0 , dla której f x0 0 ;
9) Wartością największą funkcji f nazywamy taką liczbę ymax , dla której istnieje taki argument xmax, że
ymax f xmax
f x ymax
x xmax
10) Wartością najmniejszą funkcji f nazywamy taką liczbę ymin , dla której istnieje taki argument xmin,
że
ymin f xmin
f x ymin
x xmin
PRZYKŁADY
1) Funkcja y 3x3 8 jest różnowartościowa, ponieważ dla dwóch dowolnych różnych argumentów
x1 i x2 mamy:
x1 x2 x13 x23 3x13 3x23 3x13 8 3x23 8 f x1 f x2
2) Funkcja y 5x 2 3 jest parzysta, ponieważ dla dwóch dowolnych przeciwnych argumentów x i
−x ich wartości są równe:
f x 5 x 3 f x 5x 2 3 f x f x f x
2
3) Funkcja y x3 3x jest nieparzysta, ponieważ dla dwóch dowolnych przeciwnych argumentów
x i −x ich wartości są przeciwne:
f x x 3 x f x x3 3x f x x3 3x x3 3x f x
3
4) Funkcja y x3 jest rosnąca w całym zbiorze R, ponieważ dla dwóch dowolnych różnych argumentów x1 i x2 mamy:
x1 x2 x13 x23 f x1 f x2
5) Wykres pewnej funkcji y h x przedstawiono poniżej.
h(x)
1
1
x
17
Na podstawie tego wykresu możemy określid własności tej funkcji:
dziedziną jest przedział 5, 5 ;
zbiorem wartości jest przedział 2, 4 ;
funkcja nie jest różnowartościowa (bo np. dla −3 i 3 przyjmuje taką samą wartośd −2);
funkcja jest parzysta, bo jej wykres jest symetryczny względem osi oy;
miejscami zerowymi tej funkcji są liczby −2 oraz 2;
funkcja jest rosnąca dla x 3,0 ;
funkcja jest malejąca dla x 0,3 ;
funkcja jest stała dla x 5, 3 3, 5 ;
największa wartośd funkcji wynosi 4, dla x = 0;
najmniejszą wartośd funkcja osiąga dla x 5, 3 3, 5 i wynosi ona −2.
6) Niektóre własności pewnej funkcji y g x przedstawiono poniżej:
dziedziną jest przedział 50, 50 ;
zbiorem wartości jest przedział 20, 20 ;
funkcja nie jest różnowartościowa;
funkcja jest nieparzysta;
miejscami zerowymi tej funkcji są liczby −40, 0 oraz 40 i nie ma innych miejsc zerowych;
funkcja jest rosnąca tylko dla x 20,20 ;
funkcja jest malejąca tylko dla x 50, 30 30,50 .
Na podstawie powyższych własności wykres funkcji g(x) może wyglądad następująco:
g(x)
5
10
x
Nie jest to jedyna wersja wykresu funkcji g(x). Może ich byd nieskooczenie wiele.
Funkcja złożona
Dane są dwie funkcje f i g takie, że
f:XY
g:YZ
18
Złożeniem (superpozycją) funkcji f i g nazywamy funkcję
h = g∘ f: X Z określoną wzorem g∘ f(x) = g[f(x)]
Funkcję g nazywamy funkcją zewnętrzną, a funkcję f wewnętrzną.
PRZYKŁADY
1) Dla funkcji y sin x 2 3x , funkcją zewnętrzną jest y sin x , a funkcją wewnętrzną jest
y x 2 3x .
2) Dla funkcji y sin 2 x 3sin x , funkcją zewnętrzną jest y x 2 3x , a funkcją wewnętrzną jest
y sin x .
Funkcja odwrotna
Jeżeli f : X Y jest funkcją różnowartościową, to istnieje funkcja f –1:Y X nazywana funkcją odwrotną względem funkcji f, określona wzorem x = f –1(y).
Wykresy funkcji f i f –1 są symetryczne do siebie względem prostej y = x.
Wyznaczając funkcję odwrotną do funkcji y f x , wyznaczamy najpierw x ze wzoru funkcji f, a
następnie zamieniamy oznaczenia zmiennych: x na y i y na x.
PRZYKŁADY
1)Dla funkcji y x 3 funkcją odwrotna jest funkcja y x 3 , bo:
y x 3 x y 3 i zamieniając zmienne otrzymujemy y x 3 .
2) Dla funkcji y 2 x funkcją odwrotna jest funkcja y
y 2x x
1
x , bo:
2
y
1
1
x y i zamieniając zmienne otrzymujemy y x .
2
2
2
3) Dla funkcji y
2x
x
, gdzie x R \ 1 , funkcją odwrotna jest funkcja y
, gdzie
x2
x 1
x R \ 2 , bo:
2x
y
x 1 y x 1 2 x yx y 2 x yx 2 x y x y 2 y : y 2 x
x 1
y2
x
i zamieniając zmienne otrzymujemy y
.
x2
y
O bardziej skomplikowanych funkcjach odwrotnych będzie mowa w dalszej części skryptu.
19
ZADANIA
1. Na podstawie poniższego wykresu wyznacz własności funkcji:
y
1
1
x
2. Na podstawie poniższego wykresu wyznacz własności funkcji:
y
3
10
x
3. Na podstawie poniższego wykresu wyznacz własności funkcji:
y
1
1
x
4. Na podstawie następujących własności naszkicuj wykres funkcji:
D 10,10 ; f max 1 tylko dla x 5, 4 4,5 ; f min nie istnieje; f
tylko dla x 0,4 5, 10 ; funkcja
jest parzysta; y 0 tylko dla x 10,0,10 .
5. Na podstawie następujących własności naszkicuj wykres funkcji:
D 80,80 ; ZW 50,50 ; f max tylko dla x (0,40 80 ; funkcja jest nieparzysta;
y 0 tylko dla x 60,0,60 .
6. Sprawdź czy funkcja dana wzorem: f x 2 x x 2 , jest parzysta.
7. Sprawdź czy funkcja dana wzorem: f x
2
, jest nieparzysta.
x x
3
20
8. Sprawdź czy funkcja dana wzorem: f x 2 x3 1 , jest różnowartościowa.
9. Wyznacz funkcje odwrotne do następujących funkcji:
5x 4
5x 4
x4
, x 2
a) y 3x 5 ,
b) y
c) y
, x 0
d) y
2x 4
6
x
Odpowiedzi
1. D 5, 5 ; ZW 4, 4 ; f max 4 dla x 3,3; f min 4 dla x 1, 1 ; f
f
dla x 5, 3 1, 3
dla x 3, 1 3, 5 ; f dla x 1, 1 ; y 0 dla x 5, 2, 2, 5 ; funkcja parzysta.
dla x 60, 30
2. D 60, 50 ; ZW 12, 12 ; f max 12 dla x 30, 10 ; f min 12 dla x 10, 30 ; f
f
dla x 10, 10 30, 50 ; f dla x 30, 10 10, 30 ; y 0 dla x 0, 50
;
dla x 7, 5 5, 7
3. D 7, 7 ; ZW 4, 4 ; f max 4 dla x 3, 5 ; f min 4 dla x 5, 3 ; f
f
;
dla x 3, 3 ; f dla x 5, 3 3, 5 ; y 0 dla x 7, 0, 7 ; funkcja nieparzysta.
4.
1
y
1
x
5.
y
50
80
40
9. a) y
x5
3
b) y
x5
3
c) y
4
, x5
x5
d) y
x
4 4x
1
, x
2x 1
2
V. Funkcja liniowa
Funkcją liniową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem f (x) = ax +b.
Liczbę a nazywamy współczynnikiem kierunkowym, a liczbę b – wyrazem wolnym. Wykresem funkcji
21
y = ax + b, gdzie x R, jest linia prosta nachylona do osi x pod takim kątem , że a = tg i przecinająca
oś Oy w punkcie, którego rzędna jest równa b.
y
b
x
Rys. 3. Wykres funkcji liniowej
Współrzędne każdego punktu należącego do prostej o równaniu y = ax + b, spełniają to równanie.
Stąd mając dwa punkty: A(xA, yA) i B(xB, yB) przez które przechodzi prosta, możemy znaleźd jej równanie, rozwiązując następujący układ równao:
y A a xA b
y B a xB b
z niewiadomymi a i b.
PRZYKŁADY
1) Wyznacz 3 punkty należące do prostej o równaniu: y 5x 2
Rozwiązanie:
Wstawiając x=0 do równania prostej otrzymujemy y=2 czyli punkt P1 0,2 ; dla x=1 mamy y=7, stąd
punkt P2 1,7 ; dla x=100 mamy punkt P3 100,502 .
2) Wyznaczyd równanie prostej przechodzącej przez punkty A(3, 4) i B(−1, 2).
Rozwiązanie:
4 a 3 b
a b 2
4 3a b
a b 2 a 0,5
2 a 1 b 2 a b
4 3 b 2 b 10 4b
b 2,5
Czyli równanie tej prostej jest następujące: y 0,5x 2,5 .
Dwie proste są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki kierunkowe ich równao są jednakowe. Natomiast dwie proste są prostopadłe, gdy współczynniki kierunkowe ich równao są odwrotne
i przeciwne.
22
Na przykład proste: l1 : y 3x 9 i l2 : y 3x 4 są równoległe, a proste: l3 : y 2 x 9 i
1
l4 : y x 40 są prostopadłe.
2
PRZYKŁADY
1) Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu: y 3x 2 , przechodzącej przez
punkt P 7,1
Rozwiązanie:
Skoro ma to byd prosta równoległa do prostej y 3x 2 , to jej współczynnik kierunkowy musi byd
równy 3, czyli jej równanie ma postad: y 3x b . Nieznany współczynnik b znajdziemy wstawiając
do tego równania współrzędne punktu P: 1 3 7 b b 20 y 3x 20
2) Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu: y
1
x 2 , przechodzącej przez
4
1
punkt P ,3
2
Rozwiązanie:
1
x 2 , to jej współczynnik kierunkowy musi byd
4
równy (−4), czyli jej równanie ma postad: y 4 x b . Nieznany współczynnik b znajdziemy wstawiaSkoro ma to byd prosta prostopadła do prostej y
jąc do tego równania współrzędne punktu P:
1
3 4 b b 5 y 4 x 5
2
3) Wyznacz punkt wspólny prostych: l1 : y 2 x 1 i l2 : y 3x 4
Rozwiązanie:
Skoro ma to byd punkt należący zarówno do jednej jak i drugiej prostej, to jego współrzędne muszą
spełniad tak równanie prostej l1 jak i równanie prostej l2, czyli musza spełniad układ równao:
y 2 x 1
y 3x 4
Rozwiązaniem tego układu jest para liczb (−1, 1) czyli punktem przecięcia się obu prostych jest punkt
P 1, 1 .
Wzajemne położenie dwóch prostych, a rodzaj układu równao
Dwie proste mogą się przecinad i wtedy ich częścią wspólną jest jeden punkt, którego współrzędne
znajdujemy rozwiązując układ równao zwany oznaczonym.
23
Dwie proste mogą byd równoległe i leżed obok siebie, wtedy nie mają części wspólnej, a układ równao tych prostych nazywamy sprzecznym.
Natomiast dwie proste równoległe, leżące jedna na drugiej, mają nieskooczenie wiele punktów
wspólnych. A układ równao tych prostych nazywamy nieoznaczonym.
N.p.
y 2 x 1
y 3x 1
y 2x 1
Układ
jest oznaczony. Układ
jest sprzeczny. A układ
jest nie y 3x 4
y 3x 4
y 2x 1
oznaczony. Ten ostatni typ układu równao przeważnie nie występuje w tak otwartej postaci, drugie
równanie jest zwykle w innej formie, ale po przekształceniu otrzymujemy dwa takie same równania.
ZADANIA
1.
2.
3.
4.
5.
Wyznacz 3 punkty należące do prostej o równaniu: y 7 x 5
7
11
1 5
Sprawdź czy punkt P ,
należy do prostej o równaniu: y x
9
9
2 6
Wyznaczyd równanie prostej przechodzącej przez punkty A(−1, 4) i B(2,− 2).
Wyznaczyd równanie prostej przechodzącej przez punkty A(3, −1) i B(−1, −3).
Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu: y 2 x 2 , przechodzącej przez
punkt P 3,1
6.
Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu: y
1
3
x , przechodzącej przez
2
13
1 1
punkt P ,
2 3
7.
8.
9.
1
Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu: y x 2 , przechodzącej przez
3
1
punkt P , 3
4
3
1
Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu: y x , przechodzącej
5
2
przez punkt P 3, 4
Wyznacz punkt wspólny prostych: l1 : y 2 x 10 i l2 : y 3x 4
10. Rozwiąż układy równao:
1
y 2 x 1
a)
c)
d) 2
b)
3 y 4 x 3
11. Dane są trzy wierzchołki równoległoboku: A(2, 3), B(4,1) i C(3, −4). Wyznacz jego czwarty wierzchołek.
12. Dane są wierzchołki trójkąta: A(−2, 3), B(4,1) i C(1, −2). Wyznacz spodek wysokości tego trójkąta
wychodzącej z wierzchołka C.
y x 10
y 3x 4
y 2 x 1
y 2 x 1
y 2x 1
3 y 6 x 3
24
Odpowiedzi
1
5
x ;
2
2
3. y 2 x 2 ;
4. y
5
8. y x 9 ;
3
9. P 6, 22 ;
5. y 2 x 5 ;
1
1
x ;
2
6
10a. x 3, y 13 ;
9
5
10d. x , y ;
8
2
10c. układ nieoznaczony;
6. y
1
7. y 3x 2 ;
4
10b. układ sprzeczny;
11. D 1, 2 ;
1 3
12. D 2 , 1 .
5 5
VI. Funkcja kwadratowa
Funkcję f : RR określoną wzorem f(x) = ax2 + bx + c, gdzie a 0, nazywamy funkcją kwadratową
(trójmianem kwadratowym) w postaci ogólnej.
Wykresem funkcji kwadratowej jest linia krzywa zwana parabolą. Parabola może mied ramiona skierowane w górę lub w dół. Jeżeli współczynnik a w równaniu ogólnym funkcji kwadratowej jest dodatni ,to ramiona paraboli są skierowane w górę (rys. 4a), a jeżeli a < 0, to ramiona paraboli są skierowane w dół (rys. 4b).
16
4
y
14
2
12
0
10
-2 0
8
-4
6
-6
4
-8
2
x
0
y
x
5
10
-10
-12
-2 0
5
10
-4
-14
-16
a)
b)
Rys. 4. Wykres funkcji kwadratowej
Liczbę = b2 – 4ac (delta) nazywamy wyróżnikiem funkcji kwadratowej.
Jest to liczba, która znacznie ułatwia wyznaczania wierzchołka paraboli i jej miejsc zerowych. Współrzędne wierzchołka paraboli najczęściej oznacza się literami p i q:
p
b
, q
2a
4a
N.p.
25
f x 3x 2 6 x 1 jest punkt W 1, 2 , ponieważ 62 4 3 1 24 ,
Wierzchołkiem paraboli
p
6
24
1 i q
2
23
43
Postad kanoniczna
Funkcję f x a x p q nazywamy funkcją kwadratową w postaci kanonicznej.
2
N.p.
Postacią kanoniczną trójmianu
f x 3x 2 6 x 1 jest funkcja f x 3 x 1 2
2
czyli
f x 3 x 1 2
2
Miejsca zerowe
Jeżeli > 0, to funkcja kwadratowa posiada dwa różne miejsca zerowe
x1
b
b
,x 2
2a
2a
Jeżeli = 0, to funkcja kwadratowa ma jeden (dwukrotny) pierwiastek
x0
b
.
2a
Jeżeli < 0, to funkcja kwadratowa nie ma pierwiastków rzeczywistych.
PRZYKŁADY
1) Funkcja kwadratowa f x x 2 4 x 5 ma dwa miejsca zerowe, gdyż jest dodatnia (wynosi
36):
x1
4 36 10
4 36
2
5 , x 2
1
2 1
2
2 1
2
.
2) Funkcja kwadratowa f x x 2 4 x 4 ma jedno miejsce zerowe, gdyż = 0:
x1
4 0 4
4 0 4
4
2 x 2
2 x0
2
2 1
2
2 1
2
2 1
.
3) Funkcja kwadratowa f x x 2 4 x 5 nie ma miejsc zerowych, gdyż jest ujemna(wynosi (−4)).
Ważną umiejętnością jest naszkicowanie wykresu funkcji kwadratowej czyli paraboli. W tym celu
należy wyznaczyd wierzchołek i miejsca zerowe paraboli oraz punkt przecięcia się paraboli z osią oy.
W przypadku braku miejsc zerowych lub pokrywania się wierzchołka z miejscem zerowym, pomocniczo można wyznaczyd dwa punkty równoodległe od wierzchołka.
26
PRZYKŁADY
1) Wykresem funkcji f x x 2 4 x 3 jest następująca parabola:
16
y
14
12
10
8
6
4
2
x
0
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1 0
-2
1
2
3
Aby dobrze ją narysowad obliczamy najpierw , a następnie p, q, x1, x2:
4; p 2; q 1; x1 3; x2 1
Ponadto wiemy, że c = 3, czyli parabola przecina oś Oy w punkcie (0, 3). Zaznaczamy powyższe punkty
na płaszczyźnie Oxy i rysujemy parabolę.
Postad iloczynowa
W przypadku, gdy funkcja kwadratowa f x ax 2 bx c ma pierwiastki, to można ją zapisad w postaci iloczynowej:
f x a( x x 1 )( x x 2 )
PRZYKŁADY
1) Funkcja f x x 2 4 x 3 ma następującą postad iloczynową: f x x 3 x 1
1
2) Funkcja f x 3x 2 4 x 1 ma następującą postad iloczynową: f x 3 x x 1
3
1
1
3) Funkcja f x 4 x 2 4 x 1 ma następującą postad iloczynową: f x 4 x x
2
2
4) Natomiast funkcja f x x 2 2 x 5 nie posiada postaci iloczynowej, gdyż <0.
27
Równania i nierówności kwadratowe
Rozwiązanie równania ax 2 bx c 0 jest tożsame z wyznaczeniem miejsc
zerowych funkcji
f x ax bx c
2
Do rozwiązywania nierówności zastosujemy metodę graficzną.
Żeby
rozwiązad
nierównośd
kwadratową
czyli
jedną
z
nierówności:
ax bx c 0 lub ax bx c 0 lub ax bx c 0 lub ax bx c 0 należy obliczyd najpierw
2
2
2
2
pierwiastki funkcji f x ax 2 bx c , a następnie naszkicowad wykres funkcji f(x) zaznaczając tylko
jej miejsca zerowe i w zależności od typu nierówności podad przedział, w którym naszkicowana parabola jest nad osią Ox lub pod osią Ox .
PRZYKŁADY
1) Rozwiązaniem równania x2 5x 6 0 są dwie liczby: 2 lub 3, ponieważ 1, x1 2, x2 3
2) Rozwiązaniem równania x2 6 x 9 0 jest jedna liczba: 3, ponieważ 0, x0 3
3) Rozwiązaniem nierówności x2 5x 6 0 jest przedział (2, 3), ponieważ 1, x1 2, x2 3 , a na
szkicu paraboli widzimy, że wartości mniejsze od 0 funkcja przyjmuje dla x 2, 3
x
1
4)
Rozwiązaniem
nierówności
2
2 x2 x 1 0
3
4
jest
przedział
1
,1 ,
2
ponieważ
1
9, x1 1, x2 , a na szkicu paraboli widzimy, że wartości większe bądź równe 0 funkcja
2
1
przyjmuje dla x , 1
2
28
x
-2 -1,5 -1 -0,5 0
0,5 1
1,5 2
2,5
5) Rozwiązaniem nierówności 2 x2 1 0 jest zbiór pusty, ponieważ 0 i cała parabola znajduje
się pod osią Ox, więc niema takich argumentów, dla których wartości funkcji f x 2 x 2 1 są dodatnie.
x
-2
-1
0
1
2
Równania dwukwadratowe
Równanie typu ax4 bx2 c 0 nazywamy równaniem dwukwadratowym i poprzez wprowadzenie
pomocniczej zmiennej t = x2 uzyskujemy zwykłe równanie kwadratowe .
N.p.
W równaniu x4 5x2 4 0 wstawiamy zamiast x2 pomocniczą zmienną t i otrzymujemy równanie
t 2 5t 4 0 , którego rozwiązaniem są dwie liczby: t1 = 1 oraz t2 = 4. Wiedząc, że x2 = t mamy dwa
równania: x2 1 x2 4 , z których otrzymujemy cztery rozwiązania:
x 1 x 1 x 2 x 2 .
ZADANIA
1. Narysuj wykresy funkcji:
a) y 2 x 2 3x 2
b) y x 2 5x 6
c) y x 2 4 x 3
d) y x2 4
29
e) y x2 4 x 5
2. Wyznacz wierzchołki parabol:
2
a) y 2 x 3x 1
2
b) y x 8x 9
2
c) y 4 x 8x
2
d) y x 9
3. Rozwiąż nierówności:
a) x 2 6 x 5 0
b) 4 x 2 6 x 0
c) 3x 2 2 x 10 0
d) 6 x 2 6 0
e) 2 x2 4 x 2 0
f) 4 x2 1 0
4. Rozwiąż równania:
a) x 4 3x 2 2 0
b) x 4 x 2 12 0
c) 3x 5 x 2 0
d) x x 2 0
5. Wiedząc, że do wykresu funkcji kwadratowej y 2 x 2 ax b należą punkty: A(1, 3) i B(2, 1), wyznacz a i b.
6. Wyznacz najmniejszą i największą wartośd funkcji y x 2 x 2 w przedziale od -2 do 4.
7. Wiedząc, że wierzchołek wykresu funkcji kwadratowej y x 2 ax b leży w punkcie
W(1, 3), wyznacz a i b.
8. Rozwiąż nierównośd:
a) x 4 3x 2 2 0
b) x4 5x2 4 0
Odpowiedzi
3 17
;
4 8
b) W 4, 25 ;
2. a) W ,
b) x ,
3. a) x , 1 5, ;
4. a) x 2, 1, 1, 2 ;
8
3
1
4
3
0, ;
2
1
f) x .
4
9
b) x 3, 3 ;
c) x , 1 ;
1
6. f min f 2 , f max f 4 14
4
2
8. a) x , 2 1, 1 2 ,
b) x 2, 1 1, 2
5. a , b 2
d) W 0, 9 .
c) x ;
e) x R \ 1 ;
d) x 1, 1 ;
c) W 1, 4 ;
d) x 1 .
7. a 2, b 4
30
VII. Wielomiany
Wielomianem stopnia n jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję:
f ( x) a0 a1 x a2 x 2 ... an xn ,
gdzie n N , x R, a0 , a1 ,..., an R, an 0.
Liczby a0 ,a1 ,...,an nazywamy współczynnikami wielomianu. Funkcja stała W(x) = c, gdzie c 0, jest
wielomianem stopnia zerowego.
Liczbę a nazywamy pierwiastkiem wielomianu W(x), jeżeli W(a)=0.
N.p.
3
1) Pierwiastkiem wielomianu W x x 8x 9 jest liczba (−1), bo W(−1) = 0.
4
3
2
2) Pierwiastkami wielomianu W x x 2 x 7 x 8x 12 są liczby: −2, −1, 2 i 3.
Wielomian jednej zmiennej stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków.
Dzielenie wielomianów
Wielomian W(x) stopnia n można podzielid przez wielomian G(x) stopnia m n. Wynikiem takiego
dzielenia jest wielomian stopnia (n –m), z resztą będącą wielomianem stopnia m – 1. Dzielenie wykonuje się podobnie jak pisemne dzielenie liczb.
N.p.
Żeby podzielid wielomian W x 2 x3 3x 2 4 x 5 przez wielomian G x x 2 2 x 1 , należy najpierw podzielid wyraz z najwyższą potęgą wielomianu W(x) przez wyraz z najwyższą potęgą wielomianu G(x), czyli 2x3 dzielimy przez x2, otrzymujemy wtedy 2x, co zapisujemy w następujący sposób:
2x
3
3x2 4 x 5 : x2 2 x 1 2 x
Następnie mnożymy wielomian G(x) przez 2x i odejmujemy od wielomianu W(x):
2x
2x
3
3x 2 4 x 5 : x 2 2 x 1 2 x
3
4 x2 2 x
x2 6 x 5
Następnie dzielimy wyraz z najwyższą potęgą otrzymanego wielomianu przez wyraz z najwyższą potęgą wielomianu G(x), czyli x2 dzielimy przez x2, otrzymujemy wtedy 1, co zapisujemy w następujący
sposób:
31
2x
2x
3
3 x 2 4 x 5 : x 2 2 x 1 2 x 1
3
4x2 2x
x2 6 x 5
x 2 2 x 1
8x 4
I na tym kooczymy dzielenie, gdyż ostatni otrzymany wielomian jest stopnia mniejszego niż wielomian G(x). Wielomian 8x – 4 nazywamy resztą z dzielenia wielomianu W(x) przez G(x).
Twierdzenie Bezout
Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny
przez dwumian x – p.
Bezpośrednio
z
powyższego twierdzenia wynika wniosek, że jeżeli wielomian
W ( x) a0 a1 x ... an x n ma wszystkie współczynniki całkowite i an = 1, to liczba całkowita q jest
pierwiastkiem tego wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy q jest dzielnikiem wyrazu a0.
Liczbę p nazywamy m – krotnym pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian
W (x) jest podzielny przez (x – p)m, ale nie jest już podzielny przez (x – p) m +1. Liczbę m nazywamy
krotnością pierwiastka p.
Równania
Wiele zagadnieo technicznych można sprowadzid do równao lub nierówności wielomianowych, dlatego ważną umiejętnością jest rozwiązywanie równao 3 i 4 stopnia. Przedstawimy dwie metody znajdowania pierwiastków wielomianu poprzez jego rozkład na wielomiany pierwszego i drugiego stopnia.
Metoda grupowania
Pierwsza metoda oparta jest na wyłączaniu wspólnego czynnika przed nawias, jest to metoda grupowania.
PRZYKŁADY
1) Dla wielomianu W x 4 x3 4 x 2 x 1 z pierwszych dwóch elementów (pierwsza grupa) wyciągamy przed nawias 4x2 , a z ostatnich dwóch elementów (druga grupa) wyciągamy przed nawias (−1)
i mamy: W x 4 x2 x 1 1 x 1 . Następnie wyłączamy przed nawias wspólny czynnik, którym
jest (x +1) i otrzymujemy wielomian W(x) w postaci iloczynu wielomianu pierwszego stopnia (x +1) i
wielomianu drugiego stopnia (4x2 −1) czyli W x x 1 4 x 2 1 . Żeby wyznaczyd pierwiastki wielomianu W(x) znajdujemy pierwiastki obu wielomianów czyli rozwiązujemy dwa równania:
x 1 0 4 x2 1 0 x 1 x
1
1
x
2
2
32
Uzyskane rozwiązania są pierwiastkami wielomianu W x 4 x3 4 x 2 x 1
2) Dla wielomianu W x 9 x4 9 x3 22 x2 4 x 8 rozkładamy najpierw trzeci składnik (−22x2)na
różnicę (−18x2 – 4x2). Dla otrzymanej w ten sposób postaci W x 9 x4 9 x3 18x2 4 x2 4 x 8 z
pierwszych trzech elementów (pierwsza grupa) wyciągamy przed nawias 9x2 , a z ostatnich trzech
elementów (druga grupa) wyciągamy przed nawias (−4) i mamy:
W x 9x2 x2 x 2 4 x2 x 2 .
Następnie wyłączamy przed nawias wspólny czynnik, którym jest (x2 + x −2) i otrzymujemy wielomian
W(x) w postaci iloczynu wielomianów drugiego stopnia (x2 + x −2) i (9x2 −4) czyli
W x x 2 x 2 9 x 2 4 . Żeby wyznaczyd pierwiastki wielomianu W(x) znajdujemy pierwiastki
obu wielomianów czyli rozwiązujemy dwa równania:
x
2
x 2 0 9 x 2 4 0 x 2 x 1 x
2
2
x
3
3
Uzyskane rozwiązania są pierwiastkami wielomianu W x 9 x4 9 x3 22 x2 4 x 8
Metoda oparta na twierdzeniu Bezout
Metodę tę stosuje się najczęściej wtedy, gdy współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1.
Wtedy sprawdzamy, który z dzielników wyrazu a0 jest pierwiastkiem wielomianu i dla niego stosujemy twierdzenie Bezout. W ten sposób otrzymamy wielomian W(x) w postaci iloczynu wielomianu
stopnia pierwszego (x −q) i wielomianu G(x), którego stopieo jest o jeden mniejszego od stopnia
W(x). Jeżeli wielomian G(x) jest stopnia drugiego to obliczamy jego pierwiastki i mamy zadanie rozwiązane. Jeżeli natomiast wielomian G(x) jest stopnia większego niż 2, to powtarzamy dla niego całą
operację: sprawdzamy, który z dzielników wyrazu wolnego jest jego pierwiastkiem, stosujemy twierdzenie Bezout, rozkładamy na iloczyn wielomianu stopnia pierwszego i wielomianu H(x), którego
stopieo jest o jeden mniejszego od stopnia G(x) i.t.d.
PRZYKŁADY
1) Wyraz wolny wielomianu W x x3 4 x 2 x 6 wynosi 6. Jego całkowitymi dzielnikami są liczby:
1, 2, 3, 6, −1, −2,−3, −6. Sprawdzamy po kolei, która z tych liczb jest pierwiastkiem tego wielomianu:
W(1) = 4, czyli 1 nie jest pierwiastkiem; W(2) = 0, czyli 2 jest pierwiastkiem tego wielomianu. Stosujemy twierdzenie Bezout czyli dzielimy wielomian W(x) przez dwumian (x – 2):
33
x 4x x 6 : x 2 x
x 2x
3
2
3
2
2
2x 3
2 x2 x
2 x 2 4 x
3x 6
3 x 6
Dzięki temu wielomian W(x) możemy przedstawid w postaci iloczynu: W x x 2 x 2 2 x 3
Żeby wyznaczyd pierwiastki wielomianu W(x) znajdujemy pierwiastki obu wielomianów czyli rozwiązujemy dwa równania:
x 2 0 x2 2x 3 0 x 2 x 1 x 3
Uzyskane rozwiązania są pierwiastkami wielomianu W x x3 4 x 2 x 6
Nierówności
Do rozwiązywania nierówności wielomianowych zastosujemy metodę graficzną. Żeby rozwiązad jedną z nierówności W x 0 lub W x 0 lub W x 0 lub W x 0 znajdujemy najpierw pierwiastki wielomianu W(x), zaznaczamy je na osi Ox i szkicujemy wykres funkcji y = W(x). W zależności
od typu nierówności podajemy przedziały, w których naszkicowana krzywa jest nad osią Ox lub pod
osią Ox .
Rysowanie wykresów wielomianów jest oddzielnym problemem, którego tutaj nie będziemy poruszad. Natomiast, żeby naszkicowad wykres, niezbędny do rozwiązania nierówności ,wystarczy narysowad linię krzywą tzw. „falę”, której punktami wspólnymi z osią Ox są pierwiastki wielomianu. Najlepiej zacząd rysowanie tej linii od strony prawej: od góry, gdy współczynnik przy najwyższej potędze
jest dodatni lub od dołu, gdy współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny. Krzywa ta przebija
oś Ox w punktach wspólnych wtedy, gdy krotnośd pierwiastka jest nieparzysta, a „odbija się” od osi
Ox w punktach wspólnych wtedy, gdy krotnośd pierwiastka jest parzysta.
PRZYKŁADY
1) Dla nierówności
x3 4 x 2 x 6 0
szukamy najpierw miejsc zerowych wielomianu
W x x 4 x x 6 . Są nimi liczby x 1 x 2 x 3 . Wszystkie pierwiastki są jednokrotne,
3
2
więc wykres wielomianu W(x) przebija oś Ox w punktach o współrzędnych x 1 x 2 x 3 .
Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni (przy x3 jest 1) czyli zaczynamy rysowad krzywą od
strony prawej, od góry. Stąd szkic wykresu wielomianu W x x3 4 x 2 x 6 jest następujący:
34
x
-2
-1
0
1
2
3
4
Na podstawie powyższego szkicu stwierdzamy, że rozwiązaniem nierówności x3 4 x2 x 6 0 są
liczby: x 1, 2 3,
x 4 4 x 3 3x 2 0
2) Dla nierówności
szukamy najpierw miejsc zerowych wielomianu
W x x 4 x 3x . Są nimi liczby x 0 x 1 x 3 , przy czym x= 0 jest pierwiastkiem dwu4
3
2
krotnym. Wykres wielomianu W(x) przebija oś Ox w punktach o współrzędnych x 1 x 3 , natomiast w punkcie (0, 0) wykres „odbija się” od osi Ox. Współczynnik przy najwyższej potędze jest
ujemny czyli zaczynamy rysowad krzywą od strony prawej, od dołu. Stąd szkic wykresu wielomianu
W x x4 4 x3 3x 2 jest następujący:
x
-1
0
1
2
3
4
Na podstawie powyższego szkicu stwierdzamy, że rozwiązaniem nierówności x4 4 x3 3x2 0 są
liczby: x 0 1, 3
ZADANIA
1. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W x 3x 4 2 x 3 x 2 5x 2 przez wielomian
V x x 2 2
2. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W x x 5 2 x 3 x 2 5x przez wielomian
V x x 2 2 x 6
3. Rozwiąż równania:
a) x 4 3x 2 2 x 0 , b) x 3 5x 2 10 x 48 0 , c) x3 5x2 9 x 45 0
4. Rozwiąż nierównośd:
35
a) x 4 3x 2 2 0 , b) x 3 3x 2 9 x 27 0 , c) x3 2x2 25x 50 0
5. Wiedząc, że do wykresu funkcji y x 3 2 x 2 ax b należą punkty: A(1, 3) i B(-2, 1), wyznacz a i b.
6. Dla jakich wartości a i b liczba 1 jest pierwiastkiem podwójnym wielomianu
W x x 3 ax 2 b ?
7. Wiadomo, że liczba 1 jest pierwiastkiem równania x 3 2 x 2 x m 0 . Wyznacz najmniejszy pierwiastek tego równania.
8. Wiedząc, że iloczyn wielomianów W x 2 x 3 bx 2 5 i V x x 2 ax 2 nie zawiera
potęg x3 i x2 wyznacz a i b.
Odpowiedzi
1. R x 9 x 12
3. a) x 2, 1, 1, 2
2. R x 19 x 114
4. a) x , 2 2,
1
1
5. a 4 , b 8
3
3
b) x 2
c) x 5, 3, 3
b) x , 3 3, 3
c) x , 5 2, 5
3
2
6. a , b
1
2
7. x 2
8
5
8. a , b
5
2
VIII. Funkcja wymierna
Jeżeli W(x) i G(x) są wielomianami i G(x) jest wielomianem niezerowym, to funkcję F x
W x
G x
nazywamy funkcją wymierną. Dziedziną tej funkcji jest zbiór D x R : G x 0 .
N.p.
x3 5
jest zbiór R \ 2, 2
x2 4
15
2) Dziedziną funkcji y 3
jest zbiór R \ 1, 0, 2
x x2 2 x
1) Dziedziną funkcji y
Przy rozwiązywaniu jakichkolwiek zadao dotyczących funkcji wymiernej należy najpierw określid jej
dziedzinę.
Równania wymierne
Miejscami zerowymi funkcji wymiernej są miejsca zerowe licznika, o ile należą do dziedziny funkcji.
Rozwiązad równanie wymierne
F x
W x
G x
0 oznacza to samo, co znaleźd miejsca zerowe funkcji
W x
G x
36
PRZYKŁADY
1) Rozwiązując równanie
x3 x
0 w pierwszej kolejności wyznaczamy jego dziedzinę, czyli rozwiąx2 9
zujemy taką różnośd:
x2 9 0 x 3 x 3 D R \ 3, 3
Następnie znajdujemy miejsca zerowe wielomianu występującego w liczniku, czyli rozwiązujemy
następujące równanie:
x3 x 0 x x2 1 0 x 0 x 1 x 1
Wszystkie pierwiastki licznika należą do dziedziny tego równania, więc są jego rozwiązaniami.
x3 8
0 nie ma rozwiązao, gdyż dziedziną tego równania jest R \ 2, 2 , a miejscem
x2 4
zerowym licznika jest liczba 2, która nie mieści się w dziedzinie.
2) Równanie
3) Równanie
x 2 16
0 ma jedno rozwiązanie: x= −4, ponieważ drugi pierwiastek licznika, liczba
x2 5x 4
4, nie należy do dziedziny tego równania , którą jest zbiór R \ 1, 4 .
Nierówności wymierne
Przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych pozbywamy się mianownika poprzez pomnożenie obu
stron nierówności przez kwadrat mianownika. Otrzymujemy wtedy nierównośd wielomianową, przy
rozwiązywaniu której trzeba uwzględnid dziedzinę nierówności wymiernej.
PRZYKŁADY
x3 x
0 jest zbiór R \ 3, 3 . Następnie mnożymy obie strony nierówx2 9
1) Dziedziną nierówności
ności przez (x2 -9)2:
x3 x
0
x2 9
x
2
9 x3 x x 2 9 0 x x 1 x 1 x 3 x 3 0
2
Otrzymana nierównośd wielomianowa ma następujące rozwiązanie: x 3, 1 0, 1 3,
uwzględniając
dziedzinę
nierówności
wymiernej,
jej
rozwiązaniem
są
liczby:
x 3, 1 0, 1 3,
x 2 3x 4
0 jest zbiór R \ 2, 0, 2 . Następnie mnożymy obie strony
x3 4 x
nierówności przez (x3 −4x)2:
2) Dziedziną nierówności
x 2 3x 2
0
x3 4 x
x
3
4 x x 2 3x 2 x3 4 x 0 x x 1 x 2 x x 2 x 2 0
2
37
Otrzymana nierównośd wielomianowa ma następujące rozwiązanie: x 2, 1 0, 2 2, ,
które jest jednocześnie rozwiązaniem nierówności wymiernej, gdyż całe rozwiązanie nierówności
wielomianowej zawiera się w dziedzinie nierówności wymiernej.
ZADANIA
1. Rozwiąż równania
x3 4 x 2
4 3x x 2
3x x 2
x3 4 x 2 x 4
,
b)
,
c)
,
d)
0
0
0
0.
9 x2 4
x4
x2 5x 4
9 x2
2. Rozwiąż nierówności
1.
a)
x
x3 8
1 2 x x 2
x3 x 2 9 x 9
,
b)
,
c)
,
d)
0
0
0
0.
4 3x x 2
x2 2 x
x2 5x 6
x2
Odpowiedzi
1. a) x 0, 4
b) x 1
c) x 0, 3
2. a) x 0, 2 2, b) x , 1 0, 4
d) x 1, 1, 4
c) x , 1 6,
d) x , 3 1, 3
VIII. Ciągi
Ciąg jest to funkcja przyporządkowująca liczbie naturalnej n element an pewnego zbioru A. Elementy
an zbioru A nazywamy wyrazami ciągu.
Przykłady ciągów:
1) 1, 2, 3, 4, 5,…
2) 2 , 4, 6, 8, 10,…
3) 1,
1 1 1 1
, , , ,…
2 4 8 16
W pierwszym przypadku mamy: a1 1 , a 2 2 , a3 3 , a 4 4 , itd.
W drugim przypadku mamy: a1 2 , a 2 4 , a3 6 , a 4 8 , itd.
W trzecim przypadku mamy: a1 1 , a 2
1
1
1
, a3 , a 4 , itd.
2
4
8
Wszystkie wyżej wymienione przykłady to nieskooczone ciągi liczbowe.
Skooczonym ciągiem liczbowym jest np.: 1,2,3,4,5 – ciąg liczb naturalnych od 1 do 5.
Monotonicznośd ciągu
Ciąg rosnący to taki ciąg ( a n ), dla którego dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierównośd
an1 an .
Ciąg niemalejący to taki ciąg ( a n ), dla którego dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierównośd a n 1 a n .
38
Ciąg malejący to taki ciąg ( a n ), dla którego dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierównośd
an1 an .
Ciąg nierosnący to taki ciąg ( a n ), dla którego dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierównośd a n 1 a n .
Ciąg stały to taki ciąg ( a n ), którego wszystkie wyrazy są równe.
Każdy ciąg spełniający którykolwiek z powyższych warunków to ciąg monotoniczny.
Przykłady ciągów:
Ciąg (2n) jest ciągiem rosnącym, bo dla każdego n N prawdziwa jest nierównośd 2(n 1) 2n ,
czyli każdy następny wyraz tego ciągu jest większy od poprzedniego.
Ciąg (2 − n) jest ciągiem malejącym, bo dla każdego n N prawdziwa jest nierównośd 2−(n+1)<2−n,
czyli każdy następny wyraz tego ciągu jest mniejszy od poprzedniego.
Ciąg ( 1 ) nie jest ciągiem monotonicznym, bo wyrazy tego ciągu są na przemian ujemne i dodatn
nie – dla n parzystych wyrazy tego ciągu są dodatnie, a dla n nieparzystych są ujemne.
PRZYKŁADY
1) Oblicz cztery kolejne wyrazy ciągu określonego wzorem a n
2n 1
.
3n
Rozwiązanie:
Aby obliczyd cztery kolejne wyrazy tego ciągu należy za n podstawid do wzoru kolejne liczby naturalne od 1 do 4:
2 1 1 1
2 2 1 3 1
2 3 1 5
2 4 1 7
, a2
, a3
, a4
.
3 1
3
3 2
6 2
33
9
3 4
12
8n 8
2) Wskaż wszystkie wyrazy ciągu równe zero: a) an n 2 4n 3 , b) a n
, c)
n3
a1
an n 4 n 3 .
Rozwiązanie:
a)Najpierw ustalamy dziedzinę: D N .
Aby wskazad wszystkie wyrazy tego ciągu równe zero, należy ogólny wzór tego ciągu przyrównad
do zera i rozwiązad równanie ( w tym wypadku równanie kwadratowe):
n 2 4n 3 0 .
Liczymy deltę: 16 4 1 3 16 12 4 ,
Obliczamy dwa rozwiązania: n1
2.
42 2
42 6
1 , n2
3.
2 1 2
2 1 2
Oba rozwiązania należą do dziedziny, więc ostateczna odpowiedź brzmi: Pierwszy i trzeci wyraz
podanego ciągu są równe zero.
b)Ustalamy dziedzinę: mianownik musi byd różny od zero, więc n 3 D N {3} .
Ułamek jest równy zero licznik jest równy zero. 8n 8 0 8n 8 n 1 . Ponieważ
n=1 należy do dziedziny, ostateczna odpowiedź brzmi: pierwszy wyraz podanego ciągu jest równy
zero.
c)Ustalamy dziedzinę: nie ma pierwiastków kwadratowych z liczb ujemnych, więc n 0 i n N
39
D N.
Ogólny wzór przyrównujemy do zera: n 4 n 3 0 . Rozwiązujemy to równanie metodą podstawiania: niech t
n , tR
Mamy, więc równanie kwadratowe postaci: t 2 4t 3 0 . Po rozwiązaniu mamy: t1 1 , t 2 3
n 1 lub
n 3 i n N n 1 lub n 9 .
Ponieważ oba rozwiązania należą do dziedziny, ostateczna odpowiedź brzmi: Pierwszy i dziewiąty
wyraz podanego ciągu są równe zero.
3) Zbadaj monotonicznośd ciągu: a) an 3n 2 , b) an n 2 2n 3 , c) a n
n2
.
3n 1
Rozwiązanie:
Zbadad monotonicznośd ciągu tzn. ustalid czy dany ciąg jest rosnący, malejący, nierosnący, niemalejący, czy stały lub może w ogóle nie jest monotoniczny.
W tym celu należy obliczyd różnicę dwóch kolejnych wyrazów danego ciągu: an 1 an . Jeżeli ta
różnica jest dla każdego n N :
-dodatnia, to ciąg jest rosnący
- dodatnia lub równa zero, to ciąg jest niemalejący
- ujemna, to ciąg jest malejący
- ujemna lub równa zero, to ciąg jest nierosnący.
a)Obliczamy różnicę: an1 an [3(n 1) 2] [3n 2] 3n 3 2 3n 2 3 . Jest ona dodatnia dla każdego n N ciąg jest rosnący.
b)Obliczamy różnicę:
a n1 a n [(n 1) 2 2(n 1) 3] [n 2 2n 3]
n 2 2n 1 2n 2 3 n 2 2n 3 2n 3
dla każdego n N ciąg jest rosnący.
. Jest ona dodatnia
c)Obliczamy różnicę:
n 1 2
n2
n3 n2
an 1 an
3(n 1) 1 3n 1 3n 2 3n 1
(n 3)(3n 1) (n 2)(3n 2) 3n 2 8n 3 3n 2 8n 4
7
(3n 2)(3n 1)
(3n 2)(3n 1)
(3n 2)(3n 1)
Jest ona ujemna dla każdego n N ciąg jest malejący.
ZADANIA
1. Oblicz cztery początkowe wyrazy ciągu:
(3n 2) 2
2n 1
a) a n 2 1 , b) an 2n 3n 2 , c) an 6n 2 , d) a n
, e) a n
, f)
n
n2
1
1
an 1 3n , g) a n n , h) a n 1
.
2n 5
2
n
2
2. Wskaż wszystkie wyrazy ciągu równe zero:
40
a) an n 2 5n 6 , b) an 2n 1 , c) an 4 5n , d) an 3n n 4 , e) an 2n 2 n 1 ,
f) an n n 30 , g) a n
n 2 8n 12
18 6n
5n
6n 12
, h) a n
, i) a n
, j) a n
.
n3
n2
n 1
n
3. Wykaż, że dany ciąg jest rosnący:
a) a n n
1
6n 1
5n 2
, b) an 4n 1 , c) a n 3 n , d) an n 2 2 , e) a n
, f) a n
.
3
3
n 1
4. Wykaż, że dany ciąg jest malejący:
a) a n
1
1
n 1
3 2n
, b) an 5 n , c) an
, d) a n n , e) an 9n 2 2n 7 , f) an
.
2n 3
4n 5
n
2
5. Zbadaj monotonicznośd ciągu:
a) an 15 n , b) an n 2 2n 7 , c) a n
an
1
n3
, d) an 6n 2 , e) a n
, f)
n5
n 1
1
.
3 2
n
Odpowiedzi
1.
2.
5.
a) a1 1, a2 3, a3 7, a4 15 ;
b) a1 1, a2 4, a3 11, a4 22 ;
c) a1 4, a2 10, a3 16, a4 22 ;
3
5
7
d) a1 1, a2 , a3 , a4 ;
4
9
16
1
e) a1 25, a2 32, a3 40 , a4 49 ;
3
1
1
1
1
g) a1 , a2 , a3 , a4 ;
2
4
8
16
a) n 2 n 3 ; d) n 1 ;
e) n 1 ;
a) c) e) f) ciągi malejące;
f) a1 2, a2 5, a3 8, a4 11 ;
6
8
10
12
h) a1 , a2 , a3 , a4 .
7
9
11
13
i) n 3 ;
b) c) f) g) h) j) brak.
b) d) ciągi rosnące.
Granice ciągów
Liczbę g nazywamy granicą ciągu an , jeżeli dla dowolnej liczby 0 istnieje taka liczba m 0 , że
nierównośd an g zachodzi dla wszystkich n m . Mówimy wtedy, że ciąg (an) jest zbieżny do
liczby g.
A bardziej potocznie: Jeżeli przy n dążącym do nieskooczoności (zwiększającym się w nieskooczonośd)
wyrazy ciągu (an) wciąż się zmniejszają (lub zwiększają) i coraz bardziej zbliżają się do jakiejś liczby g,
ale jej ani nie osiągają, ani nie przekraczają, to mówimy, że ta liczba g jest granicą tego ciągu.
Twierdzenia o granicach ciągów zbieżnych
Jeżeli ciągi (an) i (bn) są zbieżne, to prawdziwe są następujące równości
41
1) lim k an k lim an
n
n
2) lim an bn lim an lim bn
n
n
n
3) lim an bn lim an lim bn
n
a
4) lim n
n b
n
n
n
an
lim
n
, bn 0 lim bn 0
n
bn
lim
n
5) an bn cn lim an lim cn g lim bn g
n
n
n
Ta ostatnia równośd nosi nazwę twierdzenia o trzech ciągach.
PRZYKŁADY
2n 2 3n 5
1
n3
.
1)Oblicz granicę ciągu: a) a n 3n , b) bn , c) c n
, d) d n
2
n
5
n
4n 2
Rozwiązanie:
a) W tym przykładzie łatwo policzyd granicę, ponieważ n dąży do nieskooczoności, więc n pomnożone
przez 3 też dąży do nieskooczoności: lim an lim 3n .
n
n
b) Kiedy w ułamku mianownik zwiększa się w nieskooczonośd, to cały ułamek zmniejsza się do liczby
0:
1 1
0.
n n
lim bn lim
n
Aby policzyd granicę ciągu z podpunktu c i d należy licznik i mianownik podzielid przez najwyższą potęgę n występującą w mianowniku:
c) W tym przykładzie najwyższą potęgą n w mianowniku jest n 1 , czyli po prostu n, więc dzielimy
n 3
3
1
n3
n
lim n n lim
licznik i mianownik przez n : lim c n lim
n
n 4n 2
n 4n
2 n
2
4
n n
n
Ponieważ granica sumy to suma granic, granica różnicy to różnica granic, granica iloczynu to iloczyn
granic, a granica ilorazu to iloraz granic, możemy napisad:
3
n
lim c n
n
2
lim 4 lim
n
n n
lim 1 lim
n
n
Korzystając z podpunktu b (granica ciągu w postaci ułamka, gdzie licznik jest stałą liczbą, a mianownik
dąży do nieskooczoności, jest równa 0) i uwzględniając, że granica ciągu stałego an x , x R jest
po prostu równa x możemy napisad:
42
lim 1 1
n
lim 3 0
n n
44
lim
n
lim 2 0
n n
lim cn
n
1 0 1
.
40 4
d) W tym przykładzie najwyższą potęgą n w mianowniku jest n 2 , więc dzielimy licznik i mianownik
przez n 2 :
2n3 3n 5
3 5
2 2
2n 2
2
2n 3n 5
n lim
n n
lim d n lim 2
lim n 2 n
n
n 3n 5n 7
n 3n
5n 7 n 3 5 7
n n2
n2 n2 n2
Tak jak w poprzednim podpunkcie możemy zapisad:
3
3
5
lim 2n lim lim 2
n
n n
n n
lim d n
n
5
7
lim 3 lim lim 2
n
n n
n n
Mamy:
lim 2n
n
3
0
lim
n n
lim 5 0
n n 2
33
lim
n
lim 5 0
n n
7
lim 2 0
n
n
lim d n
n
2)Oblicz granicę ciągu: a n
00
30 0 3
n2 1 n .
Rozwiązanie:
W tym zadaniu należy skorzystad z twierdzenia o trzech ciągach (podanego jako ostatnie w twierdzeniach o granicach ciągów zbieżnych na początku tego tematu). W tym celu najpierw mnożymy i dzie43
n 2 1 n i otrzymu-
limy nasz ciąg przez wyrażenie z przeciwnym znakiem, czyli w tym przypadku:
jemy:
an
n
1 n
2
n
2
n
2
1 n
1 n
n
2
1 n2
n2 1 n
1
n2 1 n
0
lim 0 0
n
Wiemy, że:
1
0
lim
n n
lim
n
1
n2 1 n
1
n2 1 n
1
n
0 lim a n 0 .
n
Liczba e
1
n
e 2,71828...
Ciąg a n 1
n
jest zbieżny. Jego granicą jest liczba e. W przybliżeniu jest ona równa:
1
Granicą ciągu a n 1
an
an
również jest liczba e przy założeniu, że ciąg a n jest rosnącym cią-
giem liczb naturalnych.
n
1
1
Ciąg a n 1 jest zbieżny. Jego granicą jest liczba .
e
n
n
1
Dla przykładu, podajemy poniżej kilka pierwszych wyrazów ciągu a n 1 :
n
1
1
a1 1 21 2
1
2
2
3
3
4
4
5
5
9
1
3
a 2 1 2,25
4
2
2
64
1
4
a 3 1
2, 370
27
3
3
625
1
5
a 4 1
2,44140625
256
4
4
7776
1
6
a5 1
2,48832
3125
5
5
44
10
10
1
25937424601
11
a10 1
2,5937424601
10000000000
10
10
itd.
PRZYKŁADY
3n
5n
1
1
1)Oblicz granicę ciągu: a) a n 1 , b) bn 1
.
2n
n
Rozwiązanie:
Aby móc skorzystad z liczby e należy doprowadzid podany wzór na ogólny wyraz ciągu do postaci
1
a n 1
an
an
tak, aby w mianowniku ułamka i w potędze występowało to samo wyrażenie.
1
a) a n 1
n
3n
1 n
1
n
3
3
n
1 n
1
3
Ponieważ lim 1 e , więc ostatecznie mamy: lim a n lim 1 e .
n
n
n
n
n
b)
1
1
bn 1
2n
5n
n
2n
1
1
1
1
1
1 2
1 1 1 1 1 1
2n 2 n 2n
2n 2n 2n
Ponieważ lim 1
2n
1
2n
2n
n
2n
2n
2n
e , więc ostatecznie mamy:
1
2n
2n
2n 2
1
1
1
lim bn lim 1 1 1
n
n
2n 2n 2n
1
1
2n
2n
1
5
1
1
1 2
1 2
2
lim 1 lim 1 lim 1 e e lim 1 e e e e 2
n
n
2n n 2n n 2n
2n
2n
2n
n
1
1
Tak samo postępujemy, gdy w zadaniu korzystamy z warunku: lim 1 . Wtedy sprowan
e
n
1
dzamy ogólny wzór ciągu do postaci: 1
an
an
1
, by móc skorzystad z granicy .
e
Granice niewłaściwe ciągów
Ciąg a n jest rozbieżny do wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby A istnieje taka liczba
m , że dla każdego n m zachodzi nierównośd a n A .
45
Ciąg a n jest rozbieżny do wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby A istnieje taka liczba
m , że dla każdego n m zachodzi nierównośd an A .
A bardziej potocznie:
Ciąg a n jest rozbieżny do , kiedy przy n zwiększającym się w nieskooczonośd wyrazy ciągu
an są coraz większe i również zwiększają się w nieskooczonośd.
Ciąg a n jest rozbieżny do , kiedy przy n zwiększającym się w nieskooczonośd wyrazy ciągu a n
są coraz mniejsze i zmniejszają się w minus nieskooczonośd.
PRZYKŁADY
1)Zbadaj zbieżnośd ciągu: a) a n n n 2 , b) bn n 2 2 n .
Rozwiązanie:
2
a) lim an lim n n lim n(1 n) lim n lim n 1
n
n
n
n
n
Odp. Ciąg a n jest rozbieżny do .
b)
1
1
2
12 4
2
lim bn lim n 2 n lim n 2n lim n n 2 lim n 2 lim n 4 2
n
n
n
n
n
n
2
Odp. Ciąg bn jest rozbieżny do .
ZADANIA
1) Oblicz granicę:
2n 2 n 4
4n 3 2 n 3
3n 2 2n 7
3n 5
lim
lim
, b) lim
,
c)
,
d)
.
n
n 7 n 3 5n 2 4
n
n n 2
n2 4
n3
a) lim
2) Oblicz granicę ciągu:
3
a) an 4n 3 , b) bn 20 3n , c) cn n 3 n , d) d n 3 n n .
3) Oblicz granicę ciągu:
a) an n n 1 , b) bn
1
n 2 2 n , c) cn n 2 1 n 2 n , d) d n
2
n 1 n
4) Oblicz granicę ciągu:
4n
2n
6n
1
1
3
1
a) an 1 , b) bn 1
, c) c n 1 , d) d n 1
n
3n
n 2
n
2n4
.
5) Oblicz granicę ciągu:
3n
5n
1
4
1
a) a n 1 , b) bn 1
, c) c n 1
4n
n
n
Odpowiedzi
1. a) 3; b) 2;
c) 0;
d) 4/7.
2. a) ; b) −; c) ;
12n
1
, d) d n 1
n2
d) −. 3.a) 0; b) 0;
2n4
.
c) ½;
d) 0.
46
4
4. a) e 2 ; b) e 3 ; c) e18 ; d) e 2 .
5. a) e 3 ;
5
b) e 4 ; c) e48 ; d) e 2 .
Ciąg arytmetyczny
Ciąg arytmetyczny to ciąg liczbowy (an), w którym różnica dwóch kolejnych wyrazów: r = ak+1 – ak
(gdzie k - jest liczbą naturalną) jest stała. r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego. Wyraz n-ty można obliczyd ze wzoru:
an a1 n 1 r
lub ze wzoru:
an an1 r
Sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego można obliczyd według wzoru:
Sn
a1 a n
n
2
A podstawiając wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego do wzoru na sumę jego n początkowych
wyrazów otrzymujemy wzór:
Sn
n[a1 a1 (n 1)r ]
2
S n na1
n(n 1)
r
2
PRZYKŁADY
1)Oblicz pięd kolejnych początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego mając podany jego pierwszy
wyraz i różnicę: a) a1 2 , r 3 , b) a1 1 , r 2 .
Rozwiązanie:
Należy podstawid dane z zadania i pięd kolejnych liczb naturalnych od 1 do 5 do wzoru na n-ty wyraz
ciągu arytmetycznego:
a) a1 2
a2 2 (2 1) 3 2 3 5
a3 2 (3 1) 3 2 6 8
a4 2 (4 1) 3 2 9 11
a5 2 (5 1) 3 2 12 14
b) a1 1
a2 1 (2 1) (2) 1 2 1
a3 1 (3 1) (2) 1 4 3
a4 1 (4 1) (2) 1 6 5
47
a5 1 (5 1) (2) 1 8 7
2)Wyznacz różnicę ciągu arytmetycznego mając podane jego pierwszy wyraz i któryś z kolei: a) a1 2
, a5 10 , b) a1 1 , a10 3,5 .
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: an a1 (n 1) r . Podstawiamy dane z
zadania i obliczamy r:
a) a5 a1 (5 1) r 10 2 4 r 4r 8 r 2 .
b) a10 a1 (10 1) r 3,5 1 9 r 9r 4,5 r 0,5 .
3) Wyznacz pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego mając podaną jego różnicę i jeden z jego wyrazów:
a) r 3 , a 4 9 , b) r 5 , a6 10 .
Rozwiązanie:
Również korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: an a1 (n 1) r . Podstawiamy dane z zadania i obliczamy a1 :
a) a4 a1 (4 1) r 9 a1 3 3 a1 0 .
b) a6 a1 (6 1) r 10 a1 5 (5) a1 15 .
4)Podaj wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że: a1 2 , r 3,5 .
Rozwiązanie:
Ogólny wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego ma postad: an a1 (n 1) r . Podstawiając dane z zadania otrzymujemy wzór: an 2 (n 1) 3,5 .
5)Oblicz sumę n kolejnych początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wiedząc, że:
a) a1 1 , r 4 , n 15 , b) a1 2 , r 5 , n 10 .
Rozwiązanie:
Po prostu podstawiamy dane z zadania do wzoru na sumę n kolejnych początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego: S n na1
n(n 1)
r.
2
15(15 1)
4 S15 15 15 14 2 S15 435 .
2
10(10 1)
b) S10 10 2
(5) S10 20 5 9 (5) S10 205 .
2
a) S15 15 1
6)Wyznacz różnicę ciągu arytmetycznego wiedząc, że: a1 3 , S 6 63 .
Rozwiązanie:
48
Korzystamy
ze
wzoru
na
sumę
n początkowych
wyrazów
ciągu
arytmetycznego:
n(n 1)
6(6 1)
6(6 1)
r S 6 6 a1
r 63 6 3
r 63 18 3 5 r
2
2
2
15r 45 r 3 .
S n na1
7)Sprawdź czy podany ciąg jest arytmetyczny: a) an 3n 2 , b) a n 3 n .
Rozwiązanie:
Aby sprawdzid czy podany ciąg jest arytmetyczny, należy obliczyd różnicę dwóch kolejnych wyrazów
tego ciągu. Jeżeli różnica jest stała dla każdego n N to ciąg jest ciągiem arytmetycznym, w przeciwnym wypadku nim nie jest.
a) an 3n 2 , an1 3(n 1) 2
an1 an [3(n 1) 2] [3n 2] 3n 3 2 3n 2 3
Różnica jest stała dla każdego n N , więc ciąg jest arytmetyczny.
b) a n 3 n , a n 1 3n1
an1 an 3n1 3n 3n 3 3n 3n (3 1) 3n 2
Różnica nie jest stała, dla każdego n N przyjmuje inną wartośd, więc ciąg nie jest arytmetyczny.
ZADANIA
1.
Oblicz pięd kolejnych początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego mając podany jego pierwszy
wyraz i różnicę:
a) a1 1 , r 4 , b) a1 3,5 , r 2,5 , c) a1 2 , r 5 , d) a1 5 , r 2 , e) a1 4 ,
r 4 , f) a1 1 , r 1,5 , g) a1 0,5 , r 0,5 , h) a1 6 , r 10 .
2.
Wyznacz różnicę ciągu arytmetycznego mając podane jego pierwszy wyraz i któryś z kolei:
a) a1 1 , a6 6 , b) a1 2,5 , a10 25 , c) a1 5 , a3 9 , d) a1 1,4 , a5 2,2 , e)
a1 5 , a4 14 , f) a1 1 , a23 21 .
3.
Wyznacz pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego mając podaną jego różnicę i jeden z jego wyrazów:
a) r 2 , a 2 5 , b) r 3 , a5 4,5 , c) r 2,5 , a7 6 , d) r 0,3 , a6 4,6 , e) r 0,6 ,
a3 15 , f) r
4.
1
2
, a8 6 .
3
3
Podaj wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że:
a) a1 5 , r 3 , b) a1 3
r 2 , f) a1 1 , r
5.
3
1
4
2
, r , c) a1 2 , r , d) a1 6 , r 0,1, e) a1 0 ,
4
2
5
5
1
.
5
Oblicz sumę n kolejnych początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wiedząc, że:
a) a1 6 , r 2 , n 6 , b) a1 2,5 , r 0,5 , n 10 , c) a1 0 , r 1,5 , n 15 , d) a1 2 ,
r 3 , n 22 , e) a1 7 , r 4 , n 17 , f) a1 25 , r 2 , n 26 .
6.
Wyznacz różnicę ciągu arytmetycznego wiedząc, że:
a) a1 0 , S 9 45 , b) a1 2 , S15 135 , c) a1 2 , S 20 0 , d) a1 1 , S 4 24 , e)
a1 3 , S 7 2 , f) a1 1 , S 6 15 .
49
7.
Sprawdź czy podany ciąg jest arytmetyczny:
a) an 5n 2 , b) an n 2 2n 4 , c) a n 6n 3 , d) a n
2n 1
, e) an 4 n , f)
n
an 2 n 1 .
8.
Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę
1.
Odpowiedzi
1.
a) a1 1, a2 5, a3 9, a4 13, a5 17 ;
c) a1 2, a2 3, a3 8, a4 13, a5 18 ;
1
1
1
b) a1 3 , a2 6, a3 8 , a4 11, a5 13 ;
2
2
2
d) a1 5, a2 7, a3 9, a4 11, a5 13 ;
e) a1 4, a2 0, a3 4, a4 8, a5 12 ;
1
1
f) a1 1, a2 , a3 2, a4 3 , a5 5 ;
2
2
h) a1 6, a2 16, a3 26, a4 36, a5 46 .
2.
1
1
1
g) a1 , a2 0, a3 , a4 1, a5 1 ;
2
2
2
a) r 1 ;
b) r 2,5 ;
c) r 2 ;
d) r 0,2 ;
e) r 3 ;
f) r 1 .
3.
a) a1 3 ;
d) a1 6,1 ;
e) a1 13,8 ;
1
f) a1 4 .
3
4.
a) an 3n 2 ;
b) a1 16,5 ;
c) a1 9 ;
5.
1
1
2
1
b) an n 3 ;
c) an n 3 ;
2
4
5
5
1
4
e) an 2n 2 ; f) an n .
5
5
a) S6 66 ; b) S10 47,5 ; c) S15 157,5 ; d) S22 737 ;
6.
a) r 1 ;
7.
8.
a) tak, r 5 ; b) nie;
c) nie;
a1 10, r 3, n 30, a30 97 S30 1605
b) r 1 ;
c) r
4
;
19
1
d) r 3 ;
3
d) nie;
d) an 0,1n 5,9 ;
e) S15 425 ;
f) S26 1300 .
23
;
21
e) tak, r 1 ;
3
f) r .
5
f) nie.
e) r
Ciąg geometryczny
Ciąg geometryczny (postęp geometryczny) to ciąg liczbowy (an), w którym iloraz dwóch kolejnych
wyrazów: q
ak
(gdzie k - jest liczbą naturalną) jest stały. q nazywamy ilorazem ciągu geomea k 1
trycznego.
n-ty wyraz ciągu geometrycznego o ilorazie q można obliczyd ze wzoru:
an a1 q n1
lub ze wzoru:
an an1 q
Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa:
50
S n a1
1 qn
1 q
przy założeniu, że q ≠ 1 (dla q = 1, Sn = a1 · n).
PRZYKŁADY
1) Oblicz cztery kolejne wyrazy ciągu geometrycznego wiedząc, że: a1 2 , q 4 .
Rozwiązanie:
Należy podstawid dane z zadania oraz liczby naturalne od 1 do 4 do wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: an a1 q n 1 .
a1 2
a2 a1 q 21 2 41 2 4 8
a3 a1 q 31 2 4 2 2 16 32
a4 a1 q 41 2 43 2 64 128 .
2) Oblicz sumę n kolejnych początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wiedząc, że: a1 3 ,
q 5, n 3.
Rozwiązanie:
Należy skorzystad ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
S n a1
1 qn
1 q
Podstawiając dane z zadania do powyższego wzoru otrzymujemy:
1 q3
1 53
1 125
124
S 3 a1
3
3
3
3 31 93 .
1 q
1 5
4
4
3)Sprawdź, czy podany ciąg jest geometryczny: a) a n 3 n , b) a n 3n .
Rozwiązanie:
Aby sprawdzid czy podany ciąg jest ciągiem geometrycznym należy obliczyd iloraz jego dwóch kolejnych wyrazów. Jeżeli iloraz jest stały dla każdego n N to ciąg jest ciągiem geometrycznym, w przeciwnym wypadku nim nie jest.
a) a n 3 n
a n 1 3 n 1 3 n 3
n n 3
an
3
3
Iloraz jest stały dla każdego n N , więc podany ciąg jest geometryczny.
b) a n 3n
a n1 3(n 1) n 1 n 1
1
1
an
3n
n
n n
n
Iloraz nie jest stały, dla każdego n N przyjmuje inną wartośd, więc ciąg nie jest geometryczny.
51
ZADANIA
1) Oblicz cztery kolejne wyrazy ciągu geometrycznego wiedząc, że:
a) a1 2 , q 2 , b) a1 0 , q 3 , c) a1 1 , q
q 0,1 , f) a1 4 , q
1
1
, d) a1 0,5 , q , e) a1 0,3 ,
3
2
3
.
4
2) Oblicz sumę n kolejnych początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wiedząc, że:
a) a1 1 , q 2 , n 6 , b) a1 0,2 , q 4 , n 4 , c) a1 0,75 , q
, q 0 , n 9 , e) a1
1
, n 10 , d) a1 1,3
2
1
1
, q , n 3 , f) a1 2 , q 10 , n 5 .
3
3
3) Sprawdź, czy podany ciąg jest geometryczny:
n
a) a n 2 n 2 , b) a n ( 3 ) , c) a n
5n
5
1
n
a
,
d)
,
e)
,
f)
.
a
a
4
n
2
n
n
n
n
2 n 1
3n
4) Znajdź trzy liczby tworzące ciąg geometryczny wiedząc, że suma tych liczb jest równa 38, a iloczyn
1728.
Odpowiedzi
1.
a) a1 2, a2 4, a3 8, a4 16 ;
b) a1 0, a2 0, a3 0, a4 0 ;
1
1
1
c) a1 1, a2 , a3 , a4
;
3
9
27
2.
3.
1
1
1
1
d) a1 , a2 , a3 , a4 ;
2
4
8
16
9
27
e) a1 0,3; a2 0,03; a3 0,003; a4 0,0003 ; f) a1 4, a2 3, a3 , a4
;
4
16
3069
13
a) S6 63 ; b) S4 17 ;
c) S10
; d) S9 1,3 ;
e) S3
;
f) S5 22222 .
2048
27
a) b) c) f) tak;
d) e) nie.
4. Te liczby to: 8, 12 i 18.
Szereg geometryczny
Jeżeli (an) jest nieskooczonym ciągiem geometrycznym, w którym q 1 , to istnieje suma szeregu
geometrycznego:
S a1 a 2 a3 ...
a1
.
1 q
PRZYKŁADY
1)Oblicz sumę szeregu geometrycznego: 5 1
1
... .
5
Rozwiązanie:
52
Aby obliczyd sumę szeregu geometrycznego należy najpierw ustalid jego pierwszy wyraz i jego iloraz –
w tym przypadku a1 5 , q
geometrycznego: S
a1
1 q
a2 1
. Teraz podstawiamy do wzoru na sumę wyrazów szeregu
a1 5
5
1
1
5
5 25
.
4
4
5
ZADANIA
1. Oblicz sumę szeregu geometrycznego:
a) 16 4 1 ...
b) 2 2 1 ...
c) 9 3 1 ...
d) 1
1 1
... .
2 4
2. Oblicz sumę szeregu geometrycznego, mając podane a1 i q :
a) a1 2 , q
3
1
, b) a1 , q 0,1,
4
3
c) a1 1 , q
1
2
,
d) a1 5 , q
5
.
5
Odpowiedzi
64
;
3
1.
a) S
2.
a) S 8 ;
b) S 4 2 2 ;
b) S
10
;
27
1
c) S 13 ;
2
d) S 2 .
c) S 2 2 ;
d) S
5
5 5 .
4
IX. Funkcja wykładnicza
Definicja
Funkcję f określoną dla danego a 0 wzorem
x f ( x) a x
dla wszystkich liczb rzeczywistych x , nazywamy funkcją wykładniczą.
Wykres funkcji wykładniczej nazywamy krzywą wykładniczą. Rozróżniamy trzy przypadki
funkcji wykładniczej, w zależności od podstawy a .
1. a 1 ; wówczas dla dowolnych x1 , x2 R , jeżeli x1 x2 to a x1 a x2 , więc funkcja
wykładnicza jest rosnąca (rys. 5a).
2. a 1 ; wówczas dla każdego x R y 1x ma wartośd 1. Wykresem jest linia prosta
równoległa do osi 0 x (rys. 5b).
53
3. 0 a 1 ; istnieje liczba b 1 , taka, że a
1 x 1
, a x ; z punktu 1 wynika, że x b x jest funkb
b
cją rosnącą, więc x a x jest funkcją malejącą (rys. 5c).
Własności funkcji wykładniczej
a. Funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie, tzn.
xR
a 0
ax 0
b. Dla a 1 funkcja wykładnicza jest funkcją różnowartościową
a 0, a 1 x1 , x2 R
x1 x2 a x1 a x2
c. Funkcja x a x , jest rosnąca dla a 1 , malejąca dla 0 a 1 ; stała dla a 1 .
d. Podstawową własnośd funkcji wykładniczej wyraża związek
a x1 x2 a x1 a x2 , tzn. f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) .
Rys. 5. Wykresy funkcji wykładniczej
Równania wykładnicze
Równaniem wykładniczym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje w wykładniku
potęgi.
Przypominamy sposoby rozwiązywania równao wykładniczych, które można sprowadzid do postaci
a f ( x) a q( x)
gdzie f (x) i g (x) oznaczają wykładniki potęg. W rozwiązaniu tego równania opieramy się na własności b) funkcji wykładniczej (różnowartościowośd), z której wynika, że
54
a f ( x ) a g ( x ) f ( x) g ( x)
czyli możemy „opuścid” podstawy potęg.
PRZYKŁADY
x
1) Rozwiązad równanie 0,125 4
2 x 8
0,25
.
2
Rozwiązanie
Idea rozwiązania tego równania polega na uzyskaniu po obu stronach równości tej samej podstawy.
Łatwo zauważymy, że wspólną podstawą jest 2.
Zastępując ułamki dziesiętne ułamkami zwykłymi oraz pierwiastek kwadratowy wykładnikiem potęgi
1
otrzymujemy
2
1
1 2( 2 x8) 1 2
2
2
8
4
x
czyli
3
2 2
2 ( 2 x 8 )
1
2 2 2 2
x
następnie
2
3 4 x 16
5
2 2
x
oraz
5
x
2 4 x19 2 2 4 x 19
5
x
2
stąd
x
38
3
2)Rozwiązad równanie 52 x1 5 x1 250 .
Rozwiązanie
52 x 51 5 x 5 250 0 .
Wprowadzamy nową niewiadomą 5 x t i otrzymujemy równanie kwadratowe
1 2
t 5t 250 0
5
55
które ma dwa pierwiastki t1 50 i t 2 25 . Otrzymujemy więc dwa elementarne równania wykładnicze 5 x 50 i 5 x 25 . Równanie pierwsze jest sprzeczne, rozwiązaniem drugiego równania
jest 2.
3)Rozwiązad równanie 2
2x
3
x
1
2
2
2 x 1
3
x
1
2
.
Rozwiązanie
Równanie przekształcamy do postaci 4 3 3
x
x
1
2
1
1
2
4 2 3 3 . Aby otrzymad jedną wspólną
x
x
x
podstawę dzielimy obie strony równania przez 4 .
Otrzymujemy
1
1
3x 2
3x 2
1
1 x 3 2 x 3
4
4
następnie
x
x
3 1 1 3
1 1 32
2 4
4
32
1
x
x
1
x
x
1
3 3 1 3 2
1 3
2 4
4
32
stąd
3 3 1 3 2
1 3
2 4
4
32
x
x
1
3 3 1
3 3 4
2
3 1
2 4 12
2 4
32
3
oraz
1
2
x
x
3
3
3 3
3 3 2
3
, czyli x .
2
2 4
4 4
4
4)Rozwiązad równanie x x
2
x 6
1.
Rozwiązanie
Równanie nie jest typowym równaniem wykładniczym, gdyż niewiadoma występuje nie tylko w wykładniku potęgi, a również w podstawie. Jeżeli założymy, że x 0 , wówczas równanie ma rozwiązanie dla wykładnika potęgi równego zeru, tzn.
xx
2
x 6
0 x 2 x 6 0 x1 2, x2 3 .
Okazuje się, że liczby –2 i 3 nie są jedynymi rozwiązaniami równania. Ponieważ liczba 1 podniesiona
do dowolnej (skooczonej) potęgi równa się 1, więc kolejnym rozwiązaniem jest x3 1 . Ponadto
56
wiemy, że również liczba –1 podniesiona do potęgi parzystej równa się 1, więc sprawdzamy, że
czwartym pierwiastkiem równania jest x4 1 .
Nierówności wykładnicze
Nierównością wykładniczą nazywamy nierównośd, w której niewiadoma występuje w wykładniku
potęgi. Rozpatrzymy tylko takie nierówności wykładnicze, które za pomocą nieskomplikowanych
przekształceo można doprowadzid do postaci
a f ( x ) a g ( x ) lub a f ( x ) a g ( x ) ,
gdzie a 0 i a 1 , a funkcje f(x) i g(x) oznaczają wykładniki potęg. Znak < (>) można zastąpid znakiem () . Przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych musimy pamiętad, że funkcja wykładnicza jest rosnąca dla a 1 i malejąca dla 0 a 1 (własnośd b)
f ( x) g ( x),
a f ( x) a g ( x)
a 1,
f ( x) g ( x)
a f ( x) a g ( x)
0 a 1
PRZYKŁADY
1
1)Rozwiązad nierównośd
2
1 x
x
1.
Rozwiązanie
Dziedziną nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych x 0 . Aby otrzymad równe podstawy po obu
1
stronach nierówności, zastępujemy 1 po prawej stronie przez
2
1
2
1 x
x
0
1 x
1
0.
x
2
0
Ponieważ mianownik w ostatniej nierówności jest dodatni ( x 0) , więc możemy pomnożyd przez
niego obie strony nierówności. Otrzymujemy
1 x 0 x 1
1 x
0
x
x0
x 0
Rozwiązaniem nierówności jest suma przedziałów ,0 0,1 .
2)Rozwiązad nierównośd
2 x 1 1
2.
2 x 1 1
Rozwiązanie
Po podstawieniu 2 x t możemy daną nierównośd zapisad w postaci
57
1
t 1
2
2.
2t 1
Ostatnia nierównośd jest nierównością wymierną
1
1
1
3 t 1
t 1
t 1 2(2t 1)
2
0 1 t 1(2t 1) 0 .
2
2 2
0
2t 1
2t 1
2t 1
2
Wynika stąd, że t 2 lub t
1
1
, czyli 2 x 2 lub 2 x . Nierównośd pierwsza jest sprzeczna
2
2
funkcji wykładniczej), natomiast druga nierównośd jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych.
ZADANIA
1. Naszkicowad wykresy funkcji:
a) y 3 x1 , b) y 3 x 1 , c) y 3 x1 , d) y 3 x 1 , e) y 3 , f) y 3
x
x
, g) y 3
x
x 1
3 x 4
,
9
2
.
2. Rozwiązad równania:
a) 2
5 x 8
4
x 3
, b) 5
x 4
5
23 x
, c) 3
x2 2
3 , d) 16 64
x2
3x
4 x 6
2
, e)
3
1
x
1 x
3 x 1
38 x2 ,
9 33 x4 , i) 9
27
f) 5 x2 25 x3 25 , g) 3x4 2732 x 93 x3 , h)
j) 2 x1 5 x 200 .
3. Rozwiązad równania:
a) 2 x2 2 x 48 , b) 52 x2 52 x 650 , c) 5 3x 3x2 108 0 ,
d) 2 81x 34 x 92 x2 80 , e) 2 x1 5 x 200 , f) 9
3 x 1
38 x2 .
4. Rozwiązad równania:
a) 3
x 1
d) 4 x
9 108 , b) 4
x
x 2 2
5 2 x1
g) x 2 2 x1 2
x 3 2
2 x 1
x 2 2
17 4 4 0 , c) 4
x
x
5 4
x 1
2
1 0 ,
xx x
6 , e) 7 3x1 5 x2 3x4 5 x3 , f)
x2 2
x 3 4
x
x
x
2 x1 , h) 2 3 2 3 4 .
5. Dla jakich wartości parametru m równanie 0,5 x
2
mx 0, 5 m1, 5
8
m1
ma dwa różne
pierwiastki dodatnie?
58
6. Dla jakich wartości parametru m równanie m 2 x 2 x 5 ma jedno rozwiązanie?
7. Rozwiązad nierówności
4
a) 3 x 3 , b) 2 x1
2
x 3
16 , c) 2 3 x 2
2
1
1
x2
, d) 0,5 2 2 x 2
, e) 3 x 7 x12 1 ,
64
2
2 6 5 x 25
f)
, g) 2 2 x4 4 x 15 , h)
5
2
5
x
4
j)
1
2
x 2 2 5 x
5
x
1
, i) x 2 x 1 1 ,
4
21 x 2 x 1
15
0 , k) 5 x
0 , l) 2 x2 2 x3 2 x4 5 x1 5 x2 ,
x
2 1
2 5x
ł) x 2 2 x x 2 x1 0 .
Odpowiedzi
3 13
2
1
2
; b) 2 ; c) 2, 1 ; d) 3 ; e)
; f) ; g) 1 ; h) 2,1 ; i) ; j) 2 .
3
3
7
2
2
3. a) 4 , b) 1 , c) 3 , d) 1 , e) 2 , f) .
7
3
1
1
4. a) 2 ; b) 1,1 ; c) 1 ; d) ; e) 1 ; f) 1, 4 ; g) lub lub x 3 ; h) 2, 2 .
2
2
2
2
5.
m 2 lub m 6 .
3
25
6. m 0 lub m
.
4
2
5
7. a) x 0 lub x 8 ; b) x 1 ; c) x lub x ; d) 2 x 4 ; e) 3 x 4 ;
3
4
2
f) x 2 lub x ; g) x 0 ; h) x 2 lub x 3 ; i) x 1 ; j) x 0 lub x 1;
5
k) x 1 lub x log 5 2 ; l) x 0 ; ł) x 0,5 lub x 0 .
2. a)
Wybrane zadania maturalne
1
1. Dane są funkcje f ( x) 3
i g ( x)
9
funkcji f są większe od wartości funkcji g .
x 2 5 x
2 x 2 3 x 2
. Obliczyd dla których argumentów x wartości
2. Wyznaczyd wartości parametru m , dla których równanie m 4 x 22 x1 m 2 x1 1 0 ma jedno
rozwiązanie.
Odpowiedzi:
1
3
1. x 4, ; 2. m ,2 1.
59
X. Funkcja logarytmiczna
Pojęcie logarytmu
Logarytmem liczby x 0 , przy podstawie a(a 0 i a 1) nazywamy wykładnik potęgi, do której
należy podnieśd a, aby otrzymad x. Zatem dla a 0 i a 1
y log a x a y x ,
gdzie: a – nazywamy podstawę logarytmu, natomiast x – liczbą logarytmowaną.
Definicja funkcji logarytmicznej
Funkcję f określoną w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich wzorem
x f ( x) log a x ,
gdzie a 0 i a 1 nazywamy funkcją logarytmiczną.
Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna są wzajemnie odwrotne. Wykres funkcji logarytmicznej
możemy otrzymad z odpowiedniego wykresu funkcji wykładniczej przez symetryczne odbicie względem dwusiecznej kąta I i III dwiartki układu współrzędnych OXY.
Własności funkcji logarytmicznej
a. Zbiorem wartości funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych.
b. Funkcja logarytmiczna jest funkcją różnowartościową:
a 0, a 1 x1 , x2 0
x1 x2 log a x1 log a x2
c. Funkcja logarytmiczna jest rosnąca dla a 1 , natomiast malejąca dla 0 a 1 (rys.6)
Rys. 6. Wykresy funkcji logarytmicznej
Podstawowe własności funkcji logarytmicznej, których znajomośd konieczna jest przy rozwiązywaniu
równao i nierówności logarytmicznych.
60
Twierdzenie
a)
b)
c)
d)
log a ( x1 x2 ) log a x1 log a x2 ,
a 0, a 1 x1 , x2 0
log a
a 0, a 1 x1 , x2 0
a 0, a 1 kR
x1
log a x1 log a x2 ,
x2
log a x k k log a x ,
a 0, a 1 b 0, b 1
x 0
log a x
logb x
.
logb a
Równania i nierówności logarytmiczne
Równaniem logarytmicznym (nierównością logarytmiczną) nazywamy równanie (nierównośd), w którym niewiadoma występuje w liczbie logarytmowanej lub w podstawie logarytmu.
Przy rozwiązywaniu równao logarytmicznych opieramy się na własności funkcji logarytmicznej (różnowartościowośd), z której wynika, że dla a 0 i a 1 oraz f ( x) 0 i g ( x) 0
log a f ( x) log a g ( x) f ( x) g ( x) .
Rozwiązując nierównośd logarytmiczną postaci loga f ( x) log a g ( x) log a f ( x) log a g ( x) musimy
pamiętad, że funkcja logarytmiczna (tak jak funkcja wykładnicza) jest rosnąca dla a 1 i malejąca dla
0 a 1 (własnośd c) funkcji logarytmicznej)
f ( x) g ( x)
log a f ( x) log a g ( x)
a 1
f ( x) g ( x)
log a f ( x) log a g ( x)
0 a 1
przy założeniu, że f ( x) 0, g ( x) 0, a 0, a 1 .
PRZYKŁADY
1)Rozwiązad równanie log 2 (3 x) log 2 (1 x) 3 .
Rozwiązanie
Określamy dziedzinę równania
3 x 0
x 1
1 x 0
Następnie dane równanie przedstawiamy w postaci
log 2 (3 x)(1 x) 3 .
61
Z definicji logarytmu wynika, że (3 x)(1 x) 23 , stąd x 2 4 x 5 0 . Rozwiązaniem ostatniego
równania są liczby x1 5, x2 1. Z określenia dziedziny danego równania logarytmicznego wynika,
że rozwiązaniem jest x 1 .
2)Rozwiązad równanie
1
5
3.
1 log x 3 log x
Rozwiązanie
Określamy dziedzinę równania: x 0 ; 1 log x 0 ; 3 log x 0 . Z nierówności tych wynika, że
x 0, x
1
, x 100 . Możemy wprowadzid nową niewiadomą log x t . Otrzymujemy równanie
10
wymierne
1
5
3.
1 t 3 t
Po pomnożeniu przez wspólny mianownik (1 t )(3 t ) i wykonaniu przekształceo, otrzymujemy
równanie kwadratowe
3t 2 2t 1 0 ,
którego pierwiastkami są liczby t1
1
1
1
i t 2 1 , zatem log x i log x 1 , stąd x1
i
3
3
3
10
x2 10 .
3)Rozwiązad równanie ( x 1) log(x1) 100( x 1) .
Rozwiązanie
Równanie to jest szczególnym przypadkiem równania postaci
f ( x)log g ( x) h( x) ,
a
które rozwiązujemy przez logarytmowanie obydwu stron przy podstawie a (przy odpowiednich założeniach). Dziedziną równania jest zbiór liczb rzeczywistych, spełniających nierównośd x 1 0 , czyli
x 1. Dla x 1 obie strony równania są dodatnie, więc możemy je obustronnie zlogarytmowad
przy podstawie 10
log( x 1) log(x1) log100( x 1).
Korzystając z własności logarytmów otrzymujemy
log( x 1) log( x 1) log100 log( x 1) .
Wprowadzając nową niewiadomą log( x 1) t , otrzymujemy równanie kwadratowe
t 2 2 t , czyli t 2 t 2 0 ,
62
którego pierwiastkiem są liczby t1 1 i t 2 2 . Stąd mamy
log( x 1) 1 i log( x 1) 2
czyli
x 1 101 oraz x 1 10 2
więc
x 0,99 i x 99
4)Rozwiązad równanie log 5 x log 25 x log 1 3 .
5
Rozwiązanie
Dziedziną równania jest zbiór liczb rzeczywistych x 0 . Korzystamy ze wzoru na zamianę podstaw
logarytmów
log 25 x
log 5 x log 5 x
log 5 3
, log 1 3
log 5 3 .
1
log 5 25
2
5
log 5
5
Po podstawieniu tych związków równanie przyjmuje postad
log 5 x
log 5 x
log 5 3 ,
2
stąd
3
log 5 x log 5 3 ,
2
następnie
2
1
2
log 5 x log 5 3 oraz log 5 x log 5 ( 3 ) 3 , czyli log 5 x log 5 3
3
3
stąd
x3
1
.
3
5)Rozwiązad nierównośd log 2 x3 x 2 1 .
Rozwiązanie
Dziedziną nierówności jest zbiór x spełniających układ nierówności
x 0,
3
2 x 3 0 x , 1 1,0 0, . .
2
2 x 3 1,
63
Ponieważ niewiadoma występuje w podstawie logarytmu należy rozpatrzyd dwa przypadki:
x 2 2x 3
1 x 3 .
2x 3 1
2
2
1. log 2 x3 x 1 log 2 x 3 x log 2 x 3 (2 x 3)
x 2 2x 3
3
x 1 .
2. log 2 x3 x 1 log 2 x3 x log 2 x 3 (2 x 3)
2
0 2 x 3 1
2
2
3
2
Z przypadków 1. i 2. wynika, że x , 1 1, 3 . Uwzględniając dziedzinę nierówności ostatecznie otrzymujemy zbiór x spełniający daną nierównośd postaci:
3
, 1 (1, 0) (0, 3) .
2
1
6)Rozwiązad nierównośd
2
log2 ( x 2 1)
1.
Rozwiązanie
Dziedziną nierówności jest zbiór x spełniających nierównośd: x 2 1 0 , stąd x , 1 1, .
Daną nierównośd logarytmiczno-wykładniczą możemy przedstawid w postaci
1
2
log2 ( x 2 1)
0
1
.
2
Następnie otrzymujemy równoważną nierównośd logarytmiczną log 2 x 2 1 0 , którą z kolei możemy zapisad w postaci
log 2 x 2 1 log 2 1 ,
stąd
x 2 1 1
czyli
x2 2 0 x 2
x 2 0 x
2, 2 .
Ostatecznie uwzględniając dziedzinę danej nierówności, zbiorem rozwiązao jest suma przedziałów
2, 1 1, 2 .
ZADANIA
1. Wyznaczyd dziedzinę funkcji a 0, a 1 :
a) y log a x 2 4 , b) y log a x 3 8 , c) y log a 3 x 27 , d) y log a x ,
64
2 x
2
, f) y log 3 1 log 1 x 2 5 x 6 , g) y log 1 x 3 1 .
x3
3
2
e) y log a
2. Naszkicowad wykresy funkcji:
a) y log 3 x , b) y log 3 x 3 , c) y log 2 1 x , d) y log 3 x , e) y log 1 ( x 1) ,
2
f) y 1 log 3 x .
3. Korzystając z definicji logarytmu rozwiązad równania:
3
a) log 5 log 3 log 2 x 0 , b) log x3 4 2 , c) log 3 x (9 x ) 3 ,
d) log5 log 4 log 2 2 ( x 4) 0 , e) log 2 (9 2 x ) 3 x .
4. Rozwiązad równania
a) log x 2 7 x 12 logx 3 2 , b) log x 5 log 2 x 3 log 30 1 ,
c) log4 ( x 3) log4 ( x 1) 2 log4 8 , d) log 4 2log3 1 log 2 (1 3log 2 x)
1
2
5. Rozwiązad równania:
a)
log 2 9 2 x
3 x
1
b) log 2 (100x ) log 2 (10x ) 14 log
1
x
c) log x (9 x 2 ) log 23 x 4
d) x
log
x
( x 2)
9
e) x log3 x 9
f) log a 2 x log x 2a 1, a parametr
g)
2
1
1
1 log 4 x 5 log 4 x
6. Rozwiązad nierówności:
a) log 3 ( x 2) 3 , b) log 1 (3x 5) 2 , c) log 4 x 2 1 , d) log 2 x ( x 2 5x 6) 1 ,
3
e)
1
1
log( 4 x)
x2
1,
1 , f) log ( x3)
1 , g) log( 3x 4) x 2 1 , h)
log x 1 log x
x4
log( 2 x)
7. Rozwiązad nierówności:
a) log 2 x
2
log 2 x 1
b) log 3 x log
3
x log 1 x 6
3
65
c) log x ( x 3 x 2 2 x ) 3
d) log x 9 x 2 x 1 1
e) 2 log2 x ( x
f) log
2
8 x 15)
2,5
x 1
3
x 1
g) log5 x log x
x log5 x ( 2 log 3 x )
3
log 3 x
Odpowiedzi
1. a) x 2 x 2 ; b) x 2 ; c) x 3 ; d) x 0 ; e) (3;2) ; g) 3,
7
2
5, .
3. a) 8 ; b) 5 ; c) 1 lub 2 ; d) 6 ; e) 0 lub 3 .
4. a) 104 ; b) 6 ; c) 5 ; e) x 4 ; f)
9
.
2
5. a) x 0, b) x1 10 9 , x 2 = 10, c) x1 =
e) x1 = 3
2
, x2 = 3 2 , f) x a; x , a 0; x , a 1, g) x1 = 16, x2 = 64.
6. a) (2,24) ; b) x
1
, x 2 = 3, d) x 5,
9
4
1
; c) x 2 lub x 6 ; d) 0, 1,2 3,6 ; e) 2,3 3,4 ;
3
2
4
3
f) 4,4 2 ; g) ,1 0,4 ; h) 0,1 10; .
7. a) 0 x
1
lub 2 x 4, b) 0 x 27, c) x 2, d) 8 x 1 lub
2
1< x
g) 0 x
41 1
,
5
1
5
e) 4 x 1,
f) x
35
35
lub x ,
19
19
lub 1 x 3.
XI. Funkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta
Niech oznacza dowolny kąt skierowany. Obieramy prostokątny układ współrzędnych Oxy tak, aby
początkiem układu był wierzchołek kąta oraz by jedno jego ramię zawierało się w dodatniej półosi
Ox (rys. 1). Na drugim ramieniu kąta obieramy dowolny punkt P( x, y) różny od początku układu
współrzędnych. Niech r oznacza odległośd punktu P od początku układu współrzędnych,
r OP x 2 y 2 .
66
Funkcje trygonometryczne kąta definiujemy w następujący sposób:
y
,
r
x
cos ,
r
y
tg , x 0,
x
x
ctg , y 0.
y
sin
Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej
Miara łukowa kąta nieskierowanego.
Miarą łukową kąta nieskierowanego nazywamy stosunek długości łuku, będącego częścią wspólną
obszaru kąta i dowolnego okręgu zakreślonego z wierzchołka kąta, do promienia tego okręgu (rys.
7a).
a)
b)
Rys. 7. Miara łukowa
Jednostką miary łukowej kąta jest radian (w skrócie rad.).
Radian jest to kąt oparty na łuku, którego długośd równa się promieniowi (rys. 7b). Kąt pełny jest
2 r
oparty na łuku długości 2 r (r-promieo), więc miarą łukową kąta pełnego jest
, czyli 2 rar
dianów. Ponieważ 360 2 rad , więc 180 rad , 90 rad , 45 rad , 1
rad ,
2
4
180
180
o
1rad
57 17'44'' .
Niech x będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Wówczas istnieje liczba całkowita k i liczba rzeczywista
r takie, że x 2k r , 0 r 2 . Istnieje również kąt , którego miarą łukową jest r .
31
11
29
5
5
11
, czyli r
; x 3 2 , czyli r .
4 2
3
3
3
7
7
7
Sinusem liczby x 2 x r nazywamy sinus kąta skierowanego , którego miarą łukową jest r .
Analogicznie definiujemy pozostałe funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej x :
Np. x
67
sin x sin ,
cos x cos ,
tg x tg ,
ctg x ctg ,
o
180 x
gdzie
, xR
Podstawowe związki między funkcjami trygonometrycznymi
sin 2 x cos2 x 1 , x R
tg x
sin x
, x (2k 1) , k C
cos x
2
ctg x
cos x
, x k , k C
sin x
tg x ctg x 1 , x k
2
, k C .
Funkcje trygonometryczne są okresowe. Okresem podstawowym funkcji sinus i cosinus jest 2 , a
okresem podstawowym funkcji tangens i cotangens jest :
sin( x 2k ) sin x , tg( x k ) tg x ,
cos( x 2k ) cos x , ctg( x k ) ctg x ,
k C
Wykresy funkcji trygonometrycznych przedstawione są na rysunku 8.
Rys. 8. Wykresy funkcji trygonometrycznych
68
Funkcja cosinus jest funkcją parzystą natomiast funkcje sinus, tangens i cotangens są nieparzyste:
cos( x) cos x, sin( x) sin x ,
tg( x) tg x, ctg( x) ctg x .
Funkcje sinus i cosinus są funkcjami ograniczonymi, tzn. dla x R :
sin x 1 1 sin x 1 ,
cos x 1 1 cos x 1.
Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy argumentów
Dla dowolnych x, y R prawdziwe są wzory:
sin( x y ) sin x cos y cos x sin y,
sin( x y ) sin x cos y cos x sin y,
cos( x y ) cos x cos y sin x sin y,
cos( x y ) cos x cos y sin x sin y.
Na podstawie podanych wzorów możemy wyprowadzid wzory na tangens i cotangens sumy i różnicy
argumentów x, y .
x y (2k 1) 2 ,
tg x tg y
Np. tg( x y )
dla x (2m 1) ,
1 tg x tg y
2
y (2n 1) 2 , k , m, n C
Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych
Dla dowolnych x, y R prawdziwe są wzory:
x y
x y
cos
,
2
2
x y
x y
sin x sin y 2cos
sin
,
2
2
x y
x y
cos x cos y 2cos
cos
,
2
2
x y
x y
cos x cos y 2sin
sin
.
2
2
sin x sin y 2sin
Wzory redukcyjne
Za pomocą wzorów redukcyjnych możemy wyrazid wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego
kąta przez wartości funkcji trygonometrycznych kąta, którego miara należy do przedziału 0,
2
.
Wzorów redukcyjnych jest 28.
Każdy z tych wzorów jest postaci (reguła redukcyjna):
69
f n x kf ( x) ,
2
gdzie
f oznacza funkcję trygonometryczną, natomiast kf oznacza kofunkcję danej funkcji trygonometrycznej (kofunkcją funkcji sinus jest cosinus, kofunkcją funkcji cosinus jest sinus, ...),
n 1, 2, 3, 4 , x 0,
2
.
Zasada reguły redukcyjnej:
1. jeżeli n 2 lub 4 to f i kf są tymi samymi funkcjami, jeżeli n 1 lub n 3 to funkcja f zmienia
się w kofunkcję (np. tangens na cotangens)
x jest dodat 2
2. wartośd kf (x) poprzedzamy znakiem lub w zależności od tego, czy f n
nia czy ujemna (znak funkcji trygonometrycznej w danej dwiartce układu współrzędnych)
PRZYKŁADY
x cos x ,
2
a) sin
b) cos x cos 2
x cos x ,
2
3
x ctg x ,
c) tg
2
d) ctg 2 x ctg 4 x ctg x .
2
ZADANIA
1. Zbudowad kąt wiedząc, że:
1
i 90o 180o ;
3
1
b) cos i 180o 270o ;
4
2
c) cos i sin 0 ;
3
2
d) sin i tg 0 .
5
a) sin
2. Wyznaczyd x jeżeli:
a) cos x
2
, 0 x 4 ;
2
70
b) sin x 1, 2 x 4 ;
c) sin x
2
, 0 x 4 ;
2
d) cos x 0, 2 x 3 .
3. Sprawdź tożsamości (przy określonych założeniach):
a)
cos x
sin 2 x
x
tg ;
1 cos x 1 cos 2 x
2
b) ctg x
sin x
1
;
1 cos x sin x
c)
1
cos x sin x tg x ;
cos x
d)
cos x cos3x
tg 2 x ;
sin 3x sin x
tg 2 x 1
4
e)
sin 2 x ;
2
1 tg x
4
f)
1 tg 2 x
1 2sin 2 x ;
2
1 tg x
g)
sin x sin y
yx
ctg
;
cos x cos y
2
h)
cos x cos3x cos5 x
ctg3x .
sin x sin 3x sin 5 x
4. Sporządzid wykresy funkcji w przedziale 0, 2 :
a) y 1 cos x ; b) y 1 cos x ; c) y 1 sin x ; d) y sin 2 x ; e) y cos
f) y 2 cos x ; g) y 3sin x ; h) y sin x
x
;
2
; i) y cos x ;
3
3
j) y sin x .
5. Zbadad, które z podanych funkcji są funkcjami parzystymi, a które nieparzystymi:
a) y cos 2 x ; b) y x sin x , c) y sin 3 x , d) y
sin x
, e) y x 2 ctg x ,
2
1 sin x
f) y 1 cos x .
71
Równania i nierówności trygonometryczne
Równania trygonometryczne
Równaniem trygonometrycznym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje pod znakiem funkcji trygonometrycznych. Na przykład równania
x
2
x sin x 3cos x 2 nie jest równaniem trygonometrycznym.
3cos x 1 0 , tg 2 x ctg sin x są równaniami trygonometrycznymi, natomiast równanie
Ogólna metoda rozwiązywania równao trygonometrycznych polega na wyrażaniu wszystkich funkcji
występujących w równaniu za pomocą funkcji jednego kąta, a następnie wyrażeniu tych funkcji jedną
funkcją tangensa połowy tego kąta.
Załóżmy, że stosując wzory trygonometryczne sprowadziliśmy dane równanie do postaci, w której
występują tylko funkcje sinus i cosinus. Niech f sin x, cos x 0 będzie taką już przekształconą postacią rozwiązywanego równania, gdzie f oznacza funkcję, której argumentami są sin x i cos x .
Możemy dokonad podstawienia
tg
x
t
2
wówczas
cos x
1 t 2
2t
, sin x
2
1 t
1 t 2
Związki te podstawiamy do przekształconej postaci równania trygonometrycznego i otrzymujemy
równanie
2t 1 t 2
0.
f
,
2
2
1
t
1
t
Przekształcając to równanie otrzymujemy równanie algebraiczne o niewiadomej t . Naszkicowana
metoda, aczkolwiek jest ogólna, posiada jednak istotne wady. Przede wszystkim przekształcając
ostatnie równanie możemy otrzymad równanie algebraiczne wysokiego stopnia, którego rozwiązanie
może sprawid dużo kłopotów. W związku z tym w poszczególnych przypadkach stosujemy inne metody rozwiązywania równao trygonometrycznych.
Najprostszymi równaniami trygonometrycznymi są równania typu f ( x) a , gdzie f jest jedną z
funkcji trygonometrycznych, x jest zmienną rzeczywistą (niewiadomą), natomiast a oznacza liczbę
daną. Równania postaci sin x a, cos x a, tg x a, ctg x a nazywamy podstawowymi równaniami
trygonometrycznymi. Każde rozwiązanie równania trygonometrycznego sprowadza się do rozwiązania jednego z czterech poniższych równao: I, II, III lub IV.
I. sin x a .
72
Rozwiązanie
Jeżeli a 1 , to równanie jest sprzeczne, jeżeli a 1 , wówczas w przedziale domkniętym
,
2 2
istnieje dokładnie jeden kąt x0 (funkcja x sin x jest w tym przedziale rosnąca) taki, że sin x0 a
(rys. 9)
Rys. 9. Graficzne rozwiązanie równania: sin x a
3
Ponadto, ponieważ sin x0 sin x0 , zatem x xo dla x ,
2 2
.
3
, o długości 2 równanie ma dwa rozwiązania: x x0 oraz x x0 .
2 2
Ponieważ okresem funkcji sinus jest 2 , więc otrzymujemy dwa zbiory rozwiązao równania
sin x a , a mianowicie x x0 2k lub x x0 2k ,
W przedziale
gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą.
Przypadki szczególne
1. Równanie sin x 0 ma rozwiązanie x k .
2. Równanie sin x 1 ma rozwiązanie x
2
2k .
3. Równocześnie sin x 1 ma rozwiązanie x
2
2k .
II. cos x a
Rozumując analogicznie, jak w przypadku I, rozwiązujemy to równanie, przy założeniu a 1 . Otrzymujemy dwa zbiory rozwiązao
x x0 2k lub x x0 2k
gdzie x0 0, , k - dowolna liczba całkowita.
Przypadki szczególne
1. Równanie cos x = 0 ma rozwiązanie x
k .
2
73
2. Równanie cos x = 1 ma rozwiązanie x = 2k .
3. Równanie cos x = – 1 ma rozwiązanie x = (2k + 1)
gdzie k – dowolna liczba całkowita.
III. Rozpatrzmy z kolei równanie tg x = a.
Dla x , tangens jest funkcją rosnącą, przyjmującą dowolne wartości rzeczywiste, zatem
2 2
dla każdej liczby rzeczywistej a istnieje dokładnie jeden kąt x0 , taki, że tg x 0 a , więc
2 2
dane równanie ma rozwiązanie x = x0. Z okresowości tangensa wynika, że zbiór wszystkich rozwiązao
równania III jest postaci x x0 k , gdzie x 0 , , k – dowolna liczba całkowita.
2 2
IV. ctg x = a
W analogiczny sposób rozwiązujemy równanie ctg x = a gdzie a – dowolna liczba rzeczywista. Zbiór
rozwiązao jest postaci x x0 k , gdzie x0 0, , k – dowolna liczba całkowita.
Liniowe równanie trygonometryczne
Równanie postaci: a sin x b cos x c , gdzie a, b, c są danymi liczbami, nazywamy liniowym równaniem trygonometrycznym. Istnieje kilka sposobów rozwiązywania tego równania, tutaj podamy spox
sób, w którym stosujemy metodę ogólną. Podstawiamy tg t , następnie wyrażamy sinus i cosinus
2
jako funkcje wymierne zmiennej t. Otrzymujemy wtedy równanie:
a
2t
1 t2
b
c,
1 t2
1 t2
gdzie x 2k 1 . Po pomnożeniu przez 1 + t 2 i uporządkowaniu względem potęg t otrzymujemy
(b c)t 2 2at c b 0, gdy b c 0
Równanie kwadratowe ma rozwiązanie, gdy
4a 2 4(b c)(c b) 4 a 2 b 2 c 2 0
Wówczas
x a a a2 b2 c2
t1 tg
2
bc
bc
x a a a2 b2 c2
t 2 tg
2
bc
bc
74
Jeżeli b + c = 0, wówczas jest to równanie stopnia pierwszego i otrzymujemy
t tg
x cb
2
2a
Ponadto musimy sprawdzid, czy x = (2k + 1) spełnia równanie.
Równania trygonometryczne, które można sprowadzid do postaci
f1 x f 2 x
fi x 0
gdzie f i ( x) oznacza funkcję trygonometryczną (i = 1, 2, …, n).
Sposoby rozwiązywania równao tego typu zilustrujemy przykładami.
PRZYKŁADY
1)Rozwiązad równania:
a) 3tg3 x tg x 0 ;
b) sin x sin 3x sin 5x 0 .
Rozwiązanie
. Dane równanie przedstawiamy w postaci tg x(3 tg 2 x 1) 0
2
Stąd tg x 0 lub 3 tg 2 x 1 0 . Rozwiązaniem pierwszego równania jest zbiór postaci x = k , k –
a) Dziedzina równania x (2 k 1)
liczba całkowita, natomiast drugie równanie jest sprzeczne.
b) Korzystając z prawa przemienności dodawania, zmieniamy kolejnośd składników i stosujemy wzór
na sumę sinusów
(sin 5 x sin x) sin 3 x 0,
5x x
5x x
2 sin
cos
sin 3x 0,
2
2
2 sin 3x cos 2 x sin 3x 0,
sin 3x(2 cos 2 x 1) 0,
stąd
sin 3x 0 lub
2 cos 2 x 1 0 .
Następnie rozwiązujemy równania sin 3x 0
sin x 0, 3x k , x k
3
;
cos 2 x
1
,
2
oraz
cos 2 x
cos 2 x cos
1
2
cos ,
3
3
2 x k
3
75
x
k
3
gdzie k – liczba całkowita.
2)Dla jakich wartości parametru a równanie: sin x a sin 3x , ma rozwiązanie?
Rozwiązanie
Ponieważ
sin 3x 3 sin x 4 sin 3 x , więc dane równanie możemy przedstawid w postaci
sin x a 3 sin x 4 sin 3 x , czyli sin x 1 3a 4a sin 2 x 0.
Ostatnie równanie jest równoważne alternatywie równao
1. sin x = 0 lub 2. 1 3a 4a sin 2 x 0.
Równanie 1 ma rozwiązania postaci x = k , k – liczba całkowita, natomiast równanie 2 możemy
przedstawid w postaci 4a sin 2 x 3a 1 . Dla a = 0 ostatnie równanie przyjmie postad 0 sin 2 x 1
3a 1
1 cos 2 x
. Ponieważ sin 2 x
, więc
(równanie sprzeczne). Dla a 0 otrzymujemy sin 2 x
4a
2
1 a
. Ostatnie równanie ma rozwiązanie jeżeli
otrzymujemy cos 2 x
a
1 a
1 a
1 a
1
1 a
1 1
1
1i
1 a lub a 1
2a
2a
2a
2a
3
Nierówności trygonometryczne
Nierównością trygonometryczną nazywamy nierównośd, w której niewiadoma występuje pod znakiem funkcji trygonometrycznych. Na przykład
sin x
1
,
2
cos2 x 3cos x 1 0 .
Przy rozwiązywaniu nierówności trygonometrycznych możemy wykorzystad omówione w poprzednim punkcie sposoby rozwiązywania równao trygonometrycznych. Najczęściej rozwiązanie nierówności trygonometrycznych sprowadza się do rozwiązania nierówności typu f (x) < a lub f (x) > a, gdzie f
jest funkcją trygonometryczną, x jest niewiadomą, natomiast a oznacza liczbę daną.
Analogicznie, jak w przypadku równao trygonometrycznych, nierówności postaci sin x < a (sin x > a), cos x
< a (cos x > a) nazywamy podstawowymi nierównościami trygonometrycznymi. Znak < (>) możemy zastąpid znakiem (). Rozwiązywanie nierówności trygonometrycznych zilustrujemy na przykładach.
PRZYKŁADY
1)Rozwiązad nierównośd: sin x
1
.
2
Rozwiązanie
76
Przy rozwiązywaniu podstawowych nierówności trygonometrycznych wygodnie jest korzystad z ry-
7
sunku. Z rysunku 10a wynika, że rozwiązaniem danej nierówności jest przedział , , zawarty
6
6
3
w przedziale , o długości 2. Zbiór wszystkich rozwiązao jest sumą nieskooczenie wielu
2
2
7
przedziałów liczbowych otwartych postaci 2 k , 2 k , gdzie k – dowolna liczba całkowi 6
6
ta.
2)Rozwiązad nierównośd: cos x
3
.
2
Rozwiązanie
a)
b)
Rys. 10. Graficzne rozwiązania nierówności trygonometrycznych
x
(rys. 10b). Zbiór
6
6
wszystkich rozwiązao jest sumą nieskooczenie wielu przedziałów liczbowych otwartych postaci
Rozwiązaniem danej nierówności w przedziale (–, ) jest przedział
2 k , gdzie k – dowolna liczba całkowita.
2 k,
6
6
3)Rozwiązad nierównośd: cos2 x sin x cos x 1.
Rozwiązanie
Przenosząc cos2 x na prawą stronę otrzymujemy
sin x cos x 1 cos2 x sin x cos x sin 2 x .
Pomnóżmy obie strony ostatniej nierówności przez 2
2 sin x cos x 2 sin 2 x sin 2 x 1 cos 2 x cos 2 x sin 2 x 1
Następnie mnożąc obie strony otrzymanej nierówności przez
2
mamy
2
77
2
2
2
cos 2 x
sin 2 x
2
2
2
2
2
2
, więc podstawiając za
oraz sin
odpowiednio cos i sin do
4
4
4
2
4
2
2
ostatniej nierówności mamy
Ponieważ cos
2
cos cos 2 x sin sin 2 x
4
4
2
Do lewej strony stosujemy wzór na cosinus różnicy
2
cos 2 x
4
2
Podstawiając t
2
, której rozwiązaniem jest przedział
2 x otrzymujemy nierównośd cos t
4
2
2 x . Zbiór wszystkich rozwiązao otrzymamy dodając do kraoców nierówności 2k,
4 4
4
gdzie k – liczba całkowita
2k 2 x 2k k x k .
4
4
4
4
Rozwiązaniem danej nierówności jest więc suma nieskooczenie wielu przedziałów liczbowych domkniętych postaci k ,
4)Rozwiązad nierównośd
4
k .
cos 2 x
1 dla x (0, ).
cos x
Rozwiązanie
Dziedziną nierówności jest zbiór x
. Podstawmy cos 2 x cos2 x sin 2 x i przenieśmy 1 na lewą stro2
nę. Mamy
cos 2 x sin 2 x cos x
cos2 x sin 2 x
0,
1 0
cos x
cos x
cos 2 x 1 cos 2 x cos x
2 cos 2 x cos x 1
0
0,
cos x
cos x
cos x 2 cos 2 x cos x 1 0.
Podstawiając cos x = t otrzymujemy nierównośd algebraiczną
t 2t 2 t 1 0 .
Rozkładamy trójmian kwadratowy
1
2t 2 t 1 2t 1 t
2
i otrzymujemy nierównośd równoważną
78
1
1
2t t 1 t 0 t t 1 t 0 .
2
2
Ostatnią nierównośd rozwiązujemy metodą graficzną.
Z powyższego rysunku wynika, że
1
1
t (t 1) t 0 t lub 0 t 1
2
2
czyli
cos x
cos x
1
2
x
2
3
1
2
lub
0 cos x 1
oraz 0 cos x 1 0 x
(rys. powyżej). Ostatecznie rozwiąza2
2
niem danej nierówności jest suma przedziałów 0, ,
2 3
.
ZADANIA
1. Rozwiązad graficznie równania:
a) cos 2 x cos x ; b) cos x sin x ; c) tg x cos 2 x ; d) sin 2 x cos x dla 0 x 2 .
2. Rozwiązad równania
x
2
1
1
2x
1
x
; b) cos 3x ; c) cos
; d) sin
1 ; e) tg 1 ; f) cos x
2
2
5
2
3
2
4 2
g) sin 5x 1 .
a) sin 2 x
3. Rozwiązad równania:
79
a) sin 2 x 2 cos2 x
b) sin 3x cos 2 x sin 5x
c)
3 sin x cos x 1
d) cos x cos
x
1
2
e) sin x sin 2 x sin 3x sin 4 x 0
f) sin 2 x cos 2 2 x sin 2 3x
3
2
g) 2(1 sin 2 x) 5(sin x cos x) 3 0
h) sin x cos x 1
i) cos x cos 3x
j) 2 sin 2 x sin x cos x 3 cos2 x 3
k) sin x 3 cos x 1
l) tg x sin x 2 sin
m) ctg x cos x
n) ctg x
2x
2
1 sin x
2 sin x
sin x
2
1 cos x
o) cos 3x 2(1 cos 2 x)
p) tg x tg2 x tg3x
q) sin x cos x
cos 2 x
1 sin 2 x
r) sin 5x sin 7 x
s) cos x cos 3x cos 5x cos 7 x
4. Dla jakich wartości parametru a równanie ma rozwiązanie:
a) sin 6 x cos6 x a
b)
sin x
x
a tg
2 cos x
2
80
5. Rozwiązad graficznie nierówności:
a) sin x cos x, 0 x 2 ;
b) cos x cos x , 0 x ;
c) sin x sin x , 0 x ;
d) cos x tg x, 0 x
;
2
e) sin x cos x 0, 0 x 2
6. Rozwiązad nierówności:
3
1
1
; b) cos x ; c) tg x 1 ; d) sin 3x cos x cos 3x sin x ;
2
2
2
a) cos x
2
e) 2 cos4 x 3 cos2 x 1 0 ; f) tg2 x ctg2 x
3
; g) sin x cos x .
7. Rozwiązad nierówności:
a) 4 2 sin x 2 4
cos x
2
; b) log 1 4 cos 2 x log 1 3 .
3
3
3
8. Wykazad, że dla każdego x R i n N prawdziwa jest nierównośd sin nx n sin x .
Odpowiedzi
2. a) x k
2
(1) k
12
; b) x
e) x 2k 1 ; f) x
3. . a) x
b) x
x
2
6
(2k 1), x
3
(2k 1), x k
4
2
2 2k
3
5
; c) x (8k 3) ; d) x 4k 1 ;
9
3
4
4
2k ;g) x
10
2k
.
5
k ,
, c) x k
1 1, d ) x (2k 1),
6
k
2
(6k 1), e) x = k , x (2k + 1) f) x (2k 1),
3
2
5
8
x
6
k , g) x (2k 1), x
2
(4k 1), h) x 2k , x
2
2k ,
81
i) x k
2
j) x k
l) x 2k , x k
n) x
4. a)
6. a)
4
4
, x k, k ) x
, m) x
2
(4k 1), x
2k , x
2
3
6
(2k 1),
2k ,
5
2k , x 2k , o ) x (2k 1), p ) x k ,
6
6
2
3
q) x
s) x
4
k , x 2k , x
2
2k , r) x
12
k
3
, x k.
k
k
.
,x
8
4
1
a 1 ; b) 0 a 2
4
6
2k x
c) k
4
x
2
11
2
4
2k ; b) 2k x 2k ;
6
3
3
k , d ) k
12
x
5
k ,
12
3
x k , f) k x k ,
4
4
6
4
4
4
5
g) 2k x 2k .
4
4
e) k
7. a)
7
2k x 2k ; b) k x k .
6
6
4
8. Wskazówka: metoda indukcji matematycznej.
Wybrane zadania maturalne (po roku 2000)
1. Wiedząc, że 0 360o , sin 1 oraz 4tg 3sin 2 3cos2
a) obliczyd tg ,
b) zaznaczyd w układzie współrzędnych kąt i podad współrzędne dowolnego punktu, różnego
od początku układu współrzędnych, który leży na koocowym ramieniu tego kąta.
2. a) Naszkicowad wykres funkcji y sin 2 x w przedziale 2 ,2 .
b) Naszkicowad wykres funkcji y
sin 2 x
w przedziale 2 ,2 i zapisad, dla których liczb z tego
sin 2 x
sin 2 x
przedziału spełniona jest nierównośd
sin 2 x
0.
82
3. Rozwiązad równanie sin x 3 cos x 0 w przedziale 2 , .
4. Kąt jest ostry i tg
5
. Obliczyd cos .
12
5. Wyznaczyd wszystkie rozwiązania równania 2 cos 2 x 5 sin x 4 0 należące do przedziału
0,2 .
Odpowiedzi:
1. tg
5
3
3
3
3
; 2. b) , ,0 ,2 .
4
2
2 2
2
3
3. , ,
3
.
XII. Funkcje cyklometryczne (kołowe)
Funkcja odwrotna
Niech funkcja y f (x) będzie określona w zbiorze A i niech B będzie zbiorem jej wartości
f : A B . Ponadto załóżmy, że funkcja
f jest różnowartościowa w zbiorze A (np. f jest ściśle
monotoniczna). Wówczas każdej wartości y odpowiada dokładnie jedna wartośd x taka, że
f ( x) y . Oznaczamy tę wartośd x przez g ( y ) , wówczas wzór x g ( y) określa w zbiorze B
funkcję zmiennej y , którą nazywamy funkcją odwrotną względem funkcji f .
Wykres funkcji odwrotnej x g ( y) jest identyczny z wykresem funkcji danej
y f (x)
(rys. 1).
Rys. 11. Konstrukcja wykresu funkcji odwrotnej
83
Można wykazad, że jeżeli funkcja y f (x) jest ciągła i ściśle monotoniczna w przedziale a, b , to
funkcja do niej odwrotna x g ( y) jest ciągła i ściśle monotoniczna w odpowiednim przedziale
c, d (rys. 1). Funkcje f i g są względem siebie wzajemnie odwrotne.
Jeżeli we wzorze x g ( y) przestawimy zmienne x i y ze sobą, wówczas ostatecznie funkcja odwrotna jest postaci y g (x) .
Funkcję odwrotną do funkcji y f (x) oznacza się również symbolem y f
1
( x) .
Wykres funkcji y g (x) jest symetryczny do wykresu funkcji y f (x) względem prostej y x
(rys. 11).
Przykład
Funkcja y x 3 jest różnowartościowa dla x R . Funkcją odwrotną do niej jest funkcja x 3 y
(obie mają ten sam wykres, rys. 12).
Po zamianie x z y otrzymujemy ostatecznie funkcję odwrotną do funkcji y x 3 postaci y 3 x .
Oczywiście również funkcja y x 3 jest funkcją odwrotną do funkcji y 3 x . Obie funkcje są monotoniczne (funkcje rosnące).
Rys.12. Wykres funkcji odwrotnej do funkcji sześciennej
ZADANIA
1. Wyznaczyd funkcję odwrotną f
a) f ( x)
1
do funkcji f :
1
; b) f ( x) x 2 2 x, x 1,) ;
1 x
84
c) f ( x) log x 2 ; d) f ( x) 3 x ; e) f x
f) f ( x)
2x
;
1 2x
2 x 2 x
, x 0.
2
Odpowiedzi
x 1
1. a) f ( x)
, x 0 , b) f 1 ( x) 1 1 x , x 1 , c) f 1 ( x) 2 x , x 0 ;
x
1
1
d) f
f) f
1
1
( x) log 3 x, x 0 ; e) f 1 ( x) log 2 (1 x), x (0,1) ;
( x) log 2 x x 2 1 , x 1 .
Funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych
Funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych nazywamy funkcjami cyklometrycznymi.
Rozpatrzmy funkcję y sin x w przedziale
, w którym jest ona różnowartościowa (ściśle
;
2 2
rosnąca), więc istnieje funkcja do niej odwrotna. Funkcję odwrotną oznaczamy symbolem
x arcsin y (czytamy arcus sinus y; arcus – łac. łuk) lub ostatecznie po zamianie argumentów x z y:
y arcsin x , (niekiedy oznaczamy y sin 1 x ). Dziedzinę funkcji y arcsin x jest przedział domknięty 1;1 , natomiast zbiorem wartości przedział domknięty
. Z definicji wynika, że
;
2 2
arcsin x jest miarą łukową (łukiem) takiego kąta y , że sin y x (rys. 13a). Wykres funkcji
y arcsin x otrzymujemy odbijając sinusoidę względem prostej y x (rys. 13a).
Analogiczni definiuje się funkcje odwrotne do funkcji cosinus, tangens i cotangens.
Funkcją odwrotną do funkcji y cos x w przedziale 0, , w którym jest ona malejąca oznaczamy
symbolem y arccos x (czytamy arcus cosinus x).
Dziedziną funkcji y arccos x jest przedział domknięty 1;1 , a zbiorem wartości przedział domknięty 0, .
Wykres funkcji y arccos x otrzymujemy analogicznie jak wykres funkcji y arcsin x (rys. 13b).
, oznaczamy symbolem
2 2
Funkcję odwrotną do funkcji y tg x rozpatrywanej w przedziale
y arctg x (czytamy arcus tangens x).
Dziedziną funkcji arctgx jest zbiór
R , natomiast zbiorem wartości przedział ,
2 2
(rys. 13c).
85
Analogicznie symbolem y arcctg x (czytamy arcus cotangens x) oznaczamy funkcję odwrotną do
funkcji y ctg x rozpatrywaną w przedziale 0, . Dziedziną funkcji y arcctg x jest zbiór R , natomiast wartości funkcji należą do przedziału 0, (rys. 13d).
Rys. 13. Wykresy funkcji cyklometrycznych
Można wykazad, że dla x 1,1 arcsin x arccos x
2
oraz dla x R arctg x arcctg x
2
.
PRZYKŁADY
1. Znaleźd funkcję odwrotną do funkcji y f ( x) 2 sin 3x,
6
x
.
6
4x
2. Wyznaczyd dziedzinę oraz zbiór wartości funkcji y f ( x) arcsin
.
2 x
Rozwiązanie
86
y
y
1
y
sin 3x 3x arcsin x arcsin , stąd po zamianie x z y osta2
2
3
2
1
x
1 1
tecznie otrzymamy funkcję odwrotną określoną wzorem y arcsin dla x ,
.
3
2
2 2
1. y 2 sin 3x
2. Z definicji funkcji y arcsin x wynika, że x 1;1 . Stąd zakładamy, że 1
4x
1 i
2 x
2 x 0.
4x
3x 2
1
0
3x 22 x 0
4x
2 2
i 2 x 0 x , .
1
1 2 x
2 x
4x
5x 2
5 3
2 x
1
0 5 x 22 x 0
2
x
2
x
Zbiorem wartości funkcji f jest przedział domknięty
.
,
2 2
ZADANIA
1. Obliczyd
a) 3arccos1 2arcsin 0 4arctg1 arcctg(1) ;
b)
1
3
2
;
arcsin
arcctg( 3) 3arccos
2
2
2
3
1
c) sin 3arccos
arcsin .
2
2
2. Wyznaczyd dziedzinę oraz zbiór wartości funkcji f , gdy:
a) f ( x) arccos
7 4x
x
; b) f ( x) sin arcsin 2 x ; c) f ( x) 2 arcsin
;
2
1 x
3. Udowodnid i ustalid w jakim zbiorze spełnione są następujące tożsamości:
x y
1
2
a) arcsin x arccos 1 x ; b) arctg x arcctg ; c) arctg x arctg y arctg
.
1 xy
x
4. Narysowad wykresy funkcji:
x
1
; b) g ( x) 3arctg3x ; c) h( x) 1 arcsin( 2 x 1) ;
2
2
d) k ( x) 2 arcsin( x 2) ; e) l ( x) arcsin(sin x) .
a) f ( x) arccos
5. Wykazad, że funkcje y arcsin x i y arctg x są nieparzyste.
6. Wykazad, że:
a) arccos( x) arccos x ;
b) arcctg( x) arcctg x .
87
Odpowiedzi:
1. a)
2. a)
3
5
3
.
; b) ; c)
4
2
4
5 9
1 1
, , 0, ; b) , , 1,1 ; c) ,1, , .
4 4
2 2
XIII. Geometria analityczna
Wektory na płaszczyźnie
Oznaczmy symbolem AB wektor o początku w punkcie A (xA, yA) i koocu w punkcie B (xB, yB) (rys.
14).
Rys. 14. Wektor AB na płaszczyźnie kartezjaoskiej
Współrzędnymi wektora AB nazywamy różnice współrzędnych kooca B i początku A. Wektor AB o
współrzędnych xB −xA, yB −yA zapisujemy: AB = = [xB −xA, yB −yA]. Długośd wektora
AB oznaczymy
symbolem AB .
AB =
x B x A 2 y B y A 2 .
Wektory jednostkowe (o długości równej jeden) osi Ox, Oy oznaczamy odpowiednio i , j i nazy
wamy wersorami (rys. 14). Wówczas AB x B x A i y B y A j.
Wektory x B x A i , y B y A j nazywamy składowymi wektora AB.
Niech będą dane dwa wektory a a x , a y , b bx , b y . Mówimy, że wektory a i b są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich odpowiednie współrzędne są równe, tzn.
a b , a b
x
x
y
y
a b
Suma wektorów
1. Współrzędne sumy (różnicy) wektorów a i b są sumami (różnicami) odpowiednich współrzęd
nych wektorów a i b
88
a b ax bx , a y by
Własności dodawania wektorów
1. a b b a
(przemiennośd)
2. a b c a b c
(łącznośd)
Wektor AB = [xB −xA, yB −yA] nazywamy wektorem zaczepionym (związanym) w punkcie A. Nato-
miast wektor a a x , a y
nazywamy wektorem swobodnym (nie znamy jego punktu zaczepienia).
Wektor swobodny a reprezentuje klasę wektorów równoważnych, mających ten sam kierunek, długośd i zwrot. W matematyce zasadniczo działamy na wektorach swobodnych.
Mnożenie wektora przez liczbę
Iloczynem a dowolnego wektora a przez liczbę R nazywamy wektor b taki, że
1) wektor b jest równoległy do wektora a (kierunek)
2) b a (długośd)
3) wektor b ma zwrot zgodny z wektorem a , jeżeli a 0 i 0 ; jeżeli 0 , to zwroty wektorów
a i b są przeciwne.
Uwaga: jeżeli a = 0 lub 0 , wówczas b jest wektorem zerowym.
Współrzędne iloczynu wektora a a x , a y przez liczbę są iloczynami współrzędnych wektora a
przez tę liczbę: a a x , a y .
Iloczyn skalarny wektorów
Iloczynem skalarnym a b wektora a przez wektor b nazywamy:
1) liczbę 0, gdy co najmniej jeden z wektorów a lub b jest zerowy;
2) liczbę a b cos
, , gdy oba wektory
a i b są niezerowe, tzn.
a
b
a b a b cos
, .
a b
Własności iloczynu skalarnego
1. Iloczyn skalarny jest przemienny
a b b a
a,b
89
2. Mnożenie skalarne jest rozdzielne względem dodawania wektorów
a b c a b a c
a,b ,c
3.
,
a b a b
a,b
Iloczyn skalarny a a oznaczamy symbolem a 2 . Z definicji iloczynu skalarnego wynika, że
2
0
a a a a a cos 0 a
2
2
a 2 a , stąd a a 2 .
czyli
Cosinus kąta między wektorami
cos
a b
,
gdzie
a , b .
ab
Twierdzenie
Wektory niezerowe a i b są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy
zeru.
Przyjmujemy umownie, że wektor zerowy jest prostopadły do dowolnego wektora. Wówczas rów
nośd a b 0 jest warunkiem prostopadłości dowolnych wektorów
( a b a b 0)
PRZYKŁADY
1)Obliczyd długośd wektora a b wiedząc, że a 8, b 6 i a b 10.
Rozwiązanie
2
Korzystamy ze wzoru u 2 u . Stąd
a b a b
2
2
czyli
2
a b a 2 2 a b b2
więc
90
2 a b a 2 b2 a b
2
Z drugiej strony
2
2
a b a b a 2 2 a b b 2 a 2 a 2 b 2 a b
2
2
2
b2
2
2
2 a 2 2 b 2 a b 2 a 2 b a b 2 64 2 36 100 100
Ponieważ
a b
a b 2
więc
a b 10
Możemy również zauważyd, że dla danych liczbowych podanych w treści przykładu, długości wekto
rów a , b i a b spełniają warunek
2
2
a b a b
8
2
2
6 2 10 2
Wynika stąd (twierdzenie Pitagorasa), że równoległobok zbudowany na wektorach a i b jest pro
stokątem (rys. 15). Przekątne prostokąta p1 a b oraz p2 a b mają równe długości, więc
a b a b 10.
Rys. 15. Suma i różnica wektorów
2)Znaleźd kąt między wektorami a 6 m 4 n i b 2 m 10 n , jeżeli wiadomo, że m i n są wekto
rami jednostkowymi oraz, że m n .
Rozwiązanie
Obliczymy cosinus kąta między wektorami a i b ze wzoru cos
a b
a , b .
a b
91
Iloczyn skalarny a b 6 m 4 n 2 m 10 n 12 m 2 68 m n 40 n 2
2
2
12 m 40 n , ponieważ m n 0 . Podstawiając dane liczbowe otrzymujemy a b 52. Następ
nie obliczamy długośd wektorów a i b .
2
2
2
a a 2 6 m 4 n 36 m 2 48 m n 16 n 2 36 m 16 n 52
2
2
2
b b 2 2 m 10 n 4 m2 40 m n 100 n 2 4 m 100 n
104 2 52
Ostatecznie
a , b
cos
52
52 2 52
1
2
stąd
a , b 4 .
3)Znaleźd wektor jednostkowy równoległy do wektora a .
Rozwiązanie
Oznaczmy szukany wektor symbolem a1 . Ponieważ wektory a i a1 są równoległe, więc
a1 a
Załóżmy ponadto, że wektory a i a1 mają te same zwroty, więc 0
a1 a 1
stąd
1
a
czyli
a1
a
a
4)Dany jest wektor AB xB x A , y B y A . Znaleźd punkt P(x, y) dzielący wektor AB w stosunku
k 1.
Rozwiązanie
92
Rys. 16. Podział wektora na części
AP : PB k , AP k PB .
Stąd x x A , y y A k xB x , k y B y x x A k x B x, y y A k y B y
Rozwiązując ostatnie równania otrzymujemy:
x
x A k xB
,
1 k
y
y A k yB
.
1 k
Dla k = 1 punkt P(x, y) jest środkiem odcinka AB. Współrzędne punktu P są średnimi arytmetycznymi
odpowiednich współrzędnych jego kooców
x
x A xB
,
2
y
y A yB
.
2
Postad kartezjaoska iloczynu skalarnego
Niech będą dane wektory
a ax , ay
b bx , b y .
oraz
Iloczyn skalarny wyrażony za pomocą współrzędnych wektorów a i b jest postaci
a b a x bx a y b y .
Wektory a i b są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy
a x bx a y b y 0 .
Wzór na cosinus kąta dwóch wektorów jest postaci
cos
a x bx a y b y
a x2 a 2y bx2 b y2
.
Znając cosinus kąta między wektorami możemy znaleźd wartośd sinusa tego kąta. Niech 0 ,
wówczas:
sin 1 cos2 oraz sin
a x by a y bx
a x2 a y2 bx2 by2
.
93
a x b y a y bx
Dla dowolnego kąta skierowanego : sin
a x2 a 2y bx2 b y2
.
Wektory a i b są równoległe, gdy sin 0 .
Twierdzenie
Dwa wektory a i b są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy
a x b y a y bx 0
a b a x by a y bx 0
ax ay
.
bx b y
Po przekształceniu otrzymujemy
Wektory a i b są więc równoległe, gdy ich odpowiednie współrzędne są proporcjonalne.
ZADANIA
1. Dla jakich wartości parametru t kąt między wektorami a 1, 2t i b 2t 2 , 1 jest: a) ostry,
b) prosty, c) rozwarty?
oraz
3
2. Obliczyd długośd wektora c 3 a 2 b wiedząc, że wektory a i b tworzą kąt
a 3, b 4.
3. Punkty A (1, 1), B (4, 2), C (3, 5) są wierzchołkami równoległoboku ABCD. Obliczyd współrzędne
wierzchołka D.
4. Dane są 3 punkty A (1, –2), B (2, 4), C (0, 3). Obliczyd kąt między środkowymi boków AB i BC trójkąta ABC.
5. Obliczyd długośd wektora x a b wiedząc, że a 1,
6. W
trójkącie
ABC
długości
boków
b 2 oraz a b .
AB BC 5, AC 6.
wynoszą:
Obliczyd:
AB BC BC CA CA AB .
7. Dane
są
niezerowe
OA, OB, OC OA OB i OD OC OB ,
wektory
przy
czym
OB OC OD . Znaleźd miarę kąta AOB.
8. Dane są wektory a 1, 3 i b 2, 1. Znaleźd wektor x prostopadły do wektora a i taki, że
b x 7.
9. Dla jakich wartości a R wektory x log a u loga 2 v i y u v są prostopadłe, jeżeli
u v 2,
u, v 3 .
10.Znaleźd rzut wektora a m 2 n na oś o kierunku wektora b 6 m 2 n , jeżeli wiadomo, że
m i n są wektorami jednostkowymi i m n .
94
11. Wektor b jest równoległy do wektora a 4,3. Wiedząc, że b 10 , wyznaczyd jego współrzędne.
Odpowiedzi
1. a) 0 < t < 1, b) t = 0 lub t = 1, c) t < 0 lub t > 1.
1
4. cos .
5
5. x 5.
6. 43.
7.
2. c 5 .
5
.
6
3. D (0, 4).
8. x 3, 1 .
9. a = – 1 +
2.
10. –
b
, 11. 8,6.
4
Prosta na płaszczyźnie
Niech na płaszczyźnie Oxy będzie dana pewna linia L (prosta, krzywa) oraz równanie z dwiema niewiadomymi x, y o postaci F(x, y) = 0
Rys. 17. Linia krzywa na płaszczyźnie kartezjaoskiej
Mówimy, że równanie to jest równaniem linii L, jeżeli spełnione są dwa następujące warunki:
1. Współrzędne dowolnego punktu P spełniają równanie linii L.
2. Każde dwie liczby x0, y0 spełniające F ( x, y) 0 są współrzędnymi punktu P0(x0, y0) leżącego na
linii L.
Równanie ogólne prostej
Rys. 18. Linia prosta na płaszczyźnie kartezjaoskiej
Niech na płaszczyźnie Oxy będzie dana prosta l. Ponadto załóżmy, że dane są punkt P0(x0, y0) leżący
na prostej l oraz niezerowy wektor n A, B do niej prostopadły. Ponieważ n jest wektorem niezerowym, więc co najmniej jedna ze współrzędnych A, B jest różna od zera. Warunek ten jest równoważny nierówności
95
A2 B 2 0
Niech P(x, y) będzie dowolnym punktem leżącym na prostej l różnym od P0. Wektor
P0 P x x 0 , y y 0 jest równoległy do prostej l, więc P0 P n (rys. 18). Wynika stąd, że
P0 P n 0 , czyli
A x x0 B y y0 0
Oznaczając stałą (– Ax 0 By 0 )symbolem C otrzymujemy równanie
Ax + By + C = 0.
nazywane równaniem ogólnym prostej.
Przypadki szczególne równania ogólnego prostej
a)
b)
c)
Rys. 19. Graficzne przedstawienie ogólnego równania prostej
1. Niech C = 0, wówczas równanie ma postad Ax + By = 0 – prosta przechodzi przez początek układu
współrzędnych (rys. 19a).
2. Niech A = 0, wówczas równanie przyjmuje postad
C
y
By C 0 lub
B
Wektor n 0, B jest prostopadły do osi Ox, a tym samym prosta jest równoległa do osi Ox
(rys. 19 b).
3. Niech B = 0, wówczas równanie prostej przyjmuje postad
Ax + C = 0
lub
x
C
.
A
Wektor n A,0 jest prostopadły do osi Oy, więc prosta jest równoległa do osi Oy (rys. 19 c).
Równanie odcinkowe prostej
Załóżmy, że w równaniu ogólnym prostej wszystkie współczynniki A, B, C są różne od zera. Wówczas
x y
równanie prostej możemy przedstawid w następującej postaci 1 nazywanej równaniem oda b
cinkowym prostej.
96
Rys. 20. Graficzne przedstawienie równania odcinkowego prostej
Równanie kierunkowe prostej
Załóżmy, że w równaniu ogólnym współczynnik B 0 . Wówczas przenosząc składniki nie zawierające
y na prawą stronę, po podzieleniu stronami przez B otrzymujemy
B y Ax C
A
C
y x
B
B
A
C
, n mamy równanie: y = mx + n
B
B
nazywane równaniem kierunkowym prostej. Prosta ta przecina oś Oy w punkcie o rzędnej n i tworzy z
osią Ox kąt (rys. 21), którego tangens równa się m. Współczynnik m nazywamy współczynnikiem
kierunkowym prostej.
oznaczając m
Rys. 21. Graficzne przedstawienie równania kierunkowego prostej
Przykład
Przez punkt P0(x0, y0) poprowadzid prostą, która tworzy z osią Ox kąt, którego tangens równa się m.
Rozwiązanie
Punkt P0 leży na prostej, więc mamy: y0 = mx0 + n
Z otrzymanego równania wyznaczamy n i podstawiamy do równania kierunkowego prostej. Szukane
równanie prostej przybiera postad
y – y0 = m(x – x0).
97
Równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty
Niech na płaszczyźnie Oxy będą dane dwa różne punkty P0(x0, y0) i P1(x1, y1).
Rys. 22. Graficzne przedstawienie równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty
Jeżeli prosta l przechodząca przez punkty P0 i P1 nie jest prostopadła do osi Ox (x0 x1), to możemy
obliczyd współczynnik kierunkowy m (rys. 22)
m tg
y1 y0
x1 x0
Podstawiając m do równania kierunkowego prostej otrzymujemy szukane równanie prostej
w postaci
y y0
y1 y 0
x x0
x1 x 0
Jeżeli prosta l jest prostopadła do osi Ox (x0 = x1), wówczas x – x1 = 0 czyli x = x1.
Kąt między dwiema prostymi
Niech będą dane dwie proste w postaci ogólnej
l1 : A1 x B1 y C1 0
A
2
1
B12 0
l2 : A2 x B2 y C2 0
A
2
2
B22 0
Rys. 23. Kąt między dwoma prostymi
Proste l1, l2 tworzą ze sobą dwie pary kątów (rys. 23) o miarach zawartych między 0 a . Oznaczymy
(l1, l2) = . Ponieważ kąty, których ramiona są wzajemnie prostopadłe, są równe, więc (l1, l2) =
n1 , n2 . Wynika stąd, że cos = cos
n1 , n2 . Ze wzoru na cosinus kąta między wektorami
otrzymujemy
98
A1 A2 B1 B2
cos
A12
B12 A22 B22
Warunek prostopadłości prostych
l1 l2 n1 n2 n1 n2 0
1. Niech l1: A1 x B1 y C1 0 i l2 : A2 x B2 y C2 0
Z warunku prostopadłości wektorów wynika, że l1l2 A1 A2 B1 B2 0 .
2. Niech
l1: y = m1 x n1 , l2 : y m2 x n2 .
Proste l1 ,l 2 możemy przedstawid w postaci ogólnej l1 : m1 x y n1 0, l2 : m2 x y n2 0 .
Wektory prostopadłe do prostych l1, l2 mają odpowiednio współrzędne: n1 m1 , 1 i n1 m2 , 1
więc
l1 l2 n1 n2 0 m1m2 1 0
lub
m1
1
.
m2
Warunek równoległości prostych
l1 l2 n1 n2
Z warunku równoległości wektorów wynika, że
l1 l2 A1 B2 A2 B1 0
dla prostych w postaci ogólnej, lub
l1 l2 m1 = m2
dla prostych w postaci kierunkowej.
Odległośd punktu od prostej
Niech będzie dany punkt P0(x0, y0) l oraz prosta l: Ax + By + C = 0
Rys. 24. Odległośd punktu od prostej
Odległośd punktu P0 od prostej l (d(P0, l)) równa jest odległości punktu P0 od jego rzutu prostokątnego
P1 na prostą l (d(P0, P1)), czyli d = d(P0, l) = d(P0, P1).
99
Odległośd punktu P0 od punktu P1
d d ( P0 , P1 ) ( x1 x0 ) 2 ( y y1 ) 2 .
Po podstawieniu do ostatniego wzoru obliczonych współrzędnych punktu P1 otrzymujemy szukany
wzór na odległośd punktu od prostej
d
Ax 0 By 0 C
A2 B 2
.
PRZYKŁAD
Napisad równanie prostej, na której leży punkt symetryczny do punktu P0(1, 1) względem prostej l: x
+ y + 1 = 0, która jest prostopadła do prostej l1: y + 2x + 3 = 0.
Rozwiązanie
y
l1
l2
P0
P1
x
P2
l
Znajdujemy punkt P1 będący rzutem punktu P0 na prostą l. Przez punkt P0 prowadzimy prostą l2 prostopadłą do prostej l (rys.powyżej). Współczynnik kierunkowy prostej l: m = –1, więc współczynnik
kierunkowy prostej l2: m2 = 1. Równanie prostej
l2: y –1 = 1(x – 1)
czyli y = x
x y 1 0
1
1
Rozwiązując układ równao
otrzymujemy współrzędne punktu P1: x , y .
2
2
y x
Współrzędne punktu P2(x2, y2) symetrycznego do punktu P0 obliczamy ze wzorów
1 x2
1
2
2
,
1 y2
1
2
2
stąd x2 = – 2, y2 = – 2.
Ponieważ współczynnik kierunkowy prostej l1: m1 = – 2 to współczynnik kierunkowy szukanej prostej
1
l3: m3 = , równanie szukanej prostej jest postaci
2
100
l3 : y 2
1
( x 2)
2
czyli y
1
x 1.
2
ZADANIA
1. Napisad równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i tworzącej z osią
Ox kąt
3
.
2. Dana jest prosta o równaniu ogólnym 3x 5 y 2 0 . Przedstawid to równanie w postaci kierunkowej i odcinkowej.
3. Napisad równanie prostej przechodzącej przez punkt P(2,3) o współczynniku kierunkowym
m 2.
4. Napisad równania prostej przechodzącej przez punkt P(1,2) równoległej do wektora a 3,5.
5. Napisad równanie prostej przechodzącej przez punkty A(2,3) i B(5,4) .
6. Dane są punkty A(4,7) , B(1,3) . Punkt C należy do odcinka AB i dzieli ten odcinek w stosunku 3 : 2 licząc od punktu A . Obliczyd współrzędne punktu C .
7. Dane są punkty A(2,2) i B(4,4) .
a) wyznaczyd równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B
b) prosta l oraz prosta o równaniu 9 x 6 y 26 0 przecinają się w punkcie C . Obliczyd współrzędne punktu C .
c) Wyznaczyd równanie symetralnej odcinka AB .
8. Proste o równaniach x y 1 0 , x y 3 0 , x 3 y 7 0 zawierają boki trójkąta. Wykazad,
że trójkąt jest prostokątny i obliczyd jego obwód.
9. Przez punkt C (1,4) prowadzimy proste przecinające osie układu współrzędnych w punktach
A(x,0) i B(0, y) przy czym x 0 , y 0 . Wyznaczyd równanie tej z nich, dla której suma odległości
punktów A i B od początku układu współrzędnych jest najmniejsza.
10. Znaleźd równania dwusiecznych kątów zawartych między prostymi 2 x 2 y 7 0 , 7 x y 4 0
11.Obliczyd pole trójkąta o wierzchołkach A(1, 1), B(–1, 2), C(2, 2).
12.Znaleźd punkt symetryczny do punktu A(−1, −3) względem prostej x + 2y – 2 = 0.
13.Napisad równanie prostej przechodzącej przez punkt (1, 2) i przecinającej krzywą 2y – x2 = 1 w
punktach symetrycznych względem punktu (1, 2).
14.W trójkącie ABC dane są dwa wierzchołki A(– 4, 2) i B(5, –1) oraz punkt M(3, 3) przecięcia wysokości tego trójkąta. Obliczyd pole trójkąta ABC.
15.Obliczyd współrzędne wierzchołków równoramiennego trójkąta prostokątnego ABC o wierzchołku
C(3, –1) oraz przeciwprostokątnej AB zawartej w prostej o równaniu 3x – y + 2 = 0.
16.Napisad równania prostych przechodzących przez punkt A(5, 2) w jednakowej odległości od punktów B(–5, 0) i C(13, –18).
101
17.Dany jest punkt A(2, 3) i prosta l o równaniu x – y – 1 = 0. Znaleźd wierzchołki B i C równoramiennego trójkąta prostokątnego ABC o przyprostokątnych AB i AC tak, aby B należał do prostej l i prosta AC była do niej równoległa.
18.Wyznaczyd kąt między wektorami AB i CD , mając dane punkty A(1, 2), B(2, 1), C(5, 1), D(20, 16).
19.Punkty A(1, 1), B(4, 2), C(3, 5) są wierzchołkami równoległoboku ABCD. Obliczyd współrzędne
wierzchołka D.
20. Napisad równanie symetralnej odcinka AB, mając dane punkty A(1,4), B(– 5, 2).
21.Przez punkt M(3, 2) poprowadzid prostą p tak, aby dany punkt M był środkiem odcinka prostej p
zawartego między prostymi o równaniach y = x i y = 2x – 3.
22.Pole S rombu ABCD wynosi 10. Przeciwległe wierzchołki A i C rombu mają współrzędne A(1, 1),
C(3, 5). Znaleźd współrzędne wierzchołków B i D.
23.Jedna z przekątnych kwadratu zawiera się w prostej x – 2y + 2 = 0, jeden z wierzchołków kwadratu
ma współrzędne (3, 5). Wyznaczyd współrzędne wierzchołków kwadratu.
24.Dany jest zbiór prostych 2y + 2 = m(x – 3). Która z prostych należących do zbioru jest:
a) równoległa do prostej 2x – 3y = 5
b) prostopadła do prostej x + 2y + 7 = 0
3
25. Podstawa AB trójkąta prostokątnego równoramiennego ABC zawiera się w prostej y – 2x + 5 = 0, a
jego wierzchołek C leży w początku układu współrzędnych. Wyznaczyd:
a) równania prostych zawierających ramiona tego trójkąta,
b) równanie okręgu opisanego na tym trójkącie.
c) tworzy z prostą x 3 y 1 0 kąt
Odpowiedzi:
2 x y
7
, 1 ; 3. y 2 x 1 ; 4. 3x 5 y 7 0 ; 5. y 3 ( x 2) ;
5 2 2
3
3 5
1
8
14
6. C (1,1) ; 7. a) y x , b) C 6, ,
3
3
3
3
5
1. y 3x ; 2. y x
c) y 3x 6 ; 8. 9 2 3 10 ; 9. y 2 x 6 ;
10. 4 x 8 y 43 0,24 x 12 y 27 0 ; 11.
14. 30.
3 19
9 17
15. A , , B , .
5 5
5
5
17. B(3, 2), C(1, 2) lub C(3, 4). 18.
3
13 21
. 12. , . 13. y = x + 1.
5 5
2
16. y = – x + 7, y = 11x – 53.
. 19. D(6, 6).
2
20. y = – 3x – 3.
21. 3x – 2y – 5 = 0. 22. B(4, 2), D(0, 4). 23. (2, 2), (5, 1), (6, 4).
3
2
x 3, b) y = 2x – 7, c) 2 y 2 3
( x 3).
3
3
1
25. a) y = – 3x, y = x , b) ( x 2) 2 ( y 1) 2 5.
3
24. a) y
102
Wybrane zadania maturalne (po roku 2000):
1. W rombie ABCD wierzchołki A i C są punktami przecięcia okręgu o równaniu
x 2 y 2 4 x 4 y 6 0 z prostą o równaniu: y x 0 . Wiedząc, że pole rombu jest równe 8 ,
obliczyd współrzędne wierzchołków B i D oraz długości przekątnych tego rombu.
2. Dany jest punkt S (0,2) oraz prosta l o równaniu x 2 y 1 0 .
a) Punkt S ' jest obrazem punktu S w translacji o wektor u 7,1 . Znaleźd równanie okręgu
przechodzącego przez punkty S i S ' wiedząc, że jego środek należy do prostej l .
b) Bok kwadratu opisanego na okręgu o środku w punkcie S i promieniu długości
5 zawiera się
w prostej l . Obliczyd współrzędne wierzchołków tego kwadratu.
3. Punkt A(5;2) jest wierzchołkiem trójkąta ABC , w którym BC 10,2 .
a) Wyznaczyd współrzędne wierzchołków B i C wiedząc, że środek boku AB ma współrzędne
(6,1) .
b) Obliczyd pole trójkąta ABC oraz napisad równanie okręgu opisanego na tym trójkącie.
c) Obliczyd sumy kwadratów sinusów kątów wewnętrznych trójkąta ABC .
4. Punkt A(2,5) jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego ABC , w którym
AC BC . Pole tego trójkąta jest równe 15 . Bok BC jest zawarty w prostej o równaniu y x 1 .
Oblicz współrzędne wierzchołka C .
5. Punkt S (0,0) jest środkiem boku AD równoległoboku ABCD . Mając dane współrzędne wektorów AB 4,3 i BC 6,2 wyznaczyd:
a) współrzędne wierzchołków tego równoległoboku.
b) pole równoległoboku,
c) miary kąta ostrego tego równoległoboku.
Odpowiedzi:
2. a) x 2 y 2 5 ; b) A(3,1) , B(1,1) , C (3,3) , D(1,5) .
2
3. a) B(7,0) , C (3,2) ; b) 8 ; c)
11
.
13
Okrąg
Niech na płaszczyźnie Oxy będzie dany okrąg k o środku w punkcie S(a, b) i promieniu r, r > 0 (rys.
25a).
103
a)
b)
Rys. 25. Okrąg na płaszczyźnie kartezjaoskiej
Niech P(x, y) będzie dowolnym punktem leżącym na okręgu k. Wówczas odległośd tego punktu od S
równa się r
d(S, P) =
x a 2 ( y b) 2
r
stąd
( x a) 2 ( y b) 2 r 2
Załóżmy następnie, że liczby x0, y0 spełniają otrzymane równanie, czyli ( x0 a) 2 ( y0 b) 2 r 2 .
Wynika stąd, że odległośd punktu P0, o współrzędnych x0, y0, od punktu S równa się r, więc punkt P
leży na okręgu k. Równanie jest więc równaniem okręgu.
Jeżeli a = b = 0, wówczas równanie okręgu przyjmuje postad
x2 y2 r2
i przedstawia okrąg o promieniu r i środku w początku układu współrzędnych (rys. 25b).
Przykład
Napisad równania stycznych do okręgu x 2 y 2 1 przechodzących przez punkt P(0,2) .
Rozwiązanie
Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P(0,2) o współczynniku kierunkowym m jest postaci
l : y mx 2
104
Współczynnik m należy dobrad tak, aby prosta l była styczną do okręgu. Punkty wspólne okręgu i
prostej l wyznaczamy rozwiązując układ równao.
x 2 y 2 1,
y mx 2.
Podstawiając y z drugiego z równao do pierwszego otrzymujemy równanie kwadratowe o niewiadomej x :
x 2 mx 2 1 m 2 1 x 2 4mx 3 0 .
2
Ponieważ szukana prosta l ma byd styczną do okręgu, ostatnie równanie musi mied jedno rozwiązanie. Wynika stąd, że wyróżnik tego równania powinien równad się zeru.
16m 2 4 3 m 2 1 4m 2 12
0 4m 2 12 0 m 3 lub m 3
Otrzymujemy następujące równania stycznych do okręgu:
l1 : y 3x 2 ; l2 : y 3x 2 .
ZADANIA
1. Wyznaczyd współrzędne środka S i promieo okręgu danego równaniem
x2 y 2 10 x 6 y 30 0 .
2. Napisad równanie okręgu o środku w punkcie S (3, 4) i promieniu r 3 .
3. Napisad równanie okręgu o środku w punkcie S (3, 4) i przechodzącego przez punkt P(1,2) .
4. Napisad równanie okręgu o środku w punkcie S (5,2) stycznego do osi OY .
5. Napisad równanie okręgu o środku w punkcie S (2, 3) stycznego zewnętrznie do okręgu o równaniu x2 y 2 2 x 2 y 1 0 .
6. Punkt A(4,3) należy do okręgu O , który jest styczny do prostej l o równaniu y 1 w punkcie
B(2, 1) .
a) Napisad równanie okręgu O .
b) Napisad równania stycznych do okręgu O , do których należy punkt C (0,0) .
7. Punkty A(1,3) i C (7,1) są przeciwległymi wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD . Prosta o równaniu y x jest osią symetrii tego trapezu. Napisad równanie okręgu opisanego na tym
trapezie.
8. Dane są proste l : x y 9 0 , k : 3x 2 y 12 0 , p : x 2 y 19 0 oraz punkt P(4, 4) .
105
Punkty A i B należą odpowiednio do prostych k i l oraz PA PB i PA || p .
Wyznaczyd równanie okręgu opisanego na trójkącie APB .
9. Napisad równania prostych przechodzących przez początek układu współrzędnych i stycznych do
okręgu o równaniu x2 ( y 4)2 4 .
10. Znaleźd równania stycznych do okręgu o równaniu x2 y 2 2 x 0 i prostopadłych do prostej o
równaniu x y 1 0 .
11. Okrąg o środku w punkcie P(3, 4) jest styczny wewnętrznie do okręgu o równaniu
x2 y 2 12 x 16 y 0 . Znaleźd równanie prostej stycznej do obu tych okręgów.
Odpowiedzi
1. S (5, 3), r 4 ; 2. ( x 3)2 ( y 4)2 9 ; 3. ( x 3)2 ( y 4)2 40 ;
4. ( x 5)2 ( y 2)2 25 ; 5. ( x 2)2 ( y 3)2 16 ; 6. a) ( x 2)2 ( y 3)2 4 ;
2
3
125
2
b) x 0 , 5x 12 y 0 ; 7. ( x 5) ( y 5) 20 ; 8. x y 1
;
2
4
2
9.
2
3 x y 0, 3 x y 0 ; 10. y x 1 2 ; 11. y 4
2
77
2
77
x2
, y 4 x 2
.
x
5
5
5
106