200 Całka Riemanna jako funkcja górnej granicy całkowania

200 Całka Riemanna jako górnej granicy
całkowania
Definicja
Niech f będzie funkcją całkowalną w sensie Riemanna na przedziale
< a, b > . Dla dowolnej liczby a ≤ x ≤ b przedział < a , x >⊂< a , b > , a więc
funkcja f |< a , x > jest funkcją całkowalną w sensie Riemanna na przedziale
< a , x > . Dla ustalonej funkcji f i ustalonego przedziału < a , b > możemy
zdefiniować funkcję
b
x
a
a
F ( x ) = ( R ) ∫ f |< a , x > (t )dt = ( R ) ∫ f (t )dt .
W dalszym ciągu tego rozdziału funkcja f i przedział < a, b > będzie
ustalony, a o funkcji f będziemy zakładać, że jest funkcją całkowalną w
sensie Riemanna na przedziale < a, b > .
Twierdzenie o monotoniczności całki Riemanna względem górnej
granicy całkowania
Dla dowolnej funkcji f całkowalnej w sensie Riemanna,
a
F (a ) = ( R ) ∫ f (t )dt = 0
a
Jeżeli f ≥ 0 to funkcja F jest niemalejąca, tzn. jeżeli x1 ≤ x 2 to F ( x1 ) ≤ F ( x2 ) ,
a więc
x1
x2
( R ) ∫ f ( x )dx ≤ ( R ) ∫ f ( x )dx .
a
a
Jeżeli f ≤ 0 to funkcja F jest nierosnąca.
Dowód
Twierdzenie o ciągłości całki Riemanna względem górnej granicy
całkowania
Dla dowolnej funkcji f całkowalnej w sensie Riemanna na < a, b > funkcja
x
F ( x ) = ( R ) ∫ f (t )dt
jest funkcją ciągłą na < a, b > .
a
Dowód
Całka Reimanna jako funkcja górnej granicy całkowania
1/1