SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH
Skręcanie występuje wówczas, gdy para sił tworząca moment
leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego, zwanego wałem. Rysunek pokazuje wał obciążony
dwiema parami sił oraz różne sposoby przedstawiania momentów skręcających ten wał. Na kolejnym rysunku pokazano niejednoznaczne oznaczania kierunków momentów, przyczyniać
się do błędnej interpretacji.
Momenty skręcające wał. Różne metody zaznaczania
momentów skręcających.
Niejednoznaczne
określanie momentów
Równanie równowagi: suma momentów względem osi wału.
Hipoteza płaskich przekrojów: potwierdzona doświadczalnie
hipoteza, zakładająca, że okrągłe przekroje poprzeczne wału
pozostają po skręceniu płaskie i okrągłe, obracając się wokół
osi wału o niewielki kąt.
Hipoteza płaskich przekrojów pozwala na określenie mechanizmu odkształceń wału. W oparciu o tą hipotezę wyprowadzono wzory pozwalające na obliczanie naprężeń stycznych w wale
oraz kąta skręcenia wału.
11 Skręcanie wałów okrągłych.doc
123
Naprężenia w skręcanym wale:
– dla dowolnego promienia 
M
  s ,
J0
– dla promienia  = r
Mr M
max  r  s  s .
J0
W0
J0 – biegunowy moment bezwładności.
Liniowe rozkłady naprężeń
W0 – wskaźnik wytrzymałości przekro- stycznych przy skręcaniu dla waju na skręcanie.
łu pełnego i wydrążonego
Definicja wskaźnika wytrzymałości przekroju na skręcanie:
W0 – iloraz biegunowego momentu bezwładności
J0 J0
W

 1 .
i odległości skrajnego włókna od środka ciężkości
0
r
d
2
przekroju:

d4 
 J0  2Jx 
.


32


 d4z  d4w
J
J0 
, W0  1 0 .
32
d
2 z
d3
W0 
16
– Dla wału pełnego
– Dla wału wydrążonego:
Kąt skręcenia wału o długości L:



MSL
rad,   MSL 180   ,
GJ0
GJ0   
Względny kąt skręcenia wału:     MSL rad / m,   MS 180   / m,

L GJ0
GJ0  
Iloczyn GJ0 nosi nazwę sztywności przekroju na skręcanie
(por. EA przy rozciąganiu).
E
G – moduł odkształcenia postaciowego,
G
[MPa]
moduł ścinania, moduł Kirchhoffa:
2(1   )
Warunek wytrzymałościowy na skręcanie ma postać:
M
max  S  dop .
W0
W praktycznych obliczeniach na skręcanie bardzo często jest
wykorzystywany warunek na sztywność:   dop .
11 Skręcanie wałów okrągłych.doc
124
PRZYKŁAD
Wał o średnicy d wykonuje n = 1000 obr/min i przenosi moc N = 60
kW. Korzystając z warunków wytrzymałościowego i sztywnościowego,
wyznaczyć średnicę wału. Przyjąć dop = 35 MPa, dop = 2/m, G = 8.104
MPa.
Warunek wytrzymałościowy:
max 
MS
16MS
d3 MS
 dop  W0 

,d  3
.
W0
16 dop
dop
Dla wału przenoszącego moc z zależności N = MS można określić
wartość momentu skręcającego
N  MS  MS
2n
N
 MS  9550 N  m,
60
n
N  kW, n  obr .
min
W powyższym wzorze liczba 9550 (dokładnie: 9549,3) to przelicznik jednostek, obliczony w przykładzie 1.4. Po wykorzystaniu tego wzoru średnicę wału oblicza się z zależności
d3
16  9550  N
 36,5
ndop
3
N
cm.
ndop
Po podstawieniu wartości liczbowych średnica wału
d  36,53
60
 4,39cm.
1000  35
Warunek sztywnościowy:
 
d4
MS 180
MS 180
d4
 dop  J0 

.
GJ0 
32 G dop 
32  180  MS
32  180  9550  100N
N
 100  4
 153,65 4
2nG 
2nG 
nG 
dop
dop
cm.
dop
Po podstawieniu wartości liczbowych średnica wału z warunku sztywnościowego
d  153,65
4
60
1000  8  10 4  2
 3,80 cm.
Dla spełnienia obu warunków należy przyjąć d = 4,39 cm.
Warto zwrócić uwagę, że dla dop = 1 /m średnica wału d = 4,52 cm,
natomiast dla dop = 3/m średnica d = 3,44 cm.
11 Skręcanie wałów okrągłych.doc
125
PRZYKŁAD
Wał pokazany na rysunku jest skręcany momentami M1 = 250 Nm i M2 = 50 Nm.
Wykonać wykresy: momentów skręcających, naprężeń stycznych oraz kątów obrotów poprzecznych przekrojów wału. Przyjąć G = 8104 MPa.
Lewy koniec wału jest utwierdzony, prawy jest swobodny. Zadanie jest statycznie
wyznaczalne. Równanie równowagi (suma rzutów momentów na oś wału) ma postać:
 MA  M2  M1  0 
MA  M2  M1  200N  m.
Siły wewnętrzne w poszczególnych odcinkach wału wyznacza się, korzystając z
metody myślowych przekrojów. Zasady tworzenia granic przedziału, w którym
można dokonać myślowego przekroju, są takie same jak w układach prętowych, a
więc granicami tymi są punkty przyłożenia obciążenia oraz miejsca zmiany wielkości
przekroju poprzecznego. W rozpatrywanym wale należy uwzględnić dwa myślowe
przekroje.
Przekrój 1–1:
Dla odcinka wału pomiędzy lewym końcem a przekrojem I–I
z warunku równowagi otrzymuje się:
MS1  MA  200 N  m.
Przekrój 2–2:
Dla odcinka wału pomiędzy lewym końcem a przekrojem II–II
równanie równowagi ma postać:
MS2  MA  M1  200  250  50 N  m.
Przekrój 2’–2’:
W celu kontroli poprawności obliczeń należy rozpatrzyć
pozostałą część wału:
 MS2  M2  50 N  m.
11 Skręcanie wałów okrągłych.doc
126
W powyższych równaniach równowagi przyjęto znak momentu skręcającego według rys. b. Dla ułatwienia obliczeń we wszystkich myślowych przekrojach korzystnie
jest przyjmować ten sam kierunek siły wewnętrznej. Uskoki na wykresie odpowiadają wartościom sił zewnętrznych – biernych (reakcja w utwierdzeniu) i czynnych (momenty obciążające).
Biegunowe momenty bezwładności wynoszą:

 

 d14z  d14w
 44  34
d24 34
4
J1 

 17,18 cm , J2 

 7,95 cm4.
32
32
32
32
Wskaźniki wytrzymałości przekroju na skręcanie:
W01 
J1
17,18  2

 8,59 cm3,
1
d
4
2 1z
W02 
d32 33

 5,3 cm3.
16
16
Maksymalne naprężenia styczne na odcinku AB oraz BC wału:
 AB 
MS1 200

 23,283 MPa,
W01 8,59
BC 
MS2 50

 9,434 MPa,
W02 5,3
przy czym przelicznik jednostek jest tutaj równy 1. Naprężenia styczne na wewnętrznej powierzchni wału na odcinku AB
W
AB 
MS1 d1w
200 3

 17,462 MPa.
J1 2
17,18 2
Kąt skręcenia odcinka AB oraz BC wału
MS1L1 180
200  3 180

 100  2,5,
4
GJ1 
8  10  17,18 
M L 180
 50  2 180
 S2 2

 100  0,9.
4
GJ 2 
8  10  7,95 
BA 
CB
Całkowity kąt skręcenia swobodnego końca wału
CA  BA  CB  2,5  0,9  1,6.
Wykres naprężeń stycznych i kątów skręcenia pokazano na rysunku.
PRZYKŁAD
Dla wału przedstawionego na rysunku wykonać wykresy momentów, naprężeń
oraz kątów skręcenia przekrojów poprzecznych. Przyjąć: M1 = 10 kNm, M2 = 5 kNm,
L = 1 m, d = 10 cm, G = 8104 MPa.
Wał w tym przykładzie jest utwierdzony na obu końcach – zadanie jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalne. Po uwolnieniu wału z więzów równanie równowagi
momentów względem osi wału ma postać:
MA  MB  M1  M2  0 MA  MB  M1  M2  5kN  m.
Zadanie zostanie rozwiązane metodą myślowych przekrojów oraz metodą wykorzystującą zasadę superpozycji.
11 Skręcanie wałów okrągłych.doc
127
Metoda myślowych przekrojów
Zgodnie z regułami określania myślowych przekrojów, w odniesieniu do wału pokazanego na rys. a należy rozpatrzyć cztery myślowe przekroje. Dla pierwszego
przekroju od lewej strony wału (rys. b) z równania równowagi otrzymuje się
MS1  MA.
Dla kolejnych przekrojów (rys. c, d, e):
MS2  MA,
MS3  MA  M1,
MS4  MA  M1  M2.
Równanie równowagi dla brakującego odcinka wału pozwala na sprawdzenie poprawności obliczeń (rys. f): MS4 = MB.
Do rozwiązania zadania konieczne jest drugie równanie, określane jako równanie
geometryczne, mówiące, że kąt skręcenia wału w utwierdzeniu jest równy zeru. Dla
utwierdzenia B równanie kąta skręcenia przekroju B względem A ma postać:
BA  0  1  2  3  3  0,
MS1L MS2L MS12L MS1L



 0.
2GJ1 2GJ2 3GJ3 3GJ3
Po określeniu biegunowych momentów bezwładności:


 d4  0,8d
d4
d4
0,6d
d4
J1 
 0,5904
, J2 
, J3 
 0,1296
32
32
32
32
32
4
4
oraz po uproszczeniu równania geometrycznego
9,0623MA  64,3  0

MA  7,095 kN  m.
Z równania statyki określa się drugi moment oporowy: MB = 5 – MA = –2,095 kNm.
Znak „–” oznacza, że na rys. a przyjęto niewłaściwy kierunek reakcji MB.
11 Skręcanie wałów okrągłych.doc
128
Zasada superpozycji
Według zasady superpozycji każde obciążenie działające na wał może być rozpatrywane oddzielnie, a ich skutki można sumować. Zgodnie z tym oblicza się kąty
skręcenia przekroju B wału wywołane działaniem momentów M1, M2 oraz MB, przy
czym moment oporowy MB jest traktowany tutaj równoważnie z pozostałymi momentami (rys. g, h, i). Równanie geometryczne ma wówczas postać
B  B1  B2  BB  0,
B1  
M1L
ML
ML
M L M 2L
ML
ML ML
 1 , B2  2  2  2 , BB  B  B  B ,
2GJ1 2GJ2
2GJ1 2GJ2 3GJ3
2GJ1 2GJ2 GJ3
MB  2,095 kN  m.
Moment MA wyznacza się z równania statyki.
Metoda superpozycji jako narzędzie do napisania równania geometrycznego jest
pod względem pracochłonności porównywalna z metodą myślowych przekrojów. W
celu wykonania wykresów należy zastosować metodę przekrojów, pozwalająca wyznaczyć MSi. Po obliczeniu Ji oraz W i można wykonać odpowiednie wykresy.
 10 4
 10 4
 579,62 cm4, J2 
 981,75 cm4,
32
32
4
 10
J3  0,1296 
 127,235 cm4,
32
J1  0,5904
J1
 103
3
W01 
 115,925 cm , W02 
 196,35 cm3,
0,5d
16
3
0,6  10
W03 
 42,41cm3,
16
7,095
7,095
 103  61,20 MPa, CD 
 103  36,13 MPa,
115,925
196,35
 2,905
2,095

 103  68,50 MPa, EB 
 103  49,40 MPa,
42,41
42,41
 AC 
DE
 AC 
7,095  0,5 180
 105  0,438,
4
8  10  579,62 
CD 
7,095  0,5 180
 105  0,259,
4
8  10  981,75 
DE 
 2,905  2  1 180
 105  1,090,
4
3  8  10 127,235 
EB 
2,095  1
180
 105  0,393.
4
3  8  10  127,235 
Poprawność obliczeń można sprawdzić za pomocą poniższego równania geometrycznego AC  CD  DE  EB  0.
Wszystkie wykresy pokazano na rys. a.
11 Skręcanie wałów okrągłych.doc
129
SKRĘCANIE SWOBODNE PRĘTÓW O PRZEKROJU NIEOKRĄGŁYM
 max 
MS
M l
,   S ,  *   3   max
WS
GJ S
WS  1b 2h, JS   2b3h,
Współczynniki  określa się z tabeli dla stosunku h/b
(h > b). Przykładowe wartości :
h/b
1
1,5
2
2,5
3
10

μ1
0,208
0,231
0,246
0,256
0,267
0,313
0,333
μ2
0,140
0,196
0,229
0,249
0,263
0,313
0,333
μ3
1,000
0,859
0,795
0,766
0,753
0,742
0,333
Dla h /  > 10
max 
MS
1
1
, WS   2h, JS   3h.
WS
3
3
Pręt cienkościenny o profilu otwartym:
WS 
n
JS
M J 
, JS   JSi ,  max  S  Si  .
i1
JS  WSi  max
 JSi 


 WSi  max
Maksymalne  występuje w tej części pręta, dla której JSi / WSi osiąga maksymalną wartość.
Pręt cienkościenny o przekroju zamkniętym:

MS
, WS  2A 0 min,
WS

(wzory Bredta)
2
0
MSL
4A
, JS 
,
ds
GJS


A0 – pole powierzchni ograniczone linią środkową,
 – grubość ścianki w miejscu obliczania .
M
1n
J    hii3, max  S max ,
3 I 1
J
Wyroby hutnicze:
max – największa szerokość prostokątnej części
kątowniki, ceowniki, teowniki, składowej przekroju,
dwuteowniki
 – współczynnik korygujący wg tabeli:
11 Skręcanie wałów okrągłych.doc
130