04. Projektowanie elementów sprężonych metodą Magnela
Transkrypt
04. Projektowanie elementów sprężonych metodą Magnela
PROJEKT MOSTY BETONOWE Projektowanie elementów sprężonych metodą Magnela 1. Podstawy teoretyczne metody Magnela 1.1. Projektowanie przekroju poprzecznego dźwigarów statycznie wyznaczalnych W projektowaniu przekroju belki sprężonej można wyodrębnić trzy podstawowe przypadki: a) gdy wymiary geometryczne przekroju są znane, a poszukiwana jest siła i mimośród siły sprężającej, b) gdy wymiary geometryczne przekroju są określone w funkcji jego wysokości i poszukiwana jest wysokość przekroju oraz siła i mimośród siły sprężającej, c) gdy w pierwszym etapie poszukiwane są cechy przekroju uogólnionego (moment bezwładności, wysokość, pole przekroju, względne położenie środka ciężkości) oraz siła i mimośród siły sprężającej, a w drugim etapie wymiary geometryczne przekroju spełniające cechy przekroju uogólnionego. Mgr inż. Krzysztof Śledziewski ([email protected]) 1 PROJEKT MOSTY BETONOWE Najczęściej spotykany jest przypadek pierwszy. Dotyczy on przede wszystkim projektowania mostów płytowych i skrzynkowych, zarówno prefabrykowanych jak i wykonywanych in-situ. Pozostałe dwa podejścia obliczeniowe stosuje się głównie przy projektowaniu wieloprzęsłowych mostów belkowych prefabrykowanych. 2. Trzy stadia obciążenia Niezależnie od wybranego przypadku, w obliczeniach należy uwzględnić trzy stadia obciążenia: Stadium budowy obejmujące przede wszystkim stadium początkowe „0” (sprężenie), a także stadium transportu, montażu itp., Stadium bezużytkowe „1” obejmujące okres po zakończeniu budowy, w którym występują tylko obciążenia stałe, Stadium użytkowe „2” obejmujące przypadek ekstremalnych obciążeń w czasie eksploatacji. W stadium początkowym siła sprężająca ma największa wartość, a w stadiach bezużytkowym użytkowym przyjmuje się, że działa już trwała siła sprężająca – zmniejszona o straty doraźne i reologiczne. Dla stadium początkowego obciążeniem będzie ciężar własny elementu: G Dla stadium bezużytkowego obciążenie stałe wzrośnie o ciężar betonu dodany po sprężeniu oraz ciężar elementów wyposażenia: G+∆G W stadium użytkowym oprócz ciężaru stałego na ustrój będzie działało obciążenie użytkowe: G+∆G+Q 3. Założenia metody Dla znanych wymiarów przekroju poprzecznego można wyznaczyć wszystkie charakterystyki geometryczne: - pole przekroju AC - moment bezwładności IC - położenie środka ciężkości i' - wskaźnik zginania WC , W 'C ( Wc -granice rdzenia właściwego rW , r 'W ( rw Mgr inż. Krzysztof Śledziewski ([email protected]) Ic I ; Wc c ) v v W W ; rw ) Ac Ac 2 PROJEKT MOSTY BETONOWE Po przyjęciu siły sprężającej P i mimośrodu sprężającego zcp można wyznaczyć naprężenia w skrajnych włóknach przekroju: - w stadium początkowym „0” M P0 P0 zcp g k '0 g AC IC IC P z M P d 0 0 cp ' g ' k0 AC IC IC - w stadium bezużytkowym „1” M g g P P zcp k '1 g AC IC IC P zcp M d P ' g g ' k1 AC IC IC - w stadium użytkowym „2” M P P zcp g g q k '2 g AC IC IC P z M cp d P ' g g q ' k2 AC IC IC Dla naprężeń przyjmuje się następujące wartości graniczne: k i – maksymalna dopuszczalna wartość naprężeń w danym stadium, k'i – minimalna dopuszczalna wartość naprężeń w danym stadium. UWAGA !! W obliczeniach przyjmujemy k 'i ze znakiem „-”, który oznacza rozciąganie. Wartości k związane są ze stanem granicznym nośności sprężystej, w związku, z czym siły wewnętrzne wyznacza się dla obciążeń obliczeniowych, podstawiając: k 0 f cd , 0 k1 k 2 f cd Wartości k’ są natomiast związane ze stanem granicznym użytkowalności, w którym siły wewnętrzne wyznacza się dla obciążeń charakterystycznych, podstawiając: - dla mostów drogowych: k ' 0 k '1 k ' 2 f ctk 0 , 05 - dla mostów kolejowych: k '0 f ctk 0,05 k '1 k '2 0 - dla wszystkich rodzajów mostów wykonanych z segmentów: Mgr inż. Krzysztof Śledziewski ([email protected]) k '0 k '1 k '2 0 . 3 PROJEKT MOSTY BETONOWE 4. Warunki na naprężenia w skrajnych włóknach przekroju Dla pierwszego przypadku obliczeniowego, w którym poszukiwanymi były siła sprężająca i jej mimośród, wyznaczamy te wartości przekształcając powyższe wzory, otrzymując: - w stadium początkowym „0” r 'w 1 P ( M Wk ' ) y '0 0 g z r' w cp rw 1 P ( M W ' k ) y0 0 g z r w cp , - w stadium bezużytkowym „1” r 'w 1 y '1 P M g g Wk '1 z r' w cp rw 1 y1 P M , g g W ' k1 z r w cp - w stadium użytkowym „2” rw 1 y '2 P M g g q W ' k ' 2 z r w cp r 'w 1 y2 P M , g g q Wk 2 z r ' w cp gdzie: P P0 - współczynnik strat reologicznych. Mgr inż. Krzysztof Śledziewski ([email protected]) 4 PROJEKT MOSTY BETONOWE W płaskim układzie współrzędnych zcp , 1 obszarem rozwiązań każdej nierówności jest P półpłaszczyzna z ograniczającą ją prostą. Rys. 1. Obszar dopuszczalnych rozwiązań wielkości siły sprężającej i mimośrodu siły sprężającej. Rozwiązaniem metody Magnela jest wspólny obszar sześciu półpłaszczyzn (rys. 1), który należy ograniczyć dodatkowymi warunkami. Mgr inż. Krzysztof Śledziewski ([email protected]) 5 PROJEKT MOSTY BETONOWE 4.1. Warunek konstrukcyjny Ze względu na konieczność zapewnienia stali sprężającej odpowiedniej otuliny, należy powyższy obszar dodatkowo ograniczyć warunkiem konstrukcyjnym: zcp ' a p min zcp ,max UWAGA !! Przy doborze max. dopuszczalnego mimośrodu kabli sprężającego zcp max należy pamiętać, że w obliczeniach posługujemy się położeniem cięgna wypadkowego. Cięgna rzeczywiste występują także poniżej cięgna wypadkowego. 4.2. Warunek bezpieczeństwa zarysowania Moment rysujący wywołuje w skrajnych włóknach naprężenia rozciągające f ctm . Po przyjęciu uproszczonego liniowego rozkładu naprężeń rozciągających z ekstremalną wartością f ctm , z warunku równowagi na naprężenia normalne dla skrajnego włókna rozciągającego otrzymuje się: M cr P W' P z cp f ctm W ' Ac gdzie: 2 jest współczynnikiem uplastycznienia zwykle przyjmowanym 1,7, ale wg EC2 jest równy 1,0 1 Po przekształceniach, w układzie współrzędnych zcp , otrzymujemy kolejną półpłaszczyznę wraz z P ograniczającą ją prostą: rw 1 y2r P s1 M g g q f ctm W ' z cp rw Mgr inż. Krzysztof Śledziewski ([email protected]) 6 PROJEKT MOSTY BETONOWE 4.3. Warunek bezpieczeństwa na zniszczenie przekroju Zniszczenie przekroju sprężonego może być spowodowane wyczerpaniem nośności strefy rozciąganej lub wyczerpaniem nośności strefy ściskanej betonu. Przyjmuje się, że zniszczenie nastąpi po zarysowaniu. Rozkład sił przedstawiony jest na rysunku, przy następujących założeniach: - równomierny rozkład naprężeń w strefie ściskanej odpowiada wytrzymałości betonu, - pominiecie betonu w strefie rozciąganej, - naprężenia w stali sprężającej i zbrojeniowej w strefie rozciąganej odpowiadają wytrzymałości na rozciąganie, - naprężenia w stali zbrojeniowej w strefie ściskanej osiągają wytrzymałość na ściskanie. Dla przypadku zniszczenia ze względu na stal, z warunku równowagi sił w przekroju: - z sumy momentów względem wypadkowej strefy ściskanej betonu: M R , p c f pk A p1 h a p x 0 f yk 1 As1 h a x 0 f ' yk 2 As 2 x 0 a ' - z sumy rzutów sił: Acc 1 c f pk A p1 f yk 1 As1 f ' yk 2 As 2 p 2 A p 2 f ck Przy pominięciu zbrojenia zwykłego oraz stali sprężającej w strefie ściskanej, otrzymujemy: M R , p c f pk S p i Acc 1 c f pk A p1 f ck gdzie: c - współczynnik współpracy cięgna z betonem ( c 1 dla strunobetonu, c 0,75 przy braku Sp współpracy), - moment statyczny przekroju stali sprężającej względem środka ciężkości strefy ściskanej betonu, Mgr inż. Krzysztof Śledziewski ([email protected]) 7 PROJEKT MOSTY BETONOWE Ss - moment statyczny przekroju stali zbrojeniowej względem środka ciężkości strefy ściskanej betonu. Niespełnienie wymogu bezpieczeństwa na zniszczenie ze względu na stal nie wymaga ani zwiększenia przekroju betonowego ani siły sprężającej- wystarczy zwiększyć przekrój stali sprężającej bądź zwykłej. Nie ma zatem wpływu na dobór siły sprężającej i mimośrodu siły sprężającej. Dla przypadku zniszczenia ze względu na beton z sumy momentów względem środka ciężkości rozciąganej stali sprężającej, przy pominięciu zbrojenia zwykłego i braku stali sprężającej w strefie ściskanej, otrzymujemy: M R ,c f ck S c Sc - moment statyczny ściskanej strefy betonu względem środka ciężkości rozciąganej stali sprężającej. O ile w przypadku zniszczenia ze względu na stal wysokość strefy ściskanej wyznacza się z warunku sumy rzutów sił, to w przypadku zniszczenia ze względu na beton mamy do czynienia z graniczną wysokością strefy ściskanej. Uwzględniając to zjawisko, wzór na nośność ze względu na beton, można, po kilku uproszczeniach przedstawić w następującej postaci: M R ,c f ck S 0 Sp i Sc S0 - moment statyczny użytecznego przekroju betonowego względem środka ciężkości rozciąganej stali sprężającej. A ostatecznie: M R ,c z cp Ac f ck ' (wartość można w przybliżeniu przyjąć 0,75). Po uwzględnieniu warunku bezpieczeństwa M R ,c s 3 M g g q , otrzymujemy: z cp s 2 M g g q Ac f ck z cp,min Po naniesieniu na wykres wszystkich powyższych warunków (stan nośności sprężystej, warunek bezpieczeństwa na zarysowanie i na zniszczenie oraz warunek konstrukcyjny), uzyskuje się ostatecznie pole pozwalające dobrać mimośród i siłę sprężającą . Przy ostatecznym sprawdzeniu warunków stanu granicznego nośności sprężystej, w stadium początkowym elementów kablobetonowych należy przyjąć przekrój netto (po potrąceniu otworów), natomiast dla elementów strunobetonowych dla wszystkich stadiów oraz dla elementów kablobetonowych po zainiektowaniu kanałów (w stadium bezużytkowym i użytkowym) należy przyjąć przekrój sprowadzony tj. z uwzględnieniem stali sprężającej i zbrojenia. Mgr inż. Krzysztof Śledziewski ([email protected]) 8 PROJEKT MOSTY BETONOWE 5. Algorytm projektowania Dla ustalonego przekroju elementu sprężonego w celu zaprojektowania siły sprężającej i mimośrodu siły sprężającej należy: 1. Obliczyć ekstremalne momenty zginające: od obciążeń charakterystycznych, od obciążeń obliczeniowych. 2. Przyjąć wartości: wytrzymałości obliczeniowych k (0,1,2), wytrzymałości charakterystycznych k’ (0,1,2), wytrzymałości charakterystycznych f ck , f pk , f yk , współczynnika strat reologicznych , globalnych współczynników bezpieczeństwa s1 , s 2 , s 3 , minimalnej otuliny wypadkowego cięgna i stali zbrojeniowej, współczynnika uplastycznienia , współczynnika współodkształcalności c. 3. Wyznaczyć charakterystyki geometryczne przekroju: Pole przekroju Ac , Położenie środka ciężkości, moment bezwładności I, wskaźniki zginania W ,W ' , Granice rdzenia właściwego rw , r ' w . 4. Wyznaczyć obszar sześciu półpłaszczyzn, podstawiając odpowiednio momenty od obciążeń charakterystycznych (k) i obliczeniowych dla każdej z faz pracy (k’). 5. Wyznaczyć półpłaszczyznę uwzględniającą warunek na zarysowanie (podstawiając moment od obciążeni charakterystycznych). 6. Wyznaczyć półpłaszczyznę uwzględniającą warunek bezpieczeństwa na zniszczenie ze względu na beton (podstawiając moment od obciążeń obliczeniowych). 7. Nanieść półpłaszczyznę ograniczającą minimalną otulinę betonu. 8. Dobrać siłę sprężającą i mimośród siły sprężającej z dopuszczalnego obszaru (zwykle dąży się do przyjęcia maksymalnego mimośrodu przy minimalnej wartości siły sprężającej). przyjąć mimośród wypadkowej siły sprężającej ( zcp ,min zcp ,max ), 1 , P – siła po stratach, P odczytać odpowiadającą przyjętemu mimośrodowi wartość obliczyć siłę sprężającą (odwrotność odczytanej z wykresy wartości), obliczyć początkową siłę sprężającą P0 P . 9. Obliczyć potrzebną powierzchnię stali sprężającej A p P , przyjąć rodzaj kabli 0.55 f pk i liczbę kabli w przekroju z rozmieszczeniem spełniającym warunki konstrukcyjne. 10. Przyjąć zbrojenie konstrukcyjne ze stali zwykłej. Mgr inż. Krzysztof Śledziewski ([email protected]) 9