Proste zginanie belek, łuków, ram

Transkrypt

Proste zginanie belek, łuków,
ram
dr hab. inż. Tadeusz Chyży
Katedra Mechaniki Konstrukcji
Siły zewnętrzne
to siły skupione,
momenty oraz
obciążenia
ciągłe o stałym
lub zmiennym
natężeniu.
Obok sił
czynnych
występują siły
bierne, czyli
reakcje więzów
y
M
q
P
RAx
A
l
RAy
x
B
l/2
l/2
RB
2
Siły wewnętrzne
(tzw. wysiłek
przekroju) dzielą
się na siły
normalne,
poprzeczne
(tnące) oraz
momenty:
skręcające lub
gnące
n
Ms
T
N
C
Mg
3

Siły wewnętrzne
Dowolny przestrzenny układ sił, obciążających
dany element konstrukcyjny, można
zredukować do wektora głównego (W) i
momentu głównego (M) w środku
geometrycznym („śr. ciężkości”) przekroju
(pkt. C).
Wynika to z faktu, iż siły zewnętrzne (czynne i
bierne) powodują powstawanie w przekrojach
elementu (pręta, belki, wału) pewnego układu sił
wewnętrznych, które można zastąpić wektorem
głównym W i momentem głównym M,
przyłożonymi w środku geometrycznym
przekroju; siły wewnętrzne oznaczają
oddziaływanie odrzuconej części elementu na
część rozważaną.
4

Siły wewnętrzne
Wektor główny („wypadkową”) W
można rozłożyć na dwie
wzajemnie  składowe:
normalną N i styczną T.
5

Siły wewnętrzne
Wektor momentu głównego M
można rozłożyć na składową
styczną do przekroju (Mg) i
normalną (Ms).
6

Siły wewnętrzne
Zastosowano więc zasadę superpozycji, zgodnie z rysunkiem poniżej
7

Definicje sił
wewnętrznych

Siłą (wewnętrzną) normalną (N) w
danym przekroju elementu (pręta)
nazywa się sumę rzutów wszystkich
sił działających po jednej stronie
przekroju na kierunek normalny do
tego przekroju
Siłą tnącą (poprzeczną) (T) w
danym przekroju elementu (belki)
nazywa się sumę rzutów wszystkich
sił działających po jednej stronie
przekroju na kierunek styczny do
tego przekroju
8

Definicje sił
wewnętrznych

Momentem gnącym (Mg) w danym
przekroju poprzecznym elementu
(belki) nazywa się składową styczną
wektora momentu wszystkich sił
działających po jednej stronie tego
przekroju, względem jego środka
ciężkości/śr. geometrycznego
Momentem skręcającym (Ms) w
danym przekroju poprzecznym
elementu (wału) nazywa się składową
normalną wektora momentu
wszystkich sił działających po jednej
stronie tego przekroju, względem jego
środka ciężkości/śr. geometrycznego
9

Siły wewnętrzne – przypadki szczególne
 Jeżeli w danym przekroju
elementu występuje tylko Mg , to
jest to przypadek czystego
zginania; moment gnący można
wówczas rozłożyć (dla ułatwienia
obliczeń) na dwie prostopadłe
składowe, działające wzdłuż osi y i
z: My i Mz
10

 Jeżeli w danym przekroju
elementu występuje tylko Mg i T, to
jest to przypadek zginania z
udziałem sił poprzecznych
(tnących); siłę tnącą również
można rozłożyć na dwie
prostopadłe składowe, działające
wzdłuż osi y i z: Ty i Tz
11

 Jeżeli siła tnąca (T) i para sił o
momencie Mg działają w jednej i tej
samej płaszczyźnie, a płaszczyzna ta
zawiera osie główne centralne
bezwładności przekroju
poprzecznego, to zginanie takie
nazywa się płaskim lub prostym;
w myśl tej definicji obydwa poprzednie
przypadki to przypadki tzw. zginania
ukośnego, czyli zginania, w którym
płaszczyzna działania pary sił nie
pokrywa się z osią główną
(odśrodkowy moment bezwładności
przekroju (Iyz) nie równa się zero.
12

Przykład płaskiego/prostego zginania przedstawia poniższy rysunek
P
A
B
RA
RB
13

Umowa
dotycząca
znaków sił
wewnętrznych
!! umowa
dotyczy
zarówno
prawej, jak i
lewej części
belki !!
Moment gnący jest dodatni, gdy
belka wygina się do dołu
Mg

Mg
Siła tnąca jest dodatnia, gdy stara
się obrócić część belki odciętą
przekrojem w prawo (CW)
T
T
14

Umowa
dotycząca
znaków sił
wewnętrznych
N

Wektor Ms
pozornie
„rozciąga” wał
Siła normalna jest dodatnia, gdy
powoduje rozciąganie pręta
N
Moment skręcający jest dodatni,
gdy wektor momentu jest zwrócony
na zewnątrz wycinka wału
Ms
Ms
15
16

Użyteczne definicje i twierdzenia dotyczące
zginania
Płaszczyzna zginania – płaszczyzna, w której leżą
siły zewnętrzne (czynne i bierne) powodujące
płaskie zginanie (w przypadku zginania ukośnego
oś pręta staje się krzywą przestrzenną!).
belka – pręt pracujący głównie na zginanie;
łuk – belka o osi zakrzywionej (przed obciążeniem);
rama – „belka o osi łamanej” (kąty naroży nie
zmieniają się po obciążeniu) lub: układ belek
sztywno połączonych ze sobą.
16

Użyteczne definicje i twierdzenia dotyczące
zginania
Zginanie nierównomierne ma miejsce, gdy moment gnący nie jest stały
wzdłuż osi belki.
Czyste zginanie (rys. poniżej) zachodzi wtedy, gdy w danym przedziale
długości belki moment gnący jest stały, tzn. gdy siła tnąca równa się zero
(T=0).
17

Związki między siłami wewnętrznymi w belce
zginanej
Na długości dx belki zginanej następuje znikomo mały przyrost (zmiana)
siły tnącej (dT) i momentu gnącego (dMg).
18
19

zginanej
Równania równowagi wycinka
belki o długości dx:
Piy  T  qx  dx  T  dT   0

M iC  M izC 


1
 M g  qx  dx  dx 
2

   M g  dM g   T  dT   dx  0



przy czym qx=q(x)
19
Proste zginanie belek, łuków lub ram

zginanej
dT
Z pierwszego równania wynika zależność:
qx  
dx
Tw. 1.: Natężenie qx [N/m] obciążenia ciągłego jest równe pochodnej siły
tnącej (T) względem współrzędnej x („po długości belki”), wziętej ze
znakiem minus; znak ten wynika z przyjętej umowy, dotyczącej znaków sił
tnących.
Z drugiego równania, pomijając małe wyższego rzędu, otrzymuje się:
T
dM g
dx
Tw. 2.: Siła tnąca (T) w danym przekroju belki jest równa pochodnej
momentu gnącego (Mg) występującego w tym przekroju, względem
współrzędnej x.
20

Momenty bezwładności i wskaźniki wytrzymałości na
zginanie typowych przekrojów belek
bh3
Izc  Iz  I 
12
 D4  R4
I

64
4
  D4  d4    R4  r4 
I

64
4
bh3
I
36
21

Wskaźnik wytrzymałości przekroju belki na zginanie (W z , W)
oblicza się w przypadku ogólnym jako:
Iz
Wz 
ymaks
(a)
gdzie: ymaks oznacza odległość najdalszego punktu przekroju
poprzecznego belki od jego osi głównej centralnej z
(czyli tzw. osi obojętnej – osi, gdzie naprężenia są równe zeru).
!! Wskaźniki nie są addytywne (dodawalne) !!
Dodawać można tylko momenty bezwładności (I ), obliczone względem tej samej
osi. W związku z tym, dla przekrojów złożonych z prostych figur oblicza się najpierw
moment bezwładności (I ) drogą sumowania, a następnie ze wzoru (a) oblicza się
wskaźnik (W).
22

2
bh
W
6
3
3
D R
W

32
4
  D4  d 4    R4  r4 
W

32D
4R
bh2
W
24
23

Obliczenia wytrzymałościowe na zginanie
W zagadnieniach zginania, w celu wyznaczenia wymaganych wymiarów
(kształtu) przekroju poprzecznego belki należy zastosować następujący
wzór:
Mmaks
g 
 kg
W
(b)
Jest to warunek wytrzymałości na zginanie. Mmaks oznacza największą (co
do wartości bezwzględnej/modułu) wartość wewnętrznego momentu
gnącego, którą odczytuje się z wykresów sił wewnętrznych.
Ze wzoru (b) można też wyznaczyć dopuszczalną wartość momentu
gnącego (Mdop), jeżeli dane są wymiary (kształt) przekroju belki.
Ponadto, w niektórych przypadkach należy przeprowadzić obliczenia na
ścinanie, ze względu na występowanie sił tnących (T).
24

Odkształcenia belki przy czystym zginaniu
25

26

W przypadku czystego zginania (T=0) rozwiązanie zadania opiera się na
dwu hipotezach:
Hipoteza 1.: Wszystkie przekroje odkształconej belki, które były płaskie
przed odkształceniem, pozostaną płaskie po odkształceniu podczas
czystego zginania (jest to tzw. hipoteza płaskich przekrojów).
Hipoteza 2.: W pręcie poddanym czystemu zginaniu poszczególne warstwy
równoległe do (zakrzywionej) osi pręta, a prostopadłe do płaszczyzny
zginania, znajdują się w jednokierunkowym stanie naprężenia, tzn. są
wyłącznie rozciągane, bądź ściskane i nie wywierają na siebie nawzajem
żadnych nacisków poprzecznych (wzdłuż promienia krzywizny ()).
27

Włókno materialne jest to linia równoległa do osi belki przed
odkształceniem, łącząca ciągle te same punkty materialne wzdłuż osi belki,
nawet po odkształceniu.
Warstwą obojętną nazywa się warstwę włókien, które podczas zginania nie
ulegają ani wydłużeniu, ani skróceniu, a naprężenia w tej warstwie są
równe zeru; jest to więc powierzchnia prostopadła do płaszczyzny zginania,
zawierająca (zakrzywioną) oś belki; powierzchnia ta przed odkształceniem
była płaszczyzną xz.
Osią obojętną (oś belki) nazywa się ślad warstwy obojętnej na
płaszczyźnie przekroju poprzecznego zginanej belki; jest nią oś z.
28

Analiza naprężeń w belce przy czystym zginaniu
Rozpatrzmy równowagę lewej
części pręta odciętej przekrojem
ABKL...
Promień krzywizny warstwy
obojętnej KK1 oznaczmy przez .
Wtedy
.

KK1  
Włókno QQ1, położone w
odległości y od warstwy obojętnej,
ma przed odkształceniem długość
taką samą jak KK1:
.
QQ1  KK1
29

      y 
Po odkształceniu QQ
.
1
Wydłużenie względne (skrócenie, gdy y<0) tego włókna oblicza się jako:

  KK

QQ
1
1

KK
1

    y    
 

y

Naprężenie we włóknie QQ1 wynosi więc:
y
y  E   E

(c)
Uwaga! maks=min tylko wtedy, gdy warstwa obojętna jest powierzchnią
środkową.
30

Promień krzywizny warstwy obojętnej =const
w całym przekroju poprzecznym belki, a przy
czystym zginaniu belki pryzmatycznej (o
stałym przekroju) – w całej belce. Stąd
wnioskuje się, biorąc pod uwagę wzór (c), że
naprężenie (y=(y)) zmienia się liniowo z
odległością (y) od warstwy obojętnej.
Naprężenia te muszą zapewniać równowagę
rozpatrywanej części pręta.
Elementarna siła dP na nieskończenie małym
polu dA, po uwzględnieniu wzoru (c) wynosi:
y
dP   EdA

31

Z warunków równowagi wynika, że suma (całka) sił elementarnych dP,
zebranych na całym polu przekroju poprzecznego pręta musi równać się zeru:
y
E
A dP  A   EdA    A ydA  0
Całka w powyższym wzorze (moment statyczny przekroju) jest równa zeru
względem każdej osi przechodzącej przez środek geometryczny  wniosek:
warstwa obojętna przechodzi przez środki geometryczne przekrojów
poprzecznych pręta.
Odkształcenia przy zginaniu są bardzo małe  wniosek:
oś obojętna jest prostą przechodzącą przez środek geometryczny
przekroju (punkt C);
warstwa obojętna jest powierzchnią walcową (przy czystym zginaniu)
32

Moment siły elementarnej dP względem osi obojętnej wynosi: dM=dPy.
Suma (całka) tych momentów zebrana po całym przekroju A musi
zrównoważyć moment sił zewnętrznych Mg. Wynika stąd drugie równanie
równowagi:
y
E 2
M g    dP  y    EdA  y    y dA

A
A
A
Całka w powyższym wzorze to moment bezwładności przekroju
poprzecznego pręta względem osi obojętnej (z):
I z   y 2 dA
A
33

E
Wynika stąd zależność: M g   I z lub

Mg
1
k  

EI z
Uwzględniając wzór (c) można zapisać:
 y Mg

y
Iz
lub
y 
Mg y
Iz
Jeżeli warstwa obojętna jest powierzchnią środkową belki, to naprężenia
gnące maksymalne i minimalne są sobie równe (maks=min=g ) i wynoszą:
g 
M g ymaks
Iz
gdzie ymaks jest największą odległością włókien od warstwy obojętnej
34

Zauważmy, że:
Iz
ymaks
 Wz  W
Warunek wytrzymałości na zginanie zapisuje się więc następująco:
g 
Mg
Wz
 kg
gdzie kg oznacza naprężenia dopuszczalne na zginanie; na ogół (dla stali,
stopów miedzi lub aluminium) kg=kr.
35

W przypadku materiałów kruchych (żeliwo, beton) kc>kr. Wówczas
sprawdza się dwa warunki wytrzymałościowe:
1.dla włókien rozciąganych:
2.dla włókien ściskanych:
 g1 
 g2 
M g y1
Iz
M g y2
Iz
 kr
 kc
gdzie y1, y2 są odpowiednio odległościami od warstwy obojętnej
najdalszego włókna rozciąganego, bądź ściskanego
36

Proste zginanie belek, łuków, ram

Transkrypt

Podobne dokumenty

Laboratoria MES Porównanie ugięcia kształtowników.

Opis boksu bagażowego Sportac Scout 460