Wykład 6 - pdf 224 KB
Transkrypt
Wykład 6 - pdf 224 KB
POLE MAGNETYCZNE Prawo Ampera r Kierunek wektora B – reguła prawej ręki. r Cyrkulacją wektoraB po okręgu r r r B d s B d s ⋅ = ∫ ∫ = l 2I 2π r = µoI 2 4πε oc r Można wykazać, że związek ten jest słuszny dla konturu dowolnego kształtu obejmującego przewodnik. r ds ds,2, Przewodnik l Rys. 6.1. Całkę krzywoliniową oblicza się po zaznaczonym okręgu o promieniu r. Zaznaczono element konturu całkowania r ds . I ds1, , ,, ds2 ds1 ds 2 ds1 Rys. 6.2. Dowolny kontur wokół przewodnika z prądem skierowanym zza płaszczyzny rysunku. Widzimy, że r r r r r' r' ' r B1 ⋅ ds1 = B1 ⋅ (ds1 + ds1 ) = B1 ⋅ ds1' Podobnie r r r r r r' r r' B1 ⋅ ds1 + B2 ⋅ ds2 = B1 ⋅ ds1 + B2 ⋅ ds2 r r Ponieważ dla wszystkich łuków okręgów tworzących jednakowe kąty, wartości B ⋅ ds są jednakowe, to r r ∫ B ⋅ ds = po konturze r r ∫ B ⋅ ds = µ o I po okręgu Jeżeli dowolny kontur obejmuje n przewodników r r r r B1 + B2 + ... + Bn ⋅ ds = µo (I1 + I2 + ... + In ) ∫( ) Stąd r r ∫ B ⋅ ds = µ o Ic (6.1) C Prawo Ampera: cyrkulacja wektora indukcji magnetycznej jest równa sumie algebraicznej natężeń prądów płynących wewnątrz konturu całkowania pomnożonych przez przenikalność magnetyczną ośrodka. W ogólnym przypadku przenikalność magnetyczna ośrodka µ = µo µr (6.2) gdzie µρ jest względną przenikalnością magnetyczną. W przypadku prądu niejednorodnego, prawo Ampera zapisujemy w postaci r r r r ∫ B ⋅ ds = µ o ∫ j ⋅ dS C (6.3) S gdzie powierzchnia S jest rozpięta na konturze C. Pole elektrostatyczne jest zachowawcze co oznacza, że r r ∫ E ⋅ ds = 0 C r Pole magnetyczne nie jest polem zachowawczym, ponieważ cyrkulacja wektora B po konturze zamkniętym jest różna od zera. Pole takie nazywamy wirowym. Strumień magnetyczny Strumień magnetyczny r r Φ B = ∫ B ⋅ dS (6.4) S Całka powyższa po dowolnej zamkniętej powierzchni jest równa zeru (do wnętrza powierzchni wchodzi dokładnie taki sam strumień, jaki z niej wychodzi). Jeżeli mamy n prądów to wytworzony przez nie strumień jest równy r r r r r r ∫ B ⋅ dS = ∫ B1 ⋅ dS + ... + ∫ Bn ⋅ dS r gdzie Bi (i = 1, 2,...., n) pole magnetyczne wytworzone przez i-ty prąd. Ponieważ każdy człon prawej części równania jest równy zeru, to mamy r r ∫ B ⋅ dS = 0 (6.5) Twierdzeniem Gaussa: Strumień magnetyczny przez dowolną zamkniętą powierzchnię równa się zeru. W przyrodzie nie występują ”ładunki” magnetyczne. Oznacza to, że pole magnetyczne jest bezźródłowe. Jednostką strumienia jest weber; Wb = Tm2. Prawo Biota-Savarta-Laplace’a r Element przewodnika dl z prądem I daje r przyczynek dB do indukcji magnetycznej z określony wzorem r µo µr I r r dB = dl × r 3 4π r r Natężenie pola magnetycznego H związane r z indukcją B następującą zależnością dl ϕ dB x (6.6) r r B H= µo µ r r P y r Rys. 6.3. dB jest indukcją pola r magnetycznego jakie wytwarza element dl r przewodnika z prądem w odległości r od tego elementu. (6.7) Wzór ten jest słuszny dla przypadku jednorodnego, rizotropowego ośrodka dla którego wektor H jest równoległy do wektora r r B . Natężenie pola H mierzymy w jednostkach A/m. Ze wzorów (6.6) i (6.7) wynika, że r dH = r r I dl × r 3 4π r (6.8) r r Odpowiednikiem wektora pola elektrycznego E jest wektor indukcji magnetycznej B ponieważ r r zarówno wielkość E jak i wielkość B określają dynamiczne oddziaływania tych pól i zależą od właściwości ośrodka, w którym wytwarzane są pola. Z kolei odpowiednikiem wektora indukcji r r elektrycznej D jest natężenie pola magnetycznego H . r Zgodnie z zasadą superpozycji, indukcja magnetyczna B w dowolnym punkcie pola magnetycznego przewodnika przez który płynie prąd I równa się sumie wektorowej indukcji r ∆ Bi elementarnych pól magnetycznych wytwarzanych przez poszczególne odcinki ∆ l i tego przewodnika n r r B = ∑ ∆ Bi (6.9) i =1 gdzie n oznacza ogólną liczbę odcinków, na jakie podzielony został przewodnik. W granicy, gdy n dąży do nieskończoności r r B = ∫ dB l (6.10) Prostoliniowy przewodnik z prądem Prawo Biota-Savarta-Laplace’a w postaci skalarnej ma postać M dl µ o µ r IdI sin φ dB = 4π r2 ϕ1 BD Cϕ E r gdzie r ϕ oznacza kąt zawarty między wektorami dl ir. r dϕ ro (6.11) A B r Wektor B jest równy bezwzględnej algebraicznej r sumie modułów wektorów dB B= µo µr Idl sin φ µo µr dl sin φ ∫ 4π r 2 = 4π I ∫ r 2 (6.12) Jak wynika z rys. 6.4 I N r = ϕ2 ro sin φ dl = oraz CD sin φ Tymczasem CD = rdϕ, a stąd Rys. 6.4. Pole magnetyczne prostoliniowego przewodnika z prądem. dl = rdφ sin φ = ro d φ sin 2 φ Podstawiając wyrażenie na r i dl do (6.12) uzyskamy φ µ µI µo µ r 2 B= I ∫ sin φdφ = o r (cos φ1 − cos φ2 ) 4π ro φ1 4πro gdzie ϕ1 i ϕ2 oznaczają wartości kąta ϕ dla skrajnych punktów M i N przewodnika. Jeżeli przewodnik jest nieskończenie długi, wówczas ϕ1 = 0 i ϕ2 = π co prowadzi do wyniku B= µo µr 2I 4π ro Potwierdziliśmy więc uprzednio uzyskane wyrażenie (5.24). (6.13) Solenoid I A B I xo D C Rys. 6.5. Solenoid. Prostokąt zaznaczony linią przerywaną jest konturem całkowania w prawie Ampera. Jeżeli zwoje solenoidu są rozmieszczone dostatecznie blisko siebie, wówczas solenoid można rozpatrywać jako układ połączonych szeregowo prądów kołowych o jednakowym promieniu, mających wspólną oś. Niech n oznacza ilość zwojów na jednostkę długości. Skorzystamy z prawa Ampera dla prostokątnego konturu ABCD r r ∫ B ⋅ ds = µo µr Ical ABCD W naszym przypadku Icał = nxoI, gdzie I jest natężeniem prądu płynącego przez solenoid. W związku tym możemy dalej napisać r r Bwew ∫ ds + AB ∫ BC r r r r B ⋅ ds + Bzew ∫ ds + CD r r ∫ B ⋅ ds = µo µr nxoI DA W wyrażeniu tym: • pierwsza całka jest równa Bx o , • druga i czwarta całka są zerowe, • wartość trzeciej całki równa się zeru. Tak więc Bx o = µo µr nxoI czyli B = µo µr nI (6.14) Kształt linii sił pola magnetycznego solenoidu jest podobny do linii sił pola wokół magnesu stałego o podobnym kształcie (rys. 6.6). N S (a) (b) Rys. 6.6. Linie sił pola magnetycznego magnesu stałego (a) i solenoidu (b) o podobnym kształcie. Oddziaływanie przewodników z prądem W oparciu o wzór r r r Fmag = qv × B r obliczymy siłę która działa na element przewodnika dl . r Na ładunek dq poruszający się z prędkością v działa siła r r r r dl r dq r r dF = dqv × B = dq × B = dl × B dt dt czyli r r r dF = Idl × B (6.16) Jest to wzór Ampera na siłę elektrodynamiczną. Aby policzyć siłę działającą na cały przewodnik z r prądem, należy podzielić go na elementy o długości dl i zsumować wektorowo przyczynki dla każdego elementu. W elektrostatyce mamy do czynienia z siłami centralnymi. Tymczasem siła oddziaływania elektromagnetycznego skierowana jest prostopadle do linii sił pola magnetycznego. Oddziaływanie wzajemne równoległych prądów można wytłumaczyć uwzględniając fakt, że każdy z przewodników wytwarza pole magnetyczne, oddziaływujące na drugi przewodnik z prądem. I1 B2 F1 F2 B2 B1 B1 I1 F1 a (a) I2 a F2 (b) Rys. 6.8. Oddziaływanie między dwoma równoległymi przewodnikami z prądem. Przewodnik 1 wytwarza pole B1 w odległości a od siebie B1 = µ o µ r 2I1 4π a Pod wpływem tego pola na przewodnik 2 działa siła dF2 µ o µ r 2I1I 2 dF2 = dl 4π a gdzie dl jest elementem drugiego przewodnika. W sposób analogiczny można pokazać, że µ o µ r 2I1I 2 dF1 = dl 4π a Można zatem napisać dF1 = dF2 = dF r Siła F działająca na odcinku przewodnika o skończonej długości l wynosi µ o µ r 2I1I 2 F = l, 4π a a z ostatniego wyrażenia mamy siłę działającą na jednostkę długości każdego z przewodników F µ o µ r 2I1I 2 = l 4π a (6.17) Amper jest natężeniem prądu, który płynąc w dwóch równoległych, prostoliniowych, nieskończenie długich przewodnikach o przekroju okrągłym, znikomo małym; umieszczonych w odległości 1m jeden od drugiego, wywołałby między tymi przewodnikami siłę oddziaływania 2×10–7 N na każdy metr długości. Efekt Halla Zjawisko Halla polega na powstaniu w metalu lub półprzewodniku, pola r elektrycznego skierowanego r prostopadle do wektora magnetycznego B i wektora gęstości prądu j płynącego w próbce. Zjawisko to zostało odkryte przez amerykańskiego fizyka Halla w 1879 r. Pomiędzy dolną i górną powierzchnią powstaje dodatkowe, poprzeczne pole elektryczne r skierowane z dołu do góry. Kiedy natężenie E B tego poprzecznego pola elektrycznego osiągnie wielkość równoważącą działanie siły Lorentza, to ustali się stacjonarny rozkład ładunków w F kierunku poprzecznym. Wówczas: j v a eE B = e ∆V = evB a czyli B ∆ V = vBa Rys. 6.9. Efekt Halla gdzie a jest szerokością płytki, a ∆V – poprzeczną hallowską różnicą potencjałów. Uwzględniając, że natężenie prądu I = jS = nevS, otrzymujemy ∆V = I Ba = 1 IB = R IB H nead en d d (6.18) We wzorze tym RH = 1 en nazwana jest stałą Halla. Pomiar efektu Halla jest efektywną metodą badania typu i koncentracji nośników w metalach i półprzewodnikach. Magnetyzm Zachowanie magnesu można opisać zakładając, że na jednym końcu znajduje się ładunek magnetyczny qm, a na drugim końcu – ładunek magnetyczny –qm. Gdyby istniał ładunek magnetyczny, to w polu magnetycznym działałaby na niego siła r r F = qm ⋅ B analogiczna do siły działającej na ładunek elektryczny w polu elektrycznym. Chociaż w przyrodzie ładunki magnetyczne nie istnieją, pojęcie to wprowadza się ze względu na wygodny matematyczny sposób opisania właściwości magnesów. Moment sił działających na magnes wynosi T = Fl sin α F czyli l +qm B α F -qm T = q m Bl sin α (6.19) Iloczyn qml = µ określa się jako moment magnetyczny. Wobec tego T = µB sin α a w zapisie wektorowym Rys. 6.10. Magnes o długości l położony pod r r r r kątem α do linii sił pola magnetycznego B . T = µ ×B (6.20) W analogiczny sposób zachowuje się pętla z prądem (rys. 6.11). r r Obliczmy iloczyn wektorowy l × B dla każdego z B czterech boków ramki. Siły magnetyczne przyłożone do dwóch przeciwległych boków o długości l1 tworzą moment obrotowy F T = Fl 2 sin α Ponieważ F = Il 1B , F stąd T = (Il 1B )(l 2 sin α ) = Il 1l 2 B sin α = ISB sin α (6.21) Rys. 6.11 Prostokątna ramka o powierzchni l1 l2 w jednorodnym polu magnetycznym. Siły przyłożone do dwóch stron ramki o długości l2 wzajemnie kompensują się. Wynika z tego, że pętla z prądem wytwarza pole magnetyczne identycznie jak magnes. Przyrównując prawe strony wyrażeń (6.19) i (6.21) znajdziemy moment magnetyczny pętli z prądem µ = IS (6.22) (a) (b) +qm -qm -qm +q m -qm +qm -qm +qm Rys. 6.12. (a) Magnes. (b) Magnes podzielony na trzy części. • • • • Do chwili odkrycia elektronu i prądu elektronowego w metalach zachowanie magnesów w polach magnetycznych wyjaśniano na podstawie hipotezy o ładunkach magnetycznych. Do chwili obecnej nie udało się odkryć w przyrodzie izolowanego bieguna magnetycznego. Właściwości magnesów można wyjaśnić zamkniętymi, wewnątrzatomowymi prądami. Hipotezę tę wysunął Amper. Obecnie wiemy, że te mikroprądy są spowodowane orbitalnym i spinowym ruchem elektronów. Dowolny magnes stanowi jak gdyby solenoid, po powierzchni którego cyrkuluje prąd Ampera. (a) (b) -qm +qm S Rys. 6.13. (a) Magnes po którego powierzchni cyrkulują prądy Ampera. (b) Widok magnesu w przekroju – pokazano prądy atomowe, wypadkowy prąd zaznaczono grubą linią. Obliczmy wielkość tego prądu dla magnesu o ładunku magnetycznym qm. Na każdy zwój solenoidu działa moment sił T1 = ISB sin α . Na solenoid zawierający N zwojów będzie działał moment sił T = NISB sinα Porównując te wyrażenia z (6.19) mamy q m Bl sin α = NISB sin α czyli q m = N IS = n l IS l (6.23) gdzie nll ma sens fizyczny prądu powierzchniowego. Wzór (6.23) potwierdza fakt, że solenoid o prądzie powierzchniowym nll zachowuje się podobnie jak magnes o ładunku qm = nlIS. r r Wprowadziliśmy uprzednio dwie wielkości charakteryzujące pole magnetyczne B , H związane relacją r r B H= µo µ r (6.7) Pola magnetyczne r wytworzone przez prądy płynące w przewodnikach określają natężenie pola magnetycznego H . Tylko ta wielkość jest niezmiennicza przy otaczaniu przewodów z prądem kolejno różnymi ośrodkami. Jeżeli obszar w którym istnieje pole magnetyczne, wypełnia jakaś substancja, to okazuje się, że wartość sił działających na przewodnik z prądem, a więc i indukcja magnetyczna, zależą od rodzaju substancji. W celu wyjaśnienia tego faktu należy przyjąć, że ośrodek (substancja) ”magnesują się” w pewien sposób. Podobnie jak w dielektrykach, tak w magnetykach istnieją, lub też powstają pod wpływem pola magnetycznego, momenty magnetyczne (dipole magnetyczne). Po przyłożeniu zewnętrznego pola magnetycznego dipole te porządkują się w pewien sposób i ciało jako całość stanowi pewien dipol magnetyczny. Ale dipol wytwarza pole własne, które może dodawać się lub odejmować od pola zewnętrznego. Dlatego wypadkowe pola w ośrodkach będą na ogół różne od pola w próżni. Wielkością charakteryzującą pole magnetyczne związane jedynie z magnetycznymi właściwościami ośrodka jest magnetyzacja. Jest to wielkość wektorowa zdefiniowana jako moment magnetyczny jednostki objętości. r 1 J= V ∑ r pm (6.24) a więc iloraz wypadkowego momentu magnetycznego dowolnej objętości ciała V przez tę objętość. Wypadkową indukcję w ośrodku tworzą dwie składowe: r • indukcja Bo związana jedynie z prądem makroskopowym wytwarzającym pole magnetyczne o • r natężeniurH (składowa niezależna od ośrodka), i indukcja BJ związana jedynie z prądami magnesującymi, które na ogół (z wyjątkiem magnesów r stałych) powstaje pod wpływem zewnętrznego pola H . Mamy więc r r r B = Bo + BJ (6.25) a każda ze składowych wiąże się z wielkością bezpośrednio odpowiedzialną za jej powstanie r r Bo = µ o H ; r r BJ = µ o J (6.26) r Ponieważ magnetyzacja J zależy od natężenia pola magnetycznego r r J = χH (6.27) gdzie χ jest wielkością bezwymiarową nazwaną podatnością magnetyczną, ze wzorów powyższych otrzymujemy r r r B = µ o ( 1 + χ )H = µ o µ r H (6.28) Względna przenikalność magnetyczna ośrodka µ r określa ile razy pole magnetyczne makroprądów r H zwiększa się na skutek pola mikroprądów ośrodka. r Indukcja magnetyczna B w ośrodku może być co do modułu większa r lub mniejsza niż r indukcja w próżni, zależnie od tego czy natężenie pola magnetycznego H i magnetyzacja J mają te same zwroty czy też przeciwne. Z tego powodu wszystkie ciała można zaliczyć do jednej z trzech podstawowych grup: diamagnetyków, paramagnetyków lub ferromagnetyków. Właściwości magnetyczne ciał uwarunkowane są głównie orbitalnym i spinowym momentem magnetycznym elektronów.