Rachunek prawdopodobieństwa MAP1064 Wydział Elektroniki, rok

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1064
Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Przykłady do listy 11: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i
jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace’a i Fouriera.
Prawo wielkich liczb.
Przykłady do zadania 11.1 :
(a) Zmienne losowe X i Y są niezależne, przy czym X ma rozkład wykładniczy Exp 51 , a Y rozkład
normalny N (−1, 2). Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Z = 2X −3Y −2.
• X ma rozkład wykładniczy Exp λ =
1
5
, zatem EX =
1
λ
= 5 i D2 X =
1
λ2
= 25.
• Y rozkład normalny N (−1, 2), zatem EY = −1 i D2 Y = 22 = 4.
• EZ = 2EX − 3EY − 2 = 2 · 5 − 3 · (−1) − 2 = 11.
• X i Y są niezależne, więc D2 Z = D2 (2X − 3Y − 2) = D2 (2X − 3Y ) =
= D2 (2X) + D2 (−3Y ) = 22 D2 X + (−3)2 D2 Y = 4 · 25 + 9 · 4 = 136.
(b) Niech Y = X + N , gdzie X ma rozkład zerojedynkowy z parametrem p = 0, 4; a N ma rozkład
normalny N (1, 1), przy czym zmienne losowe X i N są niezależne. Obliczyć współczynnik
korelacji ρXY .
• X ma rozkład zerojedynkowy z parametrem p = 0, 4,
zatem EX = p = 0, 4 i D2 X = p(1 − p) = 0, 24.
• N ma rozkład normalny N (1, 1), zatem EN = 1 i D2 N = 1.
• EY = EX + EN = 0, 4 + 1 = 1, 4
• Zmienne losowe X i N są niezależne.
Zatem D2 Y = D2 X + D2 N = 0, 24 + 1 = 1, 24 oraz
EXY = EX 2 + EXN = D2 X + (EX)2 + EXEN = 0, 24 + (0, 4)2 + 0, 4 · 1 = 0, 8.
0, 24
EXY − EXEY
√
=√
≈ 0, 44.
• Otrzymujemy ρXY = √
2
2
0, 24 · 1, 24
DX DY
1
Przykład do zadania 11.2 :
(a) Zmienne X i Y są niezależne, przy czym X ma rozkład Poissona P(2), a Y rozkład normalny
N (1, 2). Jaka jest funkcja charakterystyczna rozkładu zmiennej losowej X + Y , a jaka zmiennej
losowej 4X − Y ?
it −1)
• X ma rozkład Poissona P(λ = 2), więc ϕX (t) = eλ(e
= e2(e
it −1)
.
itm−t2 σ 2 /2
• Y ma rozkład normalny N (m = 1, σ = 2), więc ϕY (t) = e
2
= eit−2t .
• Zmienne X i Y są niezależne.
it
2
Zatem ϕX+Y (t) = ϕX (t) · ϕY (t) = e2(e −1) · eit−2t
i(4t)
2
• ϕ4X−Y (t) = ϕX (4t) · ϕY (−t) = e2(e −1) · e−it−2t , gdyż
dla dowolnej stałej a i zmiennej losowej X mamy
ϕaX (t) = Eeit(aX) = Eei(at)X = ϕX (at).
(b) Pokazać, że suma dwóch niezależnych zmiennych losowych odpowiednio o rozkładach gamma
G(λ, p1 ) i G(λ, p2 ) ma również rozkład gamma.
it
λ
it
λ
• X ma rozkład gamma G(λ, p1 ), więc ϕX (t) = 1 −
• Y ma rozkład gamma G(λ, p2 ), więc ϕY (t) = 1 −
−p1
−p2
.
.
• Zmienne X i Y są niezależne.
Zatem ϕX+Y (t) = ϕX (t) · ϕY (t) = 1 −
it
λ
−p1 · 1−
it
λ
−p2
= 1−
it
λ
−(p1 +p2 )
.
• Jest to funkcja charakterystyczna rozkładu gamma G(λ, p1 + p2 ), zatem X + Y ma taki
właśnie rozkład gamma.
(c) Niech X1 , X2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
X1 + X2
Cauchy’ego C(0, 1). Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y =
.
2
• X1 i X2 mają rozkład Cauchy’ego C(0, 1), więc ϕX1 (t) = ϕX2 (t) = e−|t| .
X1 + X2
• Zmienne X1 i X2 są niezależne. Zatem dla Y =
mamy
2
t
t
t
t
t
= ϕX1
· ϕX2
= e−| 2 | e−| 2 | = e−|t|
2
2
2
ϕY (t) = ϕX1 +X2
• Jest to funkcja charakterystyczna rozkładu Cauchy’ego C(0, 1), zatem Y ma taki właśnie
rozkład.
2
Przykłady do zadania 11.3 :
(a) Zmienne losowe X1 , X2 , . . . są niezależne o jednakowym rozkładzie takim, że
P (X1 = i) = 0, 75(0, 25)i−1 , i = 1, 2, . . . .
Do czego jest zbieżna średnia arytmetyczna
X1 + . . . + Xn
? W sensie jakiej zbieżności?
n
• Zmienne losowe X1 , X2 , . . . są niezależne o jednakowym rozkładzie geometrycznym
Geo(p = 0, 75). Zatem EX1 = p1 = 43 istnieje.
• Zachodzi zatem mocne prawo wielkich liczb Kołmogorowa, czyli
X 1 + . . . + Xn
4
= EX1 = ,
n→∞
n
3
lim
• przy czym jest to zbieżność z prawdopodobieństwem 1.
(b) Niech X1 , X2 , . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie
jednostajnym U(0, 1). Zdefiniujmy
(
Yn =
Xn2 z prawdopod. 0, 1;
Xn z prawdopod. 0, 9;
tzn. Yn = Tn Xn2 + (1 − Tn )Xn , gdzie Tn jest zmienną losową niezależną od ciągu (Xn ) i taką,
że P (Tn = 1) = 1 − P (Tn = 0) = 0, 1; ponadto T1 , T2 , . . . są niezależne.
n
1X
Znaleźć granicę lim
Yi z prawdopodobieństwem 1.
n→∞ n
i=1
• Zmienne Y1 , Y2 , . . . zdefiniowane w zadaniu są niezależne o jednakowym rozkładzie.
Ponadto EY1 = ET1 EX12 + (1 − ET1 )EX1 = 0, 1(D2 X1 + (EX1 )2 ) + 0, 9EX1 =
= 0, 1
(1−0)2
12
+
1+0
2
2 + 0, 9
1+0
2
=
29
60
istnieje.
• Zachodzi więc mocne prawo wielkich liczb Kołmogorowa,
n
1X
29
czyli lim
Yi = EY1 =
z prawdopod. 1.
n→∞ n
60
i=1
3