Klucz do Złotej Żaby – Matematyka - I etap – 1 grudnia 2011 r.

Klucz do Złotej Żaby – Matematyka - I etap – 1 grudnia 2011 r.
Nr
zadania
Rozwiązanie
Odp: Kwadrat o polu a2.
Punktacja
2 punkty
1.
8 punktów
Za rysunek 4 punkty
Rozumowanie - 5 punktów,
prawidłowa odpowiedź
1 punkt.
2.
Wielokąt można podzielić na 8 czworokątów o sumie kątów
wewnętrznych 360º. Suma kątów wewnętrznych 16-kąta
wklęsłego jest mniejsza od sumy kątów tych czworokątów
o kąty o wierzchołku Q tworzące kąt pełny 360 º. A zatem:
S
3.
8 * 360
360
2520
Złożona, bo można ja przedstawić w postaci iloczynu dwóch Za prawidłowe
uzasadnienie 10 punktów
liczb całkowitych
Za rysunek 5 punktów, za
rozumowanie 7 punktów
4.
Trójkąty BML i AMK są podobne (dwa kąty równe). A zatem
. Z tego wynika
równość kątów CKL i KLC, bo kąt CLK jest wierzchołkowy
do kąta MLB.
Równość kątów CKL i KLC skutkuje równoramiennością
trójkąta KLC cnd.
AKM
MLB oraz
CLK
MLB
Za uzasadnienie trzech
równości po 3 punkty
każde, 1 punkt za
odpowiedź
5.
Dowód: Trójkąty AB’C i B’A’C mają równe pola (równe
podstawyi wysokości). Podobnie trójkąty B’A’C i A’C’B’
mają równe pola. Na tej samej zasadzie opiera się równość
pól trójkątów CA’B, C’A’B, A’B’C’ i C’A’B oraz AB’C’,
AC’B , A’B’C’ i AB’C’. Wynika z tego, że każdy
z wymienionych trójkątów stanowi 1/7 pola całego trójkąta,
skąd odpowiedź P=40/7 [m2]
Za każdy sprawdzony
przypadek po 2 punktyrazem 12 punktów.
6.
2n|50+n tzn., że 50+n=2nk, gdzie k C
2nk-n=50
n(2k-1)=50
1) n=5 i 2k-1=10 , 2k=11 , k C
2) n=10 i 2k-1=5, 2k=6, k=3
3) n=2 i2k-1=25, 2k=26, k=13
4) n=25 i 2k-1 =2, 2k=3, k C
5) n=1 i 2k-1=50, 2k=51, k C
6) n=50, 2k-1=1, 2k=2, k=1
7.
Odpowiedź: Liczba 18 = 3*5+3=2*7+4=7+5+6=2*5+7+1 nie
da się przedstawić w postaci 5n+7k , gdzie k N , n N .
Kolejne liczby większe niż 10, które nie dają się przedstawić
w powyższej postaci to: 11, 13, 16, 18, 23. Największa to 23.
Każdą następną można przedstawić w postaci:
1) n=5n+4, n 4 , wtedy n=5(n-2)+2*(2+5)=5(n-2)+2*7
2) n=5n+2, n 4 , wtedy n=5(n-1)+5+2=5(n-1)+7
3) n=5n+1, n 4 , wtedy n=5(n-4) +20+1=5(n-4)+3*7
4) n=5n+5, n 4 ,
5) n=5n+3, n 5 , wtedy n=5(n-5)+25+3=5(n-5)+4*7
Za uzasadnienie
odpowiedzi na I pytanie –
2 punkty,
Za odpowiedź na drugie
pytanie - 4 punkty, za
uzasadnienie -10 punktów
(rozważenie wszystkich
przypadków)
Odpowiedź :8
Po 5 punktów za każde
działanie (6;8)
1,3416
Za przedstawienie liczby
8.
w postaci
9
–
4 punkty, za wymnożenie –
3 punkty, za przybliżenie –
3 punkty, jeśli w odwrotnej
kolejności – 3 punkty
mniej.
UWAGA: Za prawidłowe i pełne rozwiązanie zadania inną metodą niż ujęta w schemacie
oceniania należy przyznać maksymalną liczbę punktów. W przypadku niepełnego rozwiązania
należy przyznać liczbę punktów proporcjonalną do stopnia zawansowania rozwiązania zadania.