DODATEK 4

DODATEK 4
Pole elektryczne powierzchni kuli z równomiernie rozłożonym na jej powierzchni
ładunkiem powierzchniowym
Powierzchnia kuli (sfera) o promieniu R jest równomiernie naładowana ładunkiem powierzchniowym o stałej gęstości +qs = const. Całkowity ładunek Q na powierzchni kuli wynosi Q = qs S = qs 4πR2. Pole elektryczne jest radialne o symetrii centralnej i wektory natężenia pola elektrycznego E na całej powierzchni są prostopadłe do niej, co ilustruje rys. D4.1.
Natężenie pola elektrycznego E i potencjał ϕ są funkcjami tylko jednej zmiennej r – promienia, czyli odległości od środka sfery. W rezultacie linie sił pola elektrycznego są również prostopadłe do powierzchni Gaussa SG o promieniu r, a wektory natężenia pola E są wszędzie
jednakowe, czyli wartość natężenia pola elektrycznego jest stała E = En = const. Strumień
wektora natężenia pola elektrycznego Φ przez pole zamkniętej powierzchni Gaussa SG o
promieniu r (r > R) zależy wprost proporcjonalnie do tej powierzchni.
SG
Q
qqvs
V
SSG
r
O
E
r
90°
EQ
R
Rys. D4.1. Powierzchnia kuli z równomiernie rozmieszczonym
na niej ładunkiem powierzchniowym i jej pole elektryczne
Powierzchnia Gaussa wynosi
SG = 4πr 2 ,
(D4.1)
gdzie r jest promieniem sferycznej powierzchni Gaussa współśrodkowej z naładowaną ładunkiem powierzchniowym qs powierzchnią kuli o promieniu R.
Na zewnątrz powierzchni kulistej (r > R) strumień Φ wektora natężenia pola E przez powierzchnię Gaussa SG wynosi
Φ=
SG
∫ E dS = ∫ EdS =E ∫ dS = ES
SG
SG
G
= E ⋅ 4πr 2 .
(D4.2)
0
Z definicji strumień ten jest równy
Φ=
Q
εε 0
=
qs S
εε 0
=
qs
εε 0
4πR 2 ,
(D4.3)
gdzie Q jest całkowitym ładunkiem rozłożonym równomiernie na powierzchni kuli.
Porównując wzory (D4.2) i (D4.3) otrzymuje się wzór na natężenie pola elektrycznego na
zewnątrz kuli
E=
qs R 2
Q 1
=
4πεε 0 r 2 εε 0 r 2
.
(D4.4)
Na powierzchni kuli r = R natężenie pola elektrycznego wynosi
E=
q
Q 1
= s ,
2
4πεε 0 R
εε 0
(D4.5)
czyli jest równe natężeniu pola między dwoma nieskończenie wielkimi płaszczyznami równomiernie naładowanymi ładunkiem powierzchniowym – wzór (D2.4)
Ponieważ
E = −gradϕ i E = −
dϕ
,
dr
(D4.6)
zatem potencjał ϕ w polu elektrycznym ładunku powierzchniowego qs dla r > R jest całką z
natężenia pola elektrycznego wyrażonego wzorem (D4.4) i wynosi
ϕ = − ∫ Ed r = − ∫
qs R 2
qs 2 1
qs R 2
d
r
=
−
R
d
r
=
+C
εε 0 r 2
εε 0 ∫ r 2
εε 0 r
(D4.7)
z dokładnością do stałej całkowania C i maleje z odległością. Jeśli się przyjmie, że potencjał
w nieskończoności jest równy zero, to warunek brzegowy jest następujący
ϕ = 0 dla r = ∞ i C = 0 ,
(D4.8)
a zatem wzór (D4.7) przyjmuje postać
ϕ=
qs R 2
εε 0 r
(D4.9a)
Q 1
.
4πεε 0 r
(D4.9b)
albo
ϕ=
Wzór (D4.9b) pokazuje, że potencjał na zewnątrz powierzchni kuli od ładunku powierzchniowego qs jest taki sam jak potencjał równoważnego ładunku punktowego Q = qs S umieszczonego w środku kuli O i rozpatrywanego dla warunku r > R.
Wewnątrz powierzchni kulistej (r < R) nie ma żadnego ładunku. Strumień Φ wektora natężenia pola E przez powierzchnię Gaussa SG wewnątrz kuli na podstawie wzoru (D4.2) wynosi
Φ=
∫ E dS =
∫
SG
SG
SG
EdS =E ∫ dS = ESG = E ⋅ 4πr 2 .
(D4.10)
0
Natomiast ze względu na brak ładunku wewnątrz kuli i według wzoru (D4.3) strumień wektora natężenia pola elektrycznego wynosi
Φ=
Q
εε 0
=
qs SG
εε 0
=0.
(D4.11)
Z porównania wzorów (D4.10) i (D4.11) wynika, że wewnątrz kuli naładowanej ładunkiem
powierzchniowym qs nie ma pola elektrycznego i E = 0, bez względu na to, czy ładunek na
powierzchni jest rozmieszczony równomiernie, czy nie. Jest to odwzorowanie sytuacji z pełnym przewodnikiem wprowadzonym w zewnętrzne pole elektryczne (patrz: „Przewodniki w
polu elektrycznym”).
W związku z powyższym potencjał wewnątrz kuli musi być wszędzie stały, czyli jej wnętrze jest ekwipotencjalne. Jest tak, ponieważ
–2–
E=−
dϕ
=0
dr
(D4.12)
i
ϕ=
Q
4πεε 0 R
=
qs
εε 0
R = const .
(D4.13)
Na rys. D4.2 pokazano przebiegi zmian natężenia pola elektrycznego E i potencjału ϕ w
funkcji odległości r dla wnętrza i zewnętrza równomiernie naładowanej ładunkiem powierzchniowym qs powierzchni kuli – sfery. Na powierzchni kuli natężenie pola zmienia się
skokowo od 0 do wartości qs/εε0 i warunek ciągłości nie jest spełniony dla r = R.
E
0
r
R
Rys. D4.2. Natężenie pola elektrycznego E i potencjał ϕ w funkcji odległości r
od środka równomiernie naładowanej ładunkiem powierzchniowym sfery
–3–