Macierz przekształcenia liniowego

Macierz przekształcenia liniowego
Jacek Jędrzejewski
2014
Spis treści
1 Przestrzeń przekształceń liniowych
2
2 Macierz przekształcenia liniowego
4
3 Dalsze własności mnożenia macierzy
7
1
1
Przestrzeń przekształceń liniowych
Dla funkcji przekształcających przestrzeń liniową V nad ciałem K w przestrzeń liniową W nad tym samym ciałem
K możemy zdefiniować sumę takich przekształceń i iloczyn takiego przekształcenia przez element ciała K.
Definicja 1 Jeśli A : V −→ W i B : V −→ W są dowolnymi przekształceniami i λ ∈ K, to sumą przekształceń A
i B nazywamy przekształcenie, oznaczane symbolem A + B, które każdemu wektorowi x z przestrzeni V przyporządkowuje wektor A(x) + B(x). Symbolicznie,
(A + B)(x) = A(x) + B(x), gdy x ∈ V .
Podobnie, iloczynem elementu λ z ciała K i przekształcenia A nazywamy przekształcenie, oznaczane symbolem
λ·A, które każdemu wektorowi x, należącemu do przestrzeni V przypisuje wektor λ·A(x). Symbolicznie,
(λ·A)(x) = λ·A(x), gdy x ∈ V .
Udowodnimy, że dodawanie przekształceń jest działaniem wewnętrznym w zbiorze HomK (V , W ) oraz mnożenie
przekształceń przez elementy ciała K jest działaniem zewnętrznym w tym zbiorze.
Twierdzenie 1 Dla dowolnych homomorfizmów przestrzeni liniowej V nad ciałem K w przestrzeń liniową W nad
tym samym ciałem suma tych homomorfizmów jest homomorfizmem.
D o w ó d. Niech A i B będą dowolnymi homomorfizmami przestrzeni V w przestrzeń W . Niech ponadto x, y
będą dowolnymi wektorami przestrzeni V i λ – dowolnym elementem ciała K. Wtedy
(A + B)(x + y) = A(x + y) + B(x + y) = A(x) + A(y) + B(x) + B(y) =
= A(x) + B(x) + A(y) + B(y) = A + B (x) + A + B (y),
co oznacza, że A + B jest przekształceniem addytywnym.
Podobnie,
(A + B)(λx) = A(λx) + B(λx) = λ·A(x) + λ·B(x) =
= λ· A(x) + B(x) = λ· A + B (x),
co oznacza, że przekształcenie A + B spełnia drugi warunek homomorfizmu. Tak więc przekształcenie A + B jest
homomorfizmem przestrzeni V w przestrzeń W .
Twierdzenie 2 Dla dowolnego homomorfizmu przestrzeni liniowej V nad ciałem K w przestrzeń liniową W nad
tym samym ciałem i dowolnego elementu ciała K iloczyn tego elementu i homomorfizmu jest homomorfizmem
przestrzeni V w przestrzeń W .
D o w ó d. Niech A będzie homomorfizmem przestrzeni V w przestrzeń W i λ – dowolnym elementem ciała K.
Niech ponadto x, y będą dowolnymi wektorami przestrzeni V i γ – dowolnym elementem ciała K. Wtedy
(λ·A)(x + y) = λ·A(x + y) = λ· A(x) + A(y) =
= λ·A(x) + λ·A(y) = λ·A (x) + λ·A (y),
co oznacza, że λ·A jest przekształceniem addytywnym.
Podobnie,
(λ·A)(γx) = λ·A(γx) = λ· γ ·A(x) =
= (λ·γ)·A(x) = (γ ·λ)·A(x) = γ · λ·A (x),
co oznacza, że przekształcenie λ · A spełnia drugi warunek homomorfizmu. Tak więc przekształcenie λ · A jest
homomorfizmem przestrzeni V w przestrzeń W .
Z powyższych twierdzeń wynika, że można rozpatrywać zbiór wszystkich homomorfizmów jednej przestrzeni
liniowej w drugą, jako pewną strukturę algebraiczną. Okazuje się (jak udowodnimy to poniżej), że zbiór ten ma
strukturę przestrzeni liniowej.
2
Twierdzenie 3 Zbiór HomK (V , W ), gdzie V i W są przestrzeniami liniowymi nad ciałem K, stanowi przestrzeń
liniową nad ciałem K.
Dowód polega na sprawdzeniu kolejnych warunków przestrzeni liniowej.
Twierdzenie 4 Niech V , W i U będą dowolnymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Jeśli A ∈ Hom(V , W )
i B ∈ Hom(W , U ), to
B ◦A ∈ Hom(V , U ).
D o w ó d. Niech x ∈ V , y ∈ V i γ ∈ K. Wtedy
(B ◦A)(x + y) = B(A(x + y)) = B(A(x) + A(y)) =
B(A(x)) + B(A(y)) = (B ◦A)(x) + (B ◦A)(y)
oraz
(B ◦A)(γx) = B(A(γx)) = B(γ ·A(x)) = γ ·B(A(x)) = γ ·(B ◦A)(x),
skąd wynika, że przekształcenie B ◦A jest homomorfizmem.
Twierdzenie 5 Niech V , W i U będą dowolnymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Jeśli A ∈ Hom(V , W ),
B ∈ Hom(V , W ) oraz C ∈ Hom(W , U ), to
C ◦(A + B) = C ◦A + C ◦B.
D o w ó d. Z warunków homomorfizmu wynika, że dla dowolnego wektora x z przestrzeni V mamy:
C ◦(A + B) (x) = C (A + B)(x) = C A(x) + B(x) =
= C A(x) + C B(x) = (C ◦A)(x) + (C ◦B)(x) = (C ◦A + C ◦B)(x),
co kończy dowód.
Twierdzenie 6 Niech V , W i U będą dowolnymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Jeśli A ∈ Hom(V , W ),
B ∈ Hom(V , W ) oraz C ∈ Hom(U , V ), to
(A + B)◦C = A◦C + B ◦C.
D o w ó d. Z warunków homomorfizmu wynika, że dla dowolnego wektora x z przestrzeni U mamy:
[(A + B)◦C](x) = (A + B) C(x) = A C(x) + B C(x) =
= (A◦C)(x) + (B ◦C)(x) = (A◦C) + (B ◦C) (x),
co kończy dowód.
Twierdzenie 7 Niech V , W i U będą dowolnymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Jeśli A ∈ Hom(V , W ),
B ∈ Hom(W , U ) oraz α ∈ K, to
(α·B)◦A = B ◦(α·A) = α·(B ◦A).
D o w ó d. Niech x będzie dowolnym wektorem z przestrzeni V . Wtedy
(α·B)◦A (x) = α·B (A(x)) = α· B A(x) =
= α· B ◦A (x) = α· B ◦A (x)
oraz podobnie
(α·B)◦A (x) = α·B (A(x)) = α· B A(x) =
= B α·A(x) = B ◦ α·A (x),
co kończy dowód.
3
2
Macierz przekształcenia liniowego
W tym paragrafie zajmiemy się zagadnieniem związania przekształcenia liniowego z macierzą. Oczywiście, nie
zawsze tak można uczynić. Taki związek znajdziemy tylko dla przekształceń liniowych skończenie wymiarowej
przestrzeni liniowej w przestrzeń liniową skończenie wymiarową. W związku z tym wszystkie przestrzenie liniowe
rozważane w tym rozdziale będą przestrzeniami skończenie wymiarowymi.
Z twierdzenia o określaniu przekształcenia liniowego wiemy, że takie przekształcenie liniowe jest jednoznacznie
wyznaczone przez wartości tego przekształcenia dla wektorów bazy. Niech więc V i W będą przestrzeniami liniowymi
nad ciałem K i niech układ (x1 , . . . , xn ) będzie bazą przestrzeni V , natomiast układ (y 1 , . . . , y m ) będzie bazą
przestrzeni W .
Niech A będzie przekształceniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń W . Każdy wektor A(xj ) można jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów y 1 , . . . , y m , tzn. istnieją elementy aij ciała K takie,
że
A(xj ) = a1j y 1 + . . . + amj y m , gdy j ∈ {1, . . . , n}.
Otrzymane współczynniki tworzą macierz o m wierszach i n kolumnach


a11
. . . a1n


... ... .
 ...
am1 . . . amn
Oznaczamy tę macierz symbolem A Y,X lub MA lub krótko A. Macierz tę nazywamy macierzą przekształcenia A
względem baz X i Y, gdzie
X = (x1 , . . . , xn ) i Y = (y 1 , . . . , y m ).
Zauważamy, że j-ta kolumna składa się ze współczynników rozwinięcia wektora A(xj ) względem bazy (y 1 , . . . , y m ).
Zauważmy, że
Twierdzenie 8 Niech V i V 0 będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem K oraz niech
X będzie bazą przestrzeni V , a X 0 – bazą przestrzeni V 0 . Jeśli A ∈ Hom(V , V 0 ), B ∈ Hom(V , V 0 ) i α ∈ K, to
A + B X 0 ,X = A X 0 ,X + B X 0 ,X
α · A X 0 ,X = α · A X 0 ,X
Przykład 1 Niech funkcja A : R3 −→ R2 będzie określona wzorem
A (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 + x2 , x1 − 3x2 + x3 ).
Czy A jest homomorfizmem przestrzeni R3 w przestrzeń R2 ? Jeśli tak, to znaleźć macierz tego przekształcenia
względem baz X i Y, gdzie
X = (x1 , x2 , x3 ) i Y = (y 1 , y 2 )
oraz
x1 = (1, 0, 0), x2 = (0, 1, 0), x3 = 0, 0, 1),
y 1 = (1, 0), i y 2 = (0, 1).
Niech x i y, gdzie
x = (x1 , x2 , x3 ) i y = (y1 , y2 , y3 ),
będą dowolnymi wektorami z przestrzeni R3 i α dowolnym elementem ciała R. Wtedy
x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ) i αx = (αx1 , αx2 , αx3 ).
Zatem
A(x + y) = 2(x1 + y1 ) + (x2 + y2 ), (x1 + y1 ) − 3(x2 + y2 ) + (x3 + y3 ) =
4
= 2x1 + x2 , x1 − 3x2 + x3 ) + 2y1 + y2 , y1 − 3y2 + y3 =
= A(x) + A(y).
Podobnie
A(αx) = 2(αx1 ) + αx2 , αx1 − 3(αx2 ) + αx3 =
= α(2x1 + x2 ), α(x1 − 3x2 + x3 ) =
= α· (2x1 + x2 ), (x1 − 3x2 + x3 ) = α·A(x).
Udowodniliśmy, że przekształcenie A jest homomorfizmem.
Obliczmy wartości A(x1 ), A(x2 ) i A(x3 ) :
A(x1 ) = 2·1 + 0, 1 − 3·0 + 0 = (2, 1) = 2·(1, 0) + (0, 1) = 2y 1 + y 2 ,
A(x2 ) = 2·0 + 1, 0 − 3·1 + 0 = (1, −3) = (1, 0) − 3·(0, 1) = y 1 − 3y 2 ,
A(x3 ) = 2·0 + 0, 0 − 3·0 + 1 = (0, 1) = y 2 .
Z obliczeń tych wynika, że
"
A Y,X =
2
1
1
−3
0
1
#
.
W przypadku endomorfizmów (czyli gdy V = W ) przyjmujemy (chyba, że zaznaczymy inaczej), że została
ustalona tylko jedna baza; niech to będzie baza X . W takim przypadku mówimy, że macierz A X ,X endomorfizmu
(operatora liniowego) A przestrzeni V jest macierzą tego endomorfizmu względem bazy X . Macierz tę oznaczamy
jako A X . Macierz takiego przekształcenia jest więc macierzą kwadratową.
Twierdzenie 9 Jeśli V i W są przestrzeniami liniowymi nad ciałem K oraz dim V = n i dim W = m, to przestrzeń Hom(V , W ) jest izomorficzna z przestrzenią Mm×n (K) wszystkich macierzy o m wierszach i n kolumnach.
D o w ó d. Wiemy, że zbiór macierzy Mm×n (K) stanowi przestrzeń liniową ze względu na dodawanie macierzy i
mnożenie przez elementy ciała. Niech X i Y, gdzie X = (x1 , . . . , xn ) i Y = (y 1 , . . . , y m ) będą bazami przestrzeni V
i W , odpowiednio. Niech T będzie przekształceniem, które każdemu homomorfizmowi A przestrzeni V w przestrzeń
W przyporządkowuje macierz [A]Y,X .
Wtedy T Hom(V , W ) = Mm×n (K). Istotnie, niech aij będzie dowolną macierzą ze zbioru Mm×n (K) oraz
niech
wj = a1j y 1 + . . . + amj y m ,
j ∈ {1, . . . , n}.
Z twierdzenia o określaniu przekształcenia liniowego wynika, że istnieje jedyne przekształcenie liniowe A przestrzeni
V w przestrzeń W takie, że A(xj ) = wj dla każdego wskaźnika j ze zbioru {1, . . . , n}. Oczywiście [A]Y,X = aij ,
czyli T (A) = aij .
Z tego twierdzenia wynika też, że jeśli T (A) = T (B) dla pewnych przekształceń liniowych A i B ze zbioru
Hom(V , W ), czyli dla każdego wektora xj z bazy X spełniony jest warunek A(xj ) = B(xj ), to A = B.
Udowodnimy teraz, że funkcja T jest homomorfizmem. Niech A i B będą dowolnymi przekształceniami ze zbioru
Hom(V , W ) i α – dowolnym elementem z ciała K. Jeśli




a11
. . . a1n
b11
. . . b1n




T (A) =  . . .
. . . . . .  i T (B) =  . . .
... ... ,
am1 . . . amn
bm1 . . . bmn
to
(A + B)(xj ) = A(xj ) + B(xj ) = (a1j + b1j )·y 1 + . . . + (amj + bmj )·y m ,
5
gdy j ∈ {1, . . . , n}. Zatem

a11 + b11

T (A + B) = 
...
am1 + bm1
 

b11
a11 . . . a1n
 

=  ... ...
...  +  ...
bm1
am1 . . . amn

a1n + b1n

...
=
amn + bmn

b1n

. . .  = T (A) + T (B).
bmn
...
...
...
...
...
...
Ponieważ
(α·A)(xj ) = α·A(xj ) = (αa1j )·y 1 + . . . + (αamj )·y m ,
więc

αa11

T (α·A) =  . . .
αam1
...
...
...


a11
αa1n


. . .  = α·  . . .
am1
αamn

a1n

. . .  = α·T (A).
amn
...
...
...
Twierdzenie 10 Niech U , V i W będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem K, w
których bazami są:
X = (u1 , . . . , un ) w przestrzeni U ,
Y = (v 1 , . . . , v m ) w przestrzeni V ,
Z = (w1 , . . . , wk ) w przestrzeni W .
Jeśli A ∈ Hom(U , V ) i B ∈ Hom(V , W ) oraz A Y,X i B Z,Y są macierzami przekształceń A i B, gdzie
A Y,X = [aij ] i B Z,Y = [bli ], to macierz B ◦ A Z,X przekształcenia B ◦A ma współczynniki clj , gdzie
clj =
m
X
bli ·aij , gdy l ∈ {1, . . . , k} i j ∈ {1, . . . , n}.
i=1
D o w ó d. Z przyjętego sposobu wyznaczania macierzy przekształcenia liniowego względem danych baz przestrzeni liniowych wynika, że
m
X
A(uj ) = a1j ·v 1 + . . . + amj ·v m =
aij v i
i=1
oraz
B(v i ) = b1i ·w1 + . . . + bki ·wk =
k
X
bli wl ,
l=1
gdzie j ∈ {1, . . . , n} oraz i ∈ {1, . . . , m}.
Składając przekształcenia B i A możemy zapisać
m
X
(B ◦A)(uj ) = B A(uj ) =
aij ·B(v i ) =
i=1
=
m
X
i=1
aij ·
k
X
!
bli ·wl
=
l=1
k
m
X
X
l=1
!
bli ·aij ·wl .
i=1
Oznacza to, że współczynnik clj macierzy złożenia przekształceń względem baz X i Z w l-tym wierszu i j-tej
m
X
kolumnie jest równy
bli ·aij .
i=1
Powyższe twierdzenie sugeruje, jak powinno być zdefiniowane mnożenie macierzy i w jakich przypadkach.
6
3
Dalsze własności mnożenia macierzy
Przypomnijmy:
Definicja 2 Niech A ∈ Mm×n (K) i B ∈ Mk×m (K). Jeśli



b11
a11 · · ·
a1n



A =  ···
···
···  i B =  ···
bk1
am1 · · · amn
···
···
···

b1m

··· ,
bkm
to iloczynem macierzy B i A nazywamy macierz C taką, że
h il=1,...,k
C = clj
j=1,...,n
i clj =
m
X
bli ·aij .
i=1
Macierz tę oznaczamy symbolem B • A.
Element clj tego iloczynu nazywamy iloczynem l-tego wiersza macierzy B przez j-tą kolumnę macierzy A.
Przykład 2 Niech
"
A=
5
4
−1 3
2 3

1

i B= 3
−2
#

2

0 .
1
Obliczyć iloczyny B • A i A • B.

1·5 + 2·4

•
B A=
3·5 + 0·4
(−2)·5 + 1·4

1·(−1) + 2·2
3·(−1) + 0·2
(−2)·(−1) + 1·2

13
3
9


9 .
 15 −3
−6
4 -3
"
A •B =

1·3 + 2·3

3·3 + 0·3  =
(−2)·3 + 1·3
5·1 + (−1)·3 + 3·(−2) 5·2 + (−1)·0 + 3·1
4·1 + 2·3 + 3·(−2)
4·2 + 2·0 + 3·1
"
#
−4 13
.
4 11
#
=
W tym przypadku oba iloczyny A • B i B • A istnieją, ale nie są równe; co więcej mają różne wymiary. Nawet,
gdy mnożymy macierze kwadratowe A i B o tej samej liczbie wierszy, ich iloczyny A • B i B • A mogą być różne.
Omówimy teraz kilka podstawowych własności mnożenia macierzy, wynikających z Twierdzenia 8.
Twierdzenie 11 Jeśli E jest macierzą jednostkową stopnia n oraz A ∈ Mm×n (K) i B ∈ Mn×m (K), gdzie m jest
dowolną liczbą naturalną dodatnią, to
A • E = A i E • B = B.
D o w ó d. Niech A = aij i oczywiście, E = δij , gdzie δij jest deltą Kroneckera. Wtedy współczynnik cij
macierzy A • E, w i-tym wierszu i j-tej kolumnie ma postać:
cij =
n
X
aik ·δkj ,
l=1
czyli
cij = aij ·δjj = aij ,
co dowodzi, że A • E = A.
Podobnie dowodzi się równości E • B = B.
7
Twierdzenie 12 Mnożenie macierzy jest łączne.
D o w ó d. Niech A ∈ Mn×m (K), B ∈ Mm×k (K) i C ∈ Mk×l (K). Zgodnie z twierdzeniem 9 istnieją przekształcenia liniowe A, B i C takie, że
A ∈ Hom(Km , Kn ),
B ∈ Hom(Kk , Km ) i C ∈ Hom(Kl , Kk )
oraz
A = [A],
B = [B] i C = [C]
względem baz kanonicznych w odpowiednich przestrzeniach. Wtedy
A◦(B ◦C) = (A◦B)◦C,
zatem dla odpowiadających im macierzy spełniony jest warunek
A • (B • C) = (A • B) • C.
Podobnie dowodzi się następującej własności:
Własność 1 Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania macierzy (tak z lewej strony jak i z prawej),
to znaczy:
(B + B0 ) • A = B • A + B0 • A,
B • (A + A0 ) = B • A + B • A0 .
Warto teraz przypomnieć macierze transponowane i odnotować odpowiednie własności transponowania macierzy. W rozdziale czwartym zdefiniowaliśmy macierze transponowane w sposób następujący: Jeśli


a11 . . . a1n


A =  ···
···
··· ,
am1 . . . amn
to

a11

At =  · · ·
a1n
...
···
...

am1

··· .
amn
Bez najmniejszego trudu możemy udowodnić następujące twierdzenie:
Twierdzenie 13 Jeśli A ∈ Mm×n (K), B ∈ Mm×n (K) i α ∈ K, to
At
t
= A, (A + B)t = At + Bt i
t
(α·A) = α·At .
Twierdzenie 14 Jeśli A ∈ Mm×l (K), B ∈ Ml×n (K) i α ∈ K, to
A • B)t = Bt • At , (α·A) • B = α·(A • B) = A • (α·B).
D o w ó d. Załóżmy, że
A = aij , B = bjk , A • B = fik
oraz
At = cji , Bt = dkj , (A • B)t = gki i Bt • At = hki .
Wtedy
cji = aij ,
dkj = bjk ,
8
gki = fik
oraz
fik =
l
X
aij ·bjk i hki =
j=1
l
X
dkj ·cji .
j=1
Wynika stąd:
hki =
l
X
dkj ·cji =
j=1
l
X
bjk ·aij =
j=1
l
X
aij ·bjk = fik = gki ,
j=1
a stąd wynika równość (A • B)t = Bt • At .
Łatwiej dowodzimy drugiej równości. Z równości


l
l
l
X
X
X
α·fik = α · 
aij ·bjk  =
(α·aij )·bjk =
aij ·(α·bjk )
j=1
j=1
j=1
wynikają równości
(α·A) • B = α·(A • B) = A • (α·B).
9