IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych.
1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe.
Definicja 1.1.
Niech D będzie podzbiorem przestrzeni Rn , n ≥ 2. Odwzorowanie f : D → R
nazywamy funkcją n zmiennych.
Przykład 1.
• f (x, y) = arc sin xy - funkcja dwóch zmiennych,
• f (x, y, z) =
1
ex+y−z −1
- funkcja trzech zmiennych.
Wyznaczymy dziedziny Df i Dg funkcji f i g.
Definicja 1.2.
Niech f : D → R, gdzie D ∈ R2 . Zbiór
{(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ Df , z = f (x, y)}
nazywamy wykresem funkcji f , zaś zbiór
{(x, y) ∈ Df : f (x, y) = h}
nazywamy poziomicą funkcji f odpowiadającą poziomowi h ∈ R.
Przykład 2.
p
Wyznaczymy poziomice funkcji f (x, y) = x2 + y 2 .
Przykład 3.
p
Wykresem funkcji z = f (x, y) = ± R2 − (x2 + y 2 ) jest górna (+) lub dolna
(-) półsfera o środku w punkcie (0, 0, 0) i promieniu R.
1
Definicja 1.3.
Niech (x0 , y0 ) ∈ R2 i niech f będzie określona przynajmniej na otoczeniu
O(x0 , y0 ). Funkcja f jest ciągła w (x0 , y0 ) wtedy i tylko wtedy, gdy
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
f (x, y) = f (x0 , y0 ).
Funkcja jest ciągła na zbiorze D ⊂ R2 , jeżeli jest ciągła w każdym punkcie
(x, y) ∈ D.
2. Pochodne cząstkowe funkcji.
Definicja 2.1. (pochodne cząstkowe 1-go rzędu)
Niech f : D → R, gdzie D ⊂ R2 . Pochodną cząstkową 1-go rzędu funkcji f
względem zmiennej x w punkcie (x0 , y0 ) oznaczamy przez
∂f
(x0 , y0 ) lub
∂x
fx (x0 , y0 )
i definiujemy następująco
(2.1)
∂f
f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) := lim
.
∆x→0
∂x
∆x
Podobnie definiujemy
(2.2)
∂f
f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) := lim
.
∆y→0
∂y
∆y
Interpretacja geometryczna pochodnych cząstkowych.
Rozważmy funkcję z = f (x, y) i weźmy punkt (x0 , y0 , z0 ) leżący na wykresie
tej funkcji, tj. z0 = f (x0 , y0 ). Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu
funkcji f w punkcie (x0 , y0 , z0 ) ma postać
(2.3) z − z0 =
∂f
∂f
(x0 , y0 ) (x − x0 ) +
(x0 , y0 ) (y − y0 ).
∂x
∂y
2
Przykład 4.
Napiszemy równanie płaszczyzny π stycznej do powierzchni
z = y ln(2 + x2 y − y 2 )
w punkcie (x0 , y0 , z0 ) = (2, 1, z0 ).
Uwaga.
Przy obliczaniu pochodnej cząstkowej względem jednej zmiennej pozostałe
zmienne traktujemy jako stałe.
Przykład 5.
Obliczymy pochodne cząstkowe funkcji
• f (x, y) =
ex
ln(x+y) ,
• f (x, y) = xy .
Definicja 2.2. (pochodne cząstkowe 2-go rzędu)
∂ 2f
∂
=
2
∂x
∂x
∂f
= fxx
∂x
∂ 2f
∂ ∂f
=
= fyx
∂x∂y
∂x ∂y
∂ ∂f
∂ 2f
=
= fxy
∂y∂x ∂y ∂x
∂ ∂f
∂ 2f
=
= fyy
∂y 2
∂y ∂y
Twierdzenie 2.3. (Schwarza)
Jeżeli pochodne cząstkowe mieszane są w pewnym obszarze ciągłe, to są one
w tym obszarze równe.
3
Uwaga.
Z twierdzenia Schwarza wynika, że również pochodne cząstkowe mieszane
wyższych rzędów są równe, jeśli są ciągłe i każda z nich była liczona tyle samo
razy ze względu na każdą zmienną. Funkcję, która ma wszystkie pochodne
cząstkowe ciągłe do rzędu n włącznie będziemy określać funkcją klasy C n .
Przykład 6.
Dla funkcji f (x, y, z) = x2 y 3 z 4 obliczyć
∂ 4f
,
∂x2 ∂y∂z
Dla funkcji f (x, y) =
sin x
sin y
∂ 3f
,
∂y 2 ∂x
obliczyć
∂ 3f
.
∂y∂x∂y
4
fxyz .
3. Różniczka funkcji.
Definicja 3.1.
Niech funkcja f będzie określona w otoczeniu punktu (x0 , y0 ) zawierającym
punkt (x0 + h, y0 + k). Przyrostem funkcji f nazywamy wyrażenie
∆f = f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ).
Definicja 3.2.
Funkcję f nazywamy różniczkowalną w punkcie (x0 , y0 ), jeżeli istnieją takie
stałe A i B, że
∆f = A h + B k + o(ρ),
√
gdzie ρ = h2 + k 2 , czyli innymi słowy
∆f − A h − B k
√
= 0.
(h,k)→(0,0)
h2 + k 2
lim
Twierdzenia 3.3. (warunki konieczne, dostateczne różniczkowalności funkcji)
(i) f różniczkowalna w (x0 , y0 )
⇒
f ciągła w (x0 , y0 ).
(ii) f różniczkowalna w (x0 , y0 )
⇒
f ma w (x0 , y0 ) pochodne cząstkowe.
(iii) f ma w (x0 , y0 ) ciągłe pochodne cząstkowe
w (x0 , y0 ).
⇒
f różniczkowalna
Uwaga.
Geometrycznie różniczkowalność funkcji f w punkcie (x0 , y0 ) oznacza istnienie
płaszczyzny stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).
5
Uwaga.
Równanie płaszczyzny stycznej w punkcie (x0 , y0 , z0 ) do powierzchni opisanej
przez warunek
F (x, y, z) = 0
ma postać
Fx (x0 , y0 , z0 ) (x − x0 ) + Fy (x0 , y0 , z0 ) (y − y0 ) + Fz (x0 , y0 , z0 ) (z − z0 ) = 0,
o ile Fx , Fy , Fz są ciągłe w (x0 , y0 , z0 ) i nie zerują się w tym punkcie jednocześnie.
Przykład 7.
Napiszemy równanie
płaszczyzny stycznej do powierzchni x2 + y 2 + z 2 = 9 w
√
√
punkcie P0 = ( 2, − 3, 2).
Twierdzenia 3.4. (różniczka funkcji)
Załóżmy, że funkcja f ma pochodne fx i fy w punkcie (x0 , y0 ). Wyrażenie
∂f (x0 , y0 )
∂f (x0 , y0 )
h+
k
∂x
∂y
nazywamy różniczką zupełną funkcji f w punkcie (x0 , y0 ) i oznaczamy przez
d f (x0 , y0 ).
Piszemy także h = ∆x = dx oraz k = ∆y = dy. Zatem
d f (x0 , y0 ) =
∂f (x0 , y0 )
∂f (x0 , y0 )
dx +
dy.
∂x
∂y
Jeżeli f jest różniczkowalna w pewnym obszarze, to w obszarze tym określona
jest nowa funkcja
∂f
∂f
df =
dx +
dy.
∂x
∂y
Przykład 8.
p
Napiszemy wzór różniczki funkcji z = x2 + y 2 .
6
Twierdzenia 3.5. (zastosowanie różniczki funkcji do obliczeń przybliżonych
wartości wyrażeń)
Załóżmy, że funkcja f ma ciągłe pochodne fx i fy w punkcie (x0 , y0 ). Wówczas
(3.1)
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) ≈ f (x0 , y0 ) + d f (x0 , y0 ),
przy czym błąd δ(∆x, ∆y) powyższego
przybliżenia, tj. różnica ∆f −d f dąży
p
szybciej do 0 niż wyrażenie ρ = (∆x)2 + (∆y)2 , tzn. ∆f − d f = o(ρ).
Przykład 9.
Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia
arc
√ tg 0.9 .
4.02
Twierdzenia 3.6. (zastosowanie różniczki funkcji do szacowania błędów
pomiarów)
Niech wielkości fizyczne x, y, z będą związane zależnością z = f (x, y). Załóżmy,
że funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe fx i fy . Jeśli ∆x i ∆y są błędami
bezwględnymi pomiaru wielkości x i y, to błąd bezwględny ∆z obliczeń wielkości
z wyraża się wzorem przybliżonym
∂f ∂f (3.2) ∆z ≈ ∆x + ∆y .
∂x
∂y
Przykład 10.
Przy pomocy odpowiednich przyrządów pomiarowych można zmierzyć objętość
ciała z dokładnością ∆V = 0.1 cm3 , a przy pomocy wagi sprężynowej można
ustalić jego masę z dokładnością ∆M = 1 g. Objętość zmierzona tym sposobem
wynosi V = 25 cm3 , a masa M = 200 g. Z jaką w przybliżeniu dokładnością
można obliczyć gęstość ρ tego ciała.
Wiemy, że gęstość jednorodnego ciała o masie M i objętości V wyraża się
wzorem
M
ρ= .
V
Zatem niech
M
f (M, V ) = .
V
7
Wtedy
∂f
1
= ,
∂M
V
∂f
M
= − 2,
∂V
V
∂f
1
(200, 25) = ,
∂M
25
∂f
200
(200, 25) = −
.
∂V
(25)2
Zatem wobec wzoru (3.2) otrzymujemy
∆ρ ≈
200
1
∆M +
∆V = 0.072.
25
(25)2
Twierdzenia 3.7. (różniczki wyższych rzędów)
Różniczką rzędu 2-go nazywamy różniczkę z różniczki rzędu 1-go.
Różniczką rzędu n nazywamy różniczkę z różniczki rzędu n − 1-go.
Załóżmy, że f jest klasy C n w pewnym obszarze D.
d2 f = d(d f ) = d(fx dx + fy dy) = (fxx dx + fyx dy) dx + (fxy dx + fyy dy) dy =
= fxx (dx)2 + 2fxy dx dy + fyy (dy)2 .
n ∂ nf
∂ nf
∂ nf
n
n−1
dn f =
(dx)
+
(dx)
dy
+
...
+
(dy)n ,
1
n
n−1
n
∂x
∂x ∂y
∂y
co symbolicznie można zapisać
(n)
∂f
∂f
dn f =
dx +
dy
.
∂x
∂y
Przykład 11.
Obliczymy d3 f .
d3 f =
∂f
∂f
dx +
dy
∂x
∂y
(3)
=
∂ 3f
∂ 3f
∂ 3f
∂ 3f
3
2
2
=
(dx) + 3 2 (dx) dy + 3
dx (dy) + 3 (dy)3 .
3
2
∂x
∂x ∂y
∂x∂y
∂y
8
4. Pochodne cząstkowe funkcji złożonej.
Załóżmy, że z = f (u, v) jest funkcją określoną w obszarze D oraz u = u(x, y) i
v = v(x, y) są funkcjami określonymi w obszarze E i przyjmującymi wartości
(brane jednocześnie) w obszarze E określona jest funkcja złożona
z = F (x, y) = f (u(x, y), v(x, y)).
Twierdzenie 4.1.
Zakładamy, że funkcja f jest klasy C 1 w D oraz funkcje u i v mają pochodne
cząstkowe w E. Wtedy funkcja złożona F posiada w E pochodne cząstkowe,
które wyrażające się wzorami:
(4.1)
∂z
∂F
∂f ∂u ∂f ∂v
=
=
+
∂x
∂x
∂u ∂x ∂v ∂x
(4.2)
∂F
∂f ∂u ∂f ∂v
∂z
=
=
+
.
∂y
∂y
∂u ∂y ∂v ∂y
W szczególnym przypadku : jeśli z = f (x(t), y(t)) mamy
(4.3)
∂z
∂f d x ∂f d y
=
+
,
∂t
∂x d t
∂y d t
a jeśli z = f (x, y(x))
(4.4)
∂f ∂f d y
∂z
=
+
.
∂x
∂x ∂y d x
Przykład 12.
Obliczymy pochodne funkcji
• z = f (u, v) =
u2
v ,
gdzie u(x, y) = x sin y, v(x, y) = x cos y,
• z = f (u, v) = u2 + v 2 − 2uv 2 , gdzie u(t) = ln t, v(t) = e2t ,
• z = arc sin xy , gdzie y = x2 .
9
5. Pochodna kierunkowa funkcji.
Definicja 5.1. (pochodnej kierunkowej)
Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu (x0 , y0 )
→
i niech −
v = [v1 , v2 ] będzie danym wersorem, tj. wektorem o długości 1.
→
Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie (x0 , y0 ) w kierunku wektora −
v
∂f (x0 ,y0 )
oznaczamy
→ i definiujemy następująco
−
∂ v
∂f (x0 , y0 )
f (x0 + tv1 , y0 + tv2 ) − f (x0 , y0 )
(:=
lim
.
→
t→0+
∂−
v
t
Uwaga.
∂f
Pochodne cząstkowe ∂f
∂x i ∂y są pochodnymi kierunkowymi odpowiednio w
kierunku osi Ox i osi 0y, tzn.
∂f
∂f
= →
−,
∂x
∂i
Pochodna kierunkowa
→
kierunku wektora −
v.
∂f
→
−
∂ v
∂f
∂f
= →
−.
∂y
∂j
określa szybkość zmiany wartości funkcji f w
Przykład 13.
√
3
1
0 ,y0 )
−
→
dla
f
(x,
y)
=
xy,
(x
,
y
)
=
(1,
2),
v
=
[
Obliczymy ∂f (x−
,
0 0
→
2 2 ].
∂ v
Definicja 5.2. (gradientu funkcji)
Gradientem funkcji f w punkcie (x0 , y0 ) nazywamy wektor
∂f (x0 , y0 ) ∂f (x0 , y0 )
grad f (x0 , y0 ) :=
,
) .
∂x
∂y
Używamy także oznaczenia grad f = ∇f .
Uwaga.
Gradient funkcji w danym punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu
funkcji w tym punkcie i jest wektorem prostopadłym do poziomicy funkcji
przechodzącej przez ten punkt.
10
Przykład 14.
Temperatura w zbiorze V = {(x, y, z) : 0 ≤ x, y, z ≤ π} określona jest
wzorem
θ(x, y, z) = 10 cos(x − y) + 20 sin(x + z).
Wyznaczyć kierunek najszybszego wzrostu temperatury θ w punkcie π2 , π2 , π2 .
Twierdzenie 5.3.
Załóżmy, że funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe fx i fy w punkcie (x0 , y0 )
→
i−
v jest dowolnym wersorem na płaszczyźnie. Wówczas
∂f (x0 , y0 )
→
= ∇f (x0 , y0 ) · −
v.
→
−
∂v
Przykład 15.
√ √
∂f (x0 ,y0 )
x+y
−
→
dla f (x, y) = e , (x0 , y0 ) = (1, −1), v = [ 22 , 22 ].
Obliczymy
→
−
∂ v
Uwaga.
Powyższe definicje i fakty przenoszą się na funkcje trzech i większej ilości
zmiennych.
11
6. Wzór Taylora. Ekstrema funkcji.
6.1. Wzór Taylora dla funkcji k zmiennych k ≥ 2.
Twierdzenie 6.1.
Załóżmy, że funkcja k zmiennych jest klasy C n w otoczeniu punktu
P0 = (x01 , x02 , ..., x0k ) zawierającym punkt P = (x1 , x2 , ..., xk ). Wówczas
dn−1 f
d f d2 f
+
+ ... +
+ Rn ,
(6.1) f (P ) = f (P0 ) +
1!
2!
(n − 1)!
dn f
Rn =
,
n!
przy czym pochodne do rzędu n − 1 włącznie są obliczane w punkcie P0 ,
a pochodne rzędu n (występujące w wyrażeniu Rn ) są obliczane w punkcie
leżącym na odcinku łączącym punkty P0 i P , ponadto w definicji różniczek
kładziemy d xi := xi − x0i , i = 1, 2, ..., k.
Przykład 16.
Wzór Taylora dla funkcji dwóch zmiennych f (x, y) i n = 2 ma postać
f (x, y) = f (x0 , y0 ) +
∂f (x0 , y0 )
∂f (x0 , y0 )
(x − x0 ) +
(y − y0 ) + R2 ,
∂x
∂y
gdzie
2
1 ∂ 2 f (xc , yc )
1 ∂ 2 f (xc , yc )
2 ∂ f (xc , yc )
R2 =
(x−x0 ) +
(x−x0 )(y−y0 )+
(y−y0 )2 ,
2
2
2
∂x
∂x∂y
2
∂y
gdzie (xc , yc ) jest punktem leżącym na odcinku łączącym punkty
(x0 , y0 ) i (x, y).
12
6.2. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Niech O(x0 , y0 ) i S(x0 , y0 ) oznaczają odpowiednio otoczenie i sąsiedztwo punktu
(x0 , y0 ).
Definicja 6.2.
(i) Mówimy, że funkcja f (x, y) ma w punkcie (x0 , y0 ) minimum lokalne, jeśli
istnieje takie otoczenie O(x0 , y0 ) tego punktu, że dla każdego punktu
(x, y) ∈ O(x0 , y0 ) zachodzi nierówność
f (x, y) ≥ f (x0 , y0 ).
(ii) Mówimy, że funkcja f (x, y) ma w punkcie (x0 , y0 ) minimum lokalne
właściwe, jeśli istnieje takie sąsiedztwo S(x0 , y0 ) tego punktu, że dla
każdego punktu (x, y) ∈ S(x0 , y0 ) zachodzi nierówność
f (x, y) > f (x0 , y0 ).
(iii) Mówimy, że funkcja f (x, y) ma w punkcie (x0 , y0 ) maksimum lokalne,
jeśli istnieje takie otoczenie O(x0 , y0 ) tego punktu, że dla każdego punktu
(x, y) ∈ O(x0 , y0 ) zachodzi nierówność
f (x, y) ≤ f (x0 , y0 ).
(iv) Mówimy, że funkcja f (x, y) ma w punkcie (x0 , y0 ) maksimum lokalne
właściwe, jeśli istnieje takie sąsiedztwo S(x0 , y0 ) tego punktu, że dla
każdego punktu (x, y) ∈ S(x0 , y0 ) zachodzi nierówność
f (x, y) < f (x0 , y0 ).
13
Twierdzenie 6.3. (warunek konieczny istnienia ektremum)
Jeżeli w punkcie (x0 , y0 ) funkcja ma ektremum lokalne oraz istnieją w tym
punkcie pochodne cząstkowe fx i fy , to
∂f (x0 , y0 )
=0 i
∂x
∂f (x0 , y0 )
= 0.
∂y
Definicja 6.4.
Hesjanem funkcji f (x, y) w punkcie (x0 , y0 ) nazywamy macierz drugich pochodnych
cząstkowych, tj. macierz H(x0 , y0 ) postaci
fxx (x0 , y0 ) fxy (x0 , y0 )
H(x0 , y0 ) =
.
fyx (x0 , y0 ) fyy (x0 , y0 )
Definiujemy
W (x0 , y0 ) := det H(x0 , y0 ) = fxx (x0 , y0 ) fyy (x0 , y0 ) − fxy (x0 , y0 ) fyx (x0 , y0 ).
Twierdzenie 6.5. (warunek wystarczający istnienia ektremum)
Załóżmy, że funkcja f (x, y) ma ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu 2-go
włącznie, tzn. jest klasy C 2 w otoczeniu O(x0 , y0 ) punktu (x0 , y0 ) oraz spełnia
warunki:
(i) fx (x0 , y0 ) = 0 i fy (x0 , y0 ) = 0,
(ii) W (x0 , y0 ) = fxx (x0 , y0 ) fyy (x0 , y0 ) − [fxy (x0 , y0 )]2 > 0.
Wówczas w punkcie (x0 , y0 ) funkcja f ma ekstremum lokalne właściwe, przy
czym będzie to minimum jeśli fxx (x0 , y0 ) > 0, zaś maksimum, jeśli
fxx (x0 , y0 ) < 0.
Uwaga.
Jeżeli w założeniu (ii) twierdzenia 6.5 pojawi się warunek W (x0 , y0 ) < 0,
to funkcja f nie ma w punkcie (x0 , y0 ) ekstremum lokalnego. W przypadku
W (x0 , y0 ) = 0 należy badanie istnienia ektremum lokalnego funkcji f w
punkcie (x0 , y0 ) przeprowadzić inną metodą, np. korzystając z definicji.
14
Przykład 17.
Znajdziemy ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy.
Przykład 18.
Pokażemy, że funkcja f (x, y) = x8 − y 6 nie ma ekstremum lokalnego.
Zauważmy, że f ma ciągłe pochodne cząstkowe dowolnego rzędu. Obliczamy
fx = 8x7 ,
fy = −6y 5 .
Łatwo sprawdzić, że jedynym punktem, w którym zerują się obie pochodne
czastkowe fx i fy jest punkt (0, 0), skąd wynika, że punkt ten jest jedynym
punktem, w którym f może mieć ekstremum lokalne. Wobec twierdzenia 6.5
obliczamy
56x6 0
,
W (x, y) = 0 −30y 5 czyli W (0, 0) = 0, co oznacza, że nie możemy skorzystać z warunku wystarczającego,
aby rozstrzygnąć, czy w (0, 0) funkcja f ma ekstremum.
Pokażemy, że funkcja f w punkcie (0, 0) nie ma ekstremum lokalnego. W tym
celu wykażemy, że w każdym otoczeniu punktu (0, 0) można znaleźć punkty,
w których funkcja f ma wartość mniejszą od f (0, 0) = 0 oraz punkty, w
których ma ona wartość większą od f (0, 0) = 0.
Istotnie, zauważmy, że w każdym dowolnie małym otoczeniu punktu (0, 0)
leżą punkty (0, n1 ) i ( n1 , 0) dla dostatecznie dużego n ∈ N . Ponadto
1
1
f (0, ) = − 6 < 0 = f (0, 0),
n
n
15
1
1
f ( , 0) = 8 > 0 = f (0, 0).
n
n
6.3. Najmniejsza i największa wartość funkcji dwóch zmiennych.
Definicja 6.6. (najmniejszej i największej wartości funkcji)
(i) Liczba m ∈ R jest najmniejszą wartością funkcji f na zbiorze A ⊂ Df ,
jeżeli
∃(x0 , y0 ) ∈ A f (x0 , y0 ) = m
∧
∀(x, y) ∈ A f (x, y) ≥ m.
(ii) Liczba M ∈ R jest największą wartością funkcji f na zbiorze A ⊂ Df ,
jeżeli
∃(x0 , y0 ) ∈ A f (x0 , y0 ) = M
∧
∀(x, y) ∈ A f (x, y) ≤ M.
Algorytm szukania najmniejszej i największej wartości funkcji na
ograniczonym zbiorze domkniętym A ⊂ Df .
1. Wyznaczamy punkty wewnątrz obszaru A, w których funkcja f może mieć
ekstrema lokalne.
2. Na brzegu obszaru A wyznaczamy punkty, w których f może mieć ekstrema
warunkowe.
3. Obliczamy wartości funkcji w znalezionych punktach i wybieramy wartość
najmniejszą i największą. Będą to odpowiednio wartość najmniejsza
m = fmin i największa M = fmax funkcji f na zbiorze A.
16
Przykład 19.
Znajdziemy najmniejszą fmin i największą fmax wartość funkcji
f (x, y) = x2 + 2xy − 4x + 8y
w obszarze A = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [0, 1]
∧ y ∈ [0, 2]}.
1. Szukamy wewnątrz zbioru A punktów, w których f może mieć ekstrema
lokalne, tzn. szukamy rozwiązań układu równań
fx (x, y) = 0
fy (x, y) = 0,
czyli
2x + 2y − 4 = 0
2x + 8 = 0,
skąd x = −4 i y = 6. Punkt (−4, 6) nie należy jednak do zbioru A.
2. Badamy funkcję f na brzegu zbioru A:
Dla x = 0 i y ∈ [0, 2] mamy f (0, y) = 8y := v(y). Funkcja v = v(y) jako
liniowa osiąga wartości ektremalne na końcach przedziału [0, 2]. Stąd pod
uwagę bierzemy punkty (0, 0) i (0, 2).
Dla x = 1 i y ∈ [0, 2] mamy f (1, y) = 1+2y−4+8y = 10y−3 := v(y). Funkcja
v = v(y) jako liniowa osiąga wartości ektremalne na końcach przedziału [0, 2].
Stąd pod uwagę bierzemy punkty (1, 0) i (1, 2).
Dla y = 0 i x ∈ [0, 1] mamy f (x, 0) = x2 − 4x := u(x). Mamy u0 (x) = 2x − 4,
czyli rozwiązaniem równania u0 (x) = 0 jest x = 2 ∈
/ [0, 1]. Stąd pod uwagę
bierzemy punkty (0, 0) i (1, 0).
Dla y = 2 i x ∈ [0, 1] mamy f (x, 2) = x2 + 4x − 4x + 16 = x2 + 16 := u(x).
Mamy u0 (x) = 2x, czyli rozwiązaniem równania u0 (x) = 0 jest x = 0. Stąd
znów dostajemy punkty (0, 2) i (1, 2).
3. Obliczamy wartości funkcji f w wyznaczonych punktach, które są wierzchołkami
prostokąta A:
f (0, 0) = 0, f (0, 2) = 16, f (1, 0) = −3, f (1, 2) = 17.
Zatem najmniejsza wartość funkcji f na zbiorze A wynosi −3 = f (1, 0), zaś
największa 17 = f (1, 2).
17