Metody analizy i prezentacji danych statystycznych Materiały do

Metody analizy i prezentacji danych statystycznych
Materiały do wykładu
Dr Adam Kucharski
Spis treści
1 Podstawowe pojęcia statystyczne
1.1 Populacja i zbiorowość . . . . . .
1.2 Badanie statystyczne . . . . . . .
1.3 Standaryzacja danych . . . . . .
1.4 Szeregi statystyczne . . . . . . .
1.5 Graficzna prezentacja danych . .
.
.
.
.
.
2
2
3
5
5
7
2 Analiza szeregu przekrojowego
2.1 Miary opisujące szereg i jego strukturę . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Badanie koncentracji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
11
3 Analiza szeregu czasowego
3.1 Analiza dynamiki . . . . . . . . . .
3.2 Dekompozycja szeregu czasowego .
3.3 Średnia ruchoma . . . . . . . . . .
3.4 Modele trendu . . . . . . . . . . .
3.5 Zmienne zero-jedynkowe . . . . . .
3.6 Wyodrębnianie wahań sezonowych
3.7 Rodzaje prognoz i ich własności . .
3.8 Ocena jakości prognoz ex post . . .
12
12
13
14
18
21
24
27
27
4 Szeregi przekrojowo-czasowe
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
30
Metody analizy (...)
1
Opracował: dr Adam Kucharski
Podstawowe pojęcia statystyczne
1.1
Populacja i zbiorowość
W ramach naszego wykładu będziemy wykorzystywać wiedzę uzyskaną podczas zajęć ze Statystyki. Dlatego na początek przypomnimy sobie pojęcia poznane na tym przedmiocie. Zaczniemy
od najbardziej podstawowych.
Zbiorowość statystyczna – zbiór osób, przedmiotów lub zjawisk podobnych do siebie, ale
nie identycznych, poddanych badaniu statystycznemu. Pojedynczy element zbiorowości
podlegający bezpośredniemu badaniu to jednostka statystyczna.
Populacja generalna – tworzą ją wszystkie elementy, będące przedmiotem badania, co do
których formułujemy wnioski ogólne. Aby określić ją zgodnie z celem badania wszystkie
jednostki muszą być określone pod względem:
• rzeczowym (co lub kogo badamy);
• przestrzennym (obszar objęty badaniem);
• czasowym (okres lub moment objęty badaniem).
Populacja próbna – podzbiór populacji generalnej, obejmujący elementy wybrane w określony
sposób. Wyniki z jej badania uogólnia się na populację generalną.
Badanie statystyczne pełne – bezpośredniej obserwacji podlegają wszystkie elementy populacji generalnej.
Badanie statystyczne częściowe – obserwacji podlega tylko część populacji generalnej (tzw.
próba). Wyróżnimy następujące rodzaje badań częściowych:
• reprezentacyjne;
• monograficzne (badany jest indywidualny przypadek np pojedynczy region bądź firma);
• ankietowe.
Częściej wykonujemy drugi z wymienionych rodzajów badań. Dzieje się tak ponieważ zwykle
nie możemy zbadać całości populacji generalnej ze względu na jej liczebność oraz/lub związane
z tym koszty. Koszt przeprowadzenia badania częściowego jest niższy a samo badanie trwa
krócej. Powtarzając je co jakiś czas zyskujemy szansę uaktualnienia wyników. Badania częściowe
wykonujemy również wtedy, gdy jednostki statystyczne ulegają zniszczeniu w trakcie samego
badania.
Oba rodzaje badań obarczone są błędami, przy czym w badaniu częściowym dodatkowo pojawia się niebezpieczeństwo złego doboru struktury próby1 . Próba musi odnosić się do populacji
generalnej z określoną dokładnością. Należy w tym celu spełnić dwa warunki:
1. próba musi być losowa – prawdopodobieństwo znalezienia się w próbie powinno być jednakowe dla każdej jednostki;
2. próba powinna być dostatecznie liczna.
W badaniach ekonomicznych występuje problem z doborem losowym, dlatego ograniczamy
się do pojęcia niezależności jednostek z punktu widzenia wybranych zmiennych.
Jednostki statystyczne różnią się między sobą ze względu na tzw. cechy statystyczne. Wyróżnimy następujące ich rodzaje:
1
Tą wadą często obarczone są badania oparte na sondażach telefonicznych.
2 z 32
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
• cechy mierzalne – warianty cechy wyrażone są za pomocą liczb. Dzielą się one dalej na:
– skokowe – przyjmują skończoną lub przeliczalną liczbę wartości;
– ciągłe – przyjmują dowolną (zależną od dokładności pomiaru) wartość z ustalonego
przedziału;
• cechy niemierzalne – warianty wyrażone są w sposób opisowy;
• cechy quasi-ilościowe (porządkowe) – warianty są przedstawione w sposób opisowy, lecz
można je uporządkować wg natężenia badanej cechy.
1.2
Badanie statystyczne
Postępowanie zmierzające do udzielenia odpowiedzi na postawiony przez nas problem na podstawie materiału statystycznego oraz wykorzystujące stosowne narzędzia tworzy procedurę zwaną
badaniem statystycznym. Przeprowadzając badanie tego rodzaju przechodzimy następujące etapy:
1. Przygotowanie badania:
• określenie celu badania;
• określenie zbiorowości i jednostki statystycznej;
• określenie charakteru badania (pełne lub częściowe);
• określenie sposobu pozyskiwania danych i ich źródeł;
• przygotowanie materiałów (formularzy, tablic roboczych itd.);
• przygotowanie planu finansowego;
2. Gromadzenie materiału statystycznego (obserwacja statystyczna), który może pochodzić
ze źródeł:
• pierwotnych (dane zebrane bezpośrednio);
• wtórnych (dane pochodzą z wcześniejszych opracowań);
3. Grupowanie i prezentacja zebranego materiału przy pomocy tabel i wykresów;
4. Analiza wyników i wyciąganie wniosków.
Jeśli chodzi o wtórne źródła danych, to bardzo popularne obecnie jest wykorzystywanie internetu. Dlatego przyjrzymy się kilku wybranym serwisom zawierającym dane statystyczne.
Główny Urząd Statystyczny (www.stat.gov.pl)
Strona GUS stanowi obfite źródło danych ekonomicznych, demograficznych i innych. Część z
nich dostępna jest odpłatnie. Dane udostępniane są w postaci elektronicznych wersji publikacji
GUS oraz pogrupowane według kategorii. Pobieżnie omówimy niektóre z nich:
Ceny. Handel Znajdują się tu m.in. dane dotyczące inflacji, cen wybranych produktów czy
niektóre z tablic Rocznika Statystycznego Handlu Zagranicznego.
Ludność Obok elektronicznej wersji Rocznika Demograficznego znajdziemy w tym dziale tablice
trwania życia czy strukturę ludności Polski z punktu widzenia różnych kryteriów.
Praca. Wynagrodzenia Do pobrania udostępniono dane o pracujących, bezrobociu czy aktywności ekonomicznej ludności. Oprócz tego znajdują się tu informacje na temat wynagrodzeń klasyfikowanych według wybranych kryteriów.
3 z 32
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
Przemysł. Budownictwo. Środki trwałe Dział zawiera m.in. produkcję wybranych wyrobów czy dane na temat budownictwa mieszkaniowego.
Rachunki narodowe Jako że rachunki narodowe są podstawą obliczania wartości PKB, właśnie tu znajdziemy dane i informacje merytoryczne związane z tą ważną kategorią ekonomiczną.
Środowisko. Energia Dane dotyczące zużycia paliw i energii oraz ochrony środowiska.
Warunki życia Dane na temat budżetów gospodarstw domowych, dochodów ludności itp.
Opracowania zbiorcze Tutaj znajdują się odnośniki do stron związanych z publikacjami GUS.
Warto zajrzeć na przykład do Biuletynu Statystycznego – ukazującego się co miesiąc a zawierającego szeregi statystyczne o bardzo różnorodnej tematyce. Urząd publikuje także
roczniki statystyczne z wybranych dziedzin, ale w ich przypadku musimy liczyć się z ograniczeniami ilości udostępnianych informacji.
Statystyka regionalna Dział ten zawiera m.in. dane i opracowania wykonane przez Wojewódzkie Urzędy Statystyczne. Rodzaj tych danych zależy od konkretnego urzędu.
Narodowy Bank Polski (www.nbp.pl)
Oficjalna strona NBP zawiera szereg informacji na temat samego banku, jego polityki i wydawanych przepisów prawnych. Znajdują się tam również dane statystyczne m.in. bilans NBP,
instrumenty banku centralnego, kursy walut i inne. W dziale „Publikacje” znajduje się „Biuletyn
Informacyjny NBP”, zawierający wiele cennych danych na temat rynku bankowego i pieniężnego
w Polsce. Oprócz tego na stronie znaleźć można analizy przygotowane przez pracowników banku.
Dom Maklerski BOŚ S.A. (bossa.pl) oraz Gazeta giełdowa „Parkiet” (www.parkiet.com)
W internecie łatwo znaleźć dane giełdowe. Wymienione powyżej strony zawierają obszerne
zbiory danych tak bieżących jak i historycznych. Pobrać należy plik tekstowy przygotowany dla
programu Metastock i wczytać go do arkusza kalkulacyjnego przy pomocy odpowiedniego kreatora.
Izba Zarządzających Funduszami i Aktywami (www.izfa.pl)
Na tej stronie znajdują się dane statystyczne, analizy ekonomiczne i inne informacje związane z funduszami inwestycyjnymi obecnymi na polskim rynku.
Zgromadzone dane statystyczne (czy to ze źródeł pierwotnych, czy wtórnych) poddaje się grupowaniu, którego wyróżnimy dwa rodzaje:
1. typologiczne – polegające na wyodrębnianiu grup odmiennych jakościowo np pod względem
cech terytorialnych bądź rzeczowych;
2. wariancyjnie – polegające na porządkowaniu jednostek i łączeniu ich w klasy o odpowiednich wartościach cechy.
Jeżeli grupowanie w postaci szeregów nam nie wystarczy, dane można przedstawić przy pomocy
tablic wielodzielnych, których szczególnym przypadkiem są tablice dwudzielne (korelacyjne).
Oczywiście publikacje o charakterze statystycznym zostały przez autorów pogrupowane, ale
niekiedy dane z naszego punktu widzenia okazują się zbyt szczegółowe. W takiej sytuacji możemy
dokonać agregacji danych2 przestrzegając jednak, aby grupować podobne warianty cechy.
2
Z działaniem tego typu mamy do czynienia na przykład tworząc szereg rozdzielczy punktowy z szeregu
szczegółowego.
4 z 32
Metody analizy (...)
1.3
Opracował: dr Adam Kucharski
Standaryzacja danych
Cechy mierzalne podlegające obserwacji statystycznej zazwyczaj mają miano, które niekiedy
utrudnia porównywanie cech ze sobą. Wyjściem w takiej sytuacji może się stać standaryzacja
zmiennych.
Jednym ze sposobów standaryzacji danych jest podzielenie wszystkich elementów szeregu
przez jego wartość maksymalną. Ma to tę zaletę, że dane po przekształceniu zyskują stały
punkt odniesienia (wartość jeden).
Przykład 1
Rozpatrzmy dostępny na stronie NBP średniomiesięczny kurs euro za pierwsze osiem miesięcy
2008 roku. Tabela 1 zawiera dane przed i po standaryzacji.
Tabela 1: Przykład standaryzacji wykorzystującej wartość maks.
Miesiąc
Kurs EUR
Kurs wystand.
Styczeń
3,6080
1
Luty
3,5825
0,9929
Marzec
3,5374
0,9804
Kwiecień
3,4444
0,9547
Maj
3,4069
0,9443
Czerwiec
3,3760
0,9357
Lipiec
3,2600
0,9035
Sierpień
3,2884
0,9114
Średnia
3,4380
0,9529
Odch. stand.
0,1217
0,0337
źródło: obliczenia własne na podst. danych z www.nbp.pl
Postępowanie przedstawione w tabeli 1 przydaje się m.in. podczas przetwarzania danych
powstających przy zliczaniu wyników pochodzących z ankiet.
1.4
Szeregi statystyczne
Dane liczbowe jakie gromadzimy podczas badania statystycznego najczęściej mają postać szeregów statystycznych.
Szereg statystyczny – ciąg wielkości statystycznych, uporządkowanych według określonych
kryteriów.
Podstawowe rodzaje szeregów statystycznych ze względu na sposób prezentacji danych:
• szczegółowy;
• rozdzielczy:
– punktowy;
– z przedziałami klasowymi.
Szeregi rozdzielcze dzielą zbiorowość statystyczną na części (klasy) wg określonej cechy i
podają liczebność lub częstość każdej z klas. Zazwyczaj szeregi punktowe buduje się dla cech
5 z 32
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
skokowych zaś te z przedziałami klasowymi dla cech ciągłych choć jeśli liczba obserwacji w
przypadku cechy skokowej jest duża również w jej wypadku sięga się po przedziały.
Podstawowe rodzaje szeregów ze względu na charakter danych:
• czasowe;
• przekrojowe;
• przekrojowo-czasowe.
Szeregi szczegółowe najlepiej nadają się do prezentowania niedużych ilości danych. Kiedy ich
liczba wzrasta przechodzimy na szeregi rozdzielcze. O ile budowa szeregu punktowego nie budzi
wątpliwości, to pojawiają się one już dla szeregu z przedziałami klasowymi. Tworzenie przedziałów może odbywać się w sposób intuicyjny (sama struktura szeregu sugeruje ilość i rozpiętość
przedziałów) lub w oparciu o określone procedury. Poniżej znajdują się etapy postępowania,
które pozwala zamienić szereg szczegółowy na rozdzielczy z przedziałami klasowymi.
1. Ustalenie liczby klas (k ): jeżeli przez n oznaczymy ogólną liczebność szeregu, wówczas
liczbę klas można wyznaczyć na podstawie jednego ze wzorów:
√
k ≈ n
(1)
k ≈ 1 + 3,322 log n
(2)
2. Ustalenie rozpiętości przedziałów: Zazwyczaj przyjmuje się jednakowe rozpiętości przedziałów. Dzięki temu liczebności w poszczególnych klasach są porównywalne. Różne rozpiętości
stosujemy, kiedy populacja jest niejednorodna i występuje silna koncentracja obserwacji w
jednej z klas. Niech h oznacza rozpiętość przedziału:
h≈
xmax − xmin
R
≈
k
k
(3)
Wartość h często trzeba przybliżyć. Wykorzystujemy wtedy tzw. przybliżenie z nadmiarem:
hk > R
3. Ustalanie granic klas: Zwykle jako dolną granicę przyjmuje się xmin lub bliską mu wartość.
Należy też pamiętać, że dla cech ciągłych dolne granice klas następnych powinny być równe
górnym granicom klas poprzednich.
Przykład 2
Spróbujmy skonstruować przykładowy szereg rozdzielczy. Z Małego Rocznika Statystycznego
2008 wybraliśmy dane dotyczące głębokości maksymalnej polskich jezior3 , które znalazły się w
tabeli 2.
Dane obejmują n = 23 jeziora. Na podstawie wzoru (2) ustalamy liczbę klas:
k ≈ 1 + 3,322 log(23) ≈ 5,52
Zaokrąglamy wartość k do 6. Następnie ustalamy rozpiętość przedziałów:
h≈
68 − 2,6
≈ 10,9
6
Pamiętając o regule przybliżania z nadmiarem, ustalamy rozpiętość przedziału na 11 m.
W ostatnim kroku określamy granice przedziałów, pamiętając o tym, że w naszym przykładzie mamy do czynienia z cechą ciągłą. Jako dolną granicę przyjmiemy 2,5. Efekt końcowy
znalazł się w tabeli 3.
3
Jeziora te uporządkowano malejąco wg powierzchni zwierciadła wody
6 z 32
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
Tabela 2: Maksymalna głębokość większych jezior w Polsce
Nazwa jeziora
Maks. głębokość [m]
Miedwie
Jeziorak Duży
Nazwa jeziora
Maks. głębokość [m]
43,8
Dominickie
17,1
12
Sasek Mały
3,7
Niegocin
39,7
Chełmżyńskie
27,1
Jamno
3,9
Tajno
6,6
Wdzydze Połud.
68
Raduń
25,1
Raduńskie Dolne
35,4
Chłop
23
Gaładuś
54,8
Przytoczno
Pogubie Wielkie
2,6
Harsz
47
Wdzydze Półn.
18,8
Wielkie
3,7
Gremzdy
14,3
Ewingi
3
Serwy
41,5
Zdworskie
Boczne
12,5
17
5
źródło: Mały Rocznik Statystyczny 2008, tabela 14 s. 44
Tabela 3: Struktura większych jezior Polski wg ich głębokości maksymalnej
Maks. głębokość [m]
Liczba jezior
2,5-13,5
9
13,5-24,5
5
24,5-35,5
3
35,5-46,5
3
46,5-57,5
2
57,5-68,5
1
Razem
23
źródło: obliczenia własne
1.5
Graficzna prezentacja danych
Prezentacja danych na wykresie ma wiele zalet. Pozwala na przykład ogarnąć zachowanie się
dużej liczby obserwacji. Analiza wykresu pomaga ocenić własności szeregu (np. asymetrię) i
dobrać stosowne narzędzia dalszej analizy. Z uwagi na to, że źródła i rodzaje danych oraz cele
badań są bardzo różnorodne, istnieje ogromna mnogość rodzajów wykresów. Wymieńmy tylko
niektóre:
• statystyczne:
– rozkład empiryczny;
– histogram;
– wykres ramkowy;
• prezentujące strukturę lub częstość:
– wykres kołowy (pierścieniowy);
7 z 32
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
– wykres kolumnowy (grupowany lub skumulowany);
– wykres warstwowy skumulowany;
• opisujące dekompozycję bądź zależność:
– punktowy;
– liniowy o skali równomiernej;
– liniowy o skali logarytmicznej.
Tworząc wykresy warto pamiętać o następujących uwagach:
1. Wykorzystując układ współrzędnych na osi odciętych odkładamy wartości cechy, a na osi
rzędnych liczbę wystąpień danego wariantu.
2. Dla szeregów czasowych oś odciętych zawiera interwały czasowe zaś oś rzędnych wielkości
zjawisk w kolejnych momentach (okresach) czasu.
3. Skale na obu osiach są od siebie niezależne.
2
Analiza szeregu przekrojowego
2.1
Miary opisujące szereg i jego strukturę
Dokonując analizy szeregu statystycznego wskazane jest obliczyć komplet miar opisujących jego
strukturę. Oparcie się tylko na jednej lub dwóch nie daje pełnej informacji. Należy przy tym
pamiętać o własnościach użytych miar (przykładowo o tym, że miary klasyczne obliczane są ze
wszystkich elementów szeregu). Do najważniejszych charakterystyk zaliczymy:
• średnią arytmetyczną;
• wariancję (odchylenie standardowe);
• współczynnik skośności (lub inną miarę asymetrii);
• dominantę;
• kwartyle;
• rozstęp;
• współczynnik zmienności.
Przykład 3
Rozpatrzmy dane na temat liczby ludności zamieszkującej miasta wszystkich 16 województw
naszego kraju. Dane pochodzą z tablicy 2 zawartej w publikacji pt. Miasta w liczbach 2005-2006
przygotowanej przez Centrum Statystyki Miast Urzędu Statystycznego w Poznaniu, a dostępnej
na internetowej stronie GUS.
Dla danych z tabeli 4 obliczmy podstawowe miary statystyczne. Z wyników zawartych w
tabeli 5 dowiadujemy się, że w polskich miastach na koniec 2006 roku mieszkało średnio 1460,56
tys. osób. Najmniejsza liczba ludności zamieszkiwała miasta województwa opolskiego a największa – śląskiego. W połowie województw mieszkało w miastach nie więcej niż 1217,8 tys. osób
zaś połowa obserwacji mieści się między 815,33 a 1723,35 tys. osób. Odchylenie standardowe
wyniosło 899,05 tys. osób. Wskazuje to na dużą zmienność szeregu, co potwierdza współczynnik
zmienności rzędu niemal 62%.
8 z 32
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
Tabela 4: Ludność zamieszkująca w miastach poszczególnych województw. Stan na 31 XII 2006.
Województwo
Ludność miejska [tys.]
Dolnośląskie
2042,7
Kujawsko-pomorskie
1267,3
Lubelskie
1013,0
Lubuskie
645,6
Łódzkie
1657,3
Małopolskie
1618,1
Mazowieckie
3346,7
Opolskie
547,8
Podkarpackie
849,9
Podlaskie
711,6
Pomorskie
1477,3
Śląskie
3666,1
Świętokrzyskie
579,8
Warmińsko-mazurskie
855,9
Wielkopolskie
1921,5
Zachodniopomorskie
1168,3
źródło: Miasta w liczbach 2005-2006, www.stat.gov.pl
Tabela 5: Zestawienie wyników obliczeń dla danych z tabeli 4
Miara
Wartość
Miara
Średnia aryt.
1460,56
Q1
815,33
Mediana
1217,8
Q3
1723,35
Wariancja
8, 08 ×
105
Wartość
Wsp. zmienności
0,616
Odchyl. stand.
899,05
Rozstęp
3118,3
xmin
547,8
Q3 − Q1
908,03
xmax
3666,1
AQ
0,114
źródło: obliczenia własne
Naszą uwagę powinna zwrócić również duża różnica pomiędzy średnią a medianą wskazując
na silną asymetrię prawostronną. Z uwagi na występowanie najliczniejszego wariantu cechy w
skrajnym położeniu nie obliczamy dominanty, a w konsekwencji nie możemy ocenić siły asymetrii przy pomocy miar klasycznych. Dlatego obliczony został pozycyjny współczynnik skośności
(AQ ). Wskazuje on na niedużą asymetrię prawostronną.
Może to dziwić, gdy spojrzymy na wykres na rysunku 1 gdzie wyraźnie widać silną asymetrię
prawostronną. Różnica ta bierze się z faktu, iż AQ mierzy asymetrię 50% środkowych elementów
szeregu, a wśród nich nie występują aż tak duże różnice.
Analiza wykresu na rysunku 1 (dane o liczbie ludności uporządkowano rosnąco) pozwala znaleźć przyczynę takiego stanu rzeczy. Dwa województwa: mazowieckie i śląskie bardzo wyraźnie
odstają pod względem badanej cechy od pozostałych regionów. Poza tym w sześciu wojewódz-
9 z 32
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
Rysunek 1: Ludność zamieszkująca miasta poszczególnych województw
źródło: Miasta w liczbach 2005-2006, www.stat.gov.pl
twach liczba ludności miejskiej znajduje się wyraźnie poniżej miliona osób. Z tego powodu całą
analizę należy wykonać oddzielnie dla możliwie jednorodnych grup.
Przyjmiemy następujący podział:
1. grupa 1 – województwa: opolskie, świętokrzyskie, lubuskie, podlaskie, podkarpackie, warmińskomazurskie;
2. grupa 2 – województwa: lubelskie, zachodniopomorskie, kujawsko-pomorskie, pomorskie,
małopolskie, łódzkie, wielkopolskie, dolnośląskie;
3. grupa 3 – województwa: mazowieckie, śląskie.
Tabela 6: Zestawienie wyników dla grupy 1
Miara
Wartość
Miara
Wartość
Średnia aryt.
698,43
Q1
596,25
Mediana
678,6
Q3
815,33
Wsp. zmienności
0,173
Wariancja
14577,82
Odchyl. stand.
120,74
Rozstęp
308,1
xmin
547,8
Q3 − Q1
219,08
xmax
855,9
AQ
0,248
źródło: obliczenia własne
10 z 32
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
Przyjrzyjmy się wynikom otrzymanym dla grupy 1, które znalazły się w tabeli 6. Najbardziej
rzuca się w oczy bardzo wyraźny spadek zmienności, podnoszący nasze zaufanie do średniej
arytmetycznej. Zmieniła się również siła asymetrii szeregu. Pozostałe dwa przypadki można
przeanalizować w podobny sposób.
2.2
Badanie koncentracji
Jedną z własności, którą można badać w szeregach jest tzw. koncentracja mierzona m.in. przy pomocy kurtozy. Jednakże zmienne ekonomiczne (takie jak dochód) odznaczają się nierównomiernym rozłożeniem pomiędzy podmioty gospodarcze. Z tego powodu przydatne staje się przeanalizowanie stopnia podziału cechy pomiędzy poszczególne jednostki. Służy do tego współczynnik
koncentracji Lorenza. Przyjmuje on wartości z przedziału h0, 1i. Wartość 0 oznacza równomierny podział (brak koncentracji) zaś 1 całkowitą koncentrację. Jego wartość przybliżoną można
wyznaczyć na podstawie wzoru:
KL ≈ 1 −
k
X
zski + zsk−1
2
i=1
ωi
(4)
Prześledźmy sposób wyznaczania współczynnika Lorenza przy pomocy przykładu.
Przykład 4
Jako źródło danych wykorzystamy Rocznik statystyczny województw 2007 opublikowany na
stronie GUS. Zbadamy czy można powiedzieć, że występuje koncentracja PKB w województwach uporządkowanych ze względu na liczbę ludności, oraz jak jest ona silna. Wykorzystamy
zagregowane dane znajdujące się w tablicach II A oraz II E. Dane pochodzą z 2005 roku.
Tabela 7: PKB a liczba ludności wytwarzane w województwach
Województwa wg
Liczba
PKB
liczby ludności [tys.]
województw
[mln zł]
<2000
6
162249
2000-3000
6
315831
3000-4000
2
164561
4000-5000
1
130442
>5000
1
210219
Razem
16
983302
źródło: Rocznik statystyczny województw 2007, www.stat.gov.pl
Stopień koncentracji ilustruje tzw. krzywa koncentracji (krzywa Lorenza). Na osi odciętych
zaznaczamy skumulowane odsetki dla województw, a na osi rzędnych skumulowane odsetki dla
PKB. Łącząc punkty o współrzędnych (ωski , zski ) otrzymujemy wspomnianą krzywą przedstawioną na rysunku 2.
Krzywa ta wpisuje się w kwadrat, którego przekątną nazywamy linią równomiernego podziału. W miarę wzrostu koncentracji, krzywa Lorenza oddala się od przekątnej. Rośnie tym samym
pole powierzchni powstałej figury (obszar zaznaczony szarym kolorem na rysunku 2). Stosunek
owego pola do połowy pola kwadratu określa współczynnik Lorenza. Dla naszego przykładu
wartość współczynnika ta wynosi:
KL = 1 − 0,325 = 0,675
11 z 32
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
Tabela 8: Obliczenie współczynnika Lorenza
Województwa wg
Odsetek woj.
Odsetek PKB
Skumul. odsetki
Pole
liczby ludności [tys.]
ωi
zi
ωski
zski
figury
<2000
0,375
0,165
0,3750
0,165
0,0309
2000-3000
0,375
0,3212
0,7500
0,4862
0,1221
3000-4000
0,125
0,1674
0,8750
0,6536
0,0450
4000-5000
0,0625
0,1327
0,9375
0,7863
0,3250
>5000
0,0625
0,2138
1
1
0,0558
Razem
1
1
0,325
źródło: obliczenia własne
zski
1
0.8
0.6
0.4
0.2
ωski
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Rysunek 2: Krzywa Lorenza dla przykładu z tabeli 8
źródło: obliczenia własne
Stwierdzamy więc, że istnieje dość duży stopień koncentracji wytworzonego PKB w województwach. Rzeczywiście, analiza wskaźników struktury z tabeli 8 pozwala zauważyć, że największe udziały wartości PKB występują w dwóch przedziałach: drugim i ostatnim.
3
3.1
Analiza szeregu czasowego
Analiza dynamiki
Szeregi przekrojowe ujmują zjawisko w sposób statyczny. Czas, kiedy dokonano obserwacji jest
w nich ustalony i niezmienny. Statystyka stosuje również podejście dynamiczne, które opiera
się na szeregach czasowych. Podobnie jak szeregi przekrojowe, mogą one być charakteryzowane
przez miary przeciętne (najczęściej średnią arytmetyczną) oraz zróżnicowanie (zwykle wariancję,
odchylenie standardowe, współczynnik zmienności). Należy przy tym pamiętać, że w przypadku
szeregu momentów oblicza się średnią chronologiczną zgodnie ze wzorem:
ȳch =
0,5y1 + y2 + . . . + yn−1 + 0,5yn
n−1
12 z 32
(5)
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
Dla szeregu okresów obliczamy klasyczną wersję tej miary.
Szeregi czasowe stanowią również punkt wyjścia dla (omawianych podczas zajęć ze Statystyki opisowej) miar dynamiki. Przypomnijmy, że na bazie indeksów łańcuchowych wyznaczany
średnie tempo zmian zjawiska w czasie przy pomocy średniej geometrycznej:
q
q
īG = n−1 in|n−1 · in−1|n−2 · . . . · i2|1 = n−1 in|1
(6)
Znając średnią geometryczną szeregu czasowego możemy wyznaczyć średniookresowe tempo
zmian.
T̄n = ȳch − 1
(7)
Zwróćmy uwagę na to, że średnia geometryczna indeksów łańcuchowych w rzeczywistości
pomija wartości zawarte między skrajnymi wyrazami. Ma to duże znaczenie przy interpretacji
danych, ponieważ aby podtrzymać jej wiarygodność obserwacje z kolejnych okresów nie powinny
się zbytnio różnić.
Przykład 5
Sięgnijmy do Biuletynu Statystycznego GUS (www.stat.gov.pl) z lipca 2008. W tablicy 11
znajdują się dane kwartalne dotyczące przeciętnego zatrudnienia bez jednostek budżetowych
prowadzących działalność w zakresie obrony narodowej i bezpieczeństwa publicznego. Dokonajmy analizy tego szeregu.
Tabela 9: Obliczenia dla szeregu danych kwartalnych – Przeciętne zatrudnienie [tys.](Xt )
Okres
Xt
it|t−1
2007 I-III
7699
–
2007 IV-VI
7777
1,0101
2007 VII-IX
7815
1,0049
2007 X-XII
7912
1,0124
2008 I-III
8034
1,0154
2008 IV-VI
8066
1,0040
Średnia arytm.
7883,8330
Odch. stand.
133,4434
Wsp. zmien. [%]
1,69
Średnia geom.
1,0094
źródło: obliczenia własne na podst. BS GUS nr 07/2008
Niska wartość współczynnika zmienności pozwala stwierdzić, że średnia arytmetyczna dobrze
opisuje średni poziom przeciętnego zatrudnienia w analizowanym okresie. Kształtowało się ono
na poziomie 7883,8 tys. osób.
Znajdujące się w ostatniej kolumnie tabeli 9 indeksy łańcuchowe wskazują na niewielkie
zmiany w kolejnych okresach. Uznajemy więc, że średnia geometryczna dobrze opisze średnie
tempo zmian, które wyniosło 0,94%. Możemy więc stwierdzić, że między pierwszym kwartałem
2007 a drugim 2008 nie dochodziło do dynamicznych zmian przeciętnego zatrudnienia.
3.2
Dekompozycja szeregu czasowego
Inny kierunek analiz zmierza do dzielenia zachowania szeregu czasowego na poszczególne elementy. Szereg taki składa się z pewnych powtarzających się elementów, które można zdekomponować
13 z 32
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
na:
• Tendencję rozwojową (trend) – długookresową skłonność do jednokierunkowych zmian
wartości zmiennej. Efekt działania stałego zestawu czynników.
• Stały (przeciętny) poziom zmiennej – występujący w szeregu, w którym brak tendencji
rozwojowej. Wartości oscylują wokół pewnego stałego poziomu.
• Wahania cykliczne – długookresowe, rytmiczne wahania wartości zmiennej wokół trendu
lub stałego poziomu.
• Wahania sezonowe – wahania mające skłonność do powtarzania się w określonym czasie
nie przekraczającym roku.
• Wahania przypadkowe – losowe zmiany zmiennej o zróżnicowanej sile.
Wymienione wyżej elementy spotykamy praktycznie w dowolnych konfiguracjach (np. małe
wahania losowe, stały poziom zmiennej i wahania sezonowe dla jednego szeregu) czego ilustracją
jest rysunek 3.
yt
yt
(a)
(b)
t
t
Rysunek 3: Przykłady dekompozycji szeregu czasowego: (a) – Wahania przypadkowe i trend
liniowy, (b) – Wahania sezonowe i stały poziom zmiennej.
Wahania przypadkowe można próbować eliminować, zaś trend wyodrębniać z szeregu, używając do tego celu tzw. metod wygładzania, które podzielimy na następujące grupy:
1. metody mechaniczne (np. średnia ruchoma);
2. metody analityczne (funkcje trendu).
3.3
Średnia ruchoma
Zaliczana do grupy metod mechanicznych średnia ruchoma, nie wymaga przyjmowania zbyt
wielu założeń. Ograniczamy się jedynie do określenia liczby obserwacji, na podstawie których
obliczamy średnią ruchomą. Sposoby jej wyznaczania różnią się między sobą. Jeżeli naszym
celem jest jedynie wygładzenie szeregu i wyodrębnienie trendu, wówczas obliczamy tzw. średnią
scentrowaną. Z kolei dla celów prognostycznych wykorzystuje się wariant wyznaczający średnią
wartość dla przyszłych okresów. W obu przypadkach liczbę elementów branych pod uwagę przy
obliczaniu średniej nazywamy stałą wygładzania (k ).
14 z 32
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
Średnią scentrowaną inaczej wyznacza się dla parzystej a inaczej dla nieparzystej liczby
okresów. Załóżmy, że chcemy wygładzić szereg średnią o stałej wygładzania k = 3. Przykładowe
wartości otrzymamy stosując wzory:
ȳ2 =
y 1 + y2 + y3
3
ȳn−1 =
yn−2 + yn−1 + yn
3
Z kolei dla stałej k = 4 należy zastosować:
ȳ3 =
0,5y1 + y2 + y3 + y4 + 0,5y5
4
ȳn−2 =
0,5yn−4 + yn−3 + yn−2 + yn−1 + 0,5y5
4
Przykład 6
Z tego samego, 7/2008 numeru Biuletynu Statystycznego co w przykładzie poprzednim użyjemy danych zawartych w tablicy 47, a obejmujących produkcję sprzedaną przemysłu ogółem w
okresie od maja 2007 do lipca 2008. Wygładzony przy pomocy średniej ruchomej scentrowanej
o k = 3 szereg znalazł się w tabeli 10.
Tabela 10: Produkcja sprzedana przemysłu – wygładzanie szeregu
Okres
Prod. sprzed.
Średnia ruchoma
Reszty
[mld zł]
k=3
et
2007 V
68,2446
2007 VI
68,4607
68,2008
0,2599
2007 VII
67,8971
68,2543
-0,3572
2007 VIII
68,4051
69,3520
-0,9469
2007 IX
71,7537
72,8648
-1,1111
2007 X
78,4355
74,9691
3,4664
2007 XI
74,7182
73,7987
0,9195
2007 XII
68,2423
71,6797
-3,4374
2008 I
72,0785
71,2823
0,7962
2008 II
73,5260
73,2498
0,2762
2008 III
74,1448
74,8364
-0,6916
2008 IV
76,8385
73,9981
2,8404
2008 V
71,0111
74,2796
-3,2685
2008 VI
74,9892
72,9277
2,0615
2008 VII
72,7829
źródło: obliczenia własne na podst. BS GUS nr 07/2008
Wartości powstałe po użyciu średniej ruchomej pozbawione są części wahań losowych. Jest
to tzw. efekt wygładzania, który rośnie ze wzrostem stałej wygładzania. Płacimy za to utratą
części obserwacji, tym większą, im silniej wygładzamy szereg. Wpływ k na wygładzenie szeregu
na bazie danych z ostatniego przykładu ilustrują wykresy na rysunkach 4 i 5.
Uśredniona wartość z oczywistych powodów odbiega od danych rzeczywistych. Między daną
rzeczywistą a uśrednioną dla odpowiadających sobie okresów obliczamy różnicę (zwaną resztą
i oznaczaną symbolem et ), co ilustruje ostatnia kolumna tabeli 10. Reszty wyznaczamy więc
według wzoru:
(k)
et = yt − ȳt
(8)
15 z 32
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
gdzie:
yt – obserwacja rzeczywista w okresie t;
(k)
ȳt – wartość k -okresowej średniej ruchomej w okresie t.
Rysunek 4: Produkcja sprzedana przemysłu wygładzona średnią ruchomą o k =3.
źródło: BS GUS nr 07/2008 oraz obliczenia własne
Rysunek 5: Produkcja sprzedana przemysłu wygładzona średnią ruchomą o k =5.
źródło: BS GUS nr 07/2008 oraz obliczenia własne
Analiza reszt pozwala poznać własności wygładzonego szeregu. Na przykład znaczna przewa16 z 32
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
ga wartości ujemnych (dodatnich) świadczy o częstym przeszacowywaniu (niedoszacowywaniu)
wyników przez średnią ruchomą.
Średnia ruchoma w wersji prognostycznej zachowuje wszystkie własności średniej scentrowanej. Inna jest jednak filozofia wyznaczania jej wartości. Na użytek prognozowania przyjmuje się,
że wartość zmiennej prognozowanej w okresie prognozy będzie równa średniej arytmetycznej z
k poprzednich wartości tej zmiennej.
Dla danych z tabeli 10 obliczmy średnią ruchomą trójokresową w wariancie prognostycznym.
Przykład 7
Tabela 11: Produkcja sprzedana przemysłu – prognozy
Okres
Prod. sprzed.
Średnia ruchoma
Reszty
[mld zł]
k=3
et
2007 V
68,2446
2007 VI
68,4607
2007 VII
67,8971
2007 VIII
68,4051
68,2008
0,2043
2007 IX
71,7537
68,2546
3,4994
2007 X
78,4355
69,3520
9,0835
2007 XI
74,7182
72,8648
1,8534
2007 XII
68,2423
74,9691
-6,7268
2008 I
72,0785
73,7987
-1,7202
2008 II
73,5260
71,6797
1,8463
2008 III
74,1448
71,2823
2,8625
2008 IV
76,8385
73,2498
3,5887
2008 V
71,0111
74,8364
-3,8253
2008 VI
74,9892
73,9981
0,9911
2008 VII
72,7829
74,2796
-1,4967
2008 VIII
72,9277
źródło: obliczenia własne na podst. BS GUS nr 07/2008
Średnia z tabeli 11 obliczana jest dla tej samej co w poprzednim przykładzie stałej wygładzania i w konsekwencji daje te same wartości. Zmienia się jednak ich sens merytoryczny. Uśredniona
na podstawie kilku ostatnich obserwacji wartość staje się prognozą w okresie kolejnym. Przestaje
tym samym obowiązywać zasada iż średnia musi znaleźć się w przedziale pomiędzy najmniejszym a największym wyrazem szeregu. W konsekwencji obserwujemy wyższe (co do wartości
bezwzględnej) reszty. Plusem jednak takiego postępowania jest to, że możemy wyprognozować
poziom zmiennej w okresie, dla którego brak danych.
Jak ilustruje to wykres na rysunku 6 sam efekt wygładzenia również ma inny przebieg. Nie
uległa jednak zmianie reguła, w myśl której im wyższa stała wygładzania tym silniej usuwane są
wahania przypadkowe. Powiemy wtedy, że słabnie wpływ wahań losowych na wartość prognozy.
Z uwagi na jakość otrzymywanych prognoz, duże znaczenie ma dekompozycja szeregu czasowego. Użycie średniej ruchomej do szeregu z wyraźnym trendem liniowym doprowadza zawsze
do systematycznego przeszacowywania lub niedoszacowywania prognoz. Najlepiej sprawdza się
ona w szeregach o stałym poziomie zmiennej, bez wahań sezonowych.
17 z 32
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
Rysunek 6: Produkcja sprzedana przemysłu prognozowana średnią ruchomą o k =3.
źródło: BS GUS nr 07/2008 oraz obliczenia własne
3.4
Modele trendu
Drugą grupę metod wyodrębniających elementy dekompozycji szeregu czasowego stanowią funkcje trendu. Niektóre szeregi mają skłonność do systematycznych zmian w czasie np. stale rosną
lub maleją. Mówimy wówczas, że zawierają trend, który w modelach reprezentuje się przy pomocy sztucznej zmiennej. Zazwyczaj oznacza się ją symbolem t a jako wartości przyjmuje numery
kolejnych okresów (t=1, 2, 3,...,n).
Zmienna t wprowadzana jest jako argument funkcji matematycznej, służącej objaśnianiu
zachowania się zmiennej yt zawierającej kolejne obserwacje szeregu.
Najprostszą z możliwych postaci jest funkcja liniowa:
yt = α + βt
(9)
Jej parametry znajdujemy wykorzystując metodę najmniejszych kwadratów lub stosując
wzory:
n
X
(t − t̄)yt
β=
t=1
n
X
,
α = ȳ − β t̄
2
(t − t̄)
t=1
gdzie:
n
1X
n+1
t̄ =
t=
n
2
t=1
18 z 32
(10)
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
Przykład 8
Ponownie sięgnijmy do Biuletynu Statystycznego nr 7/2008. Wykorzystamy zawarte w tablicy
21 (Aktywa krajowe i zagraniczne) dane na temat zadłużenia netto instytucji rządowych szczebla
centralnego. Wyznaczymy dla nich parametry liniowej funkcji trendu.
Tabela 12: Wyznaczanie parametrów trendu liniowego
Okres
Zadłużenie
Numer okresu
[mld zł]
t
t − t̄
(t − t̄)yt
(t − t̄)2
2007 IX
58,933
1
-4,5
-265,199
20,25
2007 X
60,230
2
-3,5
-210,805
12,25
2007 XI
55,503
3
-2,5
-138,758
6,25
2007 XII
61,939
4
-1,5
-92,909
2,25
2008 I
58,961
5
-0,5
-29,481
0,25
2008 II
66,757
6
0,5
33,379
0,25
2008 III
68,132
7
1,5
102,198
2,25
2008 IV
67,844
8
2,5
169,610
6,25
2008 V
69,913
9
3,5
244,696
12,25
2008 VI
75,538
10
4,5
339,921
20,25
152,652
82,5
Suma
źródło: obliczenia własne na podst. BS GUS nr 07/2008
Parametry równania linii trendu:
β=
152,652
= 1,85
82,5
α = 64,38 − 1,85 · 5,5 = 54,2
Gotowe równanie:
ŷt = 54,2 + 1,85t
(11)
„Daszek” nad symbolem zmiennej objaśnianej informuje, że mamy do czynienia nie z wartością rzeczywistą a teoretyczną, wyznaczoną na podstawie równania 11.
Interpretacja parametrów jest następująca:
• z okresu na okres zadłużenie netto instytucji centralnych wzrastało średnio o 1,85 mld zł;
• niezależny od upływu czasu, stały poziom tego zadłużenia wynosił w badanym okresie 54,2
mld zł.
Graficzna prezentacja linii trendu znalazła się na wykresie zamieszczonym na rysunku 7.
Analizując zachowanie się szeregu stwierdzamy, że liniowa postać funkcji trendu dobrze sprawdza
się w tym przypadku. Dopasowanie modelu do danych rzeczywistych sprawdza się przy pomocy
współczynnika determinacji (R2 ):
n
X
R2 =
t=1
n
X
n
X
(ŷt − ȳ)2
=1−
2
(yt − ȳ)
t=1
t=1
n
X
t=1
19 z 32
e2t
yt2
(12)
− nȳ
2
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
Rysunek 7: Zadłużenie netto instytucji centralnych a linia trendu
źródło: obliczenia własne
Współczynnik determinacji przyjmuje wartości z przedziału h0, 1i. Im bliżej jedności, tym
lepsze dopasowanie modelu do danych rzeczywistych. Wyznaczmy współczynnik R2 dla naszego
przykładu. Obliczenia pomocnicze znajdują się w tabeli 13.
Tabela 13: Wyznaczanie współczynnika determinacji
Numer okresu
Reszty
t
yt2
ŷt
et
e2t
1
3473,10
56,048
2,885
8,32
2
3627,65
57,899
2,331
5,43
3
3080,58
59,749
-4,246
18,03
4
3836,44
61,599
0,340
0,12
5
3476,40
63,450
-4,489
20,15
6
4456,50
65,300
1,457
2,12
7
4641,97
67,151
0,981
0,96
8
4602,81
69,001
-1,157
1,34
9
4887,83
70,851
-0,938
0,88
10
5705,99
72,702
2,836
8,04
Suma
41789,27
0
65,40
źródło: obliczenia własne
20 z 32
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
R2 = 1 −
65,4
= 0,812
41789,27 − 10 · (64,38)2
Otrzymana wartość informuje, że model w 81,2% opisuje zachowanie szeregu co wskazuje na
jego dobre dopasowanie.
Postać modelu może być różna, a jej wybór zależy od przesłanek dotyczących mechanizmu
rozwojowego zmiennej, zazwyczaj określanego na podstawie analizy wykresu. Z uwagi na wykorzystanie sztucznej zmiennej, istnieje duża mnogość funkcji, które można dopasować do szeregu.
Znalezienie pasującej funkcji trendu wymaga niekiedy sporej ilości obserwacji. Kiedy jest ich
niewiele, do szeregu da się dopasować zwykle więcej niż jeden model. W takiej sytuacji wybieramy
ten o najprostszej postaci analitycznej. Jako kryterium rozstrzygające o wyborze postaci funkcji
używa się zazwyczaj współczynnika determinacji. Oto wybrane nieliniowe modele trendu:
• wykładniczy
yt = eα+βt ,
t
yt = αβ ,
β>0
β>1
(13)
(14)
W równaniu pierwszym β a w drugim ln β jest stopą wzrostu.
• wielomianowy, np. stopnia 2
yt = α0 + α1 t + α2 t2
Kolejne trzy funkcje stosuje się w sytuacji, kiedy stwierdzamy występowanie zmniejszających się przyrostów np. dla względnego nasycenia rynku z powodu pojawiających się
produktów konkurencyjnych.
• logarytmiczny
yt = α + β ln t, β > 0
• potęgowy
yt = αtβ ,
0<β<1
• ilorazowy
yt =
αt
,
β+t
α, β > 0
W przypadku malejącego przyrostu ryzyko prognozowania jest mniejsze bo zmienne zachowują się dość stabilnie.
• logistyczny
yt =
α
,
1 + β exp−δt
α > 0, δ > 0, β > 1
Funkcji logistycznej używamy kiedy zjawisko jest ograniczone do pewnej przestrzeni (np.
rozwój nowych gałęzi przemysłu). Najpierw następuje szybki wzrost, potem tempo maleje
do asymptoty wyznaczonej przez parametr alfa.
3.5
Zmienne zero-jedynkowe
Modele trendu z uwagi na swoją elastyczność stanowią doskonałe narzędzie analizy i prognozowania. Zaczynają jednak zawodzić jeżeli problem stanowi samo zachowanie się danych. Przyjrzyjmy
się sytuacji przedstawionej na rysunku 8.
Jedna z obserwacji przyjęła wartość nietypowo wysoką w porównaniu z pozostałymi. Zastosowanie MNK oraz liniowej postaci funkcji trendu doprowadzi do modelu o bardzo niskim
21 z 32
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
Y 6
•
•
•
•
•
•
•
-X
Rysunek 8: Nietypowe zachowanie danych
współczynniku determinacji. Winę za to ponosi jedna z obserwacji, a ponieważ ich ogólna liczba jest niewielka, nie jest możemy pozwolić sobie na rezygnację z części danych, aby ominąć
problem.
Jeżeli spojrzeć na to szerzej, nie powinniśmy sprawiać wrażenia zaskoczonych. Zjawiska ekonomiczne podlegają w niektórych okresach (takich jak wojny, gwałtowne recesje lub boom gospodarczy) raptownym wahaniom. Przyjmują wtedy wartości skrajnie odbiegające od okresów,
które w tej sytuacji można nazwać „normalnymi” lub typowymi. Wyróżnimy 3 grupy nietypowych zachowań:
1. obserwacje nietypowe występujące w pojedynczych, nieregularnych okresach;
2. obserwacje nietypowe trwające przez kilka okresów z rzędu;
3. obserwacje nietypowe regularnie się powtarzające.
Zazwyczaj nie jesteśmy w stanie zrezygnować z danych dotyczących nietypowych okresów.
Ewentualne skrócenie próby ma daleko idące konsekwencje podczas estymacji. Z drugiej strony brak kroków zaradczych oznacza modele o słabych własnościach statystycznych i merytorycznych. Jako wyjście proponuje się zastosowanie zmiennych zero-jedynkowych, zdefiniowanych
następująco:
0, dla obserwacji typowych;
Ut =
(15)
1, dla obserwacji nietypowych.
Zmienne zero-jedynkowe powstają w sztuczny sposób, zgodnie z naszymi potrzebami4 . Wprowadza się je następnie do równania i szacuje parametry w tradycyjny sposób. Mogą one wywołać
zmianę parametrów w wybranych okresach. Równanie (16) prezentuje korektę wyrazu wolnego:
yt = α0 + α1 Ut + βt
(16)
Przykład 9
W znanym nam już numerze 7/2008 Biuletynu Statystycznego znajduje się tablica 37 zawierająca przeciętne ceny skupu ważniejszych produktów rolnych. Wykorzystamy dane na temat
przeciętnej ceny 1 kg żywca bydła rzeźnego. Dane obejmowały kolejne miesiące od maja 2007
do lipca 2008. Na początek przyjrzyjmy się wykresowi wspomnianej zmiennej znajdującemu się
na rysunku 9.
Oszacowana funkcja trendu liniowego dla danych z rysunku 9 dała w rezultacie równanie:
ŷt = 3,89 + 0,013t
4
R2 = 0,373
(17)
Należy jednak zachowywać umiar przy wprowadzaniu zmiennych zero-jedynkowych. Ich użycie musi być
odpowiednio umotywowane.
22 z 32
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
Rysunek 9: Przeciętna cena skupu żywca bydła rzeźnego
Zauważamy jednak, że w następujących okresach: IX 2007, XI 2007 i VI 2008 wystąpiły
nietypowo wysokie bądź niskie (w porównaniu z resztą obserwacji) ceny skupu. Konstruujemy
więc trzy zmienne zero-jedynkowe:
1, dla XI 2007
1, dla IX 2007
U 1107t =
U 0907t =
0, dla pozostałych okresów
0, dla pozostałych okresów
U 0608t =
1, dla VI 2008
0, dla pozostałych okresów
Wstawiamy je do równania, które przed oszacowaniem ma postać:
yt = α0 + α1 U 0907t + α2 U 1107 + α3 U 0608t + βt
(18)
Po oszacowaniu otrzymamy:
ŷt = 3,899 + 0,137U 0907t − 0,154U 1107t + 0,14U 0608t + 0,011t
R2 = 0,855
(19)
Tym co skłania nas do wyboru równania (19) jest o wiele wyższa niż w (17) wartość współczynnika determinacji.
Zmienne zero-jedynkowe „uruchamiają” się w odpowiednich okresach i korygują wartość
wyrazu wolnego. W pozostałych okresach są równe zero i nie wpływają na żaden z oszacowanych
parametrów.
23 z 32
Metody analizy (...)
3.6
Opracował: dr Adam Kucharski
Wyodrębnianie wahań sezonowych
Ze zjawiskiem sezonowości spotykamy się często korzystając z danych kwartalnych. Jest to sytuacja regularnego powtarzania się obserwacji nietypowych (jako przykład może posłużyć wzrost
spożycia napojów gazowanych w okresie letnim). Możemy wyróżnić dwa rodzaje wahań sezonowych:
• addytywne – wahania sezonowe mają przybliżoną wartość;
• multiplikatywne – wahania sezonowe w kolejnych okresach zwiększają się lub zmniejszają.
Występowanie sezonowości wymaga szczególnego podejścia do wygładzania i prognozowania
ponieważ stajemy wobec istotnego czynnika wpływającego na zachowanie się szeregu. Wyodrębnienia wahań sezonowych można dokonać wstawiając do modelu trendu zmienne zero-jedynkowe,
które w przypadku sezonowości kwartalnej tworzą następującą macierz:


1 0 0 0
0 1 0 0


0 0 1 0


0 0 0 1




U = 1 0 0 0
0 1 0 0


0 0 1 0


0 0 0 1


.. .. .. ..
. . . .
Jak widać jedynka powtarza się z częstotliwością równą okresowi wahań sezonowych. Do modelu
wprowadzamy co najwyżej m − 1 zmiennych zero-jedynkowych (gdzie m oznacza okres wahań
sezonowych, w powyższym przykładzie m = 4).
Innym sposób to skorzystanie z metody wskaźników. Jest to metoda analizy wahań sezonowych, która przechodzi przez następujące etapy:
1. Eliminacja trendu;
2. Eliminacja wahań przypadkowych (surowe wskaźniki sezonowości);
3. Wyznaczenie czystych wskaźników sezonowości;
4. Obliczenie prognoz.
Na początek szacujemy parametry funkcji trendu, która najczęściej (choć nie zawsze) ma postać liniową. Etapy wymienione powyżej różnią się nieco w zależności od tego czy model jest
addytywny czy multiplikatywny. Tabela 14 podpowiada sposób postępowania w zależności od
rodzaju sezonowości.
Przykład 10
Na podstawie danych z kolejnych Biuletynów Statystycznych zgromadziliśmy dane na temat kwartalnego produktu krajowego brutto (tablica 2, mld zł). Dane obejmowały okres od 1
kwartału 2006 do 2 kwartału 2008. Jest to zmienna charakteryzująca się wyraźnie wyższymi
wartościami w ostatnim kwartale każdego roku oraz trendem liniowym.
Na początek oszacowaliśmy parametry liniowego modelu trendu otrzymując:
ŷt = 243,3165 + 7,4096t
24 z 32
(20)
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
Tabela 14: Etapy metody wskaźników
Etap
Addytywna sez.
Ad1
zt = yt − ŷt
Ad2
k−1
1X
si =
zi+j·k
k
Multiplikatywna sez.
yt
zt =
ŷt
Prognoza
k – liczba faz wahań w cyklu
j=0
ci = si − q
∗
yti
wciąż pozostają wahania sezonowe i przypadkowe
k−1
1X
si =
zi+j·k
k
j=0
Ad3
Komentarz
ci =
∗
yti
= ŷti + ci
r
si
q
q=
1X
si
r
i=1
= ŷti ci
t>n
Tabela 15: Kwartalne PKB – usuwanie trendu
Trend
PKB [mld zł]
ŷt
zt = yt − ŷt
2006 I-III
1
242,7144
250,7261
-8,0117
2006 IV-VI
2
255,1247
258,1358
-3,0111
2006 VII-IX
3
261,5098
265,5454
-4,0356
2006 X-XII
4
300,8451
272,9550
27,8901
2007 I-III
5
269,6860
280,3647
-10,6787
2007 IV-VI
6
282,5914
287,7743
-5,1829
2007 VII-IX
7
290,6577
295,1839
-4,5262
2007 X-XII
8
332,3312
302,5936
29,7376
2008 I-III
9
295,3344
310,0032
-14,6688
2008 IV-VI
10
309,9002
317,4129
-7,5127
2008 VII-IX
11
324,8225
2008 X-XII
12
332,2321
Okres
źródło: obliczenia własne
Na podstawie równania (20) wyznaczamy wartości teoretyczne znajdujące się w czwartej
kolumnie tabeli 15.
W ostatniej kolumnie tabeli 15 dokonujemy eliminacji trendu. Ponieważ mamy do czynienia
z sezonowością addytywną, sprowadza się to do obliczenia różnic między rzeczywistą wartością
PKB w kwartale a tą wynikającą z równania 20. Ponieważ mamy w planach wykonanie prognoz
ex ante, wyznaczyliśmy poziomy produktu krajowego brutto wynikające z samego trendu dla 3
i 4 kwartału 2008.
Następny etap to obliczenie surowych wskaźników sezonowości. W tym celu uśredniamy wartości z ostatniej kolumny dla jednoimiennych okresów (czyli dla wszystkich pierwszych, drugich,
trzecich i czwartych kwartałów).
−8,0117 − 10,6787 − 14,6688
= −11,1197
3
−3,0111 − 5,1829 − 7,5127
s2 =
= −5,2356
3
s1 =
25 z 32
−4,0356 − 4,5262
= −4,2809
2
29,8901 + 29,7376
s4 =
= 28,8139
2
s3 =
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
Tabela 16: Prognozy PKB metodą wskaźników
Okres
Prognoza
ci
∗ = ŷ + c
yti
ti
i
2006 I-III
-13,1641
237,5620
2006 IV-VI
-6,3253
250,8558
2006 VII-IX
-7,2800
259,2201
2006 X-XII
26,7694
299,7244
2007 I-III
-13,1641
267,2006
2007 IV-VI
-6,3253
280,4943
2007 VII-IX
-7,2800
288,8586
2007 X-XII
26,7694
329,3630
2008 I-III
-13,1641
296,8391
2008 IV-VI
-6,3253
310,1329
2008 VII-IX
-7,2800
318,7972
2008 X-XII
26,7694
359,0015
źródło: obliczenia własne
Rysunek 10: Zastosowanie metody wskaźników dla kwartalnego PKB Polski
Przed obliczeniem czystych wskaźników sezonowości uśredniamy wskaźniki surowe:
−11,1197 − 5,2356 − 4,2809 + 28,8139
q=
= 2,0444
4
26 z 32
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
Czyste wskaźniki sezonowości:
c1 = −11,1197 − 2,0444 = −13,1641
c3 = −4,2809 − 2,0444 = −6,3253
c2 = −5,2356 − 2,0444 = −7,28
c4 = 28,8139 − 2,0444 = 26,7694
Wreszcie przyszedł czas na wygładzenie sezonowości i obliczenie prognoz. W przypadku modelu addytywnego powstają one jako suma wartości teoretycznej z równania (20) oraz czystego
wskaźnika sezonowości dla odpowiedniego kwartału (patrz tabela 16).
Dopasowanie do danych oraz prognozę przedstawiamy na wykresie znajdującym się na rysunku 10. Jak widać uzyskaliśmy wyniki bardzo dobrej jakości. Efekt wahań sezonowych został
zachowany również w prognozach.
3.7
Rodzaje prognoz i ich własności
W prezentowanych do tej pory przykładach kilkakrotnie już wspominaliśmy o prognozowaniu,
a nawet dokonywaliśmy odpowiednich obliczeń. Nie wspominaliśmy jednak o własnościach tego
procesu.
Prognoza odnosi się do określonego obiektu np. kraju, w którym zachodzą zjawiska dające się
opisać za pomocą zmiennych (bywa, że losowych). Jakość prognozy da się zweryfikować dopiero
po jej wygaśnięciu.
W klasycznej logice wszystkie sądy dzielimy na prawdziwe lub fałszywe natomiast w przypadku prognozowania powiemy, że są one trafne lub nietrafne. Nieznajomość tego faktu jest
częstą przyczyną nieporozumień w sytuacji niesprawdzenia się wcześniejszych przewidywań.
Prognozowanie ściśle wiąże się z upływem czasu. Ze względu na horyzont czasowy, prognozy
możemy podzielić na:
• krótkookresowe;
• średniookresowe;
• długookresowe.
Co nazwiemy jednak krótkim, a co długim okresem zależy od charakteru prognozowanego zjawiska.
W naszym przypadku mamy do czynienia z tzw. prognozowaniem niestrukturalnym, które
opiera się na szeregach czasowych. Niezależnie jednak od użytej metody, prognozy podzielimy
na:
• ex post;
• ex ante.
Różnicę między nimi wyjaśnia rysunek 11.
Upraszczając sprawę: prognozy ex post wykonywane są dla dostępnych danych z przeszłości.
Ich podstawowy cel to określenie, czy użyta metoda sprawdza się przed wykonaniem głównego
celu badania czyli prognozy ex ante. W jej bowiem przypadku oceny jakości dokonać możemy
dopiero w momencie wygaśnięcia prognozy, co jest szczególnie niewygodne w przypadku prognoz
długookresowych.
3.8
Ocena jakości prognoz ex post
Kwestia oceny jakości prognoz ex post ma duże znaczenie, ponieważ na jej podstawie określamy przydatność użytej metody. Naturalnym wyborem stają się reszty, które wyznaczymy bez
problemu dla każdego okresu, w którym dysponujemy prognozą ex post. W przypadku funkcji
27 z 32
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
przeszłość
przyszłość
-
-
ex post
-
-
ex ante
-
próba
dziś
czas
Rysunek 11: Prognozy ex post a prognozy ex ante.
trendu możemy wykorzystać oparty na nich współczynnik determinacji, ale nie jest to już możliwe kiedy obliczamy średnią ruchomą. Na szczęście istnieje grupa miar przeznaczonych specjalnie
do określania poprawności użytej metody prognozowania. Zanim jednak do nich przejdziemy,
omówimy kilka zagadnień dotyczących własności reszt.
Wiemy już, że wykonując prognozę liczymy się z możliwością popełnienia błędu. Można go
zmierzyć dopiero kiedy upłynie okres czasu, na który ustalono prognozę. Podstawową miarą
oceny jest tutaj reszta z prognozy, do tej pory wyznaczana jako przyrost bezwzględny, czyli:
(1)
= yt − yt∗
et
(21)
gdzie yt∗ oznacza wartość prognozy otrzymaną wybraną metodą.
Ma ona miano analizowanej zmiennej i nie jest z góry określona co do znaku. Do porównania
kilku prognoz lepiej nadaje się reszta obliczana jako przyrost względny:
(2)
et
=
yt − yt∗
yt
(22)
Można ją wyrazić w procentach, a jej znak również jest dowolny.
Przyjęcie wzorów (21) oraz (22) oznacza, że dla prognoz przeszacowanych reszty przyjmują
wartości ujemne, a dla niedoszacowanych dodatnie. Lepsza z dwóch to ta prognoza, dla której
występują mniejsze błędy. Oceniając jakość dłuższych szeregów czasowych, za lepszą uznajemy
tę z metod, dla której mniejsze błędy występują pod koniec próby.
Ogólnie rzecz biorąc, błędy prognoz ex post dadzą się podzielić na dwie grupy:
1. systematyczne;
2. różnokierunkowe.
Różnice między nimi ilustruje rysunek 12.
Zarówno na podstawie wzoru (21) jak i (22) wyznacza się różne miary oceny jakości prognoz
ex post, które łączy fakt uśredniania reszt z okresów objętych prognozami ex post. Jeżeli obliczymy średnią arytmetyczną reszt względnych otrzymamy średni błąd procentowy (ang. MPE ):
MPE =
S
1 X yt − yt∗
S
yt
(23)
t=1
gdzie S oznacza liczbę okresów objętych prognozą ex post.
Wartość otrzymaną ze wzoru (23) interpretujemy jako średnie przeszacowanie (lub niedoszacowanie) prognozy wyrażone w procentach. Im niższy MPE, tym lepszą otrzymaliśmy prognozę.
28 z 32
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
yt
(a)
yt
yt∗
(b)
yt
yt
yt∗
t
t
Rysunek 12: Rodzaje błędów w prognozie ex post: (a) – systematyczne, (b) – różnokierunkowe.
Ponieważ średni błąd procentowy obliczamy bezpośrednio na podstawie reszt danych wzorem (22), podobnie jak one nie jest z góry określony co do znaku. Staje się więc wrażliwy na
wzajemne znoszenie się reszt dodatnich z ujemnymi co sprawia problem szczególnie wtedy, kiedy zarówno dodatnie jak i ujemne reszty przyjmują duże wartości. W skrajnym wypadku może
to doprowadzić do radykalnego zaniżenia wartości miary i fałszywego wyobrażenia o jakości
prognozy.
Wady tej pozbawiony jest średni absolutny błąd procentowy (ang. MAPE ) – jedna z najpopularniejszych miar tego rodzaju. Wyznaczamy go na podstawie wzoru:
S 1 X yt − yt∗ M AP E =
yt S
(24)
t=1
Interpretuje się go jako średni co do wartości bezwzględnej błąd popełniany podczas prognozy. Przyjęło się traktować jako dobre takie prognozy, dla których MAPE nie przekracza
5%.
Wykorzystanie modułów reszt chroni nas przed przypadłością charakterystyczną dla błędów
różnokierunkowych, a mianowicie kompensowaniem (znoszeniem) się reszt dodatnich i ujemnych.
Analizę reszt można poszerzyć o średniokwadratowy błąd procentowy (ang. MSPE ). Niekiedy wykorzystuje się jego wersję po wyciągnięciu pierwiastka (ang. RMSPE ).
S 1 X yt − yt∗ 2
M SP E =
S
yt
t=1
√
RM SP E =
M SP E
(25)
(26)
Błąd średniokwadratowy przyjmuje wysokie wartości jeżeli wśród reszt z prognoz ex post
znalazły się nietypowo wysokie wartości. Miara ta reaguje nawet na pojedyncze odstępstwa od
normy. Zauważenie niekorzystnego zachowania prognoz ułatwia porównanie wartości MAPE i
RMSPE. W prognozach dobrej jakości oba błędy kształtują się na zbliżonym poziomie. Istotna
różnica między nimi oznacza, że w okresie ex post wystąpiły reszty o nietypowej wysokości.
Przykład 11
Dokonamy teraz oceny jakości prognoz ex post otrzymanych metodą wskaźników.
29 z 32
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
Tabela 17: Miary błędów prognoz ex post – obliczenia cząstkowe
yt − ŷt yt − ŷt yt − ŷt 2
Okres
PKB [mld zł] Prognozy
yt yt
yt
2006 I-III
242,7144
237,5620 0,0212
0,0212
0,0004
2006 IV-VI
255,1247
250,8558
0,0167
0,0167
0,0003
2006 VII-IX
261,5098
259,2201
0,0088
0,0088
0,0001
2006 X-XII
300,8451
299,7244
0,0037
0,0037
0,0000
2007 I-III
269,6860
267,2006
0,0092
0,0092
0,0001
2007 IV-VI
282,5914
280,4943
0,0074
0,0074
0,0001
2007 VII-IX
290,6577
288,8586
0,0062
0,0062
0,0000
2007 X-XII
332,3312
329,3630
0,0089
0,0089
0,0001
2008 I-III
295,3344
296,8391
-0,0051
0,0051
0,0000
2008 IV-VI
309,9002
310,1329
-0,0008
-0,0008
0,0000
0,0762
0,0880
0,0011
Suma
źródło: obliczenia własne
0,0762
= 0,00762
10
0,088
M AP E =
= 0,0088
10
0,0011
M SP E =
= 0,00011
p10
RM SP E =
0,00011 = 0,0105
MPE =
Wszystkie błędy średnie przyjęły okazały się bardzo niskie, co świadczy o właściwym wyborze
metody wskaźników jako narzędzia prognozowania.
Zbliżone wartości MPE i MAPE wskazują na brak kompensacji reszt ex post. Ze spokojnym sumieniem możemy więc twierdzić, że prognozy są średnio niedoszacowane o 0,76%. Z
kolei porównanie MAPE i RMSPE wskazuje, że gdzieś pojawiły się pojedyncze reszty odbiegające swoimi wartościami od pozostałych. Rzeczywiście, w pierwszych dwóch okresach metoda
wskaźników nieco bardziej odbiegła od trajektorii rzeczywistej zmiennej. Nastąpiło to jednak
na początku próby, a i same błędy są niewielkie, dlatego uznajemy otrzymane prognozy za
wiarygodne.
4
Szeregi przekrojowo-czasowe
Ujęcie obserwacji z punktu widzenia przekroju przez obiekty lub dynamiki w kolejnych okresach
zwykle wystarcza do analiz. Niekiedy jednak konieczne staje się połączenie tych dwóch podejść
w jedno. Mamy wówczas do czynienia z szeregami przekrojowo-czasowymi. Dane tego rodzaju
można przedstawić przy pomocy tablicy dwudzielnej, takiej jak w następnym przykładzie.
Przykład 12
Zgromadźmy dane na temat PKB wytworzonego w czterech kolejnych kwartałach przez kraje tzw. „Nowej Unii” będące naszymi sąsiadami czyli Czechy, Słowację i Litwę. Dane pochodzą
z tablicy 65 (Podstawowe dane o krajach Unii Europejskiej) znanego nam już Biuletynu Statystycznego GUS nr 7/2008.
30 z 32
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
Tabela 18: PKB kwartalne dla wybranych krajów [mln EUR]
2 kw. 2007
3 kw. 2007
4 kw. 2007
1 kw. 2008
Suma
Czechy
31927,0
32147,1
34617,0
34939,9
133631,0
Słowacja
13444,7
14368,1
14865,2
14288,0
58966,0
Litwa
6859,7
7542,3
7884,7
7007,0
29293,7
Suma
52231,4
54057,5
57366,9
56234,9
219890,7
źródło: obliczenia własne na podst. BS GUS nr 07/2008
Z tabeli 18 można dowiedzieć się ile wynosiło PKB danego kraju w wybranym okresie.
Podsumowania wierszy daję informację o wartości wytworzonego produktu krajowego w ciągu
roku przez poszczególne państwa. Sumy pojedynczych kolumn to łączna wartość tej zmiennej
ekonomicznej wytworzona przez wszystkie brane pod uwagę państwa w danym okresie. Wreszcie
dowiadujemy się o całkowitej wartości PKB otrzymanej dla wszystkich państw razem przez
cztery kolejne kwartały łącznie.
Taka analiza niesie ze sobą szereg ciekawych informacji, lecz ma pewną wadę. Tabele o większych rozmiarach, obejmujące dłuższe okresy czasu oraz większą liczbę obiektów mogą przytłaczać ilością zgromadzonych w nich danych. Z tego powodu szeregi przekrojowo-czasowe przedstawia się również w postaci pojedynczego szeregu, w którym najczęściej obserwacje grupuje się
według obiektów. Zilustruje to tabela 19.
Tabela 19: Grupowanie danych z tabeli 18
Okres
Kraj
PKB
[mln EUR]
2 kw. 2007
Czechy
31927,0
3 kw. 2007
Czechy
32147,1
4 kw. 2007
Czechy
34617,0
1 kw. 2008
Czechy
34939,9
2 kw. 2007
Słowacja
13444,7
3 kw. 2007
Słowacja
14368,1
4 kw. 2007
Słowacja
14865,2
1 kw. 2008
Słowacja
14288,0
2 kw. 2007
Litwa
6859,7
3 kw. 2007
Litwa
7542,3
4 kw. 2007
Litwa
7884,7
1 kw. 2008
Litwa
7007,0
źródło: na podst. tab. 18
Już pobieżna analiza sugeruje, że między krajami występują istotne różnice w wytworzonym
PKB. Wykonajmy wykres na podstawie danych z tabeli 19.
Sytuacja obserwowana na rysunku 13 to zjawisko często spotykane w przypadku szeregów
przekrojowo-czasowych. Mówimy wówczas o niejednorodności danych. W naszym przypadku
mamy do czynienia z trzema wyraźnie wyodrębnionymi grupami, które z uwagi na ograniczenie
się do niewielkiej liczby obiektów pokrywają się z pojedynczymi krajami.
31 z 32
Metody analizy (...)
Opracował: dr Adam Kucharski
Rysunek 13: Kwartalne PKB dla wybranej grupy krajów „Nowej Unii”
źródło: na podst. tabeli 19
Dalsza analiza (np. obliczanie średniej czy odchylenia standardowego) powinna odbywać się w
ramach wyodrębnionych, jednorodnych grup. W przeciwnym wypadku otrzymamy zafałszowane
wyniki.
32 z 32