docMNU_Rozw-U-R-Lin--met-przybl
download 
Reklamacja Transkrypt
MNU_Rozw-U-R-Lin--met-przybl
Problem Metoda iteracji prostej Uzupełnienia Rozwia˛zywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 14 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw. ukł. równ. lin. – metody przybliżone 1/16 Problem Metoda iteracji prostej Uzupełnienia Agenda Problem Co chcemy obliczyć? Dlaczego nie metody dokładne? Co zamiast tego? Metoda iteracji prostej Ogólnie Konkretne metody Zbieżność metody Uzupełnienia Kryteria stopu P. Modliński, GiK PW Rozw. ukł. równ. lin. – metody przybliżone 2/16 Problem Metoda iteracji prostej Uzupełnienia Co chcemy obliczyć? Dlaczego nie metody dokładne? Co zamiast tego? Problem P. Modliński, GiK PW Rozw. ukł. równ. lin. – metody przybliżone 3/16 Problem Metoda iteracji prostej Uzupełnienia Co chcemy obliczyć? Dlaczego nie metody dokładne? Co zamiast tego? Problem Rozwia˛zać naste˛puja˛cy układ równań liniowych Ax = b: a1,1 x1 b1 a . . . a a 1,2 1,n−1 1,n a2,1 a2,2 . . . a2,n−1 a2,n x2 b2 ... ... ... ... . . . · . . . = . . . an−1,1 an−1,2 . . . an−1,n−1 an−1,n xn−1 bn−1 an,1 an,2 . . . an,n−1 an,n xn bn P. Modliński, GiK PW Rozw. ukł. równ. lin. – metody przybliżone 4/16 Problem Metoda iteracji prostej Uzupełnienia Co chcemy obliczyć? Dlaczego nie metody dokładne? Co zamiast tego? Dlaczego nie metody dokładne? Okazuje sie˛, że dla wie˛kszych układów równań (ponad 30-40 równań) metody dokładne wprowadzaja˛ zbyt duże błe˛dy numeryczne! P. Modliński, GiK PW Rozw. ukł. równ. lin. – metody przybliżone 5/16 Problem Metoda iteracji prostej Uzupełnienia Co chcemy obliczyć? Dlaczego nie metody dokładne? Co zamiast tego? Alternatywa Metody iteracyjne! (przybliżone) • układ równań liniowych jest szczególnym przypadkiem układu nieliniowego • układy nieliniowe umiemy rozwia˛zywać • metoda iteracji prostej P. Modliński, GiK PW Rozw. ukł. równ. lin. – metody przybliżone 6/16 Problem Metoda iteracji prostej Uzupełnienia Ogólnie Konkretne metody Zbieżność metody Ogólnie – przypomnienie • Przekształcamy równanie F (X) = 0 → G(X) = X • G – przekształcenie zwe˛żaja˛ce1 • Iterujemy X (k+1) = G(X (k) ) do osia˛gnie˛cia wymaganej dokładności 1 spełniaja˛ce warunek Lipschitza P. Modliński, GiK PW Rozw. ukł. równ. lin. – metody przybliżone 7/16 Problem Metoda iteracji prostej Uzupełnienia Ogólnie Konkretne metody Zbieżność metody Wykorzystanie w ukł. równ. liniowych Równanie wyjściowe: F (X) = 0 ≡ Ax = b przekształcamy w naste˛puja˛cy sposób: G(X) = X ≡ Bx + c = x gdzie oczywiście: • x(0) to przybliżenie pocza˛tkowe • x(k+1) = Bx(k) + c Pytania: • W jaki sposób wyznaczyć macierz B, oraz wektor c? • Kiedy metoda jest zbieżna? P. Modliński, GiK PW Rozw. ukł. równ. lin. – metody przybliżone 8/16 Problem Metoda iteracji prostej Uzupełnienia Ogólnie Konkretne metody Zbieżność metody Metoda Richardsona (R) • p 6= 0 – parametr • Wyprowadzenie: • Ax = b • pAx = pb • x + pAx = x + pb • x = x − pAx + pb • x = (I − pA)x + pb • B = I − pA • c = pb zatem ∀k=0,1,... ∀i=1,...,n (k+1) xi (k) = xi + p bi − n X (k) ai,j xj j=1 P. Modliński, GiK PW Rozw. ukł. równ. lin. – metody przybliżone 9/16 Problem Metoda iteracji prostej Uzupełnienia Ogólnie Konkretne metody Zbieżność metody Metoda Jacobiego • A=L+D+U • Poszczególne macierze to: • B = D−1 (L + U) • L – macierz trójk. dolna • D – macierz diagonalna • U – macierz trójk. górna • c = D−1 b i > j ⇔ li,j = ai,j ; di,j = ui,j = 0 i = j ⇔ di,j = ai,j ; li,j = ui,j = 0 i < j ⇔ ui,j = ai,j ; li,j = di,j = 0 zatem ∀k=0,1,... ∀i=1,...,n (k+1) xi = bi − (k) j=1 ai,j xj Pi−1 P. Modliński, GiK PW − (k) j=i+1 ai,j xj Pn ai,i Rozw. ukł. równ. lin. – metody przybliżone 10/16 Problem Metoda iteracji prostej Uzupełnienia Ogólnie Konkretne metody Zbieżność metody Metoda Gaussa-Seidla • A=L+D+U • Macierze analogiczne jak w metodzie Jacobiego • B = −(L + D)−1 U • UWAGA! Istotna kolejność • c = (L + D)−1 b obliczania xi – przy (k+1) obliczaniu xi (k+1) wymagane sa˛ xj , dla j < i! zatem ∀k=0,1,... ∀i=1,...,n (k+1) xi = bi − (k+1) j=1 ai,j xj Pi−1 − (k) j=i+1 ai,j xj Pn ai,i P. Modliński, GiK PW Rozw. ukł. równ. lin. – metody przybliżone 11/16 Problem Metoda iteracji prostej Uzupełnienia Ogólnie Konkretne metody Zbieżność metody Metoda SOR • SOR – succesive over-relaxation • B= (D+ωL)−1 ((1−ω)D−ωU) • c = ω(D + ωL)−1 b • 0 ≤ ω ≤ 2 – parametr • dla ω = 1 metoda Gaussa-Seidla zatem ∀k=0,1,... ∀i=1,...,n (k+1) xi =ω bi − (k+1) j=1 ai,j xj Pi−1 P. Modliński, GiK PW − (k) j=i+1 ai,j xj Pn ai,i Rozw. ukł. równ. lin. – metody przybliżone 12/16 Problem Metoda iteracji prostej Uzupełnienia Ogólnie Konkretne metody Zbieżność metody Warunki zbieżności metody Podobnie, jak opracowano konkretne algorytmy pozwalaja˛ce wyznaczyć macierz B i wektor c, określone sa˛ kryteria zbieżności metody: Twierdzenie Metoda iteracji prostej dla układu x = Bx + c jest zbieżna przy dowolnym x(0) wtedy i tylko wtedy, gdy ρ(B) < 1, przy czym ρ(B) = maxλ∈Sp(B) |λ| jest promieniem spektralnym macierzy B. P. Modliński, GiK PW Rozw. ukł. równ. lin. – metody przybliżone 13/16 Problem Metoda iteracji prostej Uzupełnienia Ogólnie Konkretne metody Zbieżność metody Wartości i wektory własne Przypomnienie Wartości λ 6= 0 i x tworza˛ wartość własna˛ i wektor własny macierzy A, tzn. Ax = λx P. Modliński, GiK PW Rozw. ukł. równ. lin. – metody przybliżone 14/16 Problem Metoda iteracji prostej Uzupełnienia Kryteria stopu Kryteria stopu ||x(k+1) − x(k) || < ||Ax(k+1) − b|| < ||b|| • proste • może być mało dokładne dla powolnej zbieżności P. Modliński, GiK PW • lepsze dla powolnej zbieżności Rozw. ukł. równ. lin. – metody przybliżone 15/16 Problem Metoda iteracji prostej Uzupełnienia Dzie˛kuje˛ za uwage˛ P. Modliński, GiK PW Rozw. ukł. równ. lin. – metody przybliżone 16/16
