x - e zakumaj

strona 1
I.
Ciągi
1.
Oblicz sumę:
2.
1

a1 
Ciąg an  określony jest w następujący sposób: 
dla n  N , n>1. Wyznacz
2
a  a  a  ...  a  n 2 * a
3
n
n
 1 2
1 2
3
k
 2  3  ...  k  ...
2 2
2
2
wzór na n-ty wyraz tego ciągu i wykaż jego prawdziwość indukcyjnie.
3.
Suma n początkowych wyrazów ciągu
an  jest równa Sn  2n2  n  1 (dla każdego n  N ). Wyznacz wzór
ogólny tego ciągu.
4.
5.
6.
an   1  kn , był rosnący.
1
1
1
1
Rozwiąż równanie:


 ... 
 20 , gdzie n jest liczba naturalną.
2 1
3 2
4 3
n 1  n
2
Liczby x 1 ,x 2 są rozwiązaniami równania x  3x  m  0 , zaś liczby x 3 ,x 4 są rozwiązaniami równania
n
Wyznacz parametr k tak, aby ciąg ( an ), gdzie
x 2  12 x  k  0 . Oblicz m i k, wiedząc, że liczby x1 , x2 , x3 , x4 tworzą ciąg geometryczny rosnący.
7.
Trzy liczby rzeczywiste różne od zera tworzą ciąg arytmetyczny, a kwadraty tych liczb zapisane w tym samym
porządku tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz iloraz tego ciągu geometrycznego.
8.
Oblicz sumę 5  55  555  ...  55...5 , gdzie ostatni składnik ma n cyfr.
9.
10.
11.
1
1
1
1
, gdzie n jest liczbą naturalną dodatnią.


 ... 
0 1
1 2
2 3
n 1  n
3
3
Liczby a, b, c, d są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz a-d, jeśli b  c  288 i ad=2.
Oblicz:
Długość boków trójkąta są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Jaki warunek spełnia stosunek
długości najkrótszego z boków do różnicy ciągu, jeśli trójkąt jest rozwartokątny?
12.
Ciągi: arytmetyczny i geometryczny (różne od ciągów stałych) składają się z trzech wyrazów dodatnich. Pierwsze
i trzecie wyrazy w obu ciągach są jednakowe. Zbadaj, która z sum wyrazów ciągu jest większa?
13.
Oblicz sumę 5  55  555  ...  555...5 , gdzie ostatni wyraz ma n cyfr.
Niech pn oznacza obwód prawidłowego wielokąta o
ciąg (pn) jest rosnący.
14.
2 n 1 bokach wpisanego w okrąg o promieniu R. Wykaż, że
II. Działania na liczbach.
Wykaż, ze jeżeli liczba naturalna jest iloczynem trzech kolejnych liczb naturalnych to także sumą trzech kolejnych
liczb naturalnych.
1.
62 5 
5
5
2.
Oblicz
3.
Znajdź wszystkie liczby naturalne x, y spełniające równanie:
4.
Długości a,b,c boków trójkąta spełniają warunek:
5.
Wykaż, że liczba
6.
 xy  28

Rozwiąż w zbiorze liczb naturalnych układ równań:  x  y  z  16
.
 x 2  y 2  z 2  90

7.
Wykaż, ze liczba 1998 nie jest różnicą kwadratów dwóch liczb naturalnych.
x  y x y  y x   399
1
1
3


ab bc abc
3  2 2  3  2 2 jest liczbą całkowitą.
strona 2
1
1
1
1
zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.


 ... 
45 56 67
99 100
8.
Sumę
9.
Znajdź cyfrę jedności liczby
10.
Sprawdź, czy liczba
21000  4 499 . Odpowiedź uzasadnij.
2 3
2  2 3

2 3
2  2 3
jest liczbą wymierną.
Czy można wpisać liczby całkowite w kółka na rysunku, aby każda liczba była sumą liczb
znajdujących się w dwóch sąsiednich kółkach?
11.
12.
Mając dane
a
1
b
.
 oblicz wartość wyrażenia
ab
ab 5
13.
Przybliżona wartość liczby 5 wynosi 2,236068. Znajdź nie używając kalkulatora przybliżoną wartość liczby
3
za pomocą prostego obliczenia.
5
Przy dzieleniu liczby 4373 przez liczbę naturalną n otrzymujemy resztę 8, a przy dzieleniu lczby 826 przez n
otrzymujemy resztę 7. Oblicz n.
14.
15.
Wykaż, że jeżeli
16.
Wykaż, że liczba
17.
18.
19.
Wykaż, że
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
a, b, c   to a b 2  c 2  ab  bc  ca .
2
2 ( 2  3  2  3 )  6 ( 2  3  2  3 ) jest liczbą całkowitą.
5 2 7 3 5 2 7  2.
2
2
4
4
Wiedząc, że x  y  1 oraz x  y  2 , oblicz x  y .
Z ilu składników zbudowana jest suma: 258  251  244  ...  288  295 ?
2
1
1
Uzasadnij, że liczbą odwrotną do liczby:
jest ( 5  2 ) .

3
5 3
3 2
1
1
3
Wiedząc, że x   a , oblicz x  3 .
x
x
3
3100  2150 jest większa niż liczba 350  275
54 5454
Wykaż, że:

84 8484
1
1
1
1
1
Wykaż, że:




 5
1
2
3
4
5
Uzasadnij, że liczba
1 1
(a  b)(  )  4
a b
a
1
a
Która z trzech liczb a, b, c rzeczywistych, dodatnich, spełniających warunki
 i
 2 jest
bc 2 bc
Wykaż, że dla dodatnich liczb a i b zachodzi nierówność:
największa, a która najmniejsza?
1 2 1 2 1 2 3  2 2  1 2 1 2 1 2 3  2 2
27.
Oblicz:
28.
Jaka jest cyfra jedności liczby
29.
30.
31.
512  1015  911
1
1
1
1
11
)
Uzasadnij, że: (1  )  (1  )  (1  )  ...  (1 
4
9
16
100 20
19983  19973
jest liczbą naturalną?
39952  1998 1997
5555555553
6666666664
czy
Która z liczb jest większa:
?
5555555557
6666666669
Czy liczba
5
strona 3
32.
33.
1
1
x  (1  ) n , y  (1  ) n1 dla pewnego n  N \ {0} , udowodnij równość x y  y x .
n
n
2
2
Sprawdź prawdziwość hipotezy: (a  b  C  a  b  C )  (a, b  C ) (gdzie C to zbiór liczb
Przyjmując, że
całkowitych) Udowodnij hipotezę jeśli jest ona prawdziwa albo podaj kontrprzykład jeśli jest ona fałszywa.
Hipoteza jest fałszywa np.:
odp.
1 2 1 2 1 2 3  2 2  1 2 1 2 1 2 3  2 2 .
34.
Oblicz
35.
Jaka jest cyfra jedności liczby
36.
a   2 b  2
512  1015  911 ?
1
1  11
 1  1 

Uzasadnij, że 1    1    1 
.
  ...  1 

 4   9   16 
 100  20
19983  1997 3
jest liczbą naturalną?
3995 2  1998 1997
37.
Czy liczba
38.
Która z liczb jest większa:
39.
Przyjmując, że
40.
Sprawdź prawdziwość hipotezy:
5
x  (1 
5555555553
6666666664
czy
?
5555555557
6666666669
1 n
1
) , y  (1  ) n1 dla pewnego n  N \ {0} , udowodnij równość x y  y x
n
n
(a  b  C  a 2  b 2  C )  (a, b  C )
(gdzie C to zbiór liczb całkowitych)
Udowodnij hipotezę jeśli jest ona prawdziwa albo podaj przykład jeśli jest ona fałszywa.
Hipoteza jest fałszywa np.:
odp.
a   2 b  2
5a
ab 1
, jeśli

ab
b
3
41.
Oblicz
42.
Uzasadnij, że:
, gdy b  0
 1
ab  b 2
a 


a
b
b  2
 1 , gdy b  0
b

a  b i a  b  2c zachodzi równość:
43.
Wykaż, że dla
44.
Oblicz bez użycia kalkulatora:
a
b

 2.
ac bc
17 3  17  16  212 .
Znajdź wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, które wzrastają dziewięć razy, gdy między cyfrę dziesiątek i
jedności wstawimy zero.
45.
46.
Udowodnij, że jeżeli dla każdego
47.
to
48.
Wykaż, że jeżeli
49.
Wykaż, że liczba:
50.
Wykaż, że jeżeli m>0, to
x  R ax 2  2bx  c  0 i px 2  2qx  r  0 , gdzie a  0 i p  0 ,
apx 2  2bqx  rc  0 dla każdego x  R .
xy  z 2  yz  x 2  xz  y 2  x 2  y 2  z 2 , to x  y  z  0 .
34
4
32
4
m
34
32
jest całkowita.
4
3
m2
strona 4
51.
Udowodnij, ze dla każdego x  R
ax  2bx  c  0 i px  2qx  r  0 , gdzie a  0 i p  0 to
2
2
apx 2  2bqx  rc  0 dla każdego x  R
52.
Dla liczb dodatnich x, y zachodzi równość:
53.
Ile wynosi suma cyfr liczby 10046 – 1998?
x
x2  y2

4
oblicz
5
y
x2  y2
III. Funkcje
1.
2.
1
.
1 x
x 5
Naszkicuj wykres funkcji f(x) =
x.
x 5
, jeśli f(x) =
Wyznacz f(f(f(1998)))
3.
Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji:
4.
Wykaż, że funkcja

f ( x)  log x  1 x 2
2

 x  3, dla x  0
f ( x)   2

 x  3, dla x  0
 jest nieparzysta.
log 1 x  1
5.
Naszkicuj wykres funkcji:
f ( x) 
3
log 1 x  1
.
3
6.
Sporządź wykres funkcji
7.
Wykaż, że funkcja
8.
f ( x)  x  2 x  1 oraz jej pochodnej.
2
5 x
jest nieparzysta.
5 x
5 x
Wykaż że funkcja f x   log 2
jest nieparzysta.
5 x
f ( x)  log 2
IV. Geometria analityczna


w  2,3 .Znajdź wektor o długości 1 równoległy do wektora w .
Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór punktów Px, y   S  T gdzie:
S  Px, y  : x   2, 0  1, 4  y   1 1,2 , T  Px, y  : x   1, 2  y   2, 2.
1.
2.
Dany jest wektor
Okrąg o promieniu długości
równanie ma ten okrąg?
3.
4.
oraz
5.
6.
Dane są wektory
5 jest styczny do prostej o równaniu 2 x  y  1  0 w punkcie 1,  1. Jakie


 


a  1,1, b   1, 2, c 2, 5. Dobierz liczby x, y tak, aby z odcinków długości x a , yb

c można było zbudować trójkąt.
B  x, y  : x  R, y  R  x  y  x  y


  

Dane są wektory: x   2,1, y  0,5, z  2,4 . Wyznacz liczby a, b tak, aby wektory ax, y, bz
Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór:
wyznaczały trójkąt.
7.
Dany jest kwadrat ABCD, gdzie
ograniczoną wykresami funkcji
8.
A  3,3, B  3,3, C 3,3, D   3,3 .Z kwadratu wycięto figurę
y   x  2  y  x  2 .Oblicz pole pozostałej części kwadratu.
W trójkącie ABC dane są:
4
A   2,4, B  5,10, BC  5 5 , sin ABC  . Wyznacz współrzędne
5
wierzchołka C.
9.
Znajdź współrzędne wierzchołków prostokąta o maksymalnym polu, który znajduje się w I ćwiartce lub w II
ćwiartce układu współrzędnych, wiedząc, że jego dwa boki zawierają się w osiach układu a jeden z wierzchołków jest
położony na paraboli o równaniu
y  4  x2 .
10.
W trójkącie ABC dane są: A 
 2;4 , B  5;10 ,
strona 5
BC  5 5 , sin ABC  54 . Wyznacz współrzędne
wierzchołka C.
11.
Wyznacz odległość początku układu współrzędnych od prostej będącej wykresem funkcji
x  2  y  2 Oblicz jej długość.
12.
Narysuj linię określoną równaniem:
13.
14.
Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkt
15.
y  x  2
(1,2) i stycznego do obu osi układu współrzędnych.
2
2
Przy jakim warunku dla liczb a, b, c okrąg o równaniu : x  y  ax  by  c  0 jest styczny od osi OX ?
a
Dana jest funkcja  ( x)  , o dziedzinie  0;) , gdzie a  R . Wykaż, że pole powierzchni trójkąta
x
ograniczonego osiami układu współrzędnych oraz styczną do wykresu tej funkcji nie zależy od punktu styczności.
16.
Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i oddalonej od punktu A  (3,4) o
5
17.
Napisz równanie okręgu o środku
18.
Dana jest funkcja
f x  
S  (1,2) stycznego do prostej y  x  1
a
, o dziedzinie 0;   , gdzie a  R. Wykaż, że pole powierzchni trójkąta
x
ograniczonego osiami układu współrzędnych oraz styczną do wykresu tej funkcji nie zależy od punktu styczności.
19.
Napisz równanie okręgu o środku S=(1,2) stycznego do prostej y = x-1.
Dla jakich wartości parametru m krzywa dana równaniem:
wspólnych osią odciętych ?
20.
21.
Narysuj linię określoną równaniem:
x 2  y 2  4 x  2my  m2  0 nie ma punktów
x  2  y  2 Oblicz jej długość.
V. Funkcja Kwadratowa.
1.
Wykaż, że równanie
x 2  bx  c  0 o nieparzystych współczynnikach nie ma pierwiastków całkowitych.
VI. Logarytmy


x  1 1  1 .
1.
Rozwiąż nierówność:
2.
Przyjmij, że
3.
Rozwiąż nierówność:
2 x  log 1  4 x  x log 25  log 6 .
4.
Rozwiąż nierówność:
log x1
odp.
VII.
log x1
a  log 5 4 i b  log 5 3 . Wyraź log 25 12 prz pomocy a i b.




x  1  1  1.
x0.
Nierówności.
x  1 i y  1 to x 2  y 2  1 .
1.
Wykaż, że jeżeli
2.
Rozwiąż nierówność:
x 2  4x  4  2  x  0 .
3.
Dane są zbiory A  x  R : x  5  5  x B  x  R : x  a  1. Wyznacz taką liczbę a, aby zbiór
A B był jednoelementowy.
VIII.
1.
Parametry.
Liczby rzeczywiste x, y, a spełniają układ równań:
wyrażenie x2+y2 przyjmuje wartość najmniejszą?
 x  y  2a  8
. Dla jakich wartości parametru a

2
 xy  a  16a  24
strona 6
25  10 x  x 2 < m jest pusty ?
2.
Dla jakich wartości parametru m zbiór rozwiązań nierówności x +
3.
Wyznacz wartości parametru a, dla których równanie
4.
Zbadaj liczbę rozwiązań równania
x  m x  m w zależności od parametru m  R .
5.
Zbadaj liczbę rozwiązań równania
x x  k  x w zależności od parametru k ( k  R ).
6.
Dla jakiej wartości parametru a równanie:
7.
Dla jakich wartości parametru m wyrażenie
x  x  1  a ma nieskończenie wiele rozwiązań?
x  2  a  1 ma największą liczbę pierwiastków?
x
jest określone dla każdej liczby rzeczywistej x ?
x  8x  m
2
f ( x)  ax 2  bx  c , gdzie a, b, c  R . Dla jakich wartości parametru a,b,c zachodzi
2
związek: ax  bx  c  0  x ;1  1; 
8.
Dana jest funkcja
9.
Dla jakich wartości parametru m zbiór rozwiązań nierówności
10.
Dla jakich wartości parametru a rozwiązaniem nierówności
11.
W zależności od wartości parametru k określ liczbę rozwiązań równania
funkcji
12.
13.
14.
15.
x  25 10 x  x 2  m jest pusty?
ax  3 jest zbiór R \  2;2 ?
x 2  3x  k  1  0 . Narysuj wykres
y  f k  , gdzie f k  oznacza liczbę rozwiązań danego równania.
2
Dana jest funkcja f ( x)  mx  1 . Wyznacz zbiór wartości parametru m, dla których równanie f ( f ( x))  0
4
2
Dla jakich wartości parametru k równanie: (k  2) x  2(k  3) x  k  1  0 ma cztery różne pierwiastki?
Dla jakich wartości parametru a dziedziną funkcji
Naszkicuj wykres funkcji
f ( x)  ax 2  a 2 x  a jest zbiór liczb rzeczywistych?
y  f (m) , gdzie f (m) oznacza sumę kwadratów pierwiastków równania
x  mx  m  1  0
2
16.
Dana jest funkcja f ( x)  mx  1 . Wyznacz zbiór wartości parametru m, dla których równanie
f ( f ( x))  0 ma cztery różne pierwiastki.
3
2
17.
Znajdź te wartości współczynników współczynników a i b równania: ax  x  2 x  b  0 o niewiadomej x,
2
2
dla których dwa spośród jego rozwiązań są liczbami przeciwnymi.
18.
Dla jakiej wartości parametru m równanie
x  m  2 ma dokładnie trzy rozwiązania?
2
2
19.
Dla jakich wartości parametru a dziedziną f(x)= ax  a x  a
20.
Naszkicuj wykres funkcji y = f(m), gdzie f(m) oznacza sumę kwadratów pierwiastków równania
2
x  mx  m2  1  0
2
21.
Dana jest funkcja f(x) = mx  1 Wyznacz zbiór wartości parametru m, dla których równanie f(f(x)) = 0 ma
cztery różne
pierwiastki.
1  x x 2  2 x  1  m w zależności od parametru m.
4
2
Dla jakich wartości parametru k równanie: k  2x  2k  3x  k  1  0 ma cztery różne pierwiastki?
22.
23.
Zbadaj liczbę pierwiastków równania
24.
Dla jakich wartości parametru m równanie
25.
x 1
 x  m  1 nie ma rozwiązania?
x
x  y  2
Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań 
w zależności od parametru k.
 yxk
x  1  t 2  3 ma dwa różne pierwiastki dodatnie?
26.
Dla jakich wartości parametru t równanie
27.
x2  y 2  4 y  3  0
Dla jakich wartości parametru a zbiór rozwiązań układu: 
jest zbiorem pustym?
y  ax 2

strona 7
IX. Planimetria
Trapez, którego boki mają długości: 12 cm, 6 cm, 6 cm, 6 cm obracamy o 360 wokół prostej zawierającej ramię
tego trapezu. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej powstałej bryły.
2.
Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny dzieli punktem styczności przeciwprostokątną na odcinku o długościach a i
b. Wyznacz pole tego trójkąta przy pomocy liczb a oraz b.
3.
Jeden z kątów trójkąta ABC ma miarę 1200. Długość boków tego trójkąta tworzy ciąg arytmetyczny. Oblicz
stosunek długości boku najkrótszego do długości boku najdłuższego tego trójkąta.
4.
Przekątna trapezu ABCD, o podstawkach AB i CD, przecinają się w punkcje E. Oblicz pole tego trapezu wiedząc,
że trójkąt ABE ma pole p, zaś trójkąt DCE ma pole q.
5.
Czy dwusieczne dwóch kątów wewnętrznych trójkąta mogą przecinać się pod kątem prostym? Odpowiedź
uzasadnij.
6.
Kolejka toczy się po torach w kształcie okręgu. Rozstaw szyn jest równy 4 cm. Podczas jednego pełnego
okrążenia kółko wagonu toczące się po „wewnętrznym okręgu” wykonało o 2 obroty więcej niż kółko toczące się po
„zewnętrznym okręgu”. Jaka jest średnica kółek wagonu? (Przyjmij, że średnice wszystkich kółek są równe.)
7.
Dany jest prostokąt ABCD. Punkty E i F są środkami boków, odpowiednio AB i AD. Odcinki ED i FD przecinają
się w punkcie O. Oblicz stosunek pól czworokątów AEOF i BCDO.
8.
Wyznacz, że jeżeli długość odcinka łączonego środki podstaw trapezu jest równa długości odcinka łączącego
środki przekątnych tego trapezu, to suma miar kątów wewnętrznych przy krótszej podstawie jest równa 270 0.
9.
Dane są różne punkty A i B. Jaki zbiór tworzą wszystkie punkty X, dla których miara kąta AXB wynosi 90 0.
10.
Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny ma długość 1. Oblicz długości boków tego trójkąta wiedząc, że
są one liczbami naturalnymi.
11.
Jakie położenie ma 5 różnych punktów na płaszczyźnie, na której wyznaczają 6 różnych prostych?
12.
Długość podstaw trapezu równoramiennego opisanego na okręgu wynoszą 2 cm i 8 cm. Jaką długość napromień
tego okręgu?
13.
Na dwóch przeciwległych bokach kwadratu o boku długości a budujemy wewnątrz kwadratu trójkąty
równoboczne. Oblicz pole wspólnej części tych trójkątów.
14.
Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długość 6 cm i 8
cm.
15.
Narysuj prostokąt, a następnie podziel go dwoma odcinkami na trzy trójkąty podobne, których suma pól jest
równa polu prostokąta. Uzasadnij swoje rozwiązanie.
16.
W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne dwóch kątów wewnętrznych. Wyraź miarę kąta rozwartego między
tymi dwusiecznymi za pomocą miary trzeciego kąta danego trójkąta.
17.
W trapezie ABCD o podstawach AB i CD, punkt O jest punktem wspólnym przekątnych. Oblicz pole trapezu,
wiedząc, że pole trójkąta ABO jest równe 16 cm2, a pole trójkąta CDO jest równe 4 cm2.
18.
Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okręgów
wpisanego i opisanego na tym trójkącie.
19.
Trójkąt przedstawiony na rysunku jest trójkątem równobocznym o boku długości a .
Oblicz pole zacienionej figury (powstałej po odjęciu od trójkąta kół o środkach w
1.
wierzchołkach trójkąta i promieniu długości
1
a)
2
Dane są różne punkty A i B. Jaki zbiór tworzą wszystkie punkty X, dla których miara
kąta AXB wynosi 90 ?
21.
Wykaż, że jeżeli wierzchołki trójkąta są punktami o współrzędnych wymiernych, to tangensy kątów tego trójkąta
są liczbami wymiernymi (o ile te tangensy istnieją).
22.
Środek okręgu wpisanego w trapez prostokątny znajduje się w odległości 4 i 8 od wierzchołków ramienia
pochyłego względem podstaw. Wyznacz pole trapezu.
23.
Czy dwusieczne dwóch kątów trójkąta mogą się przecinać pod kątem prostym?
24.
Który z trójkątów prostokątnych wpisanych w okrąg o promieniu długości r ma największe pole?
25.
Oblicz miary kątów rombu, w którym długość boku rombu jest średnią geometryczna długości jego przekątnych
20.
Na odcinku AB o długości 10 obrano punkt M, a następnie zbudowano kwadrat o boku AM oraz trójkąt
równoboczny o boku MB. W jakiej odległości od punktu A należy obrać punkt M, aby suma pól kwadratu i trójkąta była
najmniejsza?
27.
Długości boków trójkąta, którego jeden kąt ma miarę 120 0 tworząc ciąg arytmetyczny. Jakie są stosunki długości
boków tego trójkąta?
28.
Przekątne czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w O. Wykaż, że iloczyn pól trójkątów AOB i COD jest
równy iloczynowi pól trójkątów BOC i AOD.
26.
strona 8
Prosta równoległa do podstawy AB trójkąta ABC przecina bok AC w punkcie M i dzieli ten trójkąt na dwie figury
o równych polach. W jakim stosunku prosta ta dzieli bok AC danego trójkąta?
30.
W trapezie ABCD(AB||CD), na którym można opisać okrąg połączono wierzchołek D z punktem E, który jest
29.
środkiem boku BC. Oblicz pole trapezu, wiedząc, że |DE|=4
31.
3 cm, |CD|=4cm i miara kąta EDC jest równa 300.
Wykaż, że jeśli w trójkącie o bokach długości a, b, c -
zachodzi nierówność:
sin

2

jest miarą kąta leżącego naprzeciw boku o długości a to
a

2 bc
Promień okręgu wpisanego w trójkącie prostokątnym ma długość 1. Oblicz długość boków tego trójkąta wiedząc,
że są one liczbami naturalnymi.
33.
Oblicz miarę kąta ostrego wyznaczonego przez przekątne, gdy dana jest miara kąta miedzy przekątną i dłuższym
bokiem.
34.
O ile procent wzrośnie pole koła, jeżeli jego obwód zwiększymy o p%?
35.
W okrąg wpisano kwadrat i opisano na nim trójkąt równoboczny. Różnica długości boków trójkąta i kwadratu
wynosi 10cm. Oblicz pole koła, którego brzegiem jest dany okrąg.
36.
Znajdź wszystkie prostokąty, które można rozciąć na 17 przystających kwadratów.
32.
AP  BP  AC  BC
37.
Wykaż, że jeżeli punk P należy do trójkąta ABC, to
38.
Przyjmij, ze punkt Q jest środkiem ciężkości trójkąta ABC. Wykaż, że
39.
Dany jest ostrosłup o równych krawędziach bocznych, w którym podstawą jest czworokąt ABCD. Wiedząc, ze kąt
ma miarę
40.
AQ  BQ  CQ  0
30 0 , podaj miarę kata ABC.
W trójkącie prostokątnym ABC, o kącie przy wierzchołku C, obrano punkt P tak, że trójkąty PAB, PBC, PAC
mają równe pola. Wyraź w zależności od dodatniej liczby m długość odcinka PC, wiedząc, ze
| PA | 2  | PB | 2  m 2
Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości a. Przez środek D jednego z boków tego trójkąta poprowadzono
prostą tworzącą z tym bokiem kat osty i mierze α i dzielącą ten trójkąt na dwie figury, których stosunek pól jest równy 1 :
7. Wyznacz miarę α.
41.
X. Podzielność
1.
2.
Znajdź wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba n  3 jest podzielna przez n  3
Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych spełniających równanie: xy  3x  2 y  0
3.
Wykaż, że wyrażenie
4.
5.
6.
7.
8.
Wykaż, że liczba 111…1 złożona z 81 jedynek jest podzielna przez 81.
9.
3
n 4 n3 n 2
  (n jest liczbą całkowitą) jest kwadratem liczby całkowitej.
4
2
4
2
3
100
Wykaż, że liczba 2  2  2  ...  2 jest podzielna przez 3.
2
3
100
Wykaż, że liczba 7  7  7  ...  7 jest podzielna przez 8.
Wyznacz wszystkie liczby naturalne k, tak aby liczba 10 dzieliła liczbę :
2nk  2n przy każdym n  N \ 0
Udowodnij, że kwadrat każdej liczby nieparzystej pomniejszonej o 1 jest podzielny przez 8.
Znajdź wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba
n 3  3 jest podzielna przez n  3
Liczba naturalna n przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, natomiast przy dzieleniu przez 6 daje resztę 3. Jaką resztę
otrzymamy z dzielenia liczby n przez 30 ?
10.
Przy dzieleniu liczb x, y, z przez 5 otrzymujemy odpowiednio reszty: 1, 2, 3. Znajdź resztę z dzielenia sumy
kwadratów liczb x, y, z przez liczbę 5.
11.
12.
13.
10 n  2 dla n N \ {0} jest podzielna przez 6.
Wiadomo, że liczby naturalne a i b spełniają równość 23a  17b . Wykaż, że liczba a  b jest złożona.
Wykaż, że liczba postaci
XI. Prawdopodobieństwo
Na okręgu wybrano 50 różnych punktów. Ile powstanie odcinków, gdy połączymy każde dwa punkty?
W urnie znajduje się 15 kul czarnych, 15 białych, 6 czerwonych 5 zielonych. Ile co najmniej kul należy wyjąć z
urny nie zaglądając do niej, aby mieć pewność, że wśród wyjętych kul będzie 10 tego samego koloru?
1.
2.
strona 9
Ze zbioru {1,2,3,4,5,6} losujemy n razy, gdzie n  2 , po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 15.
4.
W urnie znajduje się 15 kul czarnych, 15 białych, 6 czerwonych, 5 zielonych. Ile co najmniej kul należy wyjąć z
urny nie zaglądając do niej, aby mieć pewność, że wśród wyjętych kul będzie 10 tego samego koloru?
3.
XII.
Równania.
1.
Rozwiąż równanie:
2.
Rozwiąż równanie:
3.
Rozwiąż równanie:
x2
x 2  6x  9
=0
|3 x |
x 2  4x  4
1
1
1
2 1
1
+
3 2
+…+
x 1  x
4.
+ 1  x =0
x 1
2
2
Rozwiąż równanie: x  1 + x  y  z + y  2 =0
5.
Wyznacz takie liczby wymierne x, y, aby
6.
Rozwiąż równanie
x3
=10 o niewiadomej x
N
12  6 3  x  y
 x2  4  0
4x
x
2
Rozwiąż równanie 2  2  2  4 x  2 x
2
7.
odp.
x=1
8.
Rozwiąż równanie
x 2  x
9.
Rozwiąż równanie
1 xx  x 1 
10.
Wyznacz wszystkie liczby całkowite spełniające równanie
11.
Rozwiąż równanie
1
x 1
0
2 n 3  n  2n  4
2
XIII.
 x 
x2  
 8
 x  1
Różne
1.
Ile jest dróg z A do B, jeśli wolno poruszać się tylko w górę lub na prawo?
2.
Przyjmując, że zapis
2  2  2  2  ... przedstawia pewną liczbę rzeczywistą
rozstrzygnij, czy jest to liczba naturalna.
3.
Rozwiąż równanie x  1  x
liczby a).
 
  1 .(Symbol a  oznacza największą liczbę całkowitą, która nie jest większa od
x 2  ax  1  b  0 o niewiadomej x i o współczynnikach całkowitych są liczby
2
2
całkowite dodatnie. Dowieść, że liczba a  b jest złożona.
5.
Wśród piętnastu monet zewnętrznie jednakowych, jedna jest fałszywa i różni się ciężarem od pozostałych. Jak za
4.
Rozwiązaniami równania
pomocą dwukrotnego użycia szalkowej wagi, bez odważników odkryć, czy moneta fałszywa jest cięższa czy lżejsza ?
XIV.
Tekstowe
Średni wiek zawodniczek sekcji gimnastycznej wynosi 11 lat. Najstarsza zawodniczka ma 17 lat, zaś średnik wiek
pozostałych jest równy 10 lat. Ile gimnastyczek jest w sekcji gimnastycznej?
1.
2.
Wiadomo że
2
2
czasu, który upłynął od północy równa się czasu, który pozostał jeszcze do południa. O której
5
3
to było godzinie? Opowiedz uzasadnij.
strona 10
3.
Wyznacz graficznie zbiór A  B gdy: A={(x,y):x  R i y  R i y = 2|x|y-x } B= { (x,y); x  R i y  R i
x
| y|
}

|x|
y
4.
Dwie beczki zawierają razem 2a litrów wody. Jeżeli z pierwszej przelejemy do drugiej tyle, aby jej zawartość
2
2
podwoiła się, a nastęnie z drugiej przelejemy do pierwszej tyle, aby jej zawartość podwoiła się, to w obu beczkach będzie
tyle samo wody. Oblicz, ile wody było na początku w każdej beczce.
5.
Spośród 300 uczniów liceum 100 wzięło udział w olimpiadzie matematycznej 80 w fizycznej i 60 w
informatycznej w tym 23 w matematycznej i w fizycznej, 16 w matematycznej i informatycznej, 14 w fizycznej i
informatycznej, a 5 uczniów wzięło udział we wszystkich trzech olimpiadach. Ile uczniów wzięło udział:
a. tylko w olimpiadzie matematycznej
b. dokładnie w jednej olimpiadzie
c. w co najmniej jednej olimpiadzie
6.
Mam cztery razy więcej lat niż moja siostra wtedy, gdy była 2 razy młodsza ode mnie. Razem mamy 70 lat. Ile lat
mam teraz
7.
Cenę pewnego towaru podniesiono o 25 %. O jaki procent należy teraz obniżyć cenę, aby powróciła ona do
poprzedniego poziomu ?
8.
Znajdź liczbę czterocyfrową, której suma wynosi 13, cyfra dziesiątek stanowi 80 % cyfry setek, a cyfra tysięcy
jest 7 razy mniejsza od sumy cyfr jedności i dziesiątek.
2
Zapytany w XX wieku o rok urodzenia, mężczyzna odpowiedział: w roku a miałem a lat. Podaj rok urodzenia
tego mężczyzny.
10.
Suma pól dwóch figur podobnych wynosi 125 cm2. Oblicz pole każdej z figur, jeżeli skala ich podobieństwa jest
równa 0,5.
11.
W grupie 100 osób język angielski zna 85 osób, język niemiecki 75 osób, język francuski 60 osób, a język
hiszpański 90 osób. Ile, co najmniej osób zna wszystkie języki?
9.
XV.
Trygonometria
Wyznacz zbiór wartości parametru
nie ma rozwiązania.
1.
2.
a , dla których równanie sin x  cos x  a
Dla jakich całkowitych wartości k liczby:
sin(k  1)

2
,
sin k

2
,
sin(k  1)

2
w podanej kolejności tworzą
ciąg arytmetyczny?
3.
Udowodnij równość:
4.
5.
6.
cos 20 cos 40 cos 80  0,125 .
Oblicz wartość tg 2230 bez użycia kalkulatora.
Wyznacz zbiór wartości parametru a, dla których równanie cos 2 x  cos x  a nie ma rozwiązania.
Wyznacz najmniejszą wartość funkcji
f ( x)  sin 6 x  cos 6 x
1
3 2




 f x   1  sin 2 x   sin 2 x   0;1   ymin  .dla x    k : k  C  .
4
4
4




2
sin   cos   tg
7.
Oblicz
, gdy  i  są kątami ostrymi trójkąta prostokątnego.
(1  cos 2  )  sin 
1
6
6
8.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność: sin x  cos x 
4
3 2
1
 6

6
6
6
odp.
 sin x  cos x  1  sin 2 x   sin 2 x   0;1   sin x  cos x  ;1 
4
4


1
sin 6 x  cos 6 x  .
4
| sin x |
 cos x .
9.
Naszkicuj wykres funkcji oraz określ jej zbiór wartości, gdy f ( x) 
sin x
odp.
Patrz rysunek niżej.

2
4
 cos
10.
Oblicz bez użycia tablic: cos  cos
9
9
9
odp.
0,125.
odp.
strona 11
11.
Naszkicuj wykres funkcji f ( x)  | sin x | 1  3 .
odp.
Patrz rysunek niżej
cos x
12.
Rozwiąż nierówność:
 cos x dla x   ;  
x  32
4
4
13.
Przyjmij że: sinx + cosx = a Wyraź sin x  cos x jako funkcję a.
14.
Wykaż że jeśli α,β,γ oznaczają miary kątów trójkąta, to sin α + sin β > sin γ
 sin x
15.
Rozwiąż nierówność:
 sin x dla x  0;2  .
x
16.
Zbadaj, jaki ciąg tworzą wszystkie pierwiastki równania:
 x 
 x 
sin 2 
  2 cos
 1  0
 2 
 2 
strona 12
XVI.
Wektory

1.
Wektory jednostkowe a i

b spełniają warunek:
a  b 
2
 
 1 Znajdź kąt między wektorami a i b .
XVII. Wielomiany
W x   4  x 3  2 x 2  3x  4 .
3
2
2
Dla jakich całkowitych liczb a , pierwiastki równania a  1x  a  1x  a  a  0 są liczbami
3
Oblicz sumę wszystkich współczynników wielomianu:
1.
2.
całkowitymi?
Wykaż, że dla każdego całkowitego
3.
x wartość wielomianu W x  
1 4 1 3 11 2 1
x  x 
x  x jest
24
4
24
4
liczbą całkowitą.
4.
Znajdź najmniejszą wartość wielomianu
W x  x  1x  2x  3x  4  10
2
Wykaż, że wielomian W x   2 x  3x  12 x  10 ma tylko jedno miejsce zerowe.
2
Wyznacz wszystkie liczby całkowite a,b,c takie, że trójmian y  ax  bx  c ma pierwiastki x1  a i
3
5.
6.
x2  b .
odp.
A=-2, b=4, c=16
7.
Znajdź najmniejszą wartość wielomianu W x   x  1x  3x  5x  7  15 .
2
8.
Dla jakich wartości parametru m reszta z dzielenia, wielomianu W x   x  m  4x  2m  2 przez
dwumian x  m jest większa od sumy, a mniejsza od iloczynu pierwiastków tego wielomianu.
3
2
9.
Dana jest funkcja f x   ax  bx  cx  d , gdzie a będzie  C . Wykaż, że jeśli f 0 i f 1 są liczbami
nieparzystymi, to równanie f x   0 nie ma pierwiastków rzeczywistych.
3
2
10.
Znajdź te wartości współczynników współczynników a i b równania: ax  x  2 x  b  0 o niewiadomej x,
dla których dwa spośród jego rozwiązań są liczbami przeciwnymi.
11.
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n  2 wielomian
Pn ( x)  (n  1) x n1  (n  1) x n  (n  1) x  (n  1) jest podzielny przez ( x  1) 3 .
XVIII. Wykładnicza
1.
f ( x)  2 log2
Naszkicuj wykres funkcji
x 2 1
9 x  5 x  4 x  2  20 .
x
x 1
Dla jakich a  R równanie: 4  2  2
 a  0 ma dwa różne dodatnie pierwiastki?
2.
3.
Rozwiąż równanie:
4.
5.
Rozwiąż równanie:
2
x
 16
x
2
Dla jakich wartości parametru m równanie
XIX.
Podaj przykład zbioru B, jeśli wiadomo, że
2.
Dla jakich wartości


A   3;0  1;4 oraz A'B'   ;3  1 6; 

a, r  R zbiór A B jest jednoelementowy, gdy: A  x, y  : x  R, y  R  y  2
B  x, y  : x  R, y  R  x  a   y 2  r 2


m 4 x  2 x  1  m ma dokładnie jedno rozwiązanie?
Zbiory
1.
3.
.
x
2
2
Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór



x x

A \ B , gdzie A  x, y  : x  R, y  R  x  x    y  y   4
2


B  x, y  : x  R, y  R  x 2  y 2  0 . Sprawdź czy punkt P  22 ; 22 należy do tego zbioru.
4.
Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór A  x, y  : x  R, y  R  sinx  y   0
2
