Matematyka i Komputery Nr 16 Ile liczb w kwadracie magicznym mo

Matematyka i Komputery Nr 16 Ile liczb w kwadracie magicznym mo

Kwadraty magiczne
Ile liczb w kwadracie magicznym
mo¿emy dobieraæ dowolnie
Milan Koman
[email protected]
Matematyka jest od dawna
czê¶ci± ¶wiatowej kultury,
kwadraty magiczne s± od dawna
czê¶ci± matematyki
Krótko z historii kwadratów magicznych
Najstarszy znany kwadrat magiczny nazywany
Lu ¦u pochodzi sprzed 4000 lat [1,2]. Jest to
kwadrat rzêdu 3. Wed³ug legendy pojawi³ siê na
grzbiecie boskiego ¿ó³wia w chiñskiej rzece Lo.
Przypisywano mu mistyczn± si³ê, a by³ pó¼niej
tworzony za pomoc± sznurów z supe³kami. Czarnymi supe³kami oznaczano parzyste liczby,
przedstawiaj±ce p³eæ ¿eñsk±, a bia³ymi supe³kami
liczby nieparzyste, przedstawiaj±ce p³eæ mêsk±.
Suma liczb w ka¿dym wierszu, w ka¿dej kolumnie
i w obu przek±tnych daje tzw. magiczn± sumê 15.
Dla ¿ydów, w kwadracie magicznym rzêdu 3, a
tak¿e w jego kabalistycznym odpowiedniku, utworzonym tylko z liczb nieparzystych, by³o ukryte
imiê Jahwe. ¯ydzi oznaczali liczby literami alfabetu hebrajskiego a litery, które reprezentowa³y
sumê magiczn± 15, by³y pierwszymi dwiema literami oznaczaj±cymi w jêzyku hebrajskim Jahwe [1].
Pierwszy kwadrat magiczny rzêdu 4 pojawia siê
w pierwszym wieku po Chrystusie. Jego autorem
jest hinduski matematyk Nagarajuna. Kolejne
kwadraty magiczne rzêdu 5 oraz 6 pochodz±
z Bagdadu (oko³o roku 980). W Europie, jako
pierwszy, zajmowa³ siê magicznymi kwadratami
Grek Mascopulos (1315). Opisa³ on ju¿ ogóln±
konstrukcjê dla dowolnego kwadratu magicznego
rzêdu nieparzystego. Do najbardziej znanych
kwadratów magicznych nale¿y kwadrat magiczny
Dürera, który jest elementem jego miedziorytu
Melancholia z roku 1514 (ta data jest rozpostarta
w dwóch ¶rodkowych polach ostatniego wiersza).
Na pomys³ magicznych sze¶cianów wpad³ po
raz pierwszy w roku 1640 Fermat [2].
Problemem, ile mo¿na zestawiæ kwadratów
magicznych danego rzêdu, jako pierwszy zajmowa³
siê w roku 1660 W³och Frenicle De Besy, który
znalaz³ 880 magicznych kwadratów rzêdu 4 [2].
Wielki rozwój kwadratów magicznych przyniós³
wiek XX. Zaczêto, na przyk³ad, badaæ kwadraty
20
Zima 2003
panmagiczne, w których magiczn± sumê daj± nie
tylko dwie g³ówne przek±tne, ale i równoleg³e do
nich przek±tne, które dostaniemy, gdy z magicznego kwadratu zwiniemy powierzchniê walcow±.
Innym przyk³adem s± kwadraty magiczne
tworzone tylko z liczb pierwszych, przy czym dwa
s±siednie (kolejne) kwadraty s± tworzone
z s±siednich (kolejnych) liczb pierwszych.
Problematyka kwadratów magicznych czerpie
inspiracje z teorii liczb, ale zarazem wzbogaca tê
teoriê. Jest to jeden z wielu przyk³adów, jak
dawniej czêsto bardzo odleg³e dziedziny
matematyki zaczynaj± siê w XX wieku skupiaæ
(koncentrowaæ) na wzajemnych zale¿no¶ciach,
pozwalaj±cych uzyskiwaæ nowe odkrycia.
Innym tego przyk³adem jest wykorzystanie
technik komputerowych w problematyce kwadratów magicznych. Na przyk³ad, w roku 1994 za
pomoc± komputera skonstruowano rekordowy
magiczny kwadrat rzêdu 3001 [3].
Badanie kwadratów magicznych tworzonych
z liczb pierwszych sprawi³o, ¿e zaczêto badaæ
tak¿e kwadraty magiczne tworzone z innych liczb
ni¿ liczby naturalne 1, 2, 3, ‡ n2. Ten fakt
inspiruje m.in. mo¿liwo¶æ sumowania magicznych
kwadratów i potêgowania ich wyrazów o sta³ym
wyk³adniku. Do magicznych kwadratów wkracza
algebra. Na kwadraty magiczne mo¿emy patrzeæ
jak na przestrzenie wektorowe. W literaturze
mo¿na znale¼æ wzmianki o tym, jak niektórzy
autorzy wykorzystuj± w szko³ach ¶rednich magiczne kwadraty w ramach nauki o przestrzeniach
wektorowych.
Ile liczb w kwadracie magicznym mo¿emy
wybraæ dowolnie?
Dla urozmaicenia (ubarwienia) materia³u nauczania, kwadraty magiczne pojawiaj± siê w¶ród
zwyk³ych zadañ z arytmetyki liczb naturalnych.
Obok prostych zadañ na weryfikacjê magicznych
sum mo¿na spotkaæ siê tak¿e z bardziej z³o¿onymi
zadaniami. Do takich nale¿±, na przyk³ad, zadania
typu: Wpiszcie do zadanej kwadratowej tabeli
brakuj±ce liczby tak, aby powsta³ magiczny
kwadrat.
Przy formu³owaniu takich zadañ powstaje
naturalne pytanie:
Które liczby mo¿emy w danym kwadracie
magicznym usun±æ i które to mog± byæ liczby, aby
z nich mo¿na by³o zrekonstruowaæ (odtworzyæ)
wyj¶ciowy kwadrat magiczny?
Matematyka i Komputery Nr 16
Kwadraty magiczne
Problem mo¿emy formu³owaæ jeszcze nieco
ogólniej:
Mamy pust± tabelkê kwadratow± i mamy
rozstrzygn±æ, ile liczb mo¿emy w niej dowolnie
wpisaæ i w których polach, aby by³o mo¿liwe
uzupe³nienie tej tabeli liczbami tworz±cymi
kwadrat magiczny.
Ró¿nica polega na tym, ¿e w pierwszym
przypadku wychodzimy od ju¿ gotowego
kwadratu magicznego a w drugim z góry nie
wiemy, czy taki magiczny kwadrat w ogóle bêdzie
istnia³. W dodatku nie musi i na ogó³ nie
powstanie kwadrat magiczny zawieraj±cy tylko
liczby naturalne od 1 do n2. Z tego powodu zbiór
liczb tworz±cych taki kwadrat magiczny jest
swobodny. Dla odró¿nienia od klasycznych
kwadratów magicznych mo¿emy przyj±æ nazwê
swobodne kwadraty magiczne.
W konkretnych przypadkach rozwi±zanie
mo¿emy poszukiwaæ eksperymentalnie. Mo¿e
nam tu równie¿ pomóc algebra, a mianowicie
wiadomo¶ci o przestrzeniach wektorowych.
Kwadraty magiczne danego rzêdu n mo¿emy
rozumieæ jako wektory i wszystkie te wektory
tworz± przestrzeñ wektorow±. Wspó³rzêdnymi
ka¿dego kwadratu magicznego jako wektora s±
warto¶ci liczbowe w jego pojedynczych polach.
Chodzi tu zatem o wektory, które maj± n2
wspó³rzêdnych, w ka¿dym polu jest jedna
wspó³rzêdna. Ale te wspó³rzêdne nie s±
niezale¿ne, wszak s± powi±zane tym, ¿e wszystkie
sumy w wierszach, wszystkie sumy w kolumnach
i na przek±tnych s± w kwadracie magicznym
równe. Liczba niezale¿nych wspó³rzêdnych jest
zatem równa maksymalnej ilo¶ci liczb, które w
kwadracie magicznym mo¿emy wybraæ dowolnie.
Ta liczba jest równa wymiarowi przestrzeni
wektorowej tych kwadratów magicznych.
W roku 1992 N. J. Lord udowodni³ za pomoc±
twierdzenia o wymiarze dualnych przestrzeni
wektorowych nastêpuj±ce twierdzenie:
Twierdzenie Lorda [4]:
Przestrzeñ kwadratów magicznych rzêdu n (n 3)
ma wymiar dn = n(n −1.
Konsekwencj± tego twierdzenia jest nastêpuj±cy
wniosek:
W kwadratowej tabeli n × n (n 3) mo¿emy
znale¼æ dok³adnie dn = n(n −1 pól, do których
mo¿emy wpisaæ dowolne liczby,
którymi jest okre¶lony jednoznacznie (swobodny)
kwadrat magiczny.
å
å
Matematyka i Komputery Nr 16
To twierdzenie daje czê¶ciow± odpowied¼ na
nasze pytanie. Odpowied¼ jest rzeczywi¶cie tylko
czê¶ciowa, bowiem nie rozstrzyga, w których polach mo¿emy te dowolne liczby wpisywaæ. W tej
pracy odpowiemy na pytanie, które liczby mo¿emy wybraæ i jak znale¼æ pozosta³e liczby. Najpierw rozwi±¿emy problem w przypadku n 5.
Rozró¿nimy dwa przypadki, gdy n jest liczb±
nieparzyst± i gdy jest liczb± parzyst±.
Konstrukcjê swobodnego kwadratu magicznego
dla nieparzystego n zilustrujemy na kwadracie
9 × 9 (rys. 1a i rys. 1b).
å
Rys. 1a
Rys. 1b
1. Najpierw rozdzielimy wszystkie pola danego
kwadraty na pola swobodne i zwi±zane.
Równie¿ liczby na tych polach bêdziemy
nazywaæ liczbami swobodnymi i zwi±zanymi.
Pierwsze z nich bêdziemy ustalaæ (wybieraæ),
drugie bêdziemy wyliczaæ. Pola zwi±zane
zaznaczymy kolorem, jak na rys. 1a. Zbiór
wszystkich pól zwi±zanych przypomina schody
z dwoma podestami, z jednym w ¶rodku, a drugim na górze. Schody s± utworzone z par pól
le¿±cych nad sob±, podesty s± utworzone
z czwórki pól z³±czonych w kwadrat 2 × 2.
Zauwa¿my jeszcze, ¿e schody s± utworzone
tak, ¿e podest w ¶rodku schodów ma dok³adnie
jedno wspólne pole z g³ówn± przek±tn± a górny
podest ma dok³adnie jedno wspólne pole
z s±siedni± (przyleg³±) przek±tn±. Dalej widzimy,
¿e w ka¿dej kolumnie s± dok³adnie dwa pola
zwi±zane. Jest ich zatem ³±cznie 18 (ogólnie
2n). Zgodnie z twierdzeniem Lorda swobodnych pól jest d9 = 9 7 = 63 (ogólnie n(n −1)).
@
2. Wpiszmy do swobodnych pól dowolne liczby.
W przypadku zer mo¿emy zostawiæ puste pole.
Nastêpny krok mo¿ecie zweryfikowaæ na
przyk³adzie z rysunku 2a.
Zima 2003
21
Kwadraty magiczne
Rys. 2a
Rys. 2b
Rys. 3a
Rys. 3c
Rys. 2c
3. Okre¶limy magiczn± sumê S naszego magicznego kwadratu, który powstanie poprzez
uzupe³nienie liczbami zwi±zanymi. Na rysunku
2a jest S = 4.
4. Wyliczymy liczby zwi±zane i to w kolejno¶ci
okre¶lonej na rysunku 1b przez liczby
1, 2, 3, ‡, 18.
Zaczniemy od pola 1. Do niej do³±czymy
ró¿nicê magicznej sumy S i wszystkich liczb
swobodnych w ostatnim wierszu, tj.
4 − (1 + 2) = 1.
Tym sprawimy, ¿e suma wszystkich liczb
w ostatnim wierszu bêdzie tak¿e równa
magicznej sumie S. Nastêpnie przechodzimy do
pól oznaczonych na rysunku 1b liczb± 2. Od
liczby magicznej S odejmiemy wszystkie liczby
swobodne z pierwszej kolumny, tj.
4 − (1 + 1) = 2 (rys. 2b).
Podobnie post±pimy w przypadku pól
oznaczonych na rysunku 1b liczbami
3, 4, 5, 6.
Dostaniemy rysunek 2c. Potem w pole oznaczone na rysunku 1b liczb± 7 (na pierwszym
pode¶cie) do³±czymy ró¿nicê magicznej sumy S
i sumy wszystkich liczb swobodnych na
g³ównej przek±tnej,
4 − (3 + 2) (rys. 3a).
Dalej postêpujemy w taki sam sposób. Kolejno
dotrzemy a¿ do pola oznaczonego na rysunku 1b
liczb± 15, gdzie do³±czymy
4 − (1 + 2 + 3 + 4 + (−1) + (−2) + (−1)) = −2 (rys. 3b).
Na koniec uzupe³nimy tak¿e brakuj±ce liczby na
górnym pode¶cie. Na wszystkich tych polach
z liczbami od 1 do 17 (rys. 1b) liczby zwi±zane s±
okre¶lone jednoznacznie. Liczbê na polu 18
mo¿emy uzupe³niæ na dwa sposoby, za pomocy
sumowania wierszami albo kolumnami. W obu
przypadkach jednak uzyskamy ten sam wynik.
Gdyby tak nie by³o, to sumuj±c liczby we
wszystkich wierszach otrzymaliby¶my inn± liczbê
ni¿ sumuj±c we wszystkich kolumnach, a to nie
jest mo¿liwe. Wynik mamy na rysunku 3c.
Konstrukcja swobodnego kwadratu magicznego
dla liczb parzystych n å 6.
Sposób jest podobny, musimy tylko zmieniæ
schody i to tak, aby tak¿e i teraz oba ich podesty
zawsze mia³y dok³adnie jedno pole wspólne
z jedn± przek±tn±. Dla n =10 zamiast rysunków 1a
i 1b dostaniemy rysunki 4a i 4b.
Rys. 4a
22
Rys. 3b
Zima 2003
Rys. 4b
Matematyka i Komputery Nr 16
Kwadraty magiczne
W³a¶ciwy sposób konstrukcji takiego swobodnego
kwadratu magicznego jest analogiczny jak w
poprzednim przypadku i dlatego nie bêdziemy go
powtarzaæ.
Pozosta³e przypadki swobodnych kwadratów
magicznych dla n = 3 i n = 4 poka¿emy tak¿e w
trzeciej czê¶ci artyku³u.
tak po³±czyæ, jak to pokazuje rysunek 6.
Jak mo¿na konstruowaæ swobodne kwadraty
magiczne za pomoc± Exel-a
Do konstrukcji swobodnych kwadratów magicznych mo¿emy wykorzystaæ program Microsoft
Excel, który mo¿e przeprowadzaæ obliczanie liczb
na bia³ych polach b³yskawicznie. Przy konstruowaniu formularza dla swobodnych magicznych
spotkamy siê jednak z jedn± nieprzyjemno¶ci±,
któr± ilustruje rysunek 5.
Rys. 6
Rysunek ten oró¿nia siê tym, ¿e zakryte s±
wiersze od 2 a¿ do 6 oraz wiersze od 16 do 21.
Podobnie zakryjemy kolumny od B do I oraz od S
a¿ do Z. Widzimy to na kolejnych rysunkach,
ukazuj±cych równocze¶nie, jak prosto mo¿emy
zestawiaæ ca³y formularz swobodnego kwadratu
magicznego dla nieparzystego n.
Napiszemy na przyk³ad wzór na wyliczenie
zwi±zanej liczby na polu J15 (rys. 7a),
Rys. 5
Znajdowanie liczby B10 odbywa siê wed³ug
wzoru:
=4-SUMA(C10:J10).
Od liczby 4 odejmuje siê zatem warto¶ci o¶miu
komórek, które le¿± jedynie w prawo od B10.
Obliczanie liczby H5 odbywa siê zatem wed³ug
wzoru:
=4-SUMA(B5:G5)-SUMA(15:J5).
Tym razem odczytamy sze¶æ warto¶ci le¿±cych na
lewo od H5 i dwie warto¶ci le¿±ce na prawo od
H5. Niekorzystnym jest, ¿e zmieniaj± siê obszary,
z których odejmujemy liczby od sumy S.
Wspomnian± nieprzyjemno¶æ mo¿emy jednak
³atwo usun±æ. Skonstruowany kwadrat magiczny
w³o¿ymy do szerszego obszaru, w którym bêd±
warto¶ci zerowe.
Obszary, przez które bêdziemy liczyæ mo¿emy
Matematyka i Komputery Nr 16
Rys. 7a
Rys. 7b
gdzie nie wolno zapomnieæ o dwukrotnym u¿yciu
symbolu $, a nastêpnie ten wzór prosto
skopiujemy na pola zaznaczone kolorem. Drugi
wzór zastosujemy do pola J14, a ten analogicznie
skopiujemy do kolejnych o¶miu pól (rys. 7b).
Na koñcu napiszemy jeszcze w polu N11 wzór
=$A$7-7J-K8-L9-M10-O12-P13-Q14-R15,
a do pola Q8 wzór
=$A$7-J15-K14-L13-M12-N11-O10-P9-R7.
Zima 2003
23
Kwadraty magiczne
Dla szybkiej kontroli magicznego kwadratu
wpiszemy jeszcze do pól pierwszego wiersza
i pierwszej kolumny wzory na wyliczanie sum
w wierszach, kolumnach i przek±tnych.
Polecamy czytelnikowi, aby sobie skonstruowa³
w podobny sposób w³asny formularz dla swobodnych kwadratów magicznych w przypadku
parzystych n.
Zauwa¿my tak¿e, ¿e formularz z rysunku 7b
pozwala generowaæ bazê przestrzeni wektorowej
wszystkich swobodnych kwadratów magicznych
rzêdu nieparzystego n. Wystarczy kolejno
dok³adaæ na jedno puste pole jedynkê, a na
pozosta³e wolne pola zero. Pierwsze trzy elementy
bazy s± pokazane na rysunkach 8a, 8b, 8c.
Rys. 8a
Rys. 8b
Rys. 8c
W podobny sposób mog± czytelnicy zestawiaæ
zarówno formularz jak i bazê dla swobodnych
kwadratów magicznych rzêdu parzystego.
Brakuje nam jeszcze formularza dla zapowiedzianych magicznych kwadratów rzedu 4 i 3.
W sposób widoczny uzyskamy je bezpo¶rednio ze
wzorów (rys. 9). Czytelnik mo¿e sobie sam
zweryfikowaæ ich funkcjonalno¶æ.
24
Zima 2003
Rys. 9
Zauwa¿my, ¿e swobodne kwadraty magiczne
rzêdu 3 maj± jedn± osobliwo¶æ, któr± siê
odró¿niaj± od kwadratów magicznych wy¿szych
rzêdów. Je¶li na swobodnych polach kwadratów
magicznych wy¿szego rzêdu ni¿ 3 s± wy³±cznie
warto¶ci ca³kowito-liczbowe, to bêd± tak¿e na
zwi±zanych polach naszych formularzy warto¶ci
ca³kowito-liczbowe. Natomiast w kwadratach magicznych rzêdu 3 warto¶ci na zwi±zanych polach
nie musz± byæ liczbami ca³kowitymi.
Kwadraty magiczne z datami wydarzeñ
historycznych
Na problem, którym siê zajmowali¶my, mo¿emy
patrzeæ tak¿e jak na dope³nianie niezupe³nych
kwadratów magicznych. Swobodne liczby w niezupe³nych kwadratach magicznych wybierali¶my
dowolnie. Nowe spojrzenie na tê problematykê
dostaniemy, je¶li swobodnym liczbom damy
konkretny sens. Przyk³adem s± urodzinowe
magiczne kwadraty, które zaproponowa³ przy
okazji 60. urodzin Ericha Ch. Witmanna, jego
wieloletni przyjaciel Gerhard N. Müller ]5]. Jego
kwadrat magiczny 4 x 4 jest skonstruowany na
innej zasadzie ni¿ nasze konstrukcje.
Nasze konstrukcje kwadratów magicznych
umo¿liwiaj± zestawianie magicznych kwadratów
zawieraj±cych wiêcej dat wybranych wydarzeñ.
W zale¿no¶ci od liczby tych dat trzeba tylko
wybraæ dostatecznie wielki magiczny kwadrat. Dla
dwu wydarzeñ wystarczy wyj¶æ od magicznego
kwadratu 5 x 5. Na rysunku 10 jest pokazany
magiczny kwadrat z dat± pierwszego i ostatniego
roku istnienia Czechos³owacji.
Matematyka i Komputery Nr 16
Kwadraty magiczne
Rys. 10
Magiczna suma tego kwadratu jest równa 19.
Magiczne kwadraty z datami lub okresami
najró¿niejszych wydarzeñ mog± dostarczyæ interesuj±cych pomys³ów dla ³±czenia kultury i matematyki.
Literatura
1. Zaslavsky C.: Afrika counts (Number and Pattern in
African Culture), Lawrence Hill & Company,
Connecticut, 1973.
2. http://www.pse.chwe.tohoku.ac.jp/˜msuzuki/
MagicSquares.html
3. http://www.recordholders.org/en/records/magic.html
4. Lord N. J.: The dimension of the space of magic
squares, [Journal] Math. Gaz., 66 (437), p. 199-203.
5. Müller G.,N.: Zur Konstruktion von magischen
Geburtstagsquadraten.
In Mathematikdidaktik als design science. Festschrift
für Erich Christian Wittmann. Ed: Ch. Selter;
G. Walther, Leipzig: Klett Grundschulverl. 1999.
p. 137-147 [ISBN 3-12-200060-1].
6. Koman M.: Malé a velké magické ètverce bez
poèítaèe a s poèítaèem. In Jak uèit matematice fiáky
ve vìku 10-15 let. Litomìrice, 2002, JÈMF-MPS.
s. 52-61.
Praca powsta³a w ramach badañ naukowych
VZ-J13/98:11400004.
Autor jest profesorem
w Uniwersytecie Karola
w Pradze
Z jêzyka czeskiego t³umaczy³ Adam P³ocki
Matematyka i Komputery Nr 16
Zima 2003
25
Powrót