Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1151
Transkrypt
Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1151
Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1151 - Wzory na I kolokwium 1. Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B, gdzie A, B ∈ F, P (B) > 0, dane jest wzorem P (A|B) = P (A ∩ B) . P (B) 2. Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym: Niech {Bn , n ∈ T ⊂ N} będzie rozbiciem zbioru Ω takim, że P (Bn ) > 0 dla każdego n. Wtedy dla dowolnego zdarzenia losowego A mamy P (A) = X P (A|Bn )P (Bn ). n∈T 3. Wzór Bayesa: Niech {Bn , n ∈ T ⊂ N} będzie rozbiciem zbioru Ω takim, że P (Bn ) > 0 dla każdego n. Wtedy dla dowolnego zdarzenia losowego A takiego, że P (A) > 0, i dla każdego n ∈ T mamy P (A|Bn )P (Bn ) . P (Bn |A) = P (A) 4. Zdarzenia A i B z przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P ) nazywamy niezależnymi, gdy P (A ∩ B) = P (A)P (B). 5. Jeżeli F (x) to dystrybuanta rozkładu zmiennej losowej X, to • P (X < b) = F (b); • P (X ¬ b) = lim F (x); x→b+ • P (X b) = 1 − F (b); • P (X > b) = 1 − lim F (x); x→b+ • P (a ¬ X < b) = F (b) − F (a); • P (a < X < b) = F (b) − lim F (x); x→a+ • P (a < X ¬ b) = lim F (x) − lim F (x); x→b+ x→a+ • P (a ¬ X ¬ b) = lim F (x) − F (a). x→b+ 6. F (x) jest dystrybuantą ⇔ jest lewostronnie ciągła, niemalejąca na R, lim F (x) = 0 oraz x→∞ lim F (x) = 1. x→−∞