Pobierz

 Elżbieta Świda, Marcin Kurczab Nowy typ zadań maturalnych z matematyki na poziomie rozszerzonym Opracowanie: E. Świda, M. Kurczab Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Zadanie (matura – maj 2009) Ciąg (x – 3, x + 3, 6x + 2, …) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Oblicz iloraz tego ciągu S19 1
< , gdzie Sn oznacza sumę n początkowych i uzasadnij, że S20 4
wyrazów tego ciągu. Opracowanie: E. Świda, M. Kurczab Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Zadanie (matura – maj 2010) 1
. 2
x
Przeprowadzono prostą równoległą do osi Ox, która przecięła wykres tej funkcji w punktach A, B. Niech C = (3, –1). Wykaż, że pole trójkąta ABC jest większe lub równe 2. Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji f(x) =
Opracowanie: E. Świda, M. Kurczab Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Zadanie (próbna matura – styczeń 2009) Jeden z końców odcinka leży na paraboli o równaniu y = x2, a drugi na prostej o równaniu y = 2x – 6. Wykaż, że długość tego odcinka jest nie mniejsza od 5 . Sporządź odpowiedni rysunek. Opracowanie: E. Świda, M. Kurczab Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Zadanie 1. W trójkącie prostokątnym ABC C
wysokość opuszczona na x D
• przeciwprostokątną BC ma długość 1. Niech |CD| = x i |BC| = y. 1
a) Wyznacz y jako funkcję zmiennej x.
• b) Wykaż, że funkcja ta przyjmuje A najmniejszą wartość równą 2. y
B
Opracowanie: E. Świda, M. Kurczab Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Rozwiązanie: Ad a) x ⋅ (y – x) = 12 xy – x2 = 1 x2 + 1
, x ∈ (0, +∞) y=
x
C
D x
• y
1 • A
B
Opracowanie: E. Świda, M. Kurczab Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Ad b) x2 + 1
Założenie: y =
, x∈(0, +∞), y > x x
x2 + 1
Teza: Najmniejsza wartość funkcji y =
, x∈(0,+∞), jest równa 2. x
Dowód: (x – 1)2 ≥ 0 dla x∈(0, +∞) x2 – 2x + 1 ≥ 0 x2 + 1 ≥ 2x /: x (x > 0) x2 + 1
≥ 2 , zatem x
x2 + 1
Funkcja y =
, x∈(0, +∞), przyjmuje najmniejszą wartość x
równą 2 (dla argumentu 1). Opracowanie: E. Świda, M. Kurczab Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Zadanie 2. W trapezie ABCD o podstawach długości |AB| = a i |CD| = b (a > b) poprowadzono odcinek MN równoległy do podstaw, dzielący M
pole trapezu na połowy (zobacz rysunek). A
a) Wyznacz długość odcinka MN. b) Wykaż, że |MN|≥ ab . D
C
b
N
a
B
Opracowanie: E. Świda, M. Kurczab Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro D
b
C
Rozwiązanie: Ad a) b
• x – b
N
a > b > 0, |MN| = x, DE || BC, więc M K
F
|EB| = |KN| = b |MK| = x – b b
• a – b
A
B
S
E
|AE| = a – b 1
∆ DMK ~ ∆ DAE (cecha kkk) i PMNCD = ⋅ PABCD 2
(x + b) ⋅|DF| 1 (a + b) ⋅|DS|
|DK| |MK | x − b
= ⋅
=
=
|DE| | AE| x − a
2
2
2
|DF| a + b
=
|DS| 2(x + b)
|DK | |DF |
x −b
a+b
Ponieważ , więc , skąd a2 – b2 = 2x2 – 2b2 =
=
|DE | |DS |
a − b 2(x + b)
a2 + b2
a2 + b2
2
, bo x > 0 x =
x=
2
2
Opracowanie: E. Świda, M. Kurczab Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Ad b) a2 + b2
, a > b > 0 Założenie: |MN| =
2
Teza: |MN|≥ ab Dowód: (a – b)2 ≥ 0 dla dowolnych liczb a, b ∈ R+ a2 – 2ab + b2 ≥ 0 a2 + b2
≥ ab , stąd 2
a2 + b2
≥ ab , czyli 2
|MN|≥ ab , co kończy dowód. Opracowanie: E. Świda, M. Kurczab Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Zdanie 3. Funkcja f jest opisana wzorem f(x) = log425 ∙ log5x – 1
log x +1 4
, 4
gdzie x∈R+. a) Zapisz wzór funkcji f za pomocą logarytmu przy podstawie 4. 1
b) Wykaż, że funkcja f przyjmuje największą wartość równą − . 2
Opracowanie: E. Świda, M. Kurczab Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Rozwiązanie: Ad a) x2
f(x) = log 4 4
, x∈R+ x +1
Ad b) x2
, x∈R+ Założenie: f(x) = log 4 4
x +1
1
Teza: Funkcja f przyjmuje największą wartość równą − . 2
Dowód: x2
1
x2
1
x2
1
log 4 4
≤ − ⇔ log 4 4
≤ log 4
⇔ 4
≤
⇔ x +1
2
x +1
2
x +1 2
4
2
− x + 2x − 1
2
2
(
)
⇔
≤
0
⇔
x
−
1
≥ 0 4
2(x + 1)
1
Funkcja f przyjmuje największą wartość równą − ( dla argumentu 1).
2
Opracowanie: E. Świda, M. Kurczab Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Zadanie 4. Dane jest równanie kwadratowe (m – 1)x2 + 2x + 3 – m = 0 z niewiadomą x i parametrem m. a) Znajdź wzór i dziedzinę funkcji f, która zmiennej rzeczywistej m przyporządkowuje iloczyn dwóch różnych pierwiastków danego równania. Naszkicuj wykres funkcji f w prostokątnym układzie współrzędnych. b) Wykaż, że do wykresu funkcji f należą tylko trzy punkty o obu współrzędnych całkowitych. Opracowanie: E. Świda, M. Kurczab Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro A
Ad a) m
m ≠ 1 i ∆
∆ = 4((m – 2)2 > 0 ⇔
⇔ m
m ∈ R – {1, 2} 3−m
, m
m ∈ R – {1
1, 2}
f(m) =
m −1
y
y
y = f(m) m
O
Opracow
wanie: E. Świda, M
M. Kurczzab Oficynaa Edukaccyjna * K
Krzysztof Pazdro
o Ad b) Założenie: f(m) =
3−m
, m ∈ R – {1, 2} m −1
Teza: Do wykresu funkcji f należą tylko trzy punkty o obu współrzędnych całkowitych. Dowód: 3 − m − (m − 1) + 2
2
=
=
− 1 m−1
m −1
m−1
f(m) =
Wartość f(m) jest liczbą całkowitą dla całkowitej liczby m tylko wtedy, gdy 2 jest podzielne przez m – 1, zatem m – 1 = 1, skąd m = 2 – liczba nie należy do dziedziny funkcji f m – 1 = – 1, skąd m = 0 m – 1 = 2, skąd m = 3 m – 1 = – 2, skąd m = –1 Do wykresu funkcji f należą tylko trzy punkty o obu współrzędnych całkowitych: (–1, –2), (3, 0), (0, –3). Opracowanie: E. Świda, M. Kurczab Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro O
Opracow
wanie: E. Świda, M
M. Kurczzab Oficynaa Edukaccyjna * K
Krzysztof Pazdro
o Opracow
wanie: E. Świda, M
M. Kurczzab Oficynaa Edukaccyjna * K
Krzysztof Pazdro
o