f - AJD

Transkrypt

f - AJD

ELEMENTY ANALIZY MATEMATYCZNEJ
Dla studentów kierunku In»ynieria Bezpiecze«stwa
Materiaªy pomocnicze do wykªadu
Podstawowe wiadomo±ci o funkcjach. Ci¡gi liczbowe.
Granica i ci¡gªo±¢ funkcji.
Wªasno±ci funkcji.
X
y ∈ Y,
Je±li dane s¡ dwa niepuste zbiory
rz¡dkowany jest jeden element
f , nazywane
f : X −→ Y.
zwykle liter¡
nast¦puj¡co:
Zbiór
X
nazywany jest
jest
i
Y
oraz ka»demu elementowi
x∈X
przypo-
to ka»de takie przyporz¡dkowanie, oznaczane
odwzorowaniem zbioru
dziedzin¡ odwzorowania
X
w zbiór
f, a zbiór Y
Y
i zapisywane
przeciwdziedzin¡
tego odwzorowania.
Elementy dziedziny nazywane s¡
Przez
towi
x
f (x)
argumentami.
oznaczany jest element zbioru
i nazywany
Odwzorowanie
Y
przyporz¡dkowany (przez
warto±ci¡ odwzorowania
f : X −→ Y
f
w punkcie
f)
argumen-
x.
okre±lone wzorem
f (x) = c,
gdzie
c∈Y
jest ustalonym elementem, nazywane jest
Odwzorowanie
f : X −→ X
odwzorowaniem staªym.
okre±lone wzorem
f (x) = x,
nazywane jest
czane
odwzorowaniem to»samo±ciowym lub identyczno±ci¡ na X i ozna-
IdX .
f : X −→ Y i g : U −→ V nazywane s¡ równymi je±li zachodz¡
X = U i Y = V oraz dla wszystkich argumentów speªniona
f (x) = g(x).
Odwzorowania
równo±ci mi¦dzy zbiorami
jest równo±¢
Zbiór
{y ∈ Y :
_
y = f (x)}
x∈X
nazywany jest
zbiorem warto±ci odwzorowania
f : X −→ Y
i oznaczany
f (X).
2
Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa
atwo jest zauwa»y¢, »e
IdX (X) = X
oraz
f (X) = {c}
dla odwzorowania staªego
f
X
okre±lonego na zbiorze
Je±li speªniona jest równo±¢
f (X) = Y,
staª¡
to odwzorowanie
c.
f : X −→ Y
nazywane jest
odwzorowaniem na lub surjekcj¡.
Identyczno±¢ okre±lona na danym zbiorze jest surjekcj¡.
f : X −→ Y jest danym odwzorowaniem i A ⊂ X, A 6= X
odwzorowanie g : A −→ Y okre±lone wzorem
Je±li
to
jest danym zbiorem,
g(x) = f (x)
nazywane jest
czane
obci¦ciem (lub restrykcj¡) odwzorowania
f
do zbioru
A
i ozna-
f|A .
Funkcje
f
i
f|A
nie s¡ równe.
Gdy przeciwdziedzina jest zbiorem liczb, odwzorowanie nazywane jest
±li dziedzina jest zbiorem liczb, to cz¦sto oznacza si¦ j¡ liter¡
D.
funkcj¡. Je-
Funkcja o dziedzinie
rzeczywist¡ zmiennej rzeczy-
i przeciwdziedzinie zªo»onej z liczb nazywana jest
wistej. Je±li dla takiej funkcji podany jest jedynie wzór jakim jest okre±lona, to jej
dziedzin¡ nazywany jest wówczas zbiór wszystkich liczb, dla których ten wzór ma sens.
Taka dziedzina nazywana jest
dziedzin¡ naturaln¡. Za przeciwdziedzin¦ przyjmuje
si¦ wtedy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, a zbiór warto±ci oznacza si¦ liter¡
lub (dla funkcji oznaczonej
f ) Wf
lub
f (D).
Funkcja
f :
IR
−→
W
IR nazywana jest
rzeczywisto-rzeczywist¡.
Wykresem funkcji
f : D −→ IR,
gdzie
{(x, y) ∈ IR2 :
D ⊂ IR
nazywany jest zbiór
x ∈ D, y = f (x)}.
Ekstremum lokalnym funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej nazywane
jest minimum lokalne lub maksimum lokalne funkcji.
Mówi si¦, »e w punkcie
równe
f (x0 ),
x0
nale»¡cym do dziedziny funkcja ma
je±li istnieje taka liczba dodatnia
r,
»e przedziaª
si¦ w dziedzinie funkcji oraz speªniony jest warunek
^
x∈(x0 −r,x0 +r)
f (x) f (x0 ).
minimum lokalne
(x0 − r, x0 + r)
zawiera
3
Katarzyna Doma«ska
x0 nale»¡cym do dziedziny funkcja ma minimum lokalne
f (x0 ), je±li istnieje taka liczba dodatnia r, »e przedziaª (x0 − r, x0 + r)
wªa±ciwe równe
zawiera si¦ w dziedzinie funkcji oraz speªniony jest warunek
^
f (x) > f (x0 ).
x∈(x0 −r,x0 +r)\{x0 }
równe
f (x0 ),
x0
je±li istnieje taka liczba dodatnia
r,
»e przedziaª
maksimum lokalne
(x0 − r, x0 + r)
zawiera
si¦ w dziedzinie funkcji oraz speªniony jest warunek
^
f (x) ¬ f (x0 ).
x∈(x0 −r,x0 +r)
wªa±ciwe równe
x0
maksimum lokalne
f (x0 ), je±li istnieje taka liczba dodatnia r, »e przedziaª (x0 − r, x0 + r)
zawiera si¦ w dziedzinie funkcji oraz speªniony jest warunek
^
f (x) < f (x0 ).
x∈(x0 −r,x0 +r)\{x0 }
Ekstremum globalnym funkcji nazywane jest minimum globalne lub maksimum
globalne funkcji.
równe
f (x0 ),
x0
minimum globalne
je±li speªniony jest warunek
^
f (x) f (x0 ).
x∈D
wªa±ciwe równe
f (x0 ),
x0
minimum globalne
^
f (x) > f (x0 ).
x∈D\{x0 }
równe
f (x0 ),
x0 nale»¡cym do dziedziny funkcja ma maksimum globalne
^
f (x) ¬ f (x0 ).
x∈D
wªa±ciwe równe
f (x0 ),
x0 nale»¡cym do dziedziny funkcja ma maksimum globalne
^
f (x) < f (x0 ).
x∈D\{x0 }
Funkcja
f : D −→ IR,
gdzie
_
D ⊂ IR
^
T ∈IR x∈D
nazywana jest
okresow¡ je±li
(x + T ∈ D ∧ f (x + T ) = f (x)).
4
Liczba
T
nazywana jest
okresem funkcji f. Je±li istnieje najmniejszy okres funkcji
podstawowym.
f,
to nazywany jest okresem
Funkcja
f : D −→ IR,
D ⊂ IR
gdzie
^
parzyst¡ je±li
nazywana jest
(−x ∈ D ∧ f (−x) = f (x)).
x∈D
Funkcja
f : D −→ IR,
gdzie
^
D ⊂ IR
nieparzyst¡ je±li
nazywana jest
(−x ∈ D ∧ f (−x) = −f (x)).
x∈D
Wykres funkcji okresowej po przesuni¦ciu o wektor
cji parzystej jest symetryczny wzgl¦dem osi
OY,
[T, 0] nie zmieni si¦. Wykres funk-
a funkcji nieparzystej wzgl¦dem po-
cz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych.
Funkcja
f : D −→ IR,
gdzie
D ⊂ IR
^
nazywana jest
rosn¡c¡ w zbiorze
A⊂D
je±li
(x1 < x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 )).
x1 ,x2 ∈A
Funkcja
f : D −→
D ⊂
IR, gdzie
IR nazywana jest
malej¡c¡ w zbiorze
A⊂D
je±li
^
(x1 < x2 =⇒ f (x1 ) > f (x2 )).
x1 ,x2 ∈A
Funkcja
f : D −→ IR,
gdzie
D ⊂ IR
nazywana jest
niemalej¡c¡ w zbiorze
A⊂D
je±li
^
(x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ¬ f (x2 )).
x1 ,x2 ∈A
Funkcja
f : D −→
IR, gdzie
D⊂
IR nazywana jest
nierosn¡c¡ w zbiorze
A⊂D
je±li
^
(x1 < x2 =⇒ f (x1 ) f (x2 )).
x1 ,x2 ∈A
monotonicznymi,
przy czym rosn¡ce, malej¡ce nazywa si¦ ±ci±le monotonicznymi, a niemalej¡ce, nierosn¡ce sªabo monotonicznymi.
Funkcje rosn¡ce, malej¡ce, niemalej¡ce, nierosn¡ce nazywane s¡
5
Katarzyna Doma«ska
Je±li Df , Dg , Wf , Wg ⊂ IR i Wg ⊂ Df , to zªo»eniem funkcji f : Df −→ IR i
g : Dg −→ IR nazywana jest funkcja f ◦ g : Dg −→ IR o zbiorze warto±ci równym Wf ,
okre±lona nast¦puj¡cym wzorem:
(f ◦ g)(x) = f (g(x)).
f
Funkcj¦
nazywa si¦ funkcj¡
f : D −→
Funkcja
A⊂D
zewn¦trzn¡, a funkcj¦
IR, gdzie
D⊂
IR nazywana jest
g
wewn¦trzn¡.
ró»nowarto±ciow¡ w zbiorze
je±li
^
(x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )).
x1 ,x2 ∈A
Funkcja ró»nowarto±ciowa w dziedzinie nazywana jest krótko
Je±li funkcja jest ró»nowarto±ciowa na zbiorze
lub pod zbiorem
A
ró»nowarto±ciow¡.
A, to fragment jej wykresu le»¡cy nad
przez ka»d¡ prost¡ poziom¡ przecinany jest co najwy»ej w jednym
punkcie.
Je±li
f : D −→
IR jest funkcj¡ ró»nowarto±ciow¡, to funkcja
f −1 : Wf −→ D
okre±lona nast¦puj¡co:
f −1 (y) = x ⇐⇒ y = f (x),
^
y∈Wf
gdzie
x ∈ D,
nazywana jest
funkcj¡ odwrotn¡ do
Wykres funkcji odwrotnej do
stej
f
f.
jest symetryczny do wykresu funkcji
f
wzgl¦dem pro-
y = x.
Monotoniczno±¢ funkcji poci¡ga jej ró»nowarto±ciowo±¢, a parzysto±¢ brak
ró»nowarto±ciowo±ci.
Miejscem zerowym funkcji nazywany jest ka»dy punkt
w którym
x0
(x0 , 0)
le»¡cy na osi
OX,
jest rozwi¡zaniem równania
f (x) = 0.
funkcje elementarne,
podstawowe funkcje elementarne. Funkcjami elementarnymi s¡
W±ród funkcji rzeczywisto-rzeczywistych wyró»nia si¦ tzw.
a w±ród nich tzw.
funkcje pot¦gowe, wielomianowe, wymierne, wykªadnicze, logarytmiczne, trygonometryczne, cyklometryczne, hiperboliczne i wszystkie, które z podstawowych funkcji elementarnych daj¡ si¦ otrzyma¢ za pomoc¡ takich operacji jak suma, iloczyn, iloraz,
zaw¦»anie dziedziny, odwracanie i skªadanie funkcji. Do podstawowych funkcji elementarnych nale»¡ funkcja staªa, to»samo±ciowa, pot¦gowa, wykªadnicza oraz funkcje sinus
i cosinus. Wymienione wcze±niej operacje pozwalaj¡ z tych funkcji otrzyma¢ ka»d¡ z pozostaªych wymienionych tu jako elementarne. Np. wielomian jest sum¡ pewnych funkcji
6
pot¦gowych pomno»onych przez staªe oraz funkcji staªej, funkcja wymierna ilorazem
wielomianów, funkcj¦ logarytmiczn¡ otrzymuje si¦ jako odwrotn¡ do wykªadniczej, tan-
ges jako iloraz sinus przez cosinus, a arcsin jako odwrotn¡ do odpowiedniego zaw¦»enia
funkcji sinus. Precyzyjnie i elementarnie nale»y zdeniowa¢ funkcje pot¦gow¡, wykªadnicz¡, funkcje sinus i cosinus (funkcje te to du»o wi¦cej ni» sinus czy cosinus k¡ta w
trójk¡cie prostok¡tnym). Do tego celu u»ywa si¦ m.in. denicji pot¦gi o wykªadniku
niewymiernym i innych poj¦¢ zaawansowanej analizy matematycznej lub teorii równa«
funkcyjnych. W poni»szym krótkim przegl¡dzie funkcji elementarnych tre±ci te podane zostan¡ jedynie informacyjnie, a do okre±lenia funkcji trygonometrycznych u»yta
b¦dzie denicja warto±ci tych funkcji dla k¡ta skierowanego.
Funkcje wielomianowe
Funkcj¡ wielomianow¡ nazywana jest funkcja okre±lona wzorem
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0 ,
w którym
n ∈ IN
oraz
ai ∈ IR
dla
i ∈ {0, 1, ..., n}
s¡ danymi liczbami (wyra»enie alge-
braiczne zapisane po znaku równo±ci jest wielomianem stopnia
n).
Dziedzin¡ tej funkcji jest zbiór IR, a zbiór warto±ci zmienia si¦ wraz ze zmian¡ wielomianu, zale»y zarówno od jego wspóªczynników jak i stopnia. Te parametry maj¡ tak»e
wpªyw na ksztaªt wykresu tej funkcji.
Szczególnymi funkcjami wielomianowymi s¡ te okre±lone przez jednomian ustalonego
stopnia, czyli za pomoc¡ wzoru
f (x) = cxn ,
gdzie
n∈
IN. Dla nich zbiorem warto±ci jest IR gdy
n
jest liczb¡ nieparzyst¡ i
c 6= 0;
[0, +∞), gdy n jest parzyste i c > 0; przedziaª (−∞, 0], gdy n jest parzyste i
c 6= 0, to dla n nieparzystego funkcje te s¡ nieparzyste oraz monotoniczne
samym ró»nowarto±ciowe, dla n parzystego funkcje te s¡ parzyste, a wszystkie
przedziaª
c < 0.
i tym
Je±li
maj¡ jedno miejsce zerowe znajduj¡ce si¦ w pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych. Ksztaªt
wykresu dla
jednomianu
n parzystych
f (x) = x3 .
zbli»ony jest do paraboli, a dla
n
nieparzystych do wykresu
Szczególn¡ rol¦ odgrywaj¡ tak»e funkcja okre±lona wielomianem stopnia pierwszego
nazywana liniow¡ -jej zbiór warto±ci to IR- i okre±lona wielomianem stopnia drugiego,
czyli trójmianem kwadratowym zwana kwadratow¡. Zbiór warto±ci funkcji kwadratowej
to przedziaª
lub
(−∞, q],
[q, +∞),
gdy wspóªczynnik przy zmiennej w drugiej pot¦dze jest dodatni
gdy wspóªczynnik ten jest ujemny, gdzie
q
jest drug¡ wspóªrz¦dn¡ wierz-
choªka paroboli. Funkcja liniowa jest monotoniczna i tym samym ró»nowarto±ciowa.
Tylko te z nich, które redukuj¡ si¦ do jednomianów s¡ parzyste lub nieparzyste.
7
Katarzyna Doma«ska
Funkcje wymierne
Funkcj¡ wymiern¡ nazywana jest funkcja okre±lona wzorem
f (x) =
gdzie
W, P
s¡ wielomianami,
P
W (x)
,
P (x)
ma stopie« co najmniej pierwszy i nie jest wielomianem
zerowym (wielomian zerowy stopnia
n
to wielomian, w którym wszystkie wspóªczynniki
s¡ zerami, wielomian stopnia zero to funkcja staªa).
Dziedzin¡ tej funkcji jest IR
P.
\ M,
gdzie
M
jest zbiorem miejsc zerowych wielomianu
Sporz¡dzenie wykresu takiej funkcji wymaga zbadania jej przebiegu zmienno±ci.
Szczególnymi funkcjami wymiernymi s¡ ilorazy wielomianów co najwy»ej pierwszego
stopnia przez wielomian pierwszego stopnia, tzn. funkcje okre±lane wzorem
f (x) =
a, b, c ∈
ax + b
,
x+c
funkcjami homogracznymi, a w±ród nich wyró»nia si¦ tzw. proporcjonalno±ci odwrotne czyli funkcje
gdzie
IR i
a, b
nie s¡ jednocze±nie równe zero, zwane
okre±lone wzorem
f (x) =
gdzie
a
,
x
a 6= 0.
Dziedzin¡ funkcji homogracznej jest zbiór IR \ {−c} (dla proporcjonalno±ci odwrotnej IR
\ {0}),
a wykresem hiperbola. Funkcje te s¡ monotoniczne, wi¦c ró»nowarto-
±ciowe, a zatem odwracalne. Funkcja odwrotna do funkcji homogracznej jest funkcj¡
homograczn¡.
Funkcje pot¦gowe
Funkcj¡ pot¦gow¡ nazywana jest funkcja okre±lona wzorem
f (x) = axp ,
gdzie
a, p ∈ IR \ {0}
s¡ ustalonymi liczbami.
Szczególnymi funkcjami pot¦gowymi s¡ omówione wy»ej jednomiany, a tak»e proporcjonalno±¢ odwrotna.
Dziedzina funkcji pot¦gowej dyktowana jest przez wykªadnik
wa ju» tylko o tych
p,
które nie s¡ liczbami naturalnymi.
p.
W tym miejscu mo-
8
Je±li wykªadnik
p
jest liczb¡ caªkowit¡ ujemn¡, to funkcja pot¦gowa daje si¦ zapisa¢
w postaci
f (x) =
gdzie
a ∈ IR \ {0}, n ∈ IN,
a
,
xn
tzn. jest ona wtedy funkcj¡ wymiern¡ dla
n
parzystych pa-
rzyst¡, dla nieparzystych nieparzyst¡ i monotoniczn¡, a jej dziedzin¡ jest zbiór IR \{0}.
Je±li wykªadnik jest liczb¡ niecaªkowit¡, to pot¦gowanie rozumiemy tak, jak okre±la
to denicja pot¦gi, szczególnie denicja pot¦gi o wykªadniku niewymiernym, a dziedzin¡ funkcji pot¦gowej jest wtedy przedziaª
i
[0, +∞)
gdy wykªadnik ten jest dodatni
(0, +∞) gdy wykªadnik jest ujemny. Przykªadami funkcji pot¦gowych z wykªadnikiem
wymiernym s¡ funkcje okre±lone wzorami
f (x) =
√
x,
√
5
h(x) = x x4 .
1
,
g(x) = √
3
x
W wi¦kszo±ci przypadków szkicowanie wykresów takich funkcji wymaga zbadania ich
przebiegu zmienno±ci. Wyj¡tkiem jest np. funkcja zapisana przed chwil¡ jako
f
zwana
pierwiastkiem kwadratowym, która to jest równa funkcji odwrotnej do restrykcji funkcji
k(x) = x2 do przedziaªu [0, +∞) i jako taka wykres ma symetryczny wzgl¦dem wykresu
funkcji identyczno±¢ do poªówki paraboli.
Funkcje wykªadnicze
Funkcj¡ wykªadnicz¡ nazywana jest funkcja okre±lona wzorem
f (x) = ax ,
gdzie
a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞)
jest dan¡ liczb¡.
Denicja pot¦gi o dowolnym wykªadniku rzeczywistym pozwala rozwa»a¢ t¦ funkcj¦
w dziedzinie, która jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych. Nietrywialnym jest
fakt, »e ka»da liczba dodatnia daje si¦ zapisa¢ pot¦g¡ o zadanej podstawie (mo»liwe
jest dobranie odpowiedniego wykªadnika - ten wykªadnik nazywany jest logarytmem z
tej liczby) i stwierdzenie, »e ka»da pot¦ga o ustalonej dodatniej podstawie jest liczb¡
dodatni¡. Zatem dziedzin¡ tej funkcji jest IR, a zbiorem warto±ci przedziaª
Udowadnia si¦ tak»e, »e funkcja wykªadnicza jest rosn¡ca dla
a ∈ (0, 1),
a > 1
(0, +∞).
i malej¡ca dla
a jako monotoniczna jest tak»e odwracalna. Funkcja do niej odwrotna -
w ±wietle tego, co zostaªo ju» powiedziane- okre±lona jest na zbiorze wszystkich liczb
dodatnich i przyporz¡dkowuje dodatniej liczbie
podnie±¢ zadan¡ z góry liczb¦
i nazywany
a
aby otrzyma¢
logarytmem o podstawie
a
x.
x
wykªadnik pot¦gi, do jakiej nale»y
Taki wykªadnik oznaczany jest
z liczby
x.
loga x
9
Katarzyna Doma«ska
Wykresem funkcji wykªadniczej jest krzywa nazywana
kie krzywe wykªadnicze przechodz¡ przez punkt
1
a
!x
= a−x ,
krzywe wykªadnicze
x
y=a
s¡ symetryczne wzgl¦dem osi
krzyw¡ wykªadnicz¡. Wszyst-
(0, 1), a poniewa» dla dowolnego a > 0
1
a
i y=
!x
OY.
Szczególn¡ funkcj¡ wykªadnicz¡ jest ta o podstawie równej liczbie Eulera (logarytm
o takiej podstawie nazywany jest
loge ),
logarytmem naturalnym i zapisywany
ln
zamiast
czyli okre±lona wzorem
f (x) = ex .
Wykorzystywana jest ona m.in. do zdeniowania funkcji hiperbolicznych.
Funkcje logarytmiczne
Funkcj¡ logarytmiczn¡ nazywana jest funkcja odwrotna do funkcji wykªadniczej,
czyli funkcja okre±lona wzorem
f (x) = loga x,
gdzie
a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞)
jest dan¡ liczb¡.
Dziedzin¡ tej funkcji jest zbiór warto±ci funkcji wykªadniczej, czyli przedziaª
(0, +∞),
a zbiorem warto±ci dziedzina funkcji wykªadniczej, czyli zbiór IR. Jest to funkcja monotoniczna, rosn¡ca dla
a>1
i malej¡ca dla pozostaªych.
Wykres funkcji logarytmicznej nazywany jest
krzyw¡ logarytmiczn¡, a otrzymuje
si¦ go przeksztaªcaj¡c w symetrii wzgl¦dem prostej
y = x krzyw¡ wykªadnicz¡. Wszy(1, 0), a poniewa» dla dowolnego
stkie krzywe logarytmiczne przechodz¡ przez punkt
a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞)
i dowolnego
x>0
zachodzi wzór
log 1 x = − loga x,
a
krzywe logarytmiczne
y = loga x i y = log 1 x
a
s¡ symetryczne wzgl¦dem osi
OX.
Funkcje hiperboliczne
Sinusem hiperbolicznym nazywana jest funkcja okre±lona wzorem
f (x) =
ex − e−x
2
10
i oznaczana
sinh.
Dziedzin¡ tej funkcji jest IR. Zbiorem warto±ci tak»e IR. Jest to
funkcja nieparzysta i rosn¡ca. Istnieje do niej funkcja odwrotna zwana
arcus sinus
hiperboliczny (o dziedzinie równej zbiorowi warto±ci funkcji sinus hiperboliczny, czyli
równej IR) oznaczana
arcsinh
i wyra»aj¡ca si¦ wzorem
arcsinhx = ln(x +
√
x2 + 1).
Cosinusem hiperbolicznym nazywana jest funkcja okre±lona wzorem
ex + e−x
2
i oznaczana cosh. Dziedzin¡ tej funkcji jest IR, a zbiorem warto±ci [1, +∞). Jest to
funkcja parzysta i rosn¡ca w przedziale (0, +∞) oraz malej¡ca w (−∞, 0). Do restrykcji
cosinusa hiperbolicznego do przedziaªu [0, +∞) istnieje funkcja odwrotna zwana arcus
cosinus hiperboliczny i oznaczana arccosh. Zbiorem warto±ci restrykcji cosinusa
hiperbolicznego do przedziaªu [0, +∞) jest [1, +∞). Dziedzin¡ funkcji arccosh jest
wi¦c [1, +∞), a zbiorem warto±ci [0, +∞). Funkcja ta okre±lona jest wzorem
√
arccoshx = ln(x + 1 − x2 ).
f (x) =
Tangensem hiperbolicznym nazywana jest funkcja okre±lona jako iloraz
i oznaczana
tgh,
f (x) =
sinh x
cosh x
tghx =
sinh x
.
cosh x
tzn.
Dziedzin¡ tej funkcji jest IR, a zbiorem warto±ci przedziaª
(−1, 1).
Jest to funkcja
arcus tangens hiperboliczny (o dziedzinie równej zbiorowi warto±ci funkcji tangens hiperboliczny, czyli
nieparzysta i rosn¡ca. Istnieje do niej funkcja odwrotna zwana
równej
(−1, 1)
arctgh
1 1+x
arctghx = ln
.
2 1−x
i zbiorze warto±ci IR) oznaczana
Cotangensem hiperbolicznym nazywana jest funkcja okre±lona jako iloraz
i oznaczana
ctgh,
zwana
cosh x
sinh x
ctghx =
cosh x
.
sinh x
tzn.
Dziedzin¡ tej funkcji jest IR
(1, +∞).
f (x) =
\ {0},
a zbiorem warto±ci suma przedziaªów
(−∞, −1) ∪
Jest to funkcja nieparzysta i malej¡ca. Istnieje do niej funkcja odwrotna
arcus cotangens hiperboliczny (o dziedzinie równej zbiorowi warto±ci funkcji
cotangens hiperboliczny, czyli równej
oznaczana
arcctgh
(−∞, −1) ∪ (1, +∞)
arctghx =
1 x+1
ln
.
2 x−1
i zbiorze warto±ci IR
\ {0})
11
Katarzyna Doma«ska
Wykresy funkcji hiperbolicznych i funkcji do nich odwrotnych szkicuje si¦ po przebadaniu przebiegu zmienno±ci tych funkcji.
Funkcje trygonometryczne
K¡tem skierowanym nazywana jest para póªprostych o wspólnym pocz¡tku. Jedna z nich nazywana jest pocz¡tkowym ramieniem k¡ta skierowanego, a druga
ko«cowym ramieniem tego k¡ta. Ustalenie ramion pocz¡tkowego i ko«cowego to
tzw. skierowanie k¡ta. Jest ono okre±lane przy pomocy ruchu wskazówek zegara jako
zgodne lub przeciwne do kierunku tego ruchu. Miar¡ ªukow¡ k¡ta nazywany jest
iloraz dªugo±ci ªuku, na którym oparty jest k¡t przez dªugo±¢ promienia tego ªuku.
Jednostk¡ tej miary jest radian. Jeden radian jest miar¡ takiego k¡ta, który oparty jest
na ªuku o dªugo±ci równej dªugo±ci promienia tego ªuku. Poniewa» k¡t peªny oparty
jest na ªuku o dªugo±ci
peªnego jest równa
2π.
2πr
przy dªugo±ci promienia ªuku równej
◦
Oznacza to, »e π radianów to 180 . Miar¡
nazywana jest miara ªukowa k¡ta opatrzona znakiem
przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, lub znakiem
” + ”,
” − ”,
r,
miara ªukowa k¡ta
k¡ta skierowanego
je±li k¡t jest skierowany
je±li k¡t jest skierowany
zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
Dla zadanego k¡ta skierowanego
α
obiera si¦ prostok¡tny ukªad wspóªrz¦dnych tak,
aby pocz¡tek ukªadu byª wierzchoªkiem tego k¡ta, a rami¦ pocz¡tkowe zawieraªo si¦ w
OX i ustala si¦ punkt P (x, y) ró»ny od wierzchoªka le»¡cy na ramieniu
ko«cowym k¡ta α. Odlegªo±¢ punktu P od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych jest równa
√ 2
x + y 2 . Dowodzi si¦, »e ilorazy √ 2y 2 i √ x2 2 nie zale»¡ od poªo»enia punktu P,
dodatniej póªosi
x +y
x +y
a jedynie od poªo»enia ramienia ko«cowego k¡ta. Przyporz¡dkowanie k¡towi warto±ci
takiego ilorazu jest wi¦c funkcj¡. Na zbiorze k¡tów skierowanych funkcje sinus, cosinus,
tangens, cotangens -oznaczane
sin, cos, tg, ctg, odpowiednio- okre±la si¦ nast¦puj¡cymi
wzorami:
y
;
x2 + y 2
x
cos α = √ 2
;
x + y2
y
tgα = , dla x 6= 0;
x
x
ctgα = , dla y 6= 0.
y
Dowodzi si¦, »e zbiorem warto±ci funkcji sinus, tak jak i cosinus jest przedziaª
[−1, 1], a funkcji tangens i cotangens zbiór IR wszystkich liczb rzeczywistych. Funkcje te nie s¡ ró»nowaro±ciowe, cosinus jest funkcj¡ parzyst¡, pozostaªe s¡ nieparzyste.
sin α = √
Wyprowadza si¦ te» wiele zwi¡zków dla funkcji trygonometrycznych k¡ta m.in. tzw.
jedynk¦ trygonometryczn¡, wzory wyra»aj¡ce warto±ci tych funkcji dla sumy k¡tów,
wzory redukcyjne itp.
12
Na zbiorze liczb funkcje trygonometryczne mo»na okre±li¢ przy pomocy tych podanych dla k¡tów skierowanych. Pozwala na to twierdzenie ka»da liczba rzeczywista
jedyne przedstawienie w postaci
a
α ∈ [0, 2π)
(2π)k+ | α |,
gdzie
k ∈ ZZ,
x
ma
jest pewn¡ liczb¡ caªkowit¡,
pewnym k¡tem skierowanym o mierze ªukowej
|α|.
Denicje te s¡ na-
st¦puj¡ce:
Sinusem nazywana jest funkcja
f : IR −→ [−1, 1]
okre±lona wzorem
f (x) = f ((2π)k+ | α |) = sin α
i oznaczana
sin.
Cosinusem nazywana jest funkcja
f : IR −→ [−1, 1]
okre±lona wzorem
f (x) = f ((2π)k+ | α |) = cos α
i oznaczana
cos.
Tangensem nazywana jest funkcja
f :
IR
\ { π2 + kπ :
k ∈
Z
Z}
−→
IR okre±lona
Z
Z}
−→
IR okre±lona
wzorem
f (x) =
i oznaczana
tg.
Cotangensem nazywana jest funkcja
f :
wzorem
f (x) =
i oznaczana
sin x
cos x
IR
\ {kπ :
k ∈
cos x
sin x
ctg.
Denicje te pozwalaj¡ na wnioski dotycz¡ce okresowo±ci funcji trygonometrycznych.
sinus i cosinus jest liczba 2π, a dla tangens i cotangens
π. Jako okresowe, wszystkie te funkcje s¡ nieró»nowarto±ciowe. Wªasno±ci funkcji
Okresem podstawowym dla
liczba
trygonometrycznych k¡ta skierowanego przejmowane s¡ przez funkcje trygonometryczne m.in. parzysto±¢ i nieparzysto±¢. Wykresy funkcji trygonometrycznych szkicuje si¦
wykorzystuj¡c te informacje i wªasno±ci. Nazywane s¡ one sinusoid¡, cosinusoid¡, tan-
gensoid¡ i cotangensoid¡, odpowiednio.
Funkcje cyklometryczne
Funkcje cyklometryczne nazywane s¡ te» koªowymi. S¡ to funkcje odwrotne do restrykcji funkcji trygonometrycznych do odpowiednich przedziaªów, na których funkcje
te s¡ ró»nowarto±ciowe.
13
Katarzyna Doma«ska
Funkcj¡
arcus sinus nazywana jest funkcja
f : [−1, 1] −→ [− π2 , π2 ] okre±lona wzorem
!−1
f (x) = sin|[− π2 , π2 ]
i oznaczana
arcsin,
(x)
tzn.
π π
arcsinx = y ⇐⇒ y ∈ [− , ] ∧ sin y = x.
2 2
x∈[−1,1]
^
Funkcj¡
arcus cosinus nazywana jest funkcja f
: [−1, 1] −→ [0, π] okre±lona wzorem
!−1
f (x) = cos|[0,π]
i oznaczana
arccos,
(x)
tzn.
^
arccosx = y ⇐⇒ y ∈ [0, π] ∧ cos y = x.
x∈[−1,1]
Funkcj¡
arcus tangens nazywana jest funkcja
f : IR −→ (− π2 , π2 ) okre±lona wzorem
!−1
f (x) = tg|(− π2 , π2 )
i oznaczana
arctg,
tzn.
^
x∈IR
Funkcj¡
(x)
π π
arctgx = y ⇐⇒ y ∈ (− , ) ∧ tgy = x.
2 2
arcus cotangens nazywana jest funkcja
f : IR −→ (0, π) okre±lona wzorem
!−1
f (x) = ctg|(0,π)
i oznaczana
arcctg,
(x)
tzn.
^
arcctgx = y ⇐⇒ y ∈ (0, π) ∧ ctgy = x.
x∈IR
Wykresy funkcji cyklometrycznych szkicuje si¦ odbijaj¡c symetrycznie wzgl¦dem prostej
y=x
odpowiednie fragmenty krzywych trygonometrycznych.
14
Ci¡gi liczbowe.
Ci¡gi liczbowe s¡ szczególnymi funkcjami. Jako okre±lone na zbiorze liczb naturalnych, maj¡ taki zbiór warto±ci (zwany zbiorem wszystkich wyrazów ci¡gu), którego
wszystkie elementy mo»na ponumerowa¢. St¡d te» zamiast zapisywa¢ warto±¢ ci¡gu
n jako f (n) pisze si¦ an
na liczbie
f
i to zarówno wtedy, gdy podaje si¦ wzór (wyraz ogól-
ny) jakim okre±lony jest ci¡g, jak i wtedy gdy wypisuje si¦ jego warto±ci (liczby) zwane
n nazywany jest numerem wyrazu ci¡gu. Zamiast f pisze si¦
(an )n∈IN i zapisu takiego u»ywa si¦ na oznaczanie ci¡gu o wyrazie ogólnym an . Zbiorem
wszystkich wyrazów ci¡gu (an )
jest zbiór {an :
n ∈ IN}. Czasem ci¡g uto»samian∈IN
wyrazami ci¡gu. Argument
ny jest ze zbiorem swoich wszystkich wyrazów nierzadko natychmiast interpretowanym
geometrycznie na osi liczbowej. Sposób, w jaki liczby z tego zbioru poªo»one s¡ na osi
liczbowej ±ci±le zwi¡zany jest z takimi wªasno±ciami ci¡gu jak monotoniczno±¢, ograni-
czono±¢, zbie»no±¢. W szczególny sposób ukªadaj¡ si¦ na osi liczbowej wyrazy ci¡gów
zbie»nych do konkretnej liczby zwanej granic¡ ci¡gu. Mianowicie, dowolnie blisko gra-
nicy, tzn. w ka»dym otwartym przedziale zawieraj¡cym liczb¦ równ¡ granicy, znajduje
si¦ niesko«czenie wiele wyrazów i -co wa»niejsze- s¡ to prawie wszystkie wyrazy ci¡gu,
tzn. wszystkie z wyj¡tkiem sko«czonej ilo±ci.
Denicja granicy ci¡gu jest nast¦puj¡ca:
Liczba
g
nazywana jest
granic¡ ci¡gu o wyrazie ogólnym
an
je±li speªniony jest
warunek
^_ ^
(n n0 =⇒| an − g |< ε),
ε>0 n0 n∈IN
tzn. pocz¡wszy od pewnego numeru
n0
wszystkie (kolejne) wyrazy ci¡gu
niaj¡ nierówno±¢
(an )n∈IN
speª-
g − ε < an < g + ε,
(nale»¡ do ka»dego przedziaªu
(g − ε, g + ε)),
gdzie liczba
ε
jest dowolnie maª¡ liczb¡
dodatni¡. Fakt ten zapisuje si¦
lim an = g.
n→∞
Ci¡g, który ma granic¦ (równ¡ liczbie
g)
nazywany jest
zbie»nym (do liczby
g ).
Je±li
dla danego ci¡gu nie istnieje liczba, która byªaby jego granic¡, to nazywany jest on
wówczas
rozbie»nym.
Dla ci¡gu o wyrazie ogólnym
an =
1
,
n
tzn. ci¡gu
1
n
!
n∈IN
15
Katarzyna Doma«ska
ªatwo jest zaobserwowa¢, »e w ka»dym przedziale
(−ε, ε), bez znaczenia jak maªa b¦dzie
jego dªugo±¢, znajduj¡ si¦ prawie wszystkie wyrazy ci¡gu. Dowodzi si¦, »e jest to ci¡g
zbie»ny do liczby
0,
tzn.
lim
n→∞
1
= 0.
n
Nieco inaczej zachowuje si¦ np. ci¡g
(n)n∈IN ,
którego wyrazy nie znajduj¡ si¦ dowolnie blisko »adnej konkretnej liczby, ale s¡ one z
kolei dowolnie du»ymi liczbami. O takich ci¡gach mówi si¦, »e maj¡ tzw. granic¦ niewªa-
±ciw¡
+∞.
Wyró»nia si¦ tak»e ci¡gi o granicy niewªa±ciwej
−∞.
Granice niewªa±ciwe
deniuje si¦ nast¦puj¡co:
Ci¡g o wyrazie ogólnym
an
nazywany jest
ci¡giem o granicy niewªa±ciwej
+∞,
^ _ ^
(n n0 =⇒ an > M ),
M >0 n0 n∈IN
n0
(an )n∈IN
speª-
an > M,
gdzie
M
jest dowolnie du»¡ liczb¡. Fakt ten zapisuje si¦
lim an = +∞,
n→∞
a o ci¡gu
Ci¡g
(an )n∈IN
(an )n∈IN
mówi si¦, »e jest
nazywany jest
rozbie»ny do
+∞.
ci¡giem o granicy niewªa±ciwej
−∞, je±li speªniony
jest warunek
^ _ ^
(n n0 =⇒ an < −M ),
M >0 n0 n∈IN
n0
tzn. nale»¡ do przedziaªu
an < −M,
(−∞, −M ), gdzie M
lim an = −∞,
n→∞
(an )n∈IN
mówi si¦, »e jest
rozbie»ny do
−∞.
Zupeªnie inaczej zachowuje si¦ np. ci¡g o wyrazie ogólnym
n
−
n+1
speª-
jest dowolnie du»¡ liczb¡. Fakt ten
zapisuje si¦
a o ci¡gu
(an )n∈IN
!n
.
16
Mo»na zauwa»y¢, »e dowolnie blisko liczby
1 znajduje si¦ niesko«czenie wiele jego wyra-
zów (wszystkie o parzystych numerach), ale nie s¡ to prawie wszystkie, bo z wyj¡tkiem
niesko«czonej ilo±ci. Równie» niesko«czenie wiele (wszystkie o nieparzystych numerach)
jego wyrazów znajduje si¦ dowolnie blisko liczby
−1. Z pomoc¡ denicji granicy mo»na
dokªadnie uzasadni¢, »e ci¡g ten nie ma granicy.
Dowodzi si¦, »e
Je±li ci¡g ma granic¦, to tylko jedn¡.
Denicja granicy ci¡gu pozwala udowodni¢ m. in. nast¦puj¡ce równo±ci:
1
= 0;
n→∞ n
lim λ = λ, dla λ ∈ IR;
n→∞
√
n
lim
λ = 1, dla λ > 0;
n→∞
√
lim n n = 1;
lim
n→∞
lim λn = 0,
n→∞
dla λ ∈ (−1, 1);
lim λn = +∞,
n→∞
dla λ > 1;
lim n = +∞;
√
n = +∞;
lim
n→∞
n→∞
Rozstrzyganie kwestii czy dany ci¡g jest zbie»ny oraz wyznaczanie jego granicy ma
jednak tak»e inny cel ni» tylko uzyskanie informacji o poªo»eniu na osi liczbowej jego
wyrazów. M. in. wa»nym zagadnieniem jest zbie»no±¢ takich ci¡gów, które s¡ okre±lane
jako warto±ci danych funkcji na ci¡gach zbie»nych, bo decyduje ona o istnieniu granicy
funkcji w punkcie. Samo za± sprawdzanie czy dany ci¡g jest zbie»ny i jaka jest jego
granica w wi¦kszo±ci przypadków odbywa si¦ metod¡ sprowadzania wyrazu ogólnego
tego ci¡gu do takiej postaci, »eby byªo jasne przy pomocy jakich dziaªa« i z jakich
ci¡gów zbie»nych zostaª utworzony. Np. zapisuj¡c wyraz ogólny
2
n2
jako
2·
1 1
·
n n
otrzymujemy natychmiast informacj¦, »e ci¡g okre±lony tym wyrazem jest iloczynem
ci¡gów
(an )n∈IN , (bn )n∈IN , (cn )n∈IN ,
gdzie
an = 2,
bn = cn =
1
,
n
n ∈ IN,
17
Katarzyna Doma«ska
czyli zbie»nych i o znanych granicach. Granic¦ ci¡gu utworzonego przy pomocy operacji
arytmetycznych z ci¡gów zbie»nych o znanych granicach mo»na wyznaczy¢ stosuj¡c
nast¦puj¡ce twierdzenie:
Je±li ci¡gi
(an )n∈IN
s¡ zbie»ne oraz ich granicami s¡
nast¦puj¡ce ci¡gi:
i (bn )n∈IN
liczby a i b odpowiednio,
to zbie»ne s¡
(an + bn )n∈IN , (an − bn )n∈IN , (an bn )n∈IN
oraz zachodz¡ równo±ci
lim (an + bn ) = a + b;
n→∞
lim (an − bn ) = a − b;
n→∞
lim an bn = ab.
n→∞
Je±li ponadto
ci¡g
b 6= 0
oraz
bn 6= 0
dla wszystkich
an
bn
oraz zachodzi równo±¢
lim
n→∞
n∈
IN,
to zbie»ny jest tak»e
!
n∈IN
a
an
= .
bn
b
Twierdzenie to pozwala stwierdza¢ zbie»no±¢ sumy, ró»nicy, iloczynu i -w pewnych
warunkach- ilorazu ci¡gów zbie»nych oraz podaje sposób wyznaczania granic tych ci¡gów. M. in. gwarantuje, »e granic¡ sumy ci¡gów jest suma granic tych ci¡gów. Nazywane jest ono twierdzeniem o operacjach arytmetycznych na granicach i w poª¡czeniu
1
z jedn¡ tylko informacj¡, o warto±ci granicy ci¡gu ( )
, pozwala wyznacza¢ granice
n n∈IN
dla wielu ci¡gów. Nie stosuje si¦ go natomiast do ci¡gów o granicach niewªa±ciwych,
a licz¡c granic¦ ilorazu nale»y sprawdza¢, czy ci¡g z mianownika ma granic¦ ró»n¡ od
zera. Takie ci¡gi, które s¡ ilorazami ci¡gu o granicy ró»nej od zera przez ci¡g zbie»ny
do zera, je±li maj¡ granic¦, to niewªa±ciw¡. Mówi o tym twierdzenie
Je±li
^
an > 0 i
lim an = 0,
n→∞
n∈IN
to ci¡g
1
an
ma granic¦ niewªa±ciw¡
!
n∈IN
+∞.
Je±li
^
n∈IN
an < 0 i
lim an = 0,
n→∞
18
to
1
= −∞.
n→∞ a
n
lim
adne twierdzenie nie reguluje natomiast kwestii granicy ci¡gu, który jest ilorazem
" #
ci¡gów zbie»nych do zera. W takiej sytuacji mówi si¦ o symbolu nieoznaczonym
"
Podobnie, nieoznaczonymi symbolami s¡
#
∞
∞
"
# "
# "
0
0
.
#
, [0 · ∞], [∞ − ∞], ∞0 , 1∞ , 00 .
Dla ci¡gów o granicach niewªa±ciwych mo»na udowodni¢ wiele faktów analogicznych
do tych z twierdzenia o operacjach arytmetycznych na granicach. M. in. dowodzi si¦, »e
+∞ przez ci¡g którego granic¡ jest dodatnia liczba a otrzymuje
+∞, co krótko zapisa¢ mo»na
mno»¡c ci¡g o granicy
si¦ ci¡g o granicy
^
a · [+∞] = +∞.
a>0
Krótki zapis faktu, »e ci¡g odwrotno±ci ci¡gu o wyrazach niezerowych i granicy niewªa±ciwej jest zbie»ny do zera jest nast¦puj¡cy:
1
1
=
= 0.
[+∞]
[−∞]
Pozostaªe krótkie zapisy faktów zachodz¡cych dla takich ci¡gów, z których cho¢ jeden
ma granic¦ niewªa±ciw¡ s¡ ªatwe do odczytania.
V
V
V
V
a>0
a · [−∞] = −∞;
a<0
a · [+∞] = −∞;
a∈IR
a∈IR
V
a + [+∞] = +∞;
V
a − [+∞] = −∞;
V
[−∞] + [−∞] = −∞;
a<0
a∈IR
a∈IR
a · [−∞] = +∞;
a + [−∞] = −∞;
a − [−∞] = +∞;
[+∞] + [+∞] = +∞.
Obok operacji arytmetycznych wymienionych w twierdzeniu jest jeszcze wiele innych,
które wykonane na ci¡gu zbie»nym prowadz¡ do ci¡gu zbie»nego i podaj¡ jednocze±nie
warto±¢ jego granicy wyra»on¡ przy pomocy granicy ci¡gu wyj±ciowego. Podobne wnioski mo»na wyci¡ga¢ o granicach niewªa±ciwych. Nie wszystkie z podanych ni»ej stwierdze« daj¡ si¦ ªatwo udowodni¢, ale w rachunkach cz¦sto s¡ one wykorzystywane.
Je±li ci¡g
(an )n∈IN
ma granic¦ równ¡ liczbie
a, to
zachodz¡ równo±ci (odpo-
wiednie granice istniej¡ i s¡ równe wskazanej liczbie)
lim
n→∞
√
3
an =
√
3
a
19
Katarzyna Doma«ska
lim sin an = sin a;
n→∞
lim cos an = cos a;
n→∞
lim ean = ea .
n→∞
Je±li ci¡g
niej
a,
(an )n∈IN
o wyrazach dodatnich ma granic¦ równ¡ liczbie dodat-
to zachodzi równo±¢ (granica istnieje i jest równa wskazanej liczbie)
lim ln an = ln a.
n→∞
Je±li ci¡g
(an )n∈IN
o wyrazach nieujemnych ma granic¦ równ¡ liczbie nie-
ujemnej a, to zachodzi równo±¢ (odpowiednia granica istnieje i jest równa
wskazanej liczbie)
√
lim
n→∞
Je±li ci¡g
(an )n∈IN
an =
√
a.
lim
√
3
n→∞
+∞,
to zachodz¡ równo±ci
an = +∞;
lim ean = +∞.
n→∞
Je±li ci¡g (an )n∈IN o wyrazach nieujemnych ma granic¦ niewªa±ciw¡
to zachodzi równo±¢
lim
√
n→∞
+∞,
an = +∞.
Je±li ci¡g (an )n∈IN o wyrazach dodatnich ma granic¦ niewªa±ciw¡
zachodzi równo±¢
+∞,
to
lim ln an = +∞.
n→∞
Je±li ci¡g
(an )n∈IN
lim
√
3
n→∞
−∞,
to zachodz¡ równo±ci
an = −∞;
lim ean = 0.
n→∞
atwo natomiast b¦dzie zauwa»y¢, »e je±li
o wyrazie ogólnym
(an )n∈IN
a2n
1
+1
a2
1
.
+1
ma granic¦ równ¡
a,
to np. ci¡g
ma granic¦ równ¡
Rachunek ten opiera si¦ jedynie na twierdzeniu o granicy iloczynu, sumy i ilorazu.
Dowodzi si¦, »e m. in. nast¦puj¡ce ci¡gi nie maj¡ granicy:
(λn )n∈IN ,
dla λ ¬ −1;
(sin n)n∈IN ;
(cos n)n∈IN .
20
Dla niektórych ci¡gów do wyznaczania granicy przydatne jest tzw. twierdzenie o
trzech ci¡gach. Mówi ono, »e
Je±li dla ci¡gów
(an )n∈IN , (bn )n∈IN , (cn )n∈IN
zachodz¡ nast¦puj¡ce fakty:
^
an ¬ b n ¬ c n
i
n∈IN
lim an = n→∞
lim cn = g,
n→∞
to
lim bn = g.
n→∞
Do stwierdzenia, »e dany ci¡g jest zbie»ny mo»e posªu»y¢ tak»e takie twierdzenie,
które nie poda sposobu znalezienia granicy, ale jednoznacznie okre±li warunki wystarczaj¡ce do tego, »eby ci¡g t¦ granic¦ miaª. Jest to nast¦puj¡ce twierdzenie:
Ka»dy ci¡g monotoniczny i ograniczony jest zbie»ny.
Gwarantuje ono zbie»no±¢ m. in. ci¡gu o wyrazie ogólnym
1
1+
n
Warto±¢ jego granicy deniuje tzw.
!n
.
liczb¦ Eulera oznaczan¡
e = n→∞
lim 1 +
1
n
e,
tzn.
!n
.
O liczbie tej mo»na wywnioskowa¢, »e mie±ci si¦ w przedziale
(2, 3)
a inne fakty pro-
wadz¡ do wniosku, »e jest ona niewymierna. Mo»na udowodni¢ tak»e, »e
Je±li ci¡g (an )n∈IN , o niezerowych wyrazach, ma granic¦ niewªa±ciw¡
lub −∞, to zachodzi równo±¢
1
lim 1 +
n→∞
an
+∞
!an
= e.
Granica i ci¡gªo±¢ funkcji
Granica funkcji w danym punkcie
x0
przynosi informacj¦ o warto±ciach funkcji od-
powiadaj¡cych tym argumentom, które s¡ dowolnie bliskie punktowi
x0 .
Punkt
x0 ,
dla którego takie informacje uzyskuje si¦, mo»e nie nale»e¢ do dziedziny funkcji, ale nie
jest oboj¦tne jak daleko od innych punktów dziedziny jest poªo»ony. Je±li funkcja jest
okre±lona w punkcie
x0
x0 ,
to dodatkowo mo»na informacje o warto±ci funkcji w punkcie
i warto±ciach odpowiadaj¡cych argumentom le»¡cym dowolnie blisko tego punktu
21
Katarzyna Doma«ska
porówna¢. Granic¦ funkcji znajduje si¦ w takim punkcie
(tzn. zbiór
(x0 − r, x0 ) ∪ (x0 , x0 + r),
gdzie
r
x0 ,
którego ka»de s¡siedztwo
jest pewn¡ liczb¡ dodatni¡) w mnogo-
±ciowym iloczynie z dziedzin¡ funkcji daje zbiór niepusty. Punkt o takiej wªasno±ci
nazywany jest punktem skupienia dziedziny funkcji. Dowodzi si¦, »e je±li
x0
jest punk-
A, to istnieje ci¡g elementów tego zbioru zbie»ny do
x0 . Dla funkcji okre±lonej np. na przedziale (0, +∞) puktem skupienia jej dziedziny jest
tem skupienia niepustego zbioru
ka»da liczba nieujemna, ale liczba ujemna nim nie jest. Je±li dziedzin¡ funkcji jest np.
(−∞, −1) ∪ (1, +∞), to granicy nie wyznacza si¦ np. w zerze. Natomiast, punkskupienia zbioru IR \ {c}, gdzie c jest dan¡ liczb¡, jest ka»da liczba rzeczywista.
zbiór
tem
Przyjmuje si¦ nast¦puj¡ce denicje:
Liczba rzeczywista
x0
nazywana jest
punktem skupienia zbioru
D ⊂
IR je±li
speªniony jest warunek
^
[(x0 − r, x0 ) ∪ (x0 , x0 + r)] ∩ D 6= ∅.
r>0
Punkt, który nie jest punktem skupienia danego zbioru nazywany jest
punktem izo-
lowanym tego zbioru.
Niech
f : D −→
IR, gdzie
punktem skupienia zbioru
w punkcie
x0 ,
D.
D ⊂
IR, b¦dzie dan¡ funkcj¡, a
Liczba rzeczywista
g
x0 ∈
nazywana jest
IR niech b¦dzie
granic¡ funkcji
f
^ _ ^
(C)
(| x − x0 |< δ =⇒| f (x) − g |< ε),
ε>0 δ>0 x∈D
g znajduj¡ si¦ wszystkie warto±ci funkcji odpowiadaj¡ce tym
δ ) bliskie liczbie (która nie
dziedziny) x0 . Fakt, »e granic¡ funkcji f w punkcie x0 jest liczba
tzn. dowolnie blisko liczby
argumentom, które s¡ stosownie (na mniej ni» pewna liczba
musi by¢ elementem
g
zapisuje si¦ nast¦puj¡co:
lim f (x) = g.
x→x0
Dowodzi si¦ »e,
Je±li funkcja ma w danym punkcie granic¦, to tylko jedn¡.
Warunek (C) równowa»ny jest nast¦puj¡cemu:
(H)
lim xn = x0 =⇒ lim f (xn ) = g,
n→∞
n→∞
gdzie (xn )n∈IN jest dowolnym ci¡giem o wyrazach nale»¡cych do zbioru
nych od liczby x0 , zwanym ci¡giem argumentów, zbie»nym do x0 .
Warunek ten stanowi, »e granic¡ funkcji w punkcie
x0
D
i ró»-
jest liczba maj¡ca nast¦puj¡c¡
wªasno±¢: ka»dy ci¡g warto±ci tej funkcji odpowiadaj¡cy dowolnemu, ale speªniaj¡cemu
trzy »¡dania (przynale»no±¢ wyrazów do dziedziny funkcji, nie wyst¦powanie liczby
w±ród wyrazów, zbie»no±¢ do liczby
jest do tej liczby zbie»ny.
x0 )
ci¡gowi
(xn )n∈IN ,
tzn. ka»dy ci¡g
x0
(f (xn ))n∈IN
22
Wynika st¡d w szczególno±ci, »e wspomniane wy»ej równo±ci dla ci¡gów, m. in. nast¦puj¡ce:
lim sin an = sin a;
n→∞
lim cos an = cos a;
n→∞
lim ean = ea ,
n→∞
gdzie
(an )n∈IN jest dowolnym ci¡giem zbie»nym do liczby a, oznaczaj¡, »e funkcje sinus,
cosinus, wykªadnicza maj¡ granic¦ w dowolnym punkcie swojej dziedziny i granica ta
wynosi tyle ile warto±¢ funkcji w danym punkcie. Jak si¦ oka»e takie zachowanie jest
typowym dla ka»dej funkcji elementarnej, ale nietrudno poda¢ przykªad funkcji dla
której granica w danym punkcie albo nie istnieje albo jest inn¡ liczb¡ ni» warto±¢
funkcji w tym punkcie. Taki efekt mo»na zaobserwowa¢ np. w punkcie zero dla funkcji
signum,
czy te» w punkcie
x0 = 1
dla funkcji okre±lonej wzorem
(
x2
2
f (x) =
dla
dla
x 6= 1
x = 1.
Równowa»no±¢ warunków (C) i (H) pozwala zarówno denicj¦ granicy formuªowa¢
równowa»nie przy u»yciu któregokolwiek z nich, jak i wyznaczanie granic dla konkretnych funkcji prowadzi¢ równowa»nie wykorzystuj¡c oboj¦tne który z nich. Nazywaj¡
si¦ one
warunkiem Cauchy'ego i Heinego, odpowiednio.
Dowodzi si¦ m. in. nast¦puj¡cych równo±ci (nale»y je odczytywa¢ jako stwierdzanie
istnienia granicy i podanie jej warto±ci):
sin x
= 1;
x→0 x
tgx
= 1;
lim
x→0 x
lim
1
lim (1 + x) x = e.
x→0
Ka»da z tych równo±ci, zgodnie z tym, co mówi warunek Heinego, niesie informacj¦
o granicy wielu ci¡gów odpowiednio okre±lonych. Np. pierwsza z nich stanowi, »e je±li
(xn )n∈IN
jest ci¡giem zbie»nym do zera o wyrazach niezerowych, to na pewno ka»dy
ci¡g okre±lony wyrazem ogólnym
sin xn
xn
ma granic¦ równ¡
1.
Zatem m. in. nast¦puj¡ce ci¡gi na pewno zbie»ne s¡ do liczby
n sin
1
n
!
n∈IN
1:
Katarzyna Doma«ska
1
n sin 3
n
23
!
3
√
4
n∈IN
1
n5 sin √
4
n5
!
n∈IN
Warunek Heinego do wyznaczania granic funkcji, tak jak to byªo ju» wspomniane
wy»ej, pozwala wykorzystywa¢ informacje z teorii granic ci¡gów. W szczególno±ci w
poª¡czeniu z twierdzeniem o operacjach arytmetycznych na granicach ci¡gów pozwala
udowoni¢ odpowiednik tego twierdzenia dla funkcji mówi¡cy m. in. »e je±li znane s¡
granice funkcji
f
i
g
x0 i wynosz¡ g1 i g2 odpowiednio,
f + g, f g i wynosz¡ one g1 + g2 i g1 g2 ,
w danym punkcie
w tym punkcie maj¡ m. in. funkcje
to granic¦
odpowied-
nio. Jasne jest wi¦c jakich metod poza denicj¡ mo»na u»ywa¢ do wyznaczania granic
funkcji i tak, jak dla ci¡gów ostro»nie nale»y stosowa¢ twierdzenie o granicy ilorazu
funkcji.
Warunek Heinego ma jednak pewn¡ przewag¦ nad swoim odpowiednikiem Cauchy'ego. Pozwala on nie tylko sprawdza¢, czy dana liczba jest granic¡ funkcji we wskazanym
punkcie, ale te» podaje sposób poszukiwania granicy i jak si¦ oka»e, mo»na go u»y¢
tak»e wtedy, gdy jako granic¦ ci¡gu warto±ci funkcji otrzymuje si¦ nie liczb¦, ale któ-
+∞ lub −∞. Tak jak w przypadku ci¡gu mówi si¦ wtedy o granicy
+∞ lub −∞. Dla okre±lenia tych granic równie» u»ywa¢ mo»na odpowied-
ry± z elementów
niewªa±ciwej
nio zapisanego, równowa»nego warunku Cauchy'ego. Pozostaªe fakty dotycz¡ce granic
funkcji zostan¡ tu zapisane przy u»yciu ju» tylko notacji Heinego, ale ka»dy z nich
ma swój odpowiednik Cauchy'ego. Granice niewªa±ciwe funkcji (w punkcie wªa±ciwym)
deniuje si¦ nast¦puj¡co:
f : D −→ IR, gdzie D ⊂ IR, b¦dzie dan¡ funkcj¡, a x0 ∈ IR niech b¦dzie punkskupienia zbioru D. Element +∞ nazywany jest granic¡ funkcji f w punkcie
Niech
tem
x0 ,
(HN+)
lim xn = x0 =⇒ n→∞
lim f (xn ) = +∞,
n→∞
(xn )n∈IN jest dowolnym ci¡giem o wyrazach nale»¡cych do zbioru D i ró»nych od
liczby x0 zbie»nym do x0 . Fakt, »e funkcja f ma w punkcie x0 granic¦ niewªa±ciw¡ +∞
gdzie
lim f (x) = +∞.
x→x0
Niech
f : D −→ IR, gdzie D ⊂ IR, b¦dzie dan¡ funkcj¡, a x0 ∈ IR niech b¦dzie punkD. Element −∞ nazywany jest granic¡ funkcji f w punkcie
tem skupienia zbioru
x0 ,
(HN−)
lim xn = x0 =⇒ lim f (xn ) = −∞,
n→∞
n→∞
24
gdzie
liczby
(xn )n∈IN jest dowolnym ci¡giem o wyrazach nale»¡cych do zbioru D i ró»nych od
x0 zbie»nym do x0 . Fakt, »e funkcja f ma w punkcie x0 granic¦ niewªa±ciw¡ −∞
lim f (x) = −∞.
x→x0
Cz¦sto wygodnie jest bada¢ warto±ci funkcji odpowiadaj¡ce argumentom le»¡cym po
okre±lonej stronie punktu
wych lub nie). Od punktu
x0 . Mówi si¦ wtedy o tzw. granicach jednostronnych (wªa±cix0 wymaga si¦ wtedy »eby byª tzw. jednostronnym lewo- lub
prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji. Przyjmuje si¦ nast¦puj¡ce denicje:
Liczba rzeczywista
ru
D ⊂
x0
nazywana jest
prawostronnym punktem skupienia zbio-
IR je±li jest punktem skupienia zbioru
D ∩ [x0 , +∞),
czyli speªniony jest
warunek
^
(x0 , x0 + r) ∩ D 6= ∅.
r>0
(Je±li dla pewnego punktu
x0
zachodzi
wostronnym punktem skupienia zbioru
D
D ∩ [x0 , +∞) = D,
to punkt b¦d¡cy pra-
jest jednocze±nie punktem skupienia tego
zbioru.)
Niech
f : D −→ IR,
gdzie
D ⊂ IR,
x0 ∈ IR niech b¦dzie praD. Liczba rzeczywista g nazywana jest granic¡
punkcie x0 , je±li speªniony jest warunek
b¦dzie dan¡ funkcj¡, a
wostronnym punktem skupienia zbioru
prawostronn¡ funkcji
f
w
(HP)
lim xn = x0 =⇒ lim f (xn ) = g,
n→∞
n→∞
(xn )n∈IN jest dowolnym ci¡giem o wyrazach nale»¡cych do zbioru D i wi¦kszych
od liczby x0 zbie»nym do x0 . Fakt, »e funkcja f ma w punkcie x0 granic¦ prawostonn¡
równ¡ g zapisuje si¦ nast¦puj¡co:
gdzie
lim f (x) = g.
x→x+
0
Element
+∞
nazywany jest
granic¡ prawostronn¡ funkcji
f
w punkcie
x0 ,
je±li
(HPN+)
lim xn = x0 =⇒ n→∞
lim f (xn ) = +∞,
n→∞
od liczby x0 zbie»nym do x0 . Fakt, »e funkcja f ma w punkcie x0 granic¦ prawostronn¡
niewªa±ciw¡ +∞ zapisuje si¦ nast¦puj¡co:
gdzie
lim f (x) = +∞.
x→x+
0
Element
−∞
nazywany jest
granic¡ prawostronn¡ funkcji
f
w punkcie
(HPN−)
lim xn = x0 =⇒ lim f (xn ) = −∞,
n→∞
n→∞
x0 ,
je±li
25
Katarzyna Doma«ska
x0 zbie»nym do x0 . Fakt, »e funkcja f ma w punkcie x0 granic¦ prawostronn¡
niewªa±ciw¡ −∞ zapisuje si¦ nast¦puj¡co:
gdzie
od liczby
lim f (x) = −∞.
x→x+
0
Liczba rzeczywista
D ⊂ IR
x0
nazywana jest
lewostronnym punktem skupienia zbioru
^
(x0 − r, x0 ) ∩ D 6= ∅.
r>0
Niech
f : D −→ IR,
gdzie
D ⊂ IR,
x0 ∈ IR niech b¦dzie lewoD. Liczba rzeczywista g nazywana jest granic¡
punkcie x0 , je±li speªniony jest warunek
b¦dzie dan¡ funkcj¡, a
stronnym punktem skupienia zbioru
lewostronn¡ funkcji
f
w
(HL)
lim xn = x0 =⇒ n→∞
lim f (xn ) = g,
n→∞
(xn )n∈IN jest dowolnym ci¡giem o wyrazach nale»¡cych do zbioru D i mniejszych
od liczby x0 zbie»nym do x0 . Fakt, »e funkcja f ma w punkcie x0 granic¦ lewostonn¡
równ¡ g zapisuje si¦ nast¦puj¡co:
gdzie
lim f (x) = g.
x→x−
0
Element
+∞
nazywany jest
granic¡ lewostronn¡ funkcji
f
w punkcie
x0 ,
je±li
(HLN+)
lim xn = x0 =⇒ n→∞
lim f (xn ) = +∞,
n→∞
od liczby x0 zbie»nym do x0 . Fakt, »e funkcja f ma w punkcie x0 granic¦ lewostronn¡
niewªa±ciw¡ +∞ zapisuje si¦ nast¦puj¡co:
gdzie
lim f (x) = +∞.
x→x−
0
Element
−∞
nazywany jest
granic¡ lewostronn¡ funkcji
f
w punkcie
x0 ,
je±li
(HLN−)
lim xn = x0 =⇒ n→∞
lim f (xn ) = −∞,
n→∞
od liczby x0 zbie»nym do x0 . Fakt, »e funkcja f ma w punkcie x0 granic¦ lewostronn¡
niewªa±ciw¡ −∞ zapisuje si¦ nast¦puj¡co:
gdzie
lim f (x) = −∞.
x→x−
0
Granice lewo- i prawostronna nazywane s¡
granicami jednostronnymi.
26
Dowodzi si¦ (zapowiedzi¡ poni»szych równo±ci byªy odpowiednie fakty zapisane wy»ej dla ci¡gów), »e
1
= −∞;
x→0 x
1
lim+ = +∞;
x→0 x
lim+ ln x = −∞.
lim−
x→0
Okazuje si¦, »e granice jednostronnej dostarczaj¡ informacji o istnieniu granicy i
odwrotnie granica funkcji w danym punkcie informuje o granicach jednostronnych w
tym punkcie. Zachodzi nast¦puj¡cy fakt:
Funkcja f ma granic¦ w danym punkcie skupienia (jednocze±nie lewostronnym i prawostronnym) swojej dziedziny wtedy i tylko wtedy, gdy ma
w tym punkcie obie granice jednostronne i s¡ one sobie równe. Warto±¢
granicy równa jest wtedy granicy jednostronnej.
Dla funkcji okre±lonych na zbiorze zawieraj¡cym przedziaª postaci
staci
(a, +∞)
lub po-
(−∞, b), gdzie −∞ ¬ a, b ¬ +∞, mo»na bada¢ zachowanie warto±ci funkcji odpo-
wiadaj¡cych dowolnie du»ym argumentom lub dowolnie maªym, odpowiednio. Sªu»¡ do
tego celu granice w tzw. punktach niewªa±ciwych
Dla funkcji, której dziedzina
cie niewªa±ciwym
+∞
+∞ i −∞. Okre±la si¦ je nast¦puj¡co:
D zawiera przedziaª postaci (a, +∞) granic¡
w punk-
nazywana jest (o ile istnieje) granica ci¡gu
lim f (xn ),
n→∞
(xn )n∈IN jest dowolnym ci¡giem o wyrazach nale»¡cych do zbioru
niewªa±ciwej +∞. Granic¦ t¦ oznacza si¦ symbolem
gdzie
D
i o granicy
lim f (x).
x→+∞
Dla funkcji, której dziedzina
cie niewªa±ciwym
−∞
D
zawiera przedziaª postaci
(−∞, b) granic¡
w punk-
nazywana jest (o ile istnieje) granica ci¡gu
lim f (xn ),
n→∞
(xn )n∈IN jest dowolnym ci¡giem o wyrazach nale»¡cych
niewªa±ciwej −∞. Granic¦ t¦ oznacza si¦ symbolem
gdzie
lim f (x).
x→−∞
do zbioru
D
i o granicy
27
Katarzyna Doma«ska
Dowodzi si¦ nast¦puj¡cych równo±ci (wzmiank¡ o niektórych z nich s¡ zapisane wy»ej,
odpowiednie równo±ci dla ci¡gów):
lim
x→+∞
1
1
= lim
= 0;
x→−∞
x
x
lim ex = 0;
x→−∞
lim ex
x→+∞
= +∞;
lim ln x = +∞;
x→+∞
!x
lim
x→+∞
1
1+
x
= lim
x→−∞
1
1+
x
!x
= e.
Natomiast wzór podaj¡cy granic¦ w zerze dla funkcji okre±lonej wzorem
f (x) =
sin x
x
w poª¡czeniu z warunkiem Heinego pozwala zapisa¢, »e prawdziwe s¡ równo±ci
lim x sin
x→+∞
1
1
= lim x sin = 1.
x→−∞
x
x
Z pomoc¡ warunku Heinego udowadnia si¦ tak»e nast¦puj¡ce twierdzenie o trzech
funkcjach:
Niech
f, g, h : D −→ IR,
gdzie
^
D ⊂ IR,
b¦d¡ takimi funkcjami, »e
f (x) ¬ g(x) ¬ h(x)
x∈D
oraz
lim f (x) = lim h(x) = g
x→x0
gdzie
x0 ∈ IR ∪ {−∞, +∞}.
x→x0
Wówczas
lim g(x) = g.
x→x0
Korzystaj¡c z tego twierdzenia mo»na np. uzasadni¢, »e
sin x
sin x
= lim
= 0.
x→−∞ x
x→+∞ x
lim
Wystarczy w tym celu zauwa»y¢, »e
^
x∈IR\{0}
−
1
sin x
1
¬
¬ .
x
x
x
Funkcja ci¡gªa to taka, w której niewielka zmiana argumentu prowadzi do niewielkiej
zmiany warto±ci funkcji. W zastosowaniach praktycznych zjawiskiem opisanym funkcj¡,
która jest ci¡gªa mo»na pªynnie sterowa¢, np. aby niewiele zwi¦kszy¢ pr¦dko±¢ pojazdu
28
(w niegwaªtowny sposób), wystarczy niewielka zmiana mocy silnika (delikatny nacisk
pedaªu gazu). Funkcje ci¡gªe odgrywaj¡ bardzo wa»n¡ rol¦ i w zagadnieniach praktycznych i teoretycznych.
Ci¡gªo±¢ funkcji bada si¦ w punktach nale»¡cych do jej dziedziny. Denicja ci¡gªo±ci
funkcji w punkcie jest nast¦puj¡ca:
Niech
f : D −→
IR, gdzie
D ⊂
IR, b¦dzie dan¡ funkcj¡, a
ustalonym punktem dziedziny tej funkcji. Funkcja
x0 ,
f
x0 ∈ D
nazywana jest
niech b¦dzie
ci¡gª¡ w punkcie
D lub x0 jest punktem skupienia
f oraz istnieje w tym punkcie granica funkcji f i jest równa warto±ci
punkcie x0 , czyli liczbie f (x0 ), tzn. zachodzi równo±¢
je±li punkt ten jest punktem izolowanym zbioru
dziedziny funkcji
funkcji w
lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
Dowodzi si¦, »e (jak zostaªo ju» wspomniane)
Ka»da funkcja elementarna jest ci¡gªa w ka»dym punkcie swojej dziedziny.
Funkcj¡ ci¡gª¡ nazywana jest funkcja ci¡gªa w ka»dym punkcie dziedziny.
Rodzina funkcji ci¡gªych jest bardzo bogata we wªasno±ci m. in. jest zamkni¦ta na
sumowanie, mno»enie przez staª¡, równie» operacja skªadania funkcji zwykle nie wyprowadza poza t¦ klas¦, ale to tylko najbardziej elementarne wªasno±ci funkcji ci¡gªych.
Wykªad kursowy z elementów matematyki wy»szej dostarczy wielu innych.
Rachunek ró»niczkowy i caªkowy funkcji rzeczywistej
zmiennej rzeczywistej.
Rachunek ró»niczkowy.
Rachunek ró»niczkowy to jedno z podstawowych narz¦dzi nauk przyrodniczych, techniki i ekonomii sªu»¡ce do badania przebiegu zmienno±ci funkcji. Stworzony zostaª (wraz
z rachunkiem caªkowym) w drugiej poªowie VII wieku przez I. Newtona i niezale»nie
przez G. W. Leibniza, a kluczowym dla jego powstania byªo poj¦cie granicy funkcji.
Podstawowym poj¦ciem rachunku ró»niczkowego jest pochodna funkcji. Pojawiªa si¦
ona jako wielko±¢ informuj¡ca o tym jak szybko zmieniaj¡ si¦ warto±ci danej funkcji
wzgl¦dem zmian jej argumentów.
29
Katarzyna Doma«ska
O szybko±ci zmian poªo»enia na drodze pojazdu lub innego poruszaj¡cego si¦ po tej
drodze ciaªa (poªo»enie jest warto±ci¡ funkcji drogi dla zadanego czasu), czyli szybko±ci zmian w czasie przebytej przez pojazd drogi informuje pr¦dko±¢ tego pojazdu.
(Dokªadnie warto±¢ wektora pr¦dko±ci). Je±li, od ustalonego punktu, w czasie
byta zostaªa droga równa
t2 − t1
s(t1 ),
a w czasie
t2 ,
droga
s(t2 ),
t1
prze-
to ±rednia pr¦dko±¢ w czasie
jest równa
s(t2 ) − s(t1 )
.
t2 − t1
Wyznaczenie pr¦dko±ci chwilowej (tej, która osi¡gana jest dla zadanego czasu
kazywana w chwili
t
t
i po-
przez pr¦dko±ciomierz pojazdu) sprowadza si¦ do wyznaczenia
pr¦dko±ci ±redniej w takim przedziale czasu
(t1 , t2 ),
którego dªugo±¢ jest dowolnie bli-
ska zeru. Narz¦dziem matematycznym, które umo»liwia takie obliczenia jest granica
funkcji w punkcie. Pr¦dko±¢
v(t0 )
osi¡gana w chwili
lim
t→t0
t0
jest równa
s(t) − s(t0 )
.
t − t0
Jako informuj¡ca o szybko±ci zmian poªo»enia w chwili t0 jest ona pochodn¡ w argumencie
t0
drogi jako funkcji czasu. W podobny sposób, wprowadzaj¡c poj¦cie pochodnej,
rozumowaª Newton.
Leibniz poj¦cia pochodnej potrzebowaª w geometrii do badania stycznych do krzywych. Okre±laj¡c styczn¡ jako graniczne poªo»enie siecznej, zapisaª pochodn¡ funkcji
w punkcie
x0
jako granic¦ w punkcie
x0
ilorazu
f (x) − f (x0 )
,
x − x0
w którym
(x, f (x)), (x0 , f (x0 ))
s¡ tymi punktami wykresu funkcji
f,
przez które prze-
chodzi sieczna i który równy jest tangensowi k¡ta nachylenia tej siecznej do osi
nazywanego ilorazem ró»nicowym funkcji
f
w punkcie
x0 .
Ox,
Warto±¢ pochodnej funkcji
w punkcie jest wi¦c równa wspóªczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu danej
funkcji w tym punkcie.
Warto zauwa»y¢, »e pochodna funkcji w punkcie jest dla wykresu tej funkcji szkªem
powi¦kszaj¡cym. Je±li bowiem z wykresu funkcji
si¦ nad przedziaªem
(x0 , x0 + h)
f
wyci¡¢ ten fragment, który znajduje
i ogl¡da¢ go w coraz wi¦kszym powi¦kszeniu (prosta
komputerowa obróbka), to w dostatecznie du»ym powi¦kszeniu staje si¦ on odcinkiem,
a o tym w jakiej prostej zawartym informuje pochodna funkcji
f
w punkcie
x0 . Oznacza
to, »e maj¡c wykres funkcji, aby znale¹¢ przybli»on¡ warto±¢ jej pochodnej w zadanym
punkcie wystarczy powi¦ksza¢ wykres a» do momentu gdy stanie si¦ odcinkiem. Wspóªczynnik kierunkowy prostej zawieraj¡cej ten odcinek to przybli»ona warto±¢ szukanej
pochodnej. Poniewa» powi¦kszanie wykresu prostej b¦d¡cej wykresem funkcji okre±lonej wzorem
f (x) = ax + b
nie spowoduje pojawienia si¦ odcinka zawartego w innej
30
prostej ni» ta wyj±ciowa, dla tej szczególnej funkcji mo»na mie¢ pewno±¢, »e jej pochodna w oboj¦tne jakim punkcie jest równa dokªadnie liczbie
a.
We wspóªczesnej analizie matematycznej i sama denicja i oznaczenia niewiele ró»ni¡
si¦ od tych wprowadzonych przez Newtona i Lebniza. Dla funkcji
−∞ ¬ a < b ¬ +∞
pochodn¡ w punkcie
lim
x→x0
x0 ∈ (a, b)
f : (a, b) −→ IR, gdzie
nazywana jest warto±¢ granicy
f (x) − f (x0 )
,
x − x0
o ile ta granica istnieje i jest sko«czona. Pochodna funkcji w punkcie x0 (LICZBA)
0
oznaczana jest f (x0 ). Granica podaj¡ca warto±¢ pochodnej funkcji f w punkcie x0
znajdowana jest w powy»szej denicji dla funkcji rzeczywistej okre±lonej w zbiorze
(a, b) \ {x0 }
wzorem takim jak wyra»enie wpisane pod symbol granicy, zwanej
zem ró»nicowym funkcji
ilora-
w punkcie x0 w tym»e punkcie x0 . Funkcj¦ maj¡c¡
ró»niczkowaln¡ w punkcie x0 , a punkt x0
punktem ró»niczkowalno±ci funkcji. FUNKCJA okre±lona na zbiorze wszystkich
pochodn¡ w punkcie
x0
f
nazywa si¦ te»
f w taki sposób, »e jej warto±¢ w danym argumencie
x to pochodna funkcji f w punkcie x nazywana jest pochodn¡ funkcji f i oznaczana
f 0 . Je±li b¦dzie ona podana wzorem, to po lewej stronie tego wzoru pojawi si¦ f 0 (x)
oznaczaj¡ce warto±¢ funkcji pochodnej w argumencie x, która wyliczona dla zadanego
argumentu np. równego x0 wynosi tyle, ile pochodna funkcji f w punkcie x0 . We wzorach okre±laj¡cych funkcj¦ cz¦sto zamiast f (x) u»ywa si¦ y i wtedy funkcj¦ pochodn¡
0
zapisuje si¦ wzorem, w którym po lewej stronie umieszcza si¦ y . Np. gdy f (x) = ax + b
0
0
dla x ∈ IR mamy f (x) = a dla x ∈ IR, co przy notacji y = ax + b zapisze si¦ y = a.
0
Krócej zapisuje si¦ (ax + b) = a, x ∈ IR.
punktów ró»niczkowalno±ci funkcji
Ka»de miejsce zerowe funkcji
wany jest
f 0,
tzn. punkt speªniaj¡cy równanie
punktem stacjonarnym funkcji
f 0 (x) = 0,
nazy-
f.
Denicje pochodnej funkcji w punkcie oraz funkcji pochodnej pozwalaj¡ wyprowadzi¢
wzory okre±laj¡ce pochodne takich funkcji elementarnych jak wielomianowa, pot¦gowa,
wykªadnicza, sinus i cosinus dla wszystkich argumentów, dla których te pochodne istniej¡. Te same denicje s¡ punktem wyj±cia do sformuªowania i udowodnienia twierdze«
okre±lanych jedn¡ nazw¡ jako prawa ró»niczkowania, które to podaj¡ sposób wyznaczania pochodnej m. in. sumy, iloczynu, ilorazu, zªo»enia funkcji, których pochodne ju»
s¡ znane. Je±li te twierdzenia wykorzysta¢ tylko do podstawowych funkcji elementarnych, to wzory wspomniane wcze±niej uzupeªniaj¡ si¦ o pochodne pozostaªych funkcji
elementarnych tworz¡c list¦ tzw. podstawowych wzorów rachunku ró»niczkowego.
Podstawowe wzory rachunku ró»niczkowego
31
Katarzyna Doma«ska
(xn )0 = nxn−1 ,
^
x ∈ IR;
n∈IN\{1}
^
(xp )0 = pxp−1 ,
x > 0;
(ax )0 = ax ln a,
x ∈ IR;
p∈IR
^
a>0
^
a>0,a6=1
(loga x)0 =
1
,
x ln a
x > 0;
(sin x)0 = cos x, x ∈ IR;
(cos x)0 = − sin x, x ∈ IR;
1
π
(tgx)0 =
, x 6= + kπ, k ∈ ZZ;
2
cos x
2
1
(ctgx)0 = − 2 , x 6= kπ, k ∈ ZZ;
sin x
1
(arcsinx)0 = √
, x ∈ (−1, 1);
1 − x2
1
(arccosx)0 = − √
, x ∈ (−1, 1);
1 − x2
1
, x ∈ IR;
(arctgx)0 =
1 + x2
1
(arcctgx)0 = −
, x ∈ IR;
1 + x2
(sinhx)0 = coshx, x ∈ IR;
(coshx)0 = sinhx, x ∈ IR;
1
(tghx)0 =
, x ∈ IR;
cosh2 x
1
(ctghx)0 = −
, x ∈ IR \ {0};
sinh2 x
1
, x ∈ IR;
(arcsinhx)0 = √ 2
x +1
1
(arccoshx)0 = √ 2
, x > 1;
x −1
1
, x ∈ (−1, 1);
(arctghx)0 =
1 − x2
1
(arcctghx)0 =
, x ∈ IR \ [−1, 1],
1 − x2
gdzie
ex − e−x
sinhx =
,
2
ex + e−x
coshx =
,
2
x ∈ IR;
x ∈ IR;
32
sinhx
, x ∈ IR;
coshx
coshx
ctghx =
, x ∈ IR \ {0};
sinhx √
arcsinhx = ln(x + x2 + 1), x ∈ IR;
√
arccoshx = ln(x + x2 − 1), x 1;
1 1+x
arctghx = ln
, x ∈ (−1, 1);
2 1−x
1 x+1
, x ∈ IR \ [−1, 1].
arcctghx = ln
2 x−1
tghx =
Poni»sze wzory, za wyj¡tkiem dwóch pierwszych, s¡ szczególnymi przypadkami tych
z listy, ale jako najbardziej elementarne, cz¦sto wypisywane s¡ oddzielnie.
(c)0 = 0;
(x)0 = 1, x ∈ IR;
(x2 )0 = 2x, x ∈ IR;
(ax + b)0 = a, x ∈ IR;
(ax2 + bx + c)0 = 2ax + b, x ∈ IR;
!0
a
a
= − 2 , x ∈ IR \ {0};
x
x
√
1
( x)0 = √ , x > 0;
2 x
^
√
1
( n x)0 = √
, x > 0;
n
n−1
n
x
n∈IN\{1}
1
, x > 0;
x
(ex )0 = ex , x ∈ IR,
(ln x)0 =
gdzie
a, b, c ∈ IR
s¡ ustalone.
Do znalezienia pochodnej funkcji elementarnej obok powy»szych wzorów wystarczaj¡ wspomniane wy»ej prawa ró»niczkowania. Gwarantuj¡ one m. in. równo±¢ mi¦dzy
pochodn¡ sumy, a sum¡ pochodnych, podaj¡ sposób szukania pochodnej iloczynu, czy
zªo»enia dwóch funkcji. Zanim zostan¡ tu wszystkie wymienione przyjmijmy umow¦,
»e je±li funkcje
f
i
g
s¡ okre±lone w pewnym zbiorze
D,
to funkcje
f
c · f, f + g, f − g, f · g, , f ◦ g,
g
gdzie
c
jest dan¡ liczb¡ rzeczywist¡, okre±lone s¡ nast¦puj¡cymi wzorami:
(c · f )(x) = cf (x),
x ∈ D;
Katarzyna Doma«ska
33
(f + g)(x) = f (x) + g(x), x ∈ D;
(f − g)(x) = f (x) + g(x), x ∈ D;
(f · g)(x) = f (x)g(x), x ∈ D;
!
f
f (x)
(x) =
, x ∈ {x ∈ D : g(x) 6= 0};
g
g(x)
(f ◦ g)(x) = f (g(x)), x ∈ {x ∈ D : g(x) ∈ D}
i nazywane iloczynem funkcji przez liczb¦, sum¡ funkcji, ró»nic¡ funkcji, iloczynem
funkcji, ilorazem funkcji, zªo»eniem funkcji, odpowiednio.
Prawa ró»niczkowania
f i g maj¡ pochodne w pewnym zbiorze D, to równie» funkcje
c · f, f + g, f − g, f · g, gdzie c jest dan¡ liczb¡ rzeczywist¡, maj¡ pochodne w zbiorze
D, funkcja fg ma pochodn¡ w zbiorze {x ∈ D : g(x) 6= 0}, a funkcja f ◦ g w zbiorze
{x ∈ D : g(x) ∈ D, istnieje g 0 (x)}, oraz prawdziwe s¡ wzory
Je±li dwie funkcje
(c · f )0 = c · f 0 ;
(f + g)0 = f 0 + g 0 ;
(f − g)0 = f 0 − g 0 ;
(f · g)0 = f 0 · g + f · g 0 ;
!0
f 0 · g − f · g0
f
=
;
g
g2
(f ◦ g)0 = (f 0 ◦ g) · g 0 .
Ostatni z tych wzorów zwany wzorem na pochodn¡ zªo»enia warto zapisa¢ w wersji,
w której wpisane zostan¡ argumenty wszystkich funkcji wyst¦puj¡cych w tym wzorze.
[f (g(x))]0 = f 0 (g(x)) · g 0 (x).
Argumenty pochodnych
f 0 i g 0 zapisanych po prawej stronie wzoru s¡ RÓNE. Pochod-
f zwan¡ pochodn¡ funkcji zewn¦trznej wpisuje si¦ do wzoru w argumencie
g(x), a pochodn¡ funkcji g zwan¡ pochodn¡ funkcji wewn¦trznej w argumencie
n¡ funkcji
równym
x. Z pozostaªych wzorów jeszcze ten na pochodn¡ ilorazu funkcji zapiszmy tu u»ywaj¡c
tej samej notacji, co przed chwil¡.
f (x)
g(x)
!0
=
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
.
[g(x)]2
atwo jest zauwa»y¢, »e w ¢wiczeniach praktycznych nale»y posªugiwa¢ si¦ takimi wersjami wzorów.
Poni»sze prawo jest szczególnym przypadkiem wzoru na pochodn¡ iloczynu funkcji
ale, warto zapisa¢ je oddzielnie.
34
gdzie
h
(f · g · h)0 = f 0 · g · h + f · g 0 · h + f · g · h0 ,
okre±lon¡ i maj¡c¡ pochodn¡ w zbiorze D.
jest funkcj¡
Kolejne równo±ci s¡ natomiast przykªadowymi wnioskami ze wzoru na pochodn¡ zªo»enia funkcji oraz z podstawowych wzorów rachunku ró»niczkowego. Tym razem funkcje
zapisane zostan¡ wraz z argumentami. Jak porzednio
pochodn¡ w zbiorze
f 0 (x)
,
f (x)
n∈IN\{1}
q
n n [f (x)]n−1
q
f 0 (x)
,
( f (x))0 = q
2 f (x)
1
f (x)
!0
=−
x ∈ {x ∈ D :
f 0 (x)
q
( n f (x))0 =
,
^
[f (x)]p
0
f (x) > 0};
x ∈ {x ∈ D :
f (x) > 0};
x ∈ {x ∈ D :
f (x) > 0};
x ∈ {x ∈ D :
f (x) 6= 0};
f 0 (x)
,
[f (x)]2
(sin f (x))0 = f 0 (x) cos f (x),
jest funkcj¡ okre±lon¡ i maj¡c¡
D.
(ln f (x))0 =
^
f
= p[f (x)]p−1 f 0 (x),
x ∈ D;
x ∈ {x ∈ D :
f (x) > 0};
p∈IR
(ef (x) )0 = f 0 (x)ef (x) ,
x ∈ D.
Poj¦cia pochodnej funkcji w punkcie i funkcji pochodnej maj¡ wielorakie zastosowania w wielu dziedzinach. M. in. w zyce, informatyce, ekonomii i oczywi±cie w matematyce, gdzie rachunek ró»niczkowy sªu»y m.in. do badania przebiegu zmienno±ci funkcji,
obliczania takich granic funkcji, do których nie jest mo»liwe stosowanie metod z teorii
granic, znajdowania równa« stycznych do wykresów funkcji czy wyznaczania k¡ta, pod
jakim w danym punkcie przecinaj¡ si¦ wykresy funkcji. Zostan¡ one tu kolejno omówione.
Dla funkcji ró»niczkowalnej w danym zbiorze jej pochodna umo»liwia zbadanie monotoniczno±ci tej funkcji. Zwi¡zek mi¦dzy znakiem pochodnej funkcji, a monotoniczno±ci¡
tej funkcji jest nast¦puj¡cy:
Je±li funkcja
f
ma pochodn¡ w zbiorze
f 0 (x) > 0,
D
oraz speªniona jest nierówno±¢
x ∈ (a, b),
gdzie (a, b) jest pewnym przedziaªem (ograniczonym lub nie) zawartym w
zbiorze D, to f jest rosn¡ca w przedziale (a, b).
35
Katarzyna Doma«ska
Je±li funkcja
f
ma pochodn¡ w zbiorze
f 0 (x) < 0,
D
oraz speªniona jest nierówno±¢
x ∈ (c, d),
gdzie (c, d) jest pewnym przedziaªem (ograniczonym lub nie) zawartym w
zbiorze D, to f jest malej¡ca w przedziale (c, d).
Funkcjom ró»niczkowalnym w pewnym zbiorze ªatwo, z pomoc¡ pochodnych, sprawdza si¦ w tym zbiorze ekstrema lokalne w nast¦puj¡cy sposób:
Punkty stacjonarne funkcji f ró»niczkowalnej w zbiorze D s¡ jedynymi
punktami zbioru D, w których f mo»e mie¢ ekstremum lokalne. Ponad to,
je±li x0 ∈ D jest punktem stacjonarnym funkcji f i w pewnym przedziale
(α, x0 ) ⊂ D zachodzi
oraz w pewnym przedziale
f 0 (x) > 0
(x0 , β) ⊂ D zachodzi
f 0 (x) < 0,
tzn. pochodna zeruje si¦ w x0 i zmienia w tym punkcie znak z dodatniego
na ujemny (z lewej strony punktu jest dodatnia, a z prawej ujemna), to f
ma w x0 ekstremum i jest to maksimum.
Je±li za±, x0 ∈ D jest punktem stacjonarnym funkcji
dziale (α, x0 ) ⊂ D zachodzi
oraz w pewnym przedziale
f
i w pewnym prze-
f 0 (x) < 0
(x0 , β) ⊂ D zachodzi
f 0 (x) > 0,
tzn. pochodna zeruje si¦ w x0 i zmienia w tym punkcie znak z ujemnego na
dodatni (z lewej strony punktu jest ujemna, a z prawej dodatnia), to f ma
w x0 ekstremum i jest to minimum.
Je±li w punkcie stacjonarnym pochodna nie zmienia znaku (po lewej stronie punktu
i po prawej przyjmuje warto±ci jednego znaku) lub te» badanie zmiany znaku przedstawia sob¡ pewne trudno±ci rachunkowe, to aby rozstrzygn¡¢ kwesti¦ istnienia w tym
punkcie ekstremum lokalnego mo»na posªu»y¢ si¦ pochodnymi wy»szych rz¦dów (tam,
gdzie istniej¡). Cz¦sto wystarczy do tego druga pochodna. Mianowicie,
Je±li w punkcie stacjonarnym x0 druga pochodna nie zeruje si¦, to w tym
punkcie jest ekstremum lokalne danej funkcji. Jest to maksimum, gdy warto±¢ drugiej pochodnej w argumencie x0 jest ujemna, minimum, gdy warto±¢
drugiej pochodnej w punkcie x0 jest dodatnia.
Je±li wi¦cej pochodnych kolejnych rz¦dów ni» tylko jedna zeruje si¦ w
punkcie stacjonarnym, to wyznacza si¦ te pochodne, a» do tego rz¦du, dla
36
którego po wstawieniu punktu x0 do pochodnej tego rz¦du uzyska si¦ liczb¦
ró»n¡ od zera. Inaczej mówi¡c dla pewnej liczby naturalnej n uzyskuje si¦
f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = f (3) (x0 ) = ... = f (n−1) (x0 ) = 0,
Wtedy je±li
rowej)
f
n
f (n) (x0 ) 6= 0.
jest liczb¡ parzyst¡ to (tak jak dla drugiej pochodnej nieze-
ma ekstremum lokalne w
a minimum, gdy f (n) (x0 ) >
nie ma ekstremum w x0 .
x0 .
Je±li natomiast
0.
f (n) (x0 ) < 0,
nieparzyst¡, to f
Jest to maksimum, gdy
n
jest liczb¡
Przy badaniu przebiegu zmienno±ci funkcji przydatne s¡ informacje o tym, w których
przedziaªach funkcja jest wypukªa, a w których wkl¦sªa.
Je±li funkcja
równo±¢
f
ma drug¡ pochodn¡ w zbiorze
f 00 (x) > 0,
D
oraz speªniona jest nie-
x ∈ (a, b),
gdzie (a, b) jest pewnym przedziaªem (ograniczonym lub nie) zawartym w
zbiorze D, to f jest wypukªa w przedziale (a, b).
Je±li funkcja
równo±¢
f
ma drug¡ pochodn¡ w zbiorze
f 00 (x) < 0,
D
oraz speªniona jest nie-
x ∈ (c, d),
gdzie (c, d) jest pewnym przedziaªem (ograniczonym lub nie) zawartym w
zbiorze D, to f jest wkl¦sªa w przedziale (c, d).
Teoria granic nie zawiera twierdze« podaj¡cych sposób wyznaczania granic ilorazów
takich
obie maj¡ granice niesko«czone lub zerowe. Symbole nieoznaczoh ifunkcji,
h które
i
∞
0
ne
oraz
cz¦sto sprawiaj¡ trudno±ci rachunkowe. Z wi¦kszo±ci¡ z nich mo»na
∞
0
upora¢ si¦ stosuj¡c tzw. reguª¦ de L'Hospitala. Mówi ona, »e
Je±li funkcje
f, g : D −→ IR,
gdzie
D
jest jednym ze zbiorów
D = (a, x0 ),
−∞ ¬ a < x0 ¬ +∞;
D = (x0 , b),
−∞ ¬ x0 < b ¬ +∞;
D = (a, x0 ) ∪ (x0 , b),
maj¡ pochodne w zbiorze
D,
−∞ ¬ a < x0 < b ¬ +∞
speªnione s¡ nast¦puj¡ce warunki:
^
g(x) 6= 0, g 0 (x) 6= 0
x∈D
i
lim f (x) = x→x
lim g(x) = 0 (lub
x→x0
0
lim | f (x) |= x→x
lim | g(x) |= +∞)
x→x0
0
37
Katarzyna Doma«ska
(dla zbiorów D postaci jednej z dwóch pierwszych granice powy»sze s¡
odpowiednimi jednostronnymi) oraz
lim
x→x
f 0 (x)
= λ,
g 0 (x)
lim
f (x)
= λ.
g(x)
0
to równie»
x→x0
Na koniec równanie stycznej do wykresu funkcji
f
w punkcie
x0 . Jest ono nast¦puj¡ce:
y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ).
Rachunek caªkowy.
Rachunek caªkowy, podobnie jak ró»niczkowy jest jednym z podstawowych narz¦dzi nauk przyrodniczych i technicznych. Stworzony zostaª w drugiej poªowie VII wieku
przez I. Newtona i G. W. Leibniza, ale niektóre idee i metody rachunku caªkowego znane byªy ju» w staro»ytno±ci. W III wieku p.n.e. Archimedes obliczaª pola powierzchni
i obj¦to±ci ró»nych bryª stosuj¡c metody caªkowe. Newton i Leibniz w swoich pracach
zawarli systematyczny wykªad teorii caªki, wprowadzili terminologi¦ i oznaczenia zbli»one do wspóªczesnych, podali metody caªkowania niektórych klas funkcji oraz pokazali
zwi¡zek rachunku caªkowego z ró»niczkowym. Teori¦ caªki u±ci±liª (opieraj¡c j¡ na poj¦ciu granicy) Cauchy, a denicj¦ caªki i caªkowalno±ci obejmuj¡c¡ szerok¡ klas¦ funkcji
(w tym tak»e niektóre nieci¡gªe) podaª Riemann. Caªka oznaczona to LICZBA przyporz¡dkowywana funkcji caªkowalnej na danym przedziale. Je±li ko«cami tego przedziaªu
s¡ liczby
a, b (a < b),
to liczb¦ t¦ zapisuje si¦
Z b
f (x)dx
a
i nazywa
caªk¡ oznaczon¡ z funkcji
f
po przedziale
[a, b].
Riemann podaª ±cisª¡
denicj¦ tej liczby dla funkcji ograniczonej okre±lonej na domkni¦tym przedziale, udowodniª wiele wªasno±ci caªki oznaczonej m.in. tzw. addytywno±¢ ze wzgl¦du na przedziaª
caªkowania, tj. nast¦puj¡c¡ równo±¢:
Z b
a
gdzie
a<c<b
f (x)dx =
Z c
a
f (x)dx +
Z b
f (x)dx,
c
oraz pokazaª, »e w klasie funkcji ci¡gªych mo»na j¡ wyznacza¢ za po-
podstawowym wzorem rachunku caªkowego lub wzorem
Newtona-Leibniza, do stosowania którego wykorzystywana jest tzw. caªka nieoznaczona.
moc¡ wzoru zwanego
38
Caªk¡ nieoznaczon¡ z funkcji
których pochodn¡ jest funkcja
f,
f
nazywany jest zbiór wszystkich takich funkcji,
zwanych
funkcjami pierwotnymi funkcji
f,
czyli
zbiór nast¦puj¡cy:
F0 = f}
{F :
oznaczany symbolem
Z
f (x)dx.
Z uwagi na to, »e pochodn¡ funkcji staªej jest liczba zero, do zbioru
Z
f (x)dx
nale»y niesko«czenie wiele funkcji ró»ni¡cych si¦ jedynie o staª¡. Staª¡ t¡ nazywa si¦
staª¡ caªkowania, oznacza liter¡
C
i u»ywa do zapisania zbioru funkcji pierwotnych
nast¦puj¡co:
Z
f (x)dx = F (x) + C,
F jest pewn¡ funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f. Jako przykªad funkcji pierwotnej funkcji f (x) = cos x, x ∈ IR mo»e sªu»y¢ funkcja F (x) = sin x, x ∈ IR (ze wzoru rachunku
0
ró»niczkowego wiadomo, »e (sin x) = cos x), a tak»e np. F1 (x) = sin x + 1, x ∈ IR, wi¦c
gdzie
caªk¦ nieoznaczon¡ z funkcji cosinus zapisze si¦
Z
cos xdx = sin x + C.
Denicja caªki nieoznaczonej oraz podstawowe wzory rachunku ró»niczkowego pozwalaj¡ wyprowadzi¢ wzory podaj¡ce caªki nieoznaczone kilku typów funkcji. Tworz¡ one
list¦ tzw. elementarnych caªek nieoznaczonych.
Elementarne caªki nieoznaczone
Z
^
xn dx =
n∈IN
Z
^
p∈IR\{−1}
Z
^
a>0,a6=1
Z
Z
1
xn+1 + C,
n+1
xp dx =
x ∈ IR;
1
xp+1 + C,
p+1
x > 0;
1
dx = ln | x | +C, x 6= 0;
x
Z
1 x
ax dx =
a + C, x ∈ IR;
ln a
sin xdx = cos x + C,
cos xdx = − sin x + C,
x ∈ IR;
x ∈ IR;
39
Katarzyna Doma«ska
1
π
dx
=
tgx
+
C,
x
=
6
+ kπ, k ∈ ZZ;
2x
cos
2
Z
1
dx = −ctgx + C, x 6= kπ, k ∈ ZZ;
sin2 x
Z
1
√
dx = arcsinx + C = −arccosx + C̆, x ∈ (−1, 1);
1 − x2
Z
1
dx = arctgx + C = −arcctgx + C̆, x ∈ IR;
1 + x2
Z
√
1
√
dx
=
ln(x
+
1 + x2 ) + C = arcsinhx + C, x ∈ IR;
1 + x2
Z
√
1
√
dx
=
ln
|
x
+
x2 − 1 | +C, | x |> 1.
x2 − 1
Z
Poni»sze wzory s¡ szczególnymi przypadkami tych z listy, ale jako najbardziej podstawowe, cz¦sto wypisywane s¡ oddzielnie.
Z
x ∈ IR;
dx = x + C,
1
xdx = x2 + C, x ∈ IR;
2
Z
√
1
√ dx = 2 x + C, x > 0;
x
Z √
2 √
xdx = x x + C, x > 0;
3
Z
Z
ex dx = ex + C,
x ∈ IR.
Do znalezienia caªki nieoznaczonej, obok powy»szych wzorów wykorzystuje si¦ tzw.
reguªy caªkowania, które pozwalaj¡ wyrazi¢ dan¡ caªk¦ nieoznaczon¡ przy pomocy
takich, które s¡ caªkami elementarnymi. Gwarantuj¡ one m. in. równo±¢ mi¦dzy caªk¡
sumy, a sum¡ caªek.
Reguªy caªkowania
Z
Z
Z
Z
cf (x)dx = c
(f (x) + g(x))dx =
(f (x) − g(x))dx =
Z
Z
Z
f (x);
f (x)dx +
f (x)dx −
f (x)g 0 (x)dx = f (x)g(x) −
Z
Z
Z
g(x)dx;
g(x)dx;
f 0 (x)g(x)dx;
40
Z
g(f (x))f 0 (x)dx = G(f (x)),
gdzie G(t) =
Z
g(t)dt.
Ostatnie dwa z tych wzorów nazywane s¡ wzorem na caªkowanie przez cz¦±ci i
wzorem na caªkowanie przez podstawienie, odpowiednio. Wzór na caªk¦ z sumy
funkcji, iloczynu funkcji przez staª¡ oraz na caªk¦ z funkcji pot¦gowej o wykªadniku
naturalnym to aparat wystarczaj¡cy do tego, aby znale¹¢ caªk¦ nieoznaczon¡ z dowolnego wielomianu. Wszystkie dotychczas przytoczone wzory wystarczaj¡ do odnajdywania
caªek nieoznaczonych z wielu funkcji ró»nych typów.
Poni»sze prawa s¡ przykªadowymi szczególnymi przypadkami wzoru na caªkowanie
przez podstawienie, ale warto zapisa¢ je oddzielnie.
Z
Z
f 0 (x)
dx = ln | f (x) | +C;
f (x)
Z
f 0 (x)ef (x) dx = ef (x) + C;
f 0 (x) cos f (x)dx = sin f (x) + C.
Kolejne równo±ci to wzory, które nie s¡ do poszukiwa« caªek nieoznaczonych niezb¦dne, ale czasem wygodne i przydatne. Zbiór, na którym pozostaj¡ w mocy zmienia si¦
wraz ze zmian¡ warto±ci parametrów
nazywane s¡
a, k
i nie zostaª tu zapisany. Trzy ostatnie z nich
wzorami rekurencyjnymi. Sprowadzaj¡ caªk¦ o pewnym stopniu trud-
no±ci do caªki tego samego typu, ale rachunkowo prostszej. Te dla funkcji trygonometrycznych, je±li s¡ u»ywane, to tylko dla wykªadników b¦d¡cych liczbami parzystymi.
Ka»da caªka nieoznaczona z funkcji postaci sinus lub cosinus w pot¦dze nieparzystej
jest ªatwa do wyliczenia przy zastosowaniu caªkowania przez podstawienie.
Z
^
√
k∈IR
1
x
dx = arcsin
+ C;
2
|a|
−x
a6=0
Z √
√
1 √
1
x2 + kdx = x x2 + k + k ln | x + x2 + k | +C;
2
2
^
^
k∈IR
^
Z
a6=0
^
k∈IR
√
1
x2 + k | +C;
dx
=
ln
|
x
+
x2 + k
Z
√
√
Z
√
a2
a2 − x2 dx =
x√ 2
a2
x
a − x2 + arcsin
+ C;
2
2
|a|
√
x2
1 √ 2
1
dx
=
x
x
+
k
−
k
ln
|
x
+
x2 + k | +C;
2
2
x2 + k
41
Katarzyna Doma«ska
√
Z
1
n−1Z
sinn xdx = − sinn−1 x cos x +
sinn−2 xdx;
n
n
Z
n−1Z
1
n−1
x sin x +
cosn−2 xdx;
cos xdx = − cos
n
n
a6=0
^
n∈IN
^
n∈IN
^
n∈IN\{1}
Z
x2
a2
x
x√ 2
2+
a
−
x
arcsin
+ C;
dx
=
−
2
2
2
2
|a|
a −x
Z
^
n
1
x
1
1
2n − 3 Z
dx =
+
dx.
2
n
2
n+1
2
(x + 1)
2n − 2 (x + 1)
2n − 2 (x + 1)n−1
Poza dotychczas sformuªowanymi wzorami, które umo»liwiaj¡ znajdowanie caªek nieoznaczonych z wielu typów funkcji, w tym ze wszystkich wielomianów, usystematyzowane zostaªy tak»e metody wyznaczania caªek nieoznaczonych z funkcji wymiernych,
niewymiernych oraz trygonometrycznych. Warto krótko omówi¢ te metody.
Ka»da funkcja wymierna (iloraz dwóch wielomianów) daje si¦ zapisa¢ w postaci sumy
pewnego wielomianu (czasem zerowego) i takiej funkcji wymiernej, która w liczniku ma
wielomian stopnia ni»szego ni» w mianowniku. W tym celu wystarczy wykona¢ dzielenie wielomianu z licznika przez ten z mianownika danej funkcji wymiernej. Oczywi±cie
to dzielenie wykonuje si¦ tylko wtedy, gdy wielomian w liczniku jest stopnia nie mniejszego ni» ten w mianowniku. Szukaj¡c caªki nieoznaczonej z funkcji wymiernej, wiedz¡c
jak znajduje si¦ j¡ dla wielomianów, wystarczy wiedzie¢ jak to zrobi¢ dla takiej funkcji,
która w liczniku ma wielomian stopnia ni»szego ni» w mianowniku, a poniewa» ka»da z
takich funkcji daje si¦ zapisa¢ w postaci sumy tzw. uªamków prostych, wystarczy zna¢
sposób znajdowania caªek nieoznaczonych z uªamków prostych.
Uªamkami prostymi pierwszego rodzaju nazywane s¡ funkcje wymierne okre±lone nast¦puj¡cym ilorazem:
1
,
(x + a)n
gdzie
a ∈ IR, n ∈ IN.
Uªamkami prostymi drugiego rodzaju nazywane s¡ funkcje wymierne okre±lane
ilorazem postaci
ax + b
,
(x2 + px + q)n
gdzie
a, b, p, q ∈ IR, n ∈ IN,
o ile trójmian kwadratowy
x2 + px + q
jest nierozkªadalny
na czynniki (ma ujemny wyró»nik).
Caªki z takich funkcji niewymiernych, w których pod pierwiastkiem stopnia
n
znaj-
duje si¦ wyra»enie okre±laj¡ce funkcj¦ liniow¡ lub homograczn¡ (zmienna w pot¦dze
42
nie wy»szej ni» pierwszej) lub jednomian dowolnego stopnia zapisa¢ mo»na (oznaczaj¡c
przez
R
funkcj¦ wymiern¡ stosownej liczby zmiennych) jako caªki postaci
s
R x,
n
!
ax + b
dx lub R x,
cx + d
s
n
ax + b
, ...,
cx + d
s
m
!
ax + b
dx.
cx + d
Przeksztaªcane s¡ one na caªki z funkcji wymiernych za pomoc¡ nast¦puj¡cych podstawie«:
s
n
odpowiednio, przy czym
k
s
ax + b
= t,
cx + d
k
ax + b
= t,
cx + d
jest najmniejsz¡ wspóln¡ wielokrotno±ci¡ liczb
n, ..., m. Caª-
ka z takiej funkcji niewymiernej, we wzorze której pod pierwiastkiem kwadratowym pojawia si¦ trójmian kwadratowy znajdowana jest tzw. metod¡ wspóªczynników nieozna-
czonych. Metoda ta obliczanie caªki z ilorazu wielomianu przez pierwiastek kwadratowy
z trójmianu, sprowadza do obliczenia caªki postaci
Z
√
ax2
dx
,
+ bx + c
a do jej znalezienia mo»na stosowa¢ tzw. podstawienia Eulera
− √
dx
= t + ax, a 0;
+ bx + c
Z
− √
dx
√
c, c 0;
=
xt
+
ax2 + bx + c
Z
dx
√
= t(x − x1 ), ∆ 0,
2
ax + bx + c
x1 jest pierwiastkiem trójmianu ax2 + bx + c) lub (po zapisaniu trójmianu w
2
2
2
z postaci x + k lub a − x , gdzie k ∈ IR, a 6= 0) wzory zamieszczone powy»ej,
Z
(gdzie
jednej
√
ax2
bezpo±rednio nad wzorami rekurencyjnymi.
Okazuje si¦, »e do caªek z funkcji wymiernych sprowadzaj¡ si¦ tak»e caªki z funkcji
trygonometrycznych, a to dzi¦ki nast¦puj¡cym to»samo±ciom:
sin2 x =
sin2 x
tg2 x
t2
=
=
tg2 x + 1
t2 + 1;
sin2 x + cos2 x
cos2 x
1
1
=
=
2
2
tg x + 1
t2 + 1;
sin x + cos2 x
sin x cos x
tgx
t
sin x cos x =
=
=
2
2
tg x + 1
t2 + 1;
sin x + cos2 x
x
x
x
2 sin 2 cos 2
2tg 2
2u
sin x =
= 2
2 x
x =
2x
2
tg 2 + 1
u + 1;
sin 2 + cos 2
cos2 x =
cos2 x2 − sin2
cos x =
sin2 x2 + cos2
x
2
x
2
1 − tg2 x2
1 − u2
= 2x
= 2
tg 2 + 1
u + 1,
43
Katarzyna Doma«ska
gdzie
t = tgx,
x
u = tg .
2
To»samo±ci te pozwalaj¡ caªk¦ z funkcji trygonometrycznej, metod¡ caªkowania przez
podstawienie, zast¡pi¢ caªk¡ z funkcji wymiernej. Przy znajdowaniu caªek z funkcji
trygonometrycznych, obok powy»szych uniwersalnych podstawie«, wsz¦dzie tam, gdzie
to mo»liwe wykorzystuje si¦ to»samo±ci trygonometryczne, a powód jest jeden: unikn¡¢
wysokich stopni wielomianów w funkcjach wymiernych.
Caªka oznaczona, zdenowana przez Riemanna dla funkcji ograniczonej w domkni¦tym przedziale, mo»e dla pewnych funkcji nie istnie¢. Funkcje, które t¦ caªk¦ maj¡
nazywane s¡
caªkowalnymi. Mo»na udowodni¢, »e
Funkcja ci¡gªa na domkni¦tym przedziale jest w tym przedziale caªkowalna.
Czyli w klasie funkcji ci¡gªych na domkni¦tym przedziale ka»da funkcja ma caªk¦
oznaczon¡, któr¡ mo»na wyliczy¢ stosuj¡c wspomniany wy»ej nast¦puj¡cy
Newtona-Leibniza:
Z b
wzór
f (x)dx = F (b) − F (a),
a
gdzie
F
jest pewn¡ (jedn¡ z tej rodziny zapisanej jako caªka nieoznaczona) funkcj¡
pierwotn¡ funkcji ci¡gªej
f
okre±lonej na przedziale domkni¦tym
[a, b].
Caªka oznaczona ma liczne zastosowania w wielu dziedzinach. M. in. w zyce informatyce, ekonomii i oczywi±cie w matematyce, gdzie sªu»y m. in. do obliczania pól
obszarów ograniczonych krzywymi, obj¦to±ci i pól powierzchni bryª obrotowych oraz
dªugo±ci krzywych. Zostan¡ one tu kolejno omówione.
Pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji f ci¡gªej i okre±lonej na
domkni¦tym przedziale [a, b], osi¡ OX oraz prostymi x + a, x = b równe jest
nast¦puj¡cej caªce oznaczonej:
Z b
| f (x) | dx.
a
Dªugo±¢ wykresu funkcji f ci¡gªej i maj¡cej ci¡gª¡ pochodn¡, okre±lonej
na domkni¦tym przedziale [a, b] równa jest nast¦puj¡cej caªce oznaczonej:
Z bq
1 + [f 0 (x)]2 dx.
a
Obj¦to±¢ bryªy obrotowej powstaªej z obrotu dookoªa osi OX wykresu
funkcji f ci¡gªej i nieujemnej, okre±lonej na domkni¦tym przedziale [a, b]
równa jest nast¦puj¡cej caªce oznaczonej:
Z b
a
π[f (x)]2 dx.
44
Pole powierzchni bocznej bryªy obrotowej powstaªej z obrotu dookoªa osi
wykresu funkcji f ci¡gªej, nieujemnej i maj¡cej ci¡gª¡ pochodn¡, okre±lonej na domkni¦tym przedziale [a, b] równa jest nast¦puj¡cej caªce oznaczonej:
OX
Z b
q
2πf (x) 1 + [f 0 (x)]2 dx.
a
Poj¦cie caªki oznaczonej rozszerza si¦ na rodzin¦ funkcji okre±lonych na przedziale
nieograniczonym oraz rodzin¦ funkcji nieograniczonych w pewnym punkcie przedziaªu
domkni¦tego poprzez zdeniowanie tzw. caªek niewªa±ciwych. W pierwszej kolejno±ci
rozwa»ymy sytuacj¦ funkcji okre±lonej na domkni¦tym przedziale
[a, b],
nieograniczonej
w pewnym punkcie tego przedziaªu.
Je±li
h>0
f
[a, c − h], gdzie
[c + k, b], gdzie k > 0 jest
jest funkcj¡ ograniczon¡ i caªkowaln¡ w ka»dym przedziale
jest dowolnie maª¡ liczb¡ oraz w ka»dym przedziale
dowolnie maª¡ liczb¡ i istniej¡ (i cho¢ jedna jest sko«czona) granice
lim+
Z c−h
h→0
f (x)dx
a
oraz
lim+
Z b
k→0
to suma tych granic nazywana jest
f (x)dx,
c+k
caªk¡ niewªa±ciw¡ funkcji
f
w przedziale
[a, b]
i oznaczana (takim samym jak dla caªki oznaczonej) symbolem
Z b
f (x)dx.
a
Je±li punktem, w którym
f
jest nieograniczona jest który± z ko«ców przedziaªu
f
to podobnie okre±lamy caªk¦ niewªa±ciw¡ z
Je±li
f
w przedziale
[a, b],
[a, b].
jest ograniczona i caªkowalna w ka»dym przedziale
[a, b − h],
gdzie
h>0
jest
dowolnie maª¡ liczb¡ i istnieje granica
lim
Z t
t→b−
to nazywana jest
f (x)dx,
a
f
w przedziale
samym jak dla caªki oznaczonej) symbolem
Z b
a
f (x)dx.
[a, b] i oznaczana (takim
45
Katarzyna Doma«ska
Je±li
f
jest ograniczona i caªkowalna w ka»dym przedziale
[a + k, b],
gdzie
k>0
jest
dowolnie maª¡ liczb¡ i istnieje granica
lim+
Z b
t→a
to nazywana jest
f (x)dx,
t
f
w przedziale
[a, b] i oznaczana (takim
samym jak dla caªki oznaczonej) symbolem
Z b
f (x)dx.
a
Kolejne caªki niewªa±ciwe to caªki deniowane dla funkcji okre±lonych na przedzia-
ªach nieograniczonych
Je±li
f
[a, +∞), (−∞, b], (−∞, +∞).
[a, +∞) jest ograniczona i caªkowalna w ka»dym
[a, t], gdzie t > 0 jest dowolnie du»¡ liczb¡ i istnieje granica
okre±lona na przedziale
przedziale domkni¦tym
lim
Z t
t→+∞ a
to nazywana jest
f (x)dx,
f
w przedziale
[a, +∞)
i oznaczana
symbolem
Z +∞
f (x)dx.
a
Je±li
f
[t, b],
gdzie
(−∞, b] jest ograniczona i caªkowalna w ka»dym
t < 0 jest dowolnie maª¡ liczb¡ i istnieje granica
lim
Z b
t→−∞ t
to nazywana jest
f (x)dx,
f
w przedziale
(−∞, b]
i oznaczana
symbolem
Z b
f (x)dx.
−∞
Je±li
f
(−∞, +∞) jest ograniczona i caªkowalna w ka»dym
[a, b], gdzie a < 0, b > 0 s¡ co do warto±ci bezwzgl¦dnej dowolnie
du»e i cho¢ jedna z caªek niewªa±ciwych
Z +∞
f (x)dx,
a
Z b
−∞
f (x)dx
46
jest sko«czona, to ich suma nazywana jest
dziale
(−∞, +∞)
f
w prze-
i oznaczana symbolem
Z +∞
f (x)dx.
−∞
Caªk¦ niewªa±ciw¡ nazywa si¦
zbie»n¡ je±li istnieje i jest sko«czona.
Zbie»no±¢ caªek niewªa±ciwych wykorzystywana jest przy badaniu zbie»no±ci szeregów liczbowych w tzw. kryterium caªkowym zbie»no±ci szeregów liczbowych. Poza
tym caªki niewªa±ciwe maj¡ wiele zastosowa« geometrycznych.

f - AJD

Transkrypt

Podobne dokumenty

1 De nicje 2 Granica

Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1151

ANL1 1. Wykazać, że nie istnieją granice podwójne (a) lim sin(x2 +

Uchwała Nr XXIII/232/ 04 Rady Miasta Bolesławiec z dnia 8

Green Parrot - agencja e

John Ruskin

Wzory do pierwszego kolokwium z analizy matematycznej

x(f