elementy
Transkrypt
elementy
1 Element skończony – prosty przykład budowy Podział na elementy Funkcje aproksym. Zasada prac wirtualnych Macierz sztywności Tylko stan napięć i przemieszczeń podłużnych Równanie różniczkowe Pokazany zostanie sposób budowy macierzy sztywności dla jednego elementu. ALGORYTM 2 Element skończony – prosty przykład budowy Podział na elementy Funkcje aproksym. Zasada prac wirtualnych Na brzegu (punkty 1 i 2) przemieszczenia i obciążenia: Macierz sztywności Zestaw równań łączących obciążenia i przemieszczenia: ALGORYTM Równanie różniczkowe gdzie 3 Funkcje aproksymujące Podział na elementy Funkcje aproksym. Zasada prac wirtualnych Macierz sztywności Funkcje aproksymujące: Opis pola przemieszczeń uwzględniający oba parametry jest następujący: Do doboru funkcji używa się np. wielomianów Lagrange’a ALGORYTM 4 Funkcje aproksymujące Funkcje aproksymujące: Podział na elementy Funkcje aproksym. Zasada prac wirtualnych Opis pola odkształceń: Macierz sztywności B jest pochodną macierzy N: ALGORYTM Określenie sił podłużnych: 5 Zasada prac wirtualnych Podział na elementy Funkcje aproksym. Wykorzystujemy zasadę prac wirtualnych: praca sił zewnętrznych = praca sił wewnętrznych p1, p2 – obciążenia na brzegu Zasada prac wirtualnych Macierz sztywności ALGORYTM Praca sił wewnętrznych: 6 Zasada prac wirtualnych Podział na elementy Funkcje aproksym. Zasada prac wirtualnych Macierz sztywności ALGORYTM Stałe parametry umieszczamy przed całką: 7 Macierz sztywności Podział na elementy Funkcje aproksym. Zasada prac wirtualnych Macierz sztywności ALGORYTM Porównanie Lw i Lz: prawdziwe dla każdego . macierz sztywności 8 Podsumowanie: Podział na elementy Funkcje aproksym. Zasada prac wirtualnych Macierz sztywności ALGORYTM Równania wiążące przemieszczenia i siły w elemencie. 9 ALGORYTM Podział na elementy Metoda elementów skończonych swój praktyczny wymiar osiąga dopiero w implementacji komputerowej. Funkcje aproksym. Podstawą implementacji jest algorytm. Zasada prac wirtualnych Macierz sztywności ALGORYTM algorytm: programowanie ideowy 10 Algorytm ideowy MES Podział na elementy 1. Przyjąć globalny układ współrzędnych. 2. Podzielić konstrukcję na elementy i ponumerować je. 3. Przyjąć dla każdego elementu lokalny układ wsp. Funkcje aproksym. Zasada prac wirtualnych 4. Macierz sztywności 5. Przyjąć dla każdego elementu wektor przemieszczeń węzłowych Obliczyć macierz sztywności elementów. ALGORYTM 11 Algorytm ideowy MES Podział na elementy Funkcje aproksym. Zasada prac wirtualnych Macierz sztywności ALGORYTM Znamy macierz sztywności jednego elementu: Budowa globalnej macierzy sztywności: Od czego zależy wymiar macierzy elementu? Od liczby stopni swobody. Np. element belkowy: 12 Algorytm ideowy MES Podział na elementy Funkcje aproksym. Zasada prac wirtualnych Macierz sztywności Od czego zależy wymiar globalnej macierzy? Od liczby stopni swobody w zadaniu. W praktyce od ilości węzłów X stopnie swobody. w zagadnieniach liniowych jest symetryczna 1. 2. skomplikowanie wzrasta z liczbą węzłów ALGORYTM 13 Algorytm ideowy MES Podział na elementy Funkcje aproksym. Zasada prac wirtualnych Macierz sztywności ALGORYTM 6. 7. Dla wszystkich elementów zbudować wektory alokacji przyporządkowujące numery lokalnych stopni swobody numerom współrzędnych uogólnionych. Zbudować globalną macierz sztywności na podstawie macierzy sztywności elementów i wektora alokacji. 14 Algorytm ideowy MES Podział na elementy 8. Funkcje aproksym. 9. Zasada prac wirtualnych globalny wektor obciążeń i przemieszczeń Macierz sztywności ALGORYTM Globalny wektor sił węzłowych -> zainicjować wartościami sił zewnętrznych w węzłach. Obciążenia na elemencie zredukować do węzłowych i dodać do globalnego wektora sił węzłowych. 15 Algorytm ideowy MES Podział na elementy Funkcje aproksym. 10. Uwzględnić warunki brzegowe. 11. Rozwiązać układ równań. Rozwiązanie Zasada prac wirtualnych Macierz sztywności ALGORYTM Przemieszczenia! + warunki brzegowe 16 Algorytm ideowy MES Podział na elementy 12. Funkcje aproksym. 13. Zasada prac wirtualnych Macierz sztywności ALGORYTM Wektor przemieszczeń poddać transformacji i wybrać wektory przemieszczeń elementów Wyznaczyć siły wewnętrzne na podstawie wektora przemieszczeń elementu. + obciążenia na elemencie! Naprężenia i odkształcenia kalkulowane na podstawie przemieszczeń! 17