notatki do wykładu
Transkrypt
notatki do wykładu
Spis tre±ci Wybrane oznaczenia 1. 2 Wprowadzenie 4 L 2 2. Szeregi Fouriera denicje i teoria 3. Szeregi Fouriera wªasno±ci wspóªczynników 4. Szeregi Fouriera j¡dro Dirichleta 13 5. Szeregi Fouriera zbie»no±¢ punktowa i jednostajna 17 6. Szeregi Fouriera ±rednie Cesàro 25 7. 31 8. Szeregi Fouriera przykªady szeregów rozbie»nych d Transformata Fouriera na denicje i wªasno±ci 9. Transformata Fouriera rozszerzenia 42 R 5 9 34 10. Transformata Fouriera na grupach 51 11. Twierdzenie interpolacyjne Marcinkiewicza 56 12. Twierdzenie interpolacyjne RieszaThorina 60 13. Operator maksymalny 64 14. Rozkªad CalderónaZygmunda 70 15. Transformata Hilberta i transformaty Riesza 74 16. Funkcje harmoniczne i odwzorowanie sprz¦»one 77 17. Wªasno±ci odwzorowania sprz¦»onego 83 1 2 Wybrane oznaczenia Zbiory: Z R C Rd liczby caªkowite liczby rzeczywiste liczby zespolone przestrze« euklidesowa wymiaru d d wspóªrz¦dne x ∈ oznaczane s¡ x1 , ..., xd , R T = R/(2π Z) (równowa»nie: E D ,G F K odcinek [−π, π] x = (x1 , ..., xd ) z uto»samionymi ko«cami) zbiór borelowski zbiór otwarty zbiór domkni¦ty zbiór zwarty Przestrzenie ci¡gów: P k(an )kp = ( |an |p )1/p (p ∈ [1, ∞)) k(an )k∞ = sup |an | `p przestrze« BanachaP (z norm¡ k · kp ) n ∈ Z) dla których |an |p < ∞ ∞ ` przestrze« Banacha (z norm¡ k · k∞ ) podwójnie niesko«czonych ci¡gów (an : podwójnie niesko«czonych ci¡gów ogra- niczonych c0 k · k∞ ) limn→±∞ an = 0 przestrze« Banacha (z norm¡ (an ), dla których podwójnie niesko«czonych tych ci¡gów Przestrzenie funkcji i miar: R kf kp = ( |f |p )1/p (p ∈ [1, ∞); caªkowanie na przestrzeni wynikaj¡cej z kontekstu) kf k∞ = ess sup |f | supp f = {x : f (x) 6= 0} Lp (E) zbiór tych borelowskich funkcji f : E → C, dla których kf kp < ∞ (p ∈ [1, ∞]) L p (E) przestrze« Banacha klas równowa»no±ci funkcji z Lp (E) wzgl¦dem relacji równo±ci p.w. (dla formalnej poprawno±ci niektórych sformuªowa«) C(D) Cb (D) C0 (D) zbiór ci¡gªych funkcji f :D→C k · k∞ ) przestrze« Banacha tych funkcji f ∈ C(D), dla których lim|x|→∞ f (x) = 0 oraz limx→z f (x) = 0 dla ka»dego z ∈ ∂D (z norm¡ k · k∞ ) Cc (D) zbiór funkcji f ∈ C(D) o zwartym no±niku (supp f jest zwarty i supp f ⊆ D) C∗k (D) zbiór funkcji f , których pochodne cz¡stkowe stopnia nie wi¦kszego ni» k istniej¡ i nale»¡ do C∗ (k = 0, 1, ..., ∞; ∗ ∈ {∅, b, 0, c}) M (E) zbiór sko«czonych zespolonych miar borelowskich na E przestrze« Banacha ograniczonych funkcji f ∈ C(D) (z norm¡ Przestrzenie funkcji i miar okresowych: C(T) M (T) (i podobne oznaczenia) zbiór ci¡gªych funkcji na T ka»da taka funkcja jest automatycznie uto»samiana z funkcj¡ zbiór sko«czonych zespolonych miar borelowskich na T ka»da taka miara jest automatycznie uto»samiana z miar¡ 2π -okresow¡ na R 2π -okresow¡ na (uwaga: taki obiekt nie jest sko«czon¡ miar¡, a nawet mo»e nie by¢ miar¡) Przestrzenie funkcji harmonicznych i holomorcznych: Hol(D) e Hol(D) przestrze« funkcji holomorcznych w D przestrze« funkcji antyholomorcznych w D R 3 Harm(D) H p (D) Holp (D) D rzeczywista przestrze« Hardy'ego na D (p ∈ [1, ∞]) zespolona przestrze« Hardy'ego na D (p ∈ [1, ∞]) przestrze« funkcji harmonicznych w Wybrane funkcje: en (x) eξ (x) Dk (x) D̃k (x) Fk (x) Kr (x) Pr (x) Pr (x) = einx = eiξ·x = sin((k + 12 )x)/ sin( 12 x) (j¡dro Dirichleta) = sin(kx)/ tan( 21 x) (zmodykowane j¡dro Dirichleta) 1 = k+1 (sin(( k+1 )x)/ sin( 12 x))2 (j¡dro Fejéra) 2 = (4πr)−d/2 exp(−|x|2 /(4r)) (j¡dro GaussaWeierstrassa) = Γ( d+1 )π −(d+1)/2 t(t2 + |x|2 )−(d+1)/2 (j¡dro Poissona w Rd ) 2 1 = 2π (1 − r2 )/(1 − 2r cos x + r2 ) (j¡dro Poissona dysku) Wybrane operatory: Sk f = f ∗ Dk S̃k f = f ∗ D̃k σk f = f ∗ Fk 4 1. Termin analiza harmoniczna Wprowadzenie oznacza dziaª analizy matematycznej, który dotyczy re- Sªownika j¦zyka polskiego PWN, sªowo harmoniczny oznacza zbudowany na zasadach harmonii muzycznej. W tym znaczeniu harmonia to sposób ª¡czenia i budowy akordów w utworze muzycznym, jeden z trzech obok melodii i rytmu elementów muzyki. prezentacji funkcji za pomoc¡ fal prostych. Wg Które akordy brzmi¡ harmonijnie? D¹wi¦k dociera do naszych uszu w postaci fal akustycznych, tj. regularnych drga« cz¡steczek powietrza. Fale takie mo»na opisa¢ za pomoc¡ funkcji f (t), opisuj¡cej zmiany ci±nienia w czasie. Na podstawie eksperymentów dawniej u»ywano np. strun, dzi± mo»na do tego zadania wykorzysta¢ komputer stwierdzono, »e dobrze brzmi¡ d¹wi¦ki opisane za pomoc¡ funkcji trygonometrycznych, o ile wspóªczynniki cz¦sto±ci tworz¡ uªamki o niewielkich licznikach i mianownikach. Na przykªad akord a-moll, nawet w najsurowszej postaci: sin(440 · 2πt) + sin(528 · 2πt) + sin(704 · 2πt) + sin(880 · 2πt) 528 880 = 65 , 704 = 43 , 704 = 54 . 440 528 d¹wi¦ki o podobnych cz¦stotliwo±ciach, na przykªad: brzmi poprawnie; przy tym Natomiast gdy zªo»ymy dwa sin(440 · 2πt) + sin(460 · 2πt), otrzymamy d¹wi¦k przykry dla ucha. Zamieniaj¡c funkcje trygonometryczne na inne funkcje okresowe otrzymamy bardziej zªo»one d¹wi¦ki; fale sinusoidalne maj¡ najbardziej surowe brzmienie. Czy ka»dy d¹wi¦k mo»na rozªo»y¢ na fale sinusoidalne? W du»ym uproszczeniu tak! Wªa±nie to zagadnienie le»y u podstaw analizy harmonicznej. W pierwszej cz¦±ci kursu zajmiemy si¦ rozkªadem sygnaªów okresowych, czyli badaniem szeregów Fouriera. Próba analogicznego rozkªad dowolnych sygnaªów prowadzi do transformaty Fouriera, któr¡ zajmiemy si¦ od razu w wersji wielowymiarowej. Uogólnienia tych podstawowych koncepcji skªadaj¡ si¦ na analiz¦ harmoniczn¡, na przykªad: • badaniem transformaty Fouriera na grupach topologicznych zajmuje si¦ abstrakcyjna teoria harmoniczna; • rozszerzenie teorii dla podzbiorów przestrzeni euklidesowych, rozmaito±ci itp. prowadzi do teorii spektralnej operatora Laplace'a z warunkami brzegowymi; • dokªadna analiza wªasno±ci transformaty Fouriera wi¡»e si¦ z teori¡ caªek singularnych. Analiza harmoniczna jest silnie zwi¡zana z analiz¡ funkcjonaln¡, znajduje zastosowania w teorii liczb, zyce kwantowej, teorii równa« ró»niczkowych, a tak»e wielu naukach stosowanych. Z transformat¡ Fouriera zetkn¡ª si¦ prawdopodobnie ka»dy: wykorzystuje si¦ j¡ m.in. sygnaªów. w kompresji d¹wi¦ku i obrazu, rezonansie magnetycznym i przetwarzaniu 5 2. Szeregi Fouriera denicje i teoria L 2 Przez niemal caªy niniejszy kurs b¦dziemy rozwa»ali funkcje okre±lone na na odcinku którego ko«ce zostaªy uto»samione. Zbiór ten oznaczamy T. Formalnie deniuT jako grup¦ ilorazow¡ R/(2π Z). W praktyce nie b¦dziemy jednak odró»nia¢ x ∈ R jego klasy abstrakcji x + 2π Z. Czasem dla wygody identykujemy T z przedziaªem [−π, π], jemy od [−π, π) lub [0, 2π). B¦dziemy uto»samia¢ funkcje okre±lone na na R. Ci¡gªa funkcja f na T T z funkcjami 2π -okresowymi okre±lonymi f (−π) = f (π). Przeprzestrzeni jest kf k∞ = musi zatem speªnia¢ warunek T oznaczamy C(T); norm¡ na tej sup{|f (x)| : x ∈ T}. Dla p ∈ [1, ∞) przez Lp (T) oznaczamy zbiór funkcji mierzalp nych f , dla których |f | jest caªkowalna na T. Przestrze« Lebesgue'a na T, oznap p czana L (T), to formalnie przestrze« klas abstrakcji funkcji z L (T) w relacji równo±ci R p 1/p prawie wsz¦dzie, z norm¡ kf kp = ( te» zbiór T |f (x)| dx) . Tradycyjnie deniujemy ∞ ∞ mierzalnych funkcji ograniczonych L (T) i przestrze« klas abstrakcji L (T) z norm¡ kf k∞ = ess sup{|f (x)| : x ∈ T}. Zazwyczaj nie b¦dziemy przykªada¢ wagi do rozró»niep p nia mi¦dzy L (T) i L (T). strze« ci¡gªych funkcji na Twierdzenie 2.1. Funkcje w L (T). Dowód. 2 en (x) = einx (n ∈ Z) tworz¡ ortogonalny ukªad zupeªny Zachodzi: ( 2π en (x)em (x)dx = ei(n−m)x dx = 0 −π −π Z π Z π gdy gdy n = m, n 6= m. Zupeªno±¢ wynika wprost z kolejnego lematu. Lemat 2.2. Zbiór ( P= P N X (zespolonych) wielomianów trygonometrycznych : ) αn en : N ≥ 1, α−N , ..., αN ∈ C n=−N jest g¦sty w przestrzeniach Banacha C(T) i L p (T) dla p ∈ [1, ∞) (ale nie dla p = ∞). en em = en+m , zbiór P jest zamkni¦ty ze wzgl¦du na dodawanie i mno»enie tworzy algebr¦ funkcji. Ta algebra skªada si¦ z ci¡gªych funkcji na T oraz: (1) zawiera staª¡ (e0 (z) = 1); (2) rozdziela punkty (e1 (z) = e1 (w) ⇐⇒ z = w ) i (3) jest zamkni¦ta ze wzgl¦du na sprz¦»enie zespolone (en (z) = e−n (z)), zatem na mocy twierdzenia Stone'aWeierstrassa ka»d¡ funkcj¦ ci¡gª¡ f na T mo»na przybli»y¢ jednostajnie wielomianami trygonometrycznymi. Innymi sªowy, P jest g¦sty w przestrzeni Banacha C(T) funkcji ci¡gªych na T. p Niech p ∈ [1, ∞). Zbie»no±¢ jednostajna jest mocniejsza ni» zbie»no±¢ w L (T), p zatem domkni¦cie P w L (T) zawiera C(T). Poniewa» C(T) jest g¦stym podzbiorem L p (T) (jest to wniosek z twierdzenia uzina i jednowymiarowej wersji lematu Urysohna), p p domkni¦cie P w L (T) zawiera caªe L (T). Dowód. Poniewa» wiczenie 2.3. Dlaczego P nie jest g¦stym podzbiorem L ∞ (T)? 6 wiczenie 2.4. Wywnioskuj, »e funkcje sin(nx) (n ≥ 1) fn (x) = cos(nx) (n ≥ 0) oraz gn (x) = L 2 (T). tworz¡ (ª¡cznie) ukªad ortogonalny zupeªny na wiczenie 2.5. Wywnioskuj, »e funkcje ortogonalny zupeªny na L ([0, π]). wiczenie 2.6. Wywnioskuj, »e funkcje ortogonalny zupeªny na fn (x) = cos(nx) (n ≥ 0) tworz¡ ukªad fn (x) = sin(nx) (n ≥ 1) tworz¡ ukªad 2 L ([0, π]). 2 wiczenie 2.7. Podaj analogiczne cztery zupeªne ukªady ortogonalne funkcji w L 2 ([a, b]) dla a, b ∈ R, a < b. Z ogólnej teorii przestrzeni Hilberta wynika, »e zupeªny ukªad ortogonalny wektorów jest baz¡: ka»dy wektor mo»na zapisa¢ jako niesko«czon¡ kombinacj¦ liniow¡ wektorów bazowych na dokªadnie jeden sposób. St¡d natychmiast wynika twierdzenie sformuªowane 2 1 1 zaraz po poni»szej denicji. Przypomnijmy, »e L ( ) ⊆ L ( ) oraz L ( ) ⊆ M ( ), 1 je±li uto»samimy f ∈ L ( ) z miar¡ f (x)dx o g¦sto±ci f (x). Wspóªczynniki fˆ(n) deniu1 jemy ogólniej, dla f ∈ L ( ), a nawet dla sko«czonych zespolonych miar borelowskich T µ na T; T T przestrze« takich miar oznaczamy przez uto»samiamy czasem z ich 2π -okresowymi T M (T). T Uwaga: miary T µ ∈ M (T) rozszerzeniemi, ale nale»y pami¦ta¢, »e takie rozszerzenie formalnie mo»e nie by¢ miar¡ (rozkªad Hahna takiego rozszerzenia mo»e mie¢ niesko«czone wszystkie skªadowe: cz¦±¢ dodatni¡ cz¦±ci rzeczywistej itd.). Definicja 2.8. Je±li funkcji f ∈ L 1 (T) i n ∈ Z, to okre±lamy wspóªczynniki szeregu Fouriera f: fˆ(n) = Z π Z f (x)en (x)dx = −π Analogicznie je±li miary π f (x)e−inx dx. −π µ ∈ M (T) i n ∈ Z, to okre±lamy wspóªczynniki szeregu Fouriera µ: Z µ̂(n) = T e−inx µ(dx). p ∈ [1, ∞) przez `p oznaczamy podwójnie niesko«czonych ci¡gów zespoP P przestrze« p 1/p p . lonych (an : n ∈ Z), dla których n∈Z |an | ) n∈Z |an | < ∞, z norm¡ k(an )kp = ( ∞ Podobnie ` to przestrze« ci¡gów ograniczonych, z norm¡ k(an )k∞ = sup{|an | : n ∈ Z}. Czasem zamiast an piszemy a(n), za± zamiast (an ) po prostu a. Dla Twierdzenie 2.9. Je±li (2.1) f ∈ L 2 (T), to fˆ ∈ `2 oraz kfˆk2 = √ 2π kf k2 . Ponadto ∞ 1 X ˆ f (n)en ; f= 2π n=−∞ w powy»szej równo±ci (zespolony) szereg Fouriera funkcji f jest bezwzgl¦dnie zbie»ny 2 2 w L ( ). Co wi¦cej, ka»dy ci¡g (an ) ∈ ` jest ci¡giem wspóªczynników szeregu P∞ 1 2 Fouriera pewnej funkcji f ∈ L ( ), mianowicie f = n=−∞ an en . 2π T T transformacja Fouriera, przyporz¡dkowuj¡ca funkcji f ∈ L 2 (T) jej ci¡g 1 2 wspóªczynników Fouriera fˆ ∈ ` , jest z dokªadno±ci¡ do czynnika √ operatorem 2π Innymi sªowy 7 1 ci¡gu √ fˆ jest odwzorowaniem unitarnym). Z 2π twierdzenia 2.9 ªatwo otrzymujemy rozwini¦cie w klasyczny (rzeczywisty ) szereg Fouriera. unitarnym (tj. przyporz¡dkowanie Twierdzenie 2.10. Je±li ∞ X f (x) = a0 + (2.2) f f ∈ L 2 (T), to (an cos(nx) + bn sin(nx)) n=1 (szeregi bezwzgl¦dnie zbie»ne w Z L 2 (T)), gdzie dla n ≥ 1, π 1 f (x)dx, 2π −π Z 1 π an = f (x) cos(nx)dx, π −π Z 1 π f (x) sin(nx)dx. bn = π −π a0 = Dowód. Na mocy twierdzenia 2.9, 2πf (x) = ∞ X fˆ(n)einx n=−∞ = fˆ(0) + ∞ X (fˆ(n) + fˆ(−n)) cos(nx) + (ifˆ(−n) − ifˆ(n)) sin(nx). n=1 n=1 Ponadto ∞ X fˆ(0) = 2πa0 , fˆ(n) + fˆ(−n) = 2πan , ifˆ(−n) − ifˆ(n) = 2πbn . Wspóªczynniki an i bn w twierdzeniu s¡ poprawnie okre±lone dla f ∈ L 1 (T). Zbie»- no±¢ szeregu (2.2) w tym przypadku w jakimkolwiek sensie nie jest oczywista, wªa±nie tym zagadnieniem (w wersji zespolonej) zajmowa¢ si¦ b¦dziemy przez kilka nast¦pnych rozdziaªów. Dla podkre±lenia ±cisªego zwi¡zku funkcji i jej szeregu Fouriera przy braku zbie»no±ci punktowej w ogólnym przypadku, cz¦sto pisze si¦ ∞ X (an cos(nx) + bn sin(nx)), f (x) ∼ a0 + n=1 co odczytujemy: funkcji f odpowiada szereg Fouriera po prawej stronie. Klasyczny szereg Fouriera (2.2) jest wa»ny przede wszystkim w zastosowaniach, gdy rozwa»any sygnaª ma warto±ci rzeczywiste. W sformuªowaniach twierdze«, dowodach, a tak»e w niektórych zastosowaniach (gdy sygnaª ma warto±ci zespolone) zazwyczaj wygodniej jest korzysta¢ z zespolonej wersji (2.1). wiczenie 2.11. Znajd¹ rozwini¦cia w (zespolony) szereg Fouriera funkcji f1 (x) = 1, f2 (x) = x, f3 (x) = |x|, f4 (x) = 1(0,π) (x) − 1(−π,0) (x), f5 (x) = |sin x| , f6 (x) = sin x2 (wszystkie funkcje okre±lone na przedziale [−π, π)). wiczenie 2.12. Znajd¹ rozwini¦cia w (zespolony) szereg Fouriera miary δa (gdzie δa (E) = 1E (a) jest miar¡ Diraca skupion¡ w a). δ0 i ogólniej 8 wiczenie 2.13. Sprawd¹, »e je±li L 1 (T), a1 , a2 ∈ C). f = a1 f 1 + a2 f 2 , to wiczenie 2.14. Wywnioskuj z twierdzenia 2.10, »e je±li f (x) = a0 + ∞ X fˆ = a1 fˆ1 + a2 fˆ2 (f1 , f2 ∈ f ∈ L 2 ([0, π]), to an cos(nx) n=1 (szereg cosinusów bezwzgl¦dnie Z 1 π a0 = f (x)dx, π 0 L 2 ([0, π])), gdzie dla n ≥ 1, Z 2 π an = f (x) cos(nx)dx. π 0 zbie»ny w wiczenie 2.15. Udowodnij analogicznie, »e je±li f (x) = ∞ X f ∈ L 2 ([0, π]), to bn sin(nx) n=1 (szereg sinusów bezwzgl¦dnie zbie»ny Z 2 π bn = f (x) sin(nx)dx. π 0 w L 2 ([0, π])), gdzie dla n ≥ 1, wiczenie 2.16. Wykorzystuj¡c poprzednie ¢wiczenia i zwi¡zek pomi¦dzy ró»nymi rodzajami szeregów Fouriera (zespolony, cosinusów, sinusów), znajd¹ rozwini¦cia w szereg sinusów i szereg cosinusów funkcji f1 (x) = 1, f2 (x) = x, (wszystkie funkcje okre±lone na przedziale f3 (x) = sin x [0, π]). 9 3. Szeregi Fouriera wªasno±ci wspóªczynników µ ∈ M (T) zdeniowane Z kµk = sup f (x)µ(dx) : f ∈ C(T), kf k∞ ≤ 1 . Przypomnijmy, »e wahanie caªkowite miary jest wzorem T Dla miar rzeczywistych równowa»nie kµk = µ+ (T) + µ− (T), gdzie µ = µ+ − µ− µ. Podobny wzór w przypadku zespolonym nie ma miejsca, kµk ≤ (Re µ)+ (T) + (Im µ)+ (T) + (Re µ)− (T) + (Im µ)− (T) ≤ 2kµk. rozkªadem Hahna miary zachodzi jest ale Pierwszy wynik tego rozdziaªu to elementarne oszacowanie normy supremum wspóªczynników. Fakt 3.1. Je±li dla f ∈ L (T). 1 Je±li miara µ µ ∈ M (T), to µ̂ ∈ `∞ i kµ̂k∞ ≤ kµk. jest nieujemna, to nieujemn¡ funkcj¡, to kµk = µ(T) = µ̂(0). kf k1 = fˆ(0). W szczególno±ci Podobnie je±li kfˆk∞ ≤ kf k1 f ∈ L 1 (T) jest Powy»szy fakt mo»na wi¦c wyrazi¢ w nast¦puj¡cy sposób. µ 7→ µ̂ (transformacja Fouriera ) jest ci¡gªym opera`∞ , o normie równej 1. Podobnie przeksztaªcenie f 7→ fˆ 1 ∞ liniowym z L (T) do ` o normie równej 1. Wniosek 3.2. Przeksztaªcenie torem liniowym z M (T) jest ci¡gªym operatorem do en (x) = einx s¡ ci¡gªe, transformacja Fouriera pozostaje ci¡gªym ∞ operatorem liniowym z M (T) od ` , je±li w M (T) rozwa»ana jest topologia *sªabej ∞ zbie»no±ci, za± w ` topologia zbie»no±ci punktowej. 1 Dla funkcji z L (T) tez¦ wniosku mo»na istotnie wzmocni¢. Zbiór ci¡gów (an : n ∈ Z) speªniaj¡cych warunek limn→±∞ an = 0 oznaczamy przez c0 . Poniewa» funkcje Lemat Riemanna-Lebesgue'a ). Lemat 3.3 ( Je±li f ∈ L 1 (T), to sªowy, transformacja Fouriera jest ci¡gªym operatorem liniowym z Dowód. Teza lematu jest prawdziwa, gdy f fˆ ∈ c0 . Innymi L 1 (T) do c0 . jest wielomianem trygonometrycznym, bo- tylko dla sko«czenie wielu n, zatem fˆ ∈ c0 . Wielomiany trygo1 nometryczne s¡ g¦ste w L , a transformacja Fouriera jest ci¡gªym operatorem liniowym 1 ∞ ∞ 1 z L w ` . Poniewa» c0 jest domkni¦tym podzbiorem ` , obraz L przez transformacj¦ wiem wówczas fˆ(n) 6= 0 Fouriera jest zawarty w c0 . W badaniu zbie»no±ci szeregów Fouriera bardzo istotna jest szybko±¢ zaniku wspóª2 2 1 czynników. Wiemy ju», »e je±li f ∈ L ( ), to fˆ ∈ ` , je±li f ∈ L ( ), to fˆ ∈ c0 , za± ∞ je±li µ ∈ M ( ), to µ̂ ∈ ` . Kolejny rezultat podaje oszacowanie wspóªczynników funkcji T T T ró»niczkowalnych. f : R → C jest dystrybuant¡ sko«czonej miary zespolonej µ ∈ M (R), je±li µ([x, y)) = f (y) − f (x) dla x, y ∈ R. Analogicznie mówimy, »e f : T → C jest dystrybuant¡ miary µ ∈ M (T), je±li µ([x, y)) = f (y) − f (x) dla x, y ∈ R (uto»samiamy f i µ z ich 2π -okresowymi rozszerzeniami). Definicja 3.4. Mówimy, »e funkcja 10 f jest dystrybuant¡ µ ∈ M (T), to ze wzgl¦du na okresowo±¢ f mamy µ(T) = f (π) − f (−π) = 0. Ponadto f (x) = f (0) + µ([0, x)). Je±li f jest dystrybuant¡ µ, to kµk jest równe wahaniu caªkowitemu funkcji f na przedziale [−π, π]. Je±li funkcja f : T → C ma sko«czone wahanie caªkowite na przedziale [−π, π], to ma granice jednostronne f+ (x), f− (x) dla ka»dego x ∈ T, f = f− = f+ poza co najwy»ej przeliczaln¡ liczb¡ punktów oraz f− jest dystrybuant¡ pewnej miary µ ∈ M (T). Zauwa»my, »e je±li Lemat 3.5. Je±li f T W szczególno±ci je±li f ∈ C( ) jest L 1 ( ), to ĝ(n) = infˆ(n) dla n ∈ . T Dowód. µ ∈ M (T), to µ̂(n) = infˆ(n) dla n ∈ Z. 0 ró»niczkowalna w ka»dym punkcie i g = f ∈ jest dystrybuant¡ miary Z Na mocy twierdzenia Fubiniego, dla Z n ∈ Z \ {0}, Z e−inx µ(dx) = (e−inx − 1)µ(dx) [0,2π) [0,2π) Z Z Z Z −iny = in e dy µ(dx) = in µ(dx) e−iny dy [0,2π) (x,2π) [0,2π) [0,y) Z Z = in (f (y) − f (0))e−iny dy = in f (y)e−iny dy = infˆ(n). µ̂(n) = [0,2π) [0,2π) Druga cz¦±¢ lematu odpowiada przypadkowi Wniosek 3.6. Je±li k≥0 oraz f ∈ C k (T), k jest ci¡gªa na T lim nk |fˆ(n)| = 0. pochodna rz¦du µ(dx) = g(x)dx. k -krotnie ró»niczkowalna (k) wystarcza f ∈ L 1 (T)), to tj. (w istocie f jest i jej n→±∞ Dowód. Stosuj¡c k -krotnie lemat, otrzymujemy fˆ(n) = (in)−k ĝ(n), g ∈ L 1 (T), to ĝ ∈ c0 na mocy lematu Riemanna-Lebesgue'a. wiczenie 3.7. Dlaczego powy»szy wniosek nie stosuje si¦ do gdzie g = f (k) . Skoro f (x) = x mimo, »e funkcja ta jest dowolnie wiele razy ró»niczkowalna? wiczenie 3.8. Znaj¡c wspóªczynniki szeregu Fouriera funkcji rozwini¦cie funkcji f (x) = x 2 (w obu przypadkach g(x) = x3 (ponownie wyznacz x ∈ [−π, π)). wiczenie 3.9. W podobny sposób znajd¹ rozwini¦cie funkcji nast¦pnie f (x) = x, f (x) = x3 − π 2 x, a x ∈ [−π, π)). π ) = −en (x). Ta wªasno±¢ pozwala uzyska¢ |n| dokªadniejsze oszacowania, wyra»one przy pomocy moduªu ci¡gªo±ci funkcji. Funkcji en (x) = einx speªnia en (x + Definicja 3.10. Dla dowolnej funkcji f :T→C okre±lamy jej moduª ci¡gªo±ci ωf (ε) = sup {|f (x) − f (y)| : x, y ∈ R, |x − y| ≤ ε} ; w powy»szym wzorze Zauwa»my, »e f f oznacza 2π -okresowe rozszerzenie funkcji. jest ci¡gªa wtedy i tylko wtedy, gdy ωf (ε) → 0 gdy ε → 0+ . 11 Lemat 3.11. Je±li f ∈ L1 (T) i n ∈ Z \ {0}, to π |fˆ(n)| ≤ πωf ( |n| ). Dowód. Z okresowo±ci wynika, »e 2fˆ(n) = Z π f (x)e −inx Z π π+ n dx + f (x)e−inx dx. π −π+ n −π x = y w pierwszej caªce oraz x = y + πn w drugiej Z π Z π −iny 2fˆ(n) = f (y)e dy + f (y + πn )e−iny e−iπ dx −π Z−π π = f (y) − f (y + πn ) e−iny dy. Podstawiaj¡c caªce, otrzymujemy −π St¡d 1 |fˆ(n)| ≤ 2 Z π −π f (y) − f (y + π ) dy ≤ πωf ( π ). n |n| Wniosek 3.12. Je±li funkcja α ∈ (0, 1] i staª¡ C > 0, f ∈ C(T) speªnia warunek Höldera w wykªadnikiem tj. |f (x) − f (y)| ≤ C|x − y|α x, y ∈ R, Cπ 1+α |fˆ(n)| ≤ |n|α dla wszystkich to dla wszystkich n ∈ Z \ {0}. α ∈ (−1, 1) oraz f (x) = |x|α przy n → ±∞. wiczenie 3.13. Niech 1+α |n| fˆ(n) ma granic¦ dla x ∈ [−π, π). Uzasadnij, »e a ∈ (0, π), ϑ ∈ (0, 12 ] i niech In b¦dzie ci¡giem przybli»e« zbioru Cantora: I0 = (−a, a), Ik+1 = (−(1−ϑ)a+ϑIk )∪((1−ϑ)a+ϑIk ) dla k = 0, 1, ... 1 k Niech ponadto fk (x) = ( ) 1Ik (x). Uzasadnij, »e 2ϑ wiczenie 3.14. Niech fk+1 (x) = fk ( x+a − a) + fk ( x−a + a) ϑ ϑ . 2ϑ Wykorzystaj ten fakt do indukcyjnego dowodu równo±ci Z a fk (x)e −iξx −a dla ξ 6= 0 oraz k−1 2 sin(ϑk aξ) Y dx = cos(ϑj (1 − ϑ)aξ) k ϑ ξ j=0 k = 0, 1, ... µ oznacza *sªab¡ granic¦ ci¡gu miar fk (x)dx z poprzedniego ¢wiczenia, czyli miar¦ Cantora (dlaczego granica w istocie istnieje?). Wywnioskuj, »e ∞ Y µ̂(n) = 2a cos(ϑj (1 − ϑ)na). wiczenie 3.15. Niech j=0 12 Badanie wªasno±ci powy»szego niesko«czonego iloczynu jest bardzo skomplikowanym zadaniem. Znajd¹ informacje na temat twierdzenia WieneraWintnera dotycz¡cego tego iloczynu. 13 Szeregi Fouriera j¡dro Dirichleta 4. Szereg Fouriera funkcji f ∈ L 2 (T) L 2 (T). jest do niej zbie»ny w Cz¦sto jednak bar- dziej interesuj¡ce s¡ inne rodzaje zbie»no±ci: punktowa, jednostajna, zbie»no±¢ prawie 1 wsz¦dzie czy zbie»no±¢ w L ( ). Tego typu pytania zwykle s¡ bardzo trudne. W po- T ni»szym rozdziale zajmiemy pierwsz¡ istotn¡ obserwacj¡: (symetryczne) sumy cz¦±ciowe f mo»na przedstawi¢ w postaci splotu f splot f ∗ g ∈ L 1 (T) funkcji f, g ∈ L 1 (T) szeregu Fouriera funkcji Przypomnijmy, »e z tzw. j¡drem Dirichleta. okre±lony jest wzorem π Z f (x − y)g(y)dy f ∗ g(x) = −π dla prawie wszystkich mowanie odbywa si¦ w x. W powy»szym wzorze, tak jak w wielu innych poni»ej, odej- T; równowa»nie: uto»samiamy funkcje na T z ich 2π -okresowymi rozszerzeniami. Uzasadnijmy krótko poprawno±¢ powy»szej denicji. Na mocy twierdzenia Fubiniego (borelowska) funkcja jako funkcja dwóch zmiennych. w szczególno±ci wzgl¦dem y s¡ dobrze okre±lone i sko«czone dla prawie wszystkich czyli x. atwo sprawdzi¢, »e 2π -okresow¡. Ponadto Z π Z π Z π |f (y)||g(x − y)|dy dx |f ∗ g(x)|dx ≤ −π −π −π Z π Z π Z |g(x − y)|dx |f (y)|dy = kgk1 ≤ −π jest caªkowalna Wobec tego caªki wzgl¦dem ka»dej ze zmiennych warto±ci drugiej zmiennej w tym przypadku funkcj¡ f (y)g(x − y) −π f ∗ g(x) jest π |f (y)|dy = kf k1 kgk1 , −π kf ∗ gk1 ≤ kf k1 kgk1 . Analogicznie deniujemy splot funkcji i miary oraz dwóch miar: Z Z f (x − y)µ(dy), µ ∗ f (x) = dla f ∈ L 1 (T) oraz ν(E − y)µ(dy) µ ∗ ν(E) = [−π,π) [−π,π) µ, ν ∈ M (T). Dowody poprawno±ci tych denicji s¡ podobne i je [−π, π) mo»na zast¡pi¢ dowolnym innym jednostronnie domkni¦tym przedziaªem o dªugo±ci 2π . Pomocne b¦d¡ nast¦puj¡ce dwie obserwacje. Je±li f ∈ C(T), a ci¡g xn ∈ T jest zbie»ny do x ∈ T, to f (xn − y) d¡»y do f (x − y) jednostajnie wzgl¦dem y ∈ T. Wobec tego dla ka»dej miary µ ∈ M (T) splot µ ∗ f jest funkcj¡ ci¡gª¡. Ponadto dla dowolnej funkcji f ∈ L ∞ (T) istnieje ci¡g funkcji fn ∈ C(T) zbie»ny do f prawie wsz¦dzie i speªniaj¡cy z dla z 6= 0, sign 0 = 0. warunek kfn k∞ ≤ kf k∞ . Dla wygody okre±lmy sign z = |z| pomijamy. We wszystkich tych denicjach przedziaª caªkowania wiczenie 4.1. Udowodnij, »e splot jest przemienny, ª¡czny i dwuliniowy. kf ∗ gk∞ ≤ kf k1 kgk∞ dla f ∈ L 1 (T) i g ∈ L ∞ (T), 2 a tak»e kf ∗ gk∞ ≤ kf k2 kgk2 dla f, g ∈ L (T). Udowodnij, »e kµ ∗ f k ≤ kµkkf k1 , kµ ∗ νk ≤ kµkkνk dla f ∈ L 1 (T) oraz µ, ν ∈ M (T). wiczenie 4.2. Zauwa», »e f ∈ C(T) okre±lmy Λf = f ∗ g(0). Sprawd¹, »e Λ jest ci¡gªym funkcjonaªem liniowym na C(T). Przybli»aj¡c funkcj¦ sign g(x) przy pomocy funkcji ci¡gªych, wyznacz norm¦ Λ. wiczenie 4.3. Niech g ∈ L 1 (T). Dla 14 p ∈ [1, ∞) oraz Ty f (x) = f (x + y) dla y ∈ T p odwzorowanie y 7→ Ty f jest ci¡gªe z T w L (T). Lemat 4.4. Niech Wówczas Dowód. oraz f ∈ Lp (T). f ∈ C(T), y, z ∈ R oraz |y − z| < ε, to Z π p |f (x + y) − f (x + z)|p dx ≤ 2π(ωε (f ))p , kTy f − Tz f kp = Je±li −π Ty f zale»y od y w sposób ci¡gªy. p Niech teraz f ∈ L (T) i niech ε > 0. Istnieje funkcja g ∈ C(T) taka, »e kf − gkp < ε. Ponadto udowodnili±my ju», »e istnieje liczba δ > 0 taka, »e je±li y, z ∈ R oraz |y −z| < δ , to kTy g − Tz gkp ≤ ε. Wobec tego zatem w istocie kTy f − Tz f kp ≤ kTy f − Ty gkp + kTy g − Tz gkp + kTz g − Tz f kp ≤ 3ε. Wniosek 4.5. Je±li Dowód. f ∈ L 1 (T), g ∈ L ∞ (T), to f ∗ g ∈ C(T). T Gdy ci¡g xn ∈ jest zbie»ny do x ∈ T , to funkcje f (xn 1 d¡»¡ w L ( ) do funkcji f (x − y). Teza wynika z lematu 4.4. T Warto zwróci¢ uwag¦ na to, »e je±li g ∈ L 1 (T). wiczenie 4.6. Niech Sprawd¹, »e T f, g ∈ L 1 (T), to f ∗g − y) (zmiennej y ∈ T) nie musi by¢ funkcj¡ ci¡gª¡. f ∈ L 1 (T) okre±lmy T f (x) = f ∗ g . 1 ∞ liniowym na L (T), L (T) i C(T). Wy- Dla jest ci¡gªym operatorem znacz norm¦ tego operatora na ka»dej z tych przestrzeni (mo»esz rozwa»y¢ wyª¡cznie przypadek, gdy g ∈ C(T) i wróci¢ do tego zadania w peªnej ogólno±ci po rozdziale 6). f ∈ L 1 (T) okre±lmy T f (x) = f ∗ g . 1 ∞ Sprawd¹, »e T jest ci¡gªym operatorem liniowym z L (T) w L (T) i wyznacz jego norm¦ (ponownie mo»esz rozwa»y¢ wyª¡cznie przypadek, gdy g ∈ C(T) i wróci¢ do wiczenie 4.7. Niech g ∈ L ∞ (T). Dla tego zadania w peªnej ogólno±ci po rozdziale 6). Splot z odpowiednimi funkcjami próbnymi umo»liwia przybli»anie dowolnych funkcji caªkowalnych funkcjami gªadkimi. Zagadnienie to b¦dzie rozwini¦te w rozdziale 6. Definicja 4.8. Je±li Sk f (x) = f ∈ L 1 (T) i k ≥ 0, to k 1 X ˆ f (n)einx 2π n=−k (symetrycznymi) sumami cz¦±ciowymi szeregu Fouriera f . Dla k ≥ 1 deniujemy równie» zmodykowane sumy cz¦±ciowe szeregu Fouriera f wzorem nazywamy S̃k f (x) = 21 (Sk−1 f (x) + Sk f (x)) k−1 1 X ˆ 1 ˆ f (n)einx + = (f (−k)e−ikx + fˆ(k)eikx ). 2π n=−k+1 4π Dla spójno±ci okre±lamy do miar µ ∈ M (T). S̃0 f (x) = 0. Denicje te rozszerzamy w naturalny sposób 15 Warto podkre±li¢, »e Sk oraz S̃k L 1 (T), s¡ operatorami liniowymi na o warto±ciach w zbiorze wielomianów trygonometrycznych. W nast¦pnym rozdziale zajmiemy si¦ kry- Sk f (x). Poni»sze ¢wiczenie stwierdza, »e wystarczy w istocie bada¢ S̃k f (x), który ma nieco lepsze wªasno±ci. Z tego powodu w sformuªowaniach wyników b¦dziemy u»ywa¢ zwykªych sum cz¦±ciowych Sk f (x), natomiast w dowodach b¦dziemy korzystali z wygodniejszych sum zmodykowanych S̃k f (x). teriami zbie»no±ci zbie»no±¢ ci¡gu wiczenie 4.9. Udowodnij, »e S̃k f (x) → a Sk f (x) → a k →∞ gdy wtedy i tylko wtedy, gdy k → ∞. gdy en (x) = einx (n ∈ Z) zachodzi Sk en = en gdy k ≥ |n| 0 ≤ k < |n|. Wyznacz analogicznie Sk f dla f (x) = cos(nx) oraz wiczenie 4.10. Wyka», »e dla Sk en = 0 gdy f (x) = sin(nx). oraz g = Sk f , wiczenie 4.11. Uzasadnij, »e je±li to ĝ(n) = fˆ(n) gdy |n| ≤ k , ĝ(n) = 0 w przeciwnym przypadku. wiczenie 4.12. Zauwa», »e Sk (zaw¦»one do L 2 (T)) jest rzutem ortogonalnym na przestrze« wielomianów trygonometrycznych stopnia co najwy»ej denicji stopnia Sk f (x) = Dk jest f ∈ L 1 (T) 1 2π oraz k ≥ 0, to f ∗ Dk (x), j¡drem Dirichleta, k X Dk (x) = e S̃k f (x) = za± D̃k 1 2π f ∗ D̃k (x), zmodykowanym j¡drem Dirichleta, sin((k + 12 )x) = , sin x2 inx n=−k D̃k (x) = 12 (Dk−1 (x) + Dk (x)) = sin(kx) tan x2 (prawe strony rozszerzaj¡ si¦ do ci¡gªych funkcji Dowód. x ∈ T). Ze wzoru na sum¦ sko«czonego szeregu geometrycznego, dla 2πSk f (x) = k Z X n=−k Z π f (y)e inx dy e Z π = f (y) −π f (y) ei(k+1/2)(x−y) − e−i(k+1/2)(x−y) dy. ei(x−y)/2 − e−i(x−y)/2 −π wynika z to»samo±ci eis − e−is = 2i sin s. k X x∈T ! ein(x−y) dy n=−k ei(k+1)(x−y) − e−ik(x−y) dy ei(x−y) − 1 −π π Dk (x) f (y) Z = −iny −π π = Wzór na (przy naturalnej wielomianu trygonometrycznego jakiej?). Lemat 4.13. Je±li gdzie k Ponadto sin((k − 12 )s) + sin((k + 12 )s) = 2 sin(ks) cos 2s , sk¡d ªatwo wynika wzór na D̃k (x). wiczenie 4.14. Sporz¡d¹ wykresy kilku pierwszych funkcji Dk i D̃k . 16 wiczenie 4.15. Udowodnij, »e dla 1 2π Z π Dk (x)dx = −π Lemat 4.16. Dla 1 2π Z k≥1 zachodzi π D̃k (x)dx = 1. −π x ∈ (−π, π) \ {0} i k ≥ 1 zachodzi 2 |D̃k (x)| ≤ min(2k, |x| ). Ponadto D̃k (0) = 2k . . Dowód. Dla x ∈ (−π, π) zachodz¡ nierówno±ci | sin(kx)| ≤ min(k|x|, 1) oraz | tan x2 | ≥ |x| 2 2 x St¡d |D̃k (x)| ≤ min(2k, ). Warto±¢ D̃k (0) = 2k wyznaczamy jako granic¦ sin(kx)/ tan 2 |x| przy x → 0. wiczenie 4.17. Udowodnij, »e π |Dk (x)| ≤ min(2k + 1, |x| ) dla x ∈ [−π, π] \ {0} i k ≥ 0. wiczenie 4.18. Wyznacz normy operatorów L (T). Sk i S̃k , dziaªaj¡cych z ∞ L 1 (T) w C1 , C2 > 0, takie »e Z π n sin( 2 x) sin( n2 x) 1 1 dx ≤ C2 ln(1 + n) C1 ln(1 + n) ≤ dx ≤ 2π −π tan x2 2π −π sin x2 wiczenie 4.19. Udowodnij, »e istniej¡ staªe Z π n ≥ 0. Wykorzystaj to do oszacowania norm operatorów Sk S̃k , dziaªaj¡cych na L 1 (T) oraz na C(T), a tak»e funkcjonaªów Λk f = Sk f (0) Λ̃k f = S̃k f (0) na przestrzeni C(T). dla wszystkich oraz oraz wiczenie 4.20. Z poprzedniego ¢wiczenia i zasady BanachaSteinhausa wywnio- skuj, »e istnieje funkcja f ∈ L 1 (T), Sk f nie jest zbie»ny w L 1 (T). f ∈ C(T), dla której ci¡g Sk f (0) nie dla której ci¡g W podobny sposób wyka», »e istnieje funkcja jest zbie»ny. wiczenie 4.21. Udowodnij, »e ci¡g 1 2π sin( n2 x) 4 sin x dx − π 2 ln(1 + n) −π 2 Z π jest zbie»ny. (Nie jest to bardzo trudne, ale raczej nieprzydatne). 17 5. Szeregi Fouriera zbie»no±¢ punktowa i jednostajna J¡dro Dirichleta jest tak kªopotliwe, poniewa» zmienia znak. Wyklucza to zastosowanie standardowych metod przy analizie splotu z nieujemnymi funkcjami o caªce 1, koncentru- j¡cymi si¦ wokóª zera (te metody wykorzystamy przy badaniu zbie»no±ci Cesàro szeregów Fouriera w nast¦pnym rozdziale). Potrzebny jest inny pomysª. Okazuje si¦, »e S̃k f (x) mo»na czasem wyrazi¢ przy pomocy wspóªczynników szeregu Fouriera innej funkcji. Pozwala to wykorzysta¢ znane nam ju» oszacowania wspóªczynników szeregu Fouriera do oszacowa« tempa zbie»no±ci szeregu Fouriera. Zaczniemy jednak od prostej obserwacji. Fakt 5.1. Je±li f ∈ L 1 (T), wolnym punkcie) wtedy i tylko wtedy, gdy zbie»ny jednostajnie. Je±li zaªo»ymy, »e f jest zbie»ny bezwzgl¦dnie (w doˆ f ∈ `1 . W tej sytuacji jest on równie» to szereg Fouriera f ∈ L 2 (T) oraz fˆ ∈ `1 , L 2 (T) f ∈ C(T). to z jednoznaczno±ci granicy w f jest funkcja f i przez to T) jest trudniejszy zajmiemy wynika, »e granic¡ jednostajn¡ szeregu Fouriera 1 Co zaskakuj¡ce, dowód tego faktu dla f ∈ L ( si¦ tym w nast¦pnym rozdziale we wniosku 6.21. Twierdzenie Bernsteina stwierdza, »e je±li funkcja f speªnia warunek Höldera z wy1 1 1 kªadnikiem α ∈ ( , 1] (ale nie α = ), to fˆ ∈ ` , wi¦c szereg Fouriera f jest zbie»ny 2 2 jednostajnie. Analogiczne twierdzenie Zygmunda z kolei wymaga, by f miaªa sko«czone wahanie caªkowite i speªniaªa warunek Höldera z dowolnym wykªadnikiem α ∈ (0, 1]. Za- dowolimy si¦ du»o prostszym warunkiem, podanym w nast¦puj¡cym ¢wiczeniu. Z kolei 1 du»o ogólniejsze kryterium zbie»no±ci jednostajnej (ale nie wªasno±ci fˆ ∈ ` ) jest zawarte w twierdzeniu 5.20. wiczenie 5.2. Udowodnij, »e je±li f oraz f0 speªnia warunek Höldera z α ∈ (0, 1] (co jest cz¦sto zapisywane w postaci f ∈ C 1,α (T)), bezwzgl¦dnie i jednostajnie zbie»ny do f . dowolnym wykªadnikiem to szereg Fouriera f ∈ C 1 (T) jest W dalszej cz¦±ci tego rozdziaªu dowodzimy dokªadniejszych kryteriów zbie»no±ci. Konstrukcja niezbie»nych szeregów Fouriera jest raczej skomplikowana (i du»o mniej istotna), po±wi¦cony jej jest rozdziaª 7. Lemat 5.3. Je±li h(y) = f ∈ L 1 (T), k ≥ 1, x ∈ T, a ∈ C oraz f (x + y) + f (x − y) − 2a , 2 tan y2 to 1 S̃k f (x) = a + π Je±li h ∈ L 1 (T), lematu Z π h(s) sin(ks)ds. 0 1 S̃k f (x) = a + 4πi (ĥ(k) − ĥ(−k)). W tym przypadku RiemannaLebesgue'a S̃k f (x) i Sk f (x) d¡»¡ do a gdy k → ∞. to na mocy 18 Dowód. Poniewa» S̃k 1(x) = 1 dla k ≥ 1 (1 oznacza funkcj¦ stale równ¡ 1), wi¦c 1 (f − a) ∗ D̃k (x) S̃k f (x) = a + (S̃k (f − a)(x)) = a + 2π Z π 1 sin(ky) =a+ (f (x − y) − a)dy. 2π −π tan y2 Podstawiaj¡c now¡ zmienn¡ za −y w caªce po prawej stronie, otrzymujemy analogiczn¡ f (x + y) zamiast f (x − y). Wobec tego Z π 1 sin(ky) S̃k f (x) = a + (f (x + y) + f (x − y) − 2a)dy 4π −π tan y2 Z π 1 =a+ h(y) sin(ky)dy. 2π −π caªk¦ z wyra»eniem Poniewa» h jest funkcj¡ nieparzyst¡, ostatnia caªka ma warto±¢ i ĥ(−k) 2 − 2i ĥ(k). Z powy»szego lematu natychmiast wynika wiele wa»nych twierdze«. Kryterium DiniegoDirichleta ). 1 f (x + s) + f (x − s) ds < ∞, − a s 2 Twierdzenie 5.4 ( π Z (5.1) 0 to Sk f (x) → a gdy f ∈ L 1 (T), x ∈ T, a ∈ C i k → ∞. Warunek (5.1) jest speªniony, je±li s ∈ (−π, π). Je±li |f (x+s)−f (x)|/s jest funkcj¡ caªkowaln¡ wzgl¦dem f w x. W szczególno±ci wystarcza zatem hölderowska ci¡gªo±¢ zasada lokalizacji ). Je±li f1 , f2 ∈ L 1 (T), x ∈ T oraz f1 = f2 prawie wsz¦dzie w pewnym otoczeniu x, to Sk f1 (x) → a gdy k → ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy Sk f2 (x) → a gdy k → ∞. Twierdzenie 5.5 ( Twierdzenie 5.6 ( Z π 0 to Sk f test Diniego ). Je±li f ∈ C(T) speªnia warunek ωf (s) ds < ∞, s d¡»y punktowo do Twierdzenie 5.7. Je±li f gdy k → ∞. f ∈ L 1 (T), x ∈ T , a ∈ C oraz speªniony jest jeden z warunków: (a) (b) (c) f f f jest ró»niczkowalna w jest ci¡gªa w y→x oraz f oraz a = f (x); i ma pochodne jednostronne w ma granice jednostronne lim+ (d) x x f+ (x) i f− (x) f (y) − f+ (x) , y−x w x, lim− y→x x oraz a = f (x); istniej¡ pochodne jednostronne f (y) − f− (x) y−x a = 12 (f+ (x) + f− (x)); ma granice jednostronne lim sup y→x+ f+ (x) i f− (x) |f (y) − f+ (x)| < ∞, |y − x|ε w x, dla pewnego lim sup y→x− ε ∈ (0, 1] |f (y) − f− (x)| <∞ |y − x|ε zachodzi 19 a = 12 (f+ (x) + f− (x)), to Sk f (x) → a gdy k → ∞. W szczególno±ci je±li poza sko«czonym zbiorem punktów T funkcja f jest ci¡gªa i ró»niczkowalna oraz f 0 jest ograniczona, to szereg Fouriera jest zbie»ny punktowo do f w ka»dym punkcie ci¡gªo±ci f oraz do ±redniej arytmetycznej granic jednostronnych f w punktach nieci¡gªo±ci. oraz Dowód. Ka»dy nast¦pny warunek jest sªabszy od poprzedniego, wystarczy wi¦c zbada¢ ostatni. W kryterium DiniegoDirichleta f (x + s) − f+ (x) f (x − s) − f− (x) 1 f (x + s) + f (x − s) − a ≤ + s 2 s s i prawa strona jest caªkowalna. wiczenie 5.8. Badaj¡c rozwini¦cie w szereg Fouriera funkcji ∞ X n=1 ∞ X 1 , (2n − 1)2 n=1 ∞ X 1 , n2 n=1 f (x) = |x|, (−1)n−1 . n2 f (x) = x, (−1)n−1 (−1)n−1 + . 3n − 2 3n − 1 wiczenie 5.9. Badaj¡c rozwini¦cie w szereg Fouriera funkcji ∞ X (−1)n−1 n=1 2n − 1 ∞ X , n=1 wiczenie 5.10. Znajd¹ informacje na temat tzw. Wyniki uzyskane wy»ej mo»na nieco uogólni¢. wyznacz wyznacz efektu Gibbsa . Potrzebny do tego jest nast¦puj¡cy techniczny lemat. Lemat 5.11. Je±li g jest niemalej¡ca na (0, δ), 0 ≤ g(s) ≤ ε dla s ∈ (0, δ) oraz k ≥ 0, to Z δ sin(ks) g(s) ds ≤ επ. s 0 Dowód. Niech g− (s) oznacza lewostronn¡ granic¦ ϕ(s) = 0 dla s ≥ 0. z tego s g− s, niech µ b¦dzie s ∈ (0, π)), i niech w miar¡ na [0, π), µ([0, s)) = g− (s) dla Z s sin t 1 − cos s 1 − cos t dt = + dt t s t2 0 której dystrybuant¡ jest Z g (tj. ϕ jest ograniczona, osi¡ga maksimum globalne równe ϕ(π) ∈ (0, π) powodu 0 ≤ ϕ(s) < π . Na mocy twierdzenia Fubiniego Z δ Z δ Z Z sin(ks) 0 g(s) ds = µ(dt) kϕ (ks)ds = (ϕ(kδ) − ϕ(kt))µ(dt). s 0 0 [0,s) [0,δ) Funkcja i Wobec tego Z δ sin(ks) ds ≤ πµ([0, δ)) = πg− (δ) ≤ επ. g(s) s 0 20 twierdzenie Jordana ). Twierdzenie 5.12 ( Je±li f : T → C jest dystrybuant¡ pewnej µ ∈ M (T), lub ogólniej funkcj¡ o sko«czonym wahaniu caªkowitym na [−π, π], to Sk f jest zbie»ny punktowo do funkcji f ∗ (x) = 12 (f+ (x) + f− (x)), gdzie f+ (x), f− (x) oznaczaj¡ granice jednostronne f w x. miary Dowód. Na mocy lematu 5.3 i równo±ci f+ (y) = f− (y) = f (y) dla wszystkich y poza zbiorem co najwy»ej przeliczalnym, 1 S̃k f (x) − f (x) = π ∗ Z π 0 (f− (x + s) − f+ (x)) + (f+ (x − s) − f− (x)) sin(ks)ds 2 tan 2s g(s) = (f− (x + s) − f+ (x)) + (f+ (x − s) − f− (x)) (s ∈ [0, π]) ma sko«czone wahanie caªkowite i jest lewostronnie ci¡gªa. Wobec tego g jest dystrybuant¡ pewnej miary zespolonej ν na przedziale [0, π), a poniewa» g+ (0) = 0, ν({0}) = 0. Gdy wyj±ciowa funkcja f jest dystrybuant¡ µ, to ν([0, s)) = g(s) = µ((x, x + s)) + µ((x − s, x)). Na mocy twierdzenia Hahna miar¦ ν mo»na przedstawi¢ w postaci ν = ν1 −ν2 +iν3 −iν4 dla pewnych sko«czonych miar nieujemnych ν1 , ν2 , ν3 , ν4 na [0, π), przy czym νj ({0}) = 0 dla j = 1, 2, 3, 4. Niech gj (s) = νj ([0, s)). Otrzymujemy zatem Funkcja 4 Z 1 X π gj (s) sin(ks) |S̃k f (x) − f (x)| ≤ ds . π j=1 0 2 tan 2s ∗ ε > 0 i dobierzmy δ ∈ (0, π) tak, aby gj (δ) < ε dla j = 1, 2, 3, 4. Wówczas Z π Z gj (s) sin(ks) δ sin(ks) ds ds ≤ gj (s) 2 tan 2s s 0 0 Z π 1 (s) 1 (0,δ) + gj (s) sin(ks)ds . s − 2 tan s Ustalmy 0 2 Na mocy lematu 5.11, pierwszy skªadnik nie przekracza d¡»y do zera gdy k → ∞. επ . Poka»emy za chwil¦, »e drugi Wówczas otrzymamy 4 1X (επ + 0) = 4ε, lim sup |S̃k f (x) − f (x)| ≤ π j=1 k→∞ ∗ ε > 0 mo»e by¢ dowolnie maªy, twierdzenie zostanie udowodnione. s −1 Zauwa»my, »e (2 tan ) − s−1 1(0,δ) (s) jest funkcj¡ ograniczon¡ na (0, π), zatem 2 ! 1(0,δ) (|x|) 1 hj (x) = gj (|x|) − |x| 2 tan |x| a poniewa» 2 (−π, π) \ {0}. Ponadto 1(0,δ) (s) − sin(ks)ds = 12 (iĥj (−k) − iĥj (k)). s jest funkcj¡ ograniczon¡ na Z π gj (s) 0 1 2 tan 2s Zbie»no±¢ wyra»enia po lewej stronie do zera wynika z lematu RiemannaLebesgue'a. 21 wiczenie 5.13. Udowodnij, »e szeregi Fouriera funkcji caªkowalnych mo»na caªko- wa¢ wyraz po wyrazie nawet wtedy, gdy nie s¡ zbie»ne. 1 ci±lej: udowodnij, »e je±li f ∈ L ( ), a, b ∈ , a < b, to T b Z f (x)dx = a R fˆ(0)(b − a) 1 + lim k→∞ 2π 2π inb e fˆ(n) X n∈{−k,...,k}\{0} − eina , in przy czym szereg po prawej stronie jest zbie»ny nawet wtedy, gdy szereg Fouriera funkcji f nie jest zbie»ny. f ∈ L 1 (T) Wywnioskuj, »e je±li f (x) ∼ a0 + ∞ X odpowiada klasycznemu szeregowi Fouriera (an cos(nx) + bn sin(nx)), n=1 to nawet je±li powy»szy szereg nie jest zbie»ny, zachodzi b Z f (x)dx = a0 (b − a) + a ∞ X n=1 cos(nb) − cos(na) sin(nb) − sin(na) − bn an n n i szereg po prawej stronie jest zbie»ny. wiczenie 5.14. Zapisz analogiczny wzór na warunek µ({a}) = µ({b}) = 0. µ([a, b]) dla Co wyra»a ten wzór, gdy µ µ ∈ M (T) speªniaj¡cych ma atom w a µ ∈ M (T) lub b? T o wªasno±ci µ( ) = 0 istRπ nieje dokªadnie jedna dystrybuanta f miary µ, która speªnia warunek f (x)dx = 0, −π tj. fˆ(0) = 0. Ponadto udowodnili±my ju», »e fˆ(n) = µ̂(n)/(in) dla n 6= 0. Wpro- wiczenie 5.15. Zauwa», »e dla ka»dej miary f = I(µ); gdy µ(dx) = g(x)dx, piszemy f = I(g). 1 1 Niech µ(dx) = δ0 (dx)− dx, tj. µ(E) = 1E (0)− 2π |E|. Udowodnij, »e dla k ≥ 1, 2π wad¹my oznaczenie (a) ∞ X 1 = (−1)k π I 2k (µ)(0), 2k n n=1 gdzie I 2k oznacza 2k -krotne ∞ X (−1)n−1 n2k n=1 = (−1)k−1 π I 2k (µ)(π), I , tj. I 2k (µ) = I(I(...I(µ)...)). k = 1 i k = 2. zªo»enie operacji (b) Wyznacz warto±ci powy»szych sum dla (c) Przy pomocy komputera wyznacz warto±ci powy»szych sum dla kilku wi¦kszych warto±ci k. (d) Podaj analogiczny sposób wyznaczania sum ∞ X n=1 ∞ X (−1)n−1 . 2k (2n − 1) n=1 1 , (2n − 1)2k Ostatnie twierdzenie tego rozdziaªu dotyczy zbie»no±ci jednostajnej. oszacowa« wspóªczynników szeregu Fouriera funkcji Wymaga ono h z lematu 5.3 nie wystarcza π kf k∞ ωf (s) ds + . 2 s k zbie»no±¢ do zera, któr¡ wykorzystywali±my powy»ej. Lemat 5.16. Je±li f ∈ L ∞ (T) i k ≥ 2, kS̃k f − f k∞ ≤ Wobec tego ci¡gi 4ωf ( 2π ) k to ωf ( πk ) ln k2 π2 + + π 2k kS̃k f − f k∞ / ln(2 + k) oraz Z π/k kSk f − f k∞ / ln(2 + k) s¡ ograniczone. 22 Dowód. Niech x∈T h i niech b¦dzie funkcj¡ z lematu 5.3 dla a = f (x). Na mocy tego lematu, Z π Z π−π/k h(s + πk ) sin(ks)ds. h(s) sin(ks)ds = − π(S̃k f (x) − f (x)) = −π/k 0 Post¦puj¡c tak, jak w dowodzie lematu 3.11, otrzymujemy Z π/k 2π(S̃k f (x) − f (x)) = Z π−π/k + Z h(s) sin(ks)ds − ! Z Z 0 π/k 2π/k + 0 π−π/k π/k h(s + πk ) sin(ks)ds π + 0 Z π−π/k 2π/k + = ! h(s) sin(ks)ds π/k Z π + 0 Z Z h(s) sin(ks)ds π−π/k π−π/k + π/k (h(s) − h(s + πk )) sin(ks)ds. |h(s)| ≤ ωf (s)/ tan 2s , Z π/k Z 2π/k ! Z π/k Z 2π/k ! ks ωf (s) + h(s) sin(ks)ds ≤ + ds tan 2s 0 0 0 0 Z 2π/k ωf (s)ds ≤ 8πωf ( 2π ≤ 4k ) k Caªki szacujemy osobno. W pierwszej i drugiej mamy zatem 0 s 2 tan ≥ s dla s ∈ (0, π)). Trzecia caªka speªnia Z π Z π 2kf k∞ 2πkf k∞ 2πkf k∞ h(s) sin(ks)ds ≤ ≤ . s ds ≤ 1 π k k tan( 2 (π − k )) π−π/k π−π/k tan 2 (wykorzystali±my tu nierówno±¢ Przy szacowaniu czwartej korzystamy z równo±ci (f (x + s) − f (x + s + πk )) + (f (x − s) − f (x − s − πk )) 2 tan( 12 (s + πk )) 1 1 f (x + s) + f (x − s) − 2f (x) + − 2 tan 2s tan( 12 (s + πk )) h(s) − h(s + πk ) = oraz nierówno±ci π 1 sin 2k 1 π π π − = 1 π s 1 π ≤ tan s 2k s s + tan( 2 (s + k )) sin 2 sin( 2 (s + k )) 2 π k ≤ π3 2ks2 sin 2s ≥ π1 s dla s ∈ (0, π)). Otrzymujemy Z Z π−π/k π−π/k ωf ( πk ) π 3 ωf (s) π + ds (h(s) − h(s + k )) sin(ks)ds ≤ π/k ks2 tan( 12 (s + πk )) π/k Z π 3 π ωf (s) π k ≤ 2ωf ( k ) ln 2 + ds. k π/k s2 (dwukrotnie u»yli±my oszacowania Potrzebne b¦dzie oszacowanie caªki po prawej stronie nierówno±ci z lematu. 23 wiczenie 5.17. Przypu±¢my, »e g f, g s¡ funkcjami borelowskimi na przedziale (a, b), jest nieujemna, s Z f (t)dt, F (s) = G(s) = a s ∈ (a, b), G(s) → ∞ gdy s → b− |F (s)|/G(s) → 0 gdy s → b− . wiczenie 5.18. Wywnioskuj, »e je±li s → 0+ , g(t)dt a s¡ sko«czone dla Udowodnij, »e s Z h oraz |f (s)|/g(s) → 0 jest rosn¡ca na (0, π] oraz gdy s → b− . h(s) → 0 gdy to Z lim+ ε ε→0 π ε h(s) ds = 0. s2 Z lematu i powy»szego ¢wiczenia natychmiast wynikaj¡ nast¦puj¡ce dwa rezultaty. Wniosek 5.19. Je±li f ∈ C(T), to kSk f − f k∞ kS̃k f − f k∞ = lim = 0. k→∞ k→∞ ln k ln k lim test DiniegoLipschitza ). lim+ ωf (ε) ln 1ε = 0, Twierdzenie 5.20 ( Je±li f ∈ C(T) oraz ε→0 to Sk f d¡»y jednostajnie do Wniosek 5.21. Je±li α ∈ (0, 1], to Sk f f gdy f ∈ C(T) k → ∞. speªnia warunek Höldera z pewnym wykªadnikiem d¡»y jednostajnie do f gdy k → ∞. Mo»liwych jest wiele wariantów i uogólnie« powy»szych kryteriów zbie»no±ci szeregów Fouriera, np. zbie»no±¢ w twierdzeniu 5.7 jest jednostajna na ka»dym przedziale domkni¦0 tym, na którym f istnieje i jest ci¡gªa. Przedstawione powy»ej twierdzenia s¡ jednak w pewnym sensie optymalne, o czym ±wiadczy¢ b¦dzie przykªad w rozdziale 7. p Rozdziaª ten zako«czmy uwag¡ o zbie»no±ci prawie wsz¦dzie i w L ( ). Na pewno T warto wspomnie¢ o twierdzeniu Carlesona z 1966 roku. Jego dowód jest zbyt skompliko2 wany, by go tu zamie±ci¢. W oryginalnym sformuªowaniu wyst¦puje L ( ) z informacj¡ p o tym, »e rozszerzenie do wszystkich L ( ) jest ªatwe. Formalnie dowód dla wszystkich L p ( ) (p ∈ (1, ∞)) zostaª spisany przez Hunta dwa lata pó¹niej. T T twierdzenie Carlesona ; bez dowodu). Sk f d¡»y do f prawie wsz¦dzie. Twierdzenie 5.22 ( nego T p ∈ (1, ∞), to Je±li f ∈ L p (T) dla pew Wci¡» skomplikowane, lecz du»o ªatwiejsze jest twierdzenie o zbie»no±ci w Twierdzenie 5.23 (bez dowodu). Je±li w L (T). p p ∈ (1, ∞) i f ∈ L p (T), to Sk f L p (T). d¡»y do f 24 Przypadki p = 1 oraz p = ∞ s¡ zupeªnie inne. Widzieli±my ju», »e nie ma zbie»no1 ±ci w L ( ) (dowód byª niekonstruktywny, ale omin¡¢ odwoªanie do zasady Banacha T Steinhausa i skonstruowa¢ odpowiedni przykªad). Z kolei dla dowolnej nieci¡gªej funkcji f ∈ L ∞ ( ) ci¡g Sk f jest zbie»ny do f w L 2 ( ), ale z pewno±ci¡ nie w L ∞ ( ), bowiem T granica jednostajna funkcji ci¡gªych T Sk f T musiaªaby by¢ ci¡gªa. Ponadto w rozdziale 7 podany b¦dzie przykªad funkcji caªkowalnej, której szereg Fouriera jest prawie wsz¦dzie rozbie»ny. 25 6. Szeregi Fouriera ±rednie Cesàro Spo±ród wielu technik uzbie»niania niezbie»nych ci¡gów ±rednie Cesàro wyró»niaj¡ si¦ prostot¡ i doskonale stosuj¡ si¦ do bada« szeregów Fouriera. wiczenie 6.1. Udowodnij, »e je±li ci¡g an jest zbie»ny do a, to ci¡g ±rednich Cesàro k 1X bk = an k n=1 równie» jest zbie»ny do a. Uzasadnij, »e twierdzenie przeciwne nie jest prawdziwe. wiczenie 6.2. Dowiedz si¦ o sumowaniu metod¡ Abela. Definicja 6.3. Dla σk f (x) = nazywamy σk f (x) = Fk jest funkcji f. Analogicznie deniujemy sumy Fejéra miary f ∈ L 1 (T) i k ≥ 0, 1 2π µ. to f ∗ Fk (x), j¡drem Fejéra, Fk (x) = 1 + 2 k X k+1−n n=1 Dowód. funkcje k k l 1 XX ˆ 1 X 1 Sl f (x) = f (n)einx k + 1 l=0 2π k + 1 l=0 n=−l sumami Fejéra Lemat 6.4. Je±li gdzie f ∈ L 1 (T) Z denicji σk k+1 oraz wªasno±ci 1 cos(nx) = k+1 Sk , σk f = 1 2π sin( 21 (k + 1)x) sin( 12 x) f ∗ Fk (x) 2 . dla k Fk (x) = 1 X Dl (x). k + 1 l=0 Zdenicji j¡dra Dirichleta otrzymujemy k l k 1 X X inx 1 X Fk (x) = e =1+ 2(k − n + 1) cos(nx). k + 1 l=0 n=−l k + 1 n=1 Z kolei ze wzoru na j¡dro Dirichleta, k k 1 X sin((l + 12 )x) 1 X ei(l+1/2)x − e−i(l+1/2)x = k + 1 l=0 k + 1 l=0 sin( 12 x) 2i sin( 12 x) ix/2 i(k+1)x 1 1 e (e − 1) e−ix/2 (e−i(k+1)x − 1) = − k + 1 2i sin( 21 x) eix − 1 e−ix − 1 Fk (x) = = 1 1 ei(k+1)x + e−i(k+1)x − 2 1 2 − 2 cos((k + 1)x) = . 1 ix/2 −ix/2 k + 1 2i sin( 2 x) e −e k+1 4(sin( 12 x))2 Teza wynika z to»samo±ci 1 − cos((k + 1)x) = 2(sin( 12 (k + 1)x))2 . 26 wiczenie 6.5. Udowodnij, »e gdy 1 2π Z k ≥ 0, to π Fk (x)dx = 1. −π wiczenie 6.6. Udowodnij, »e 1 0 ≤ Fk (x) ≤ min(k + 1, k+1 π 2 /x2 ) dla ka»dego Fk (x) → 0 x ∈ T \ {0}. x∈ [−π, π] \ {0}. wiczenie 6.7. Udowodnij, »e gdy 0 ≤ k ≤ l, k+1 l−k Sk Fl (x) = Fk (x) + Dk (x). l+1 l+1 wiczenie 6.8. Udowodnij, »e gdy k→∞ dla ka»dego to 1 F speªnia poni»sz¡ denicj¦ jedno±ci aprok2π k symatywnej (sªowo jedno±¢ dotyczy tu operacji splotu). Spotyka si¦ kilka wariantów tej Z powy»szych wªasno±ci wynika, »e ci¡g denicji, na potrzeby pó¹niejszych zastosowa« wykorzystamy wersj¦ stosunkowo ogóln¡. Definicja 6.9. Ci¡g rzeczywistych funkcji ϕk ∈ L 1 (T) jest tywn¡, je±li istnieje zbie»ny do zera ci¡g εk o nast¦puj¡cych Z π ϕk (x)dx ≥ 1 − εk oraz kϕk k1 ≤ 1 + εk ; (A) −π Z −εk Z π + (B) |ϕk (x)|dx ≤ εk . −π εk regularn¡, x ∈ [−π, −εk ] ∪ [εk , π]. Jedno±¢ aproksymatywn¡ nazywamy (C) |ϕk (x)| ≤ εk dla jedno±ci¡ aproksyma- wªasno±ciach: je±li dodatkowo Rπ 1−εk ≤ −π ϕk (x)dx ≤ 1+εk . Ponadto je±li ϕk jest (regularn¡) jedno±ci¡ aproksymatywn¡, to |ϕk | równie» jest (regularn¡) jedno±ci¡ aproksymatywn¡. Czasem + − zamiast ci¡gu ϕk b¦dziemy rozwa»ali rodzin¦ ϕr , gdzie r → 0 lub r → 1 . Zauwa»my, »e wiczenie 6.10. Uzasadnij, »e ci¡g (B) z εk = p π/(k + 1) 1 F speªnia warunek (A) z 2π k p oraz warunek (C) z εk = wiczenie 6.11. Udowodnij, »e je±li funkcje 3 εk = 0, warunek π/(2k + 2). ϕk ∈ L 1 (T) przyjmuj¡ warto±ci rze- czywiste oraz Z −ε lim k→∞ dla ka»dego Z π + −π ε > 0, ϕk (x)dx = 0 ε to speªniony jest warunek (B). Sformuªuj analogiczne twierdzenie dla warunku (C). ϕk jest jedno±ci¡ aproksymatywn¡, to: dla ka»dego f ∈ L (T) oraz ka»dego punktu ci¡gªo±ci x ∈ T funkcji f zachodzi f ∗ ϕk (x) → f (x) gdy k → ∞, a je±li f ∈ C(T), to zbie»no±¢ jest jednostajna; ∞ je±li ponadto funkcje ϕk s¡ parzyste, to dla ka»dego f ∈ L (T) oraz ka»dego punktu x ∈ T w którym funkcja f ma jednostronne granice f− (x) i f+ (x) za1 chodzi f ∗ ϕk (x) → (f− (x) + f+ (x)) gdy k → ∞. 2 Twierdzenie 6.12. Je±li (a) (b) ∞ 27 Je±li ϕk jest regularn¡ jedno±ci¡ aproksymatywn¡, to: f ∈ L 1 (T) oraz ka»dego punktu ci¡gªo±ci x ∈ T funkcji f zachodzi f ∗ ϕk (x) → f (x) gdy k → ∞; 1 je±li ponadto funkcje ϕk s¡ parzyste, to dla ka»dego f ∈ L (T) oraz ka»dego punktu x ∈ T w którym funkcja f ma jednostronne granice f− (x) i f+ (x) za1 chodzi f ∗ ϕk (x) → (f− (x) + f+ (x)) gdy k → ∞. 2 (c) dla ka»dego (d) Dowód. Niech x ∈ T oraz f ∈ L ∞ (T). Przypu±¢my, »e f ma w x jednostronne granice f− (x), f+ (x). Ustalmy ε > 0. Dobierzmy δ > 0 tak, aby |f (y) − f− (x)| < ε gdy x − δ < y < x oraz |f (y) − f+ (x)| < ε gdy x < y < x + δ . Niech k b¦dzie tak du»e, »e εk < δ , εk kf k∞ < ε oraz εk < 1. Wówczas Z −εk Z 0 Z 0 |ϕk (y)|εdy |ϕk (y)| 2kf k∞ dy + ϕk (y)(f (x − y) − f− (x))dy ≤ −εk Z 0 −π −π Z −εk |ϕk (y)|dy |ϕk (y)|dy + ε ≤ 2kf k∞ −π −π i analogicznie π Z 0 Z ϕk (y)(f (x − y) − f+ (x))dy ≤ 2kf k∞ π Z |ϕk (y)|dy + ε εk π |ϕk (y)|dy. 0 Wobec tego Z π −π Z 0 Z π ϕk (y)dy ϕk (y)f (x − y)dy − f− (x) ϕk (y)dy − f+ (x) −π 0 Z −εk Z π Z π |ϕk (y)|dy ≤ 2kf k∞ + |ϕk (y)|dy + ε −π −π εk ≤ 2kf k∞ εk + ε(1 + εk ) < 4ε. Je±li f jest ci¡gªa, otrzymujemy wi¦c Z f ∗ ϕk (x) − f (x) π −π ϕk (y)dy < 4ε. St¡d Z |f ∗ ϕk (x) − f (x)| < 4ε + π −π ϕk (y)dy − 1 |f (x)| ≤ 4ε + εk kf k∞ ≤ 5ε, k jest dostatecznie du»e. Gdy f ∈ C(T), to wybór δ i k nie zale»y od x i otrzymujemy kf ∗ ϕk − f k∞ ≤ 5ε dla dostatecznie du»ych k . To dowodzi cz¦±ci (a) twierdzenia. Podobnie dowodzi si¦ cz¦±ci (b): je±li ϕk s¡ funkcjami parzystymi, to 1 f ∗ ϕk (x) − 1 f− (x) − 1 f+ (x) 2π 2 2 Z 0 Z π 1 1 < 4ε + ϕk (y)dy − 2 |f− (x)| + ϕk (y)dy − 2 |f+ (x)| o ile ≤ 4ε + dla k −π εk kf (x)k∞ 2 0 + εk kf k∞ 2 ≤ 5ε dostatecznie du»ych. Cz¦±ci (c) i (d) maj¡ analogiczne dowody, wystarczy zast¡- pi¢ warunek εk kf k∞ < ε warunkami εk kf k1 < ε, εk |f− (x)| < ε, εk |f+ (x)| < ε oraz 28 wykorzysta¢ oszacowanie −εk ϕk (y)(f (x − y) − f− (x))dy −π Z Z −εk |f (x − y)|dy + |f− (x)| ≤ εk Z −εk |ϕk (y)|dy −π −π w miejsce Z −εk Z ϕk (y)(f (x − y) − f− (x))dy ≤ 2kf k∞ −εk |ϕk (y)|dy. −π −π Szczegóªy pozostawiamy jako ¢wiczenie. wiczenie 6.13. Uzupeªnij dowód cz¦±ci (c) i (d) twierdzenia. twierdzenie Fejéra ). Dla ka»dego f ∈ L 1 (T) oraz ka»dego punktu ci¡gªo±ci x ∈ T funkcji f zachodzi σk f (x) → f (x) gdy k → ∞. Je±li f ∈ C(T), to zbie»no±¢ jest jednostajna. Ponadto dla ka»dego f ∈ L 1 (T) oraz ka»dego punktu x ∈ T w którym funkcja f ma jednostronne granice f− (x) i f+ (x) 1 zachodzi σk f (x) → (f− (x) + f+ (x)) gdy k → ∞. 2 Twierdzenie 6.14 ( Wniosek 6.15. Je±li k → ∞, to f ∈ L 1 (T), x ∈ T, f jest ci¡gªa w x oraz Sk f (x) → a gdy a = f (x). Twierdzenie Fejéra mo»na sprytnie wykorzysta¢ do dowodu zbie»no±ci w L p (T). p ∈ [1, ∞] i niech (X, µ) oraz (Y, ν) b¦d¡ przestrzeniami miarowymi z nieujemnymi σ -sko«czonymi miarami µ i ν . Przypu±¢my, »e hy (x) = h(x, y) R jest nieujemna i mierzalna na X × Y i niech g(x) = hy (x)ν(dy). Wówczas Z kgkL p (X) ≤ khy kL p (X) ν(dy). Lemat 6.16. Niech Y Dowód. Rozwa»my wpierw funkcj¦ h(x, y) = n X h postaci 1Bj (y)hj (x), j=1 gdzie B1 , ..., Bn ⊆ Y s¡ n X ν(Bj )hj j=1 parami rozª¡czne. Nierówno±¢ przyjmuje posta¢ ≤ L p (X) n X ν(Bj )khj kL p (X) , j=1 która jest prostym zastosowaniem nierówno±ci Minkowskiego (tj. nierówno±ci trójk¡ta dla p normy w L (X)). Z odpowiedniej wersji twierdzenia Fubiniego wynika, »e nierówno±¢ z lematu wystarczy udowodni¢ dla funkcji b¦d¡cych liniowymi kombinacjami indykatorów zbiorów postaci A×B dla dowodu. A ⊆ X, B ⊆ Y . Takie funkcje s¡ postaci rozwa»anej w pierwszej cz¦±ci 29 Z powy»szego wyniku natychmiast wynika szczególny przypadek nierówno±ci Younga, o której wi¦cej w rozdziale 12. Wniosek 6.17. Je±li p ∈ [1, ∞], f ∈ L 1 (T) oraz g ∈ L p (T), to f ∗ g ∈ L p (T) i kf ∗ gkp ≤ kf k1 kgkp . Dowód. Stosujemy lemat 6.16 dla Twierdzenie 6.18. Niech Dla ka»dego f ∈ L (T) p h(x, y) = g(x − y) ϕk ν(dy) = f (y)dy . oraz b¦dzie jedno±ci¡ aproksymatywn¡ i niech p zachodzi f ∗ ϕk → f w L ( ) gdy k → ∞. T p ∈ [1, ∞). Dowód. Niech Ty f (x) = f (x + y) oraz F (y) = kTy f − f kp . Na mocy lematu F jest ci¡gªa. Zauwa»my, »e Z π ϕ (y)f (x − y)dy − f (x) k −π Z π Z π ≤ |ϕk (y)||f (x − y) − f (x)|dy + ϕk (y)dy − 1 |f (x)| −π Z−π π ≤ |ϕk (y)||f (x − y) − f (x)|dy + εk |f (x)|. 4.4 funkcja −π X = T, µ(dx) = dx oraz Y = T, ν(dy) = |ϕk (y)|dy . Niech Rπ hy (x) = |f (x − y) − f (x)| oraz g(x) = −π |ϕk (y)|hy (x)dy . Otrzymujemy Z π kf ∗ ϕk − f kp ≤ kg + εk |f |kp ≤ kgkp + εk kf kp ≤ |ϕk (y)|khy kp dy + εk kf kp . Wykorzystamy lemat 6.16 dla −π khy kp = kT−y f − f kp = F (−y). Wobec tego Z π kf ∗ ϕk − f kp ≤ |ϕk (y)|F (−y)dy + εk kf kp = |ϕk | ∗ F (0) + εk kf kp . Ponadto −π |ϕk | jest jedno±ci¡ aproksymatywn¡) wynika, »e |ϕk | ∗ F (0) k → ∞. Z twierdzenia 6.12 (i faktu, »e d¡»y do F (0) = 0 gdy Twierdzenie 6.19. Je±li gdy p ∈ [1, ∞) oraz f ∈ L p (T), to σk f d¡»y do f k → ∞. f ∈ L 1 (T) wszystkich x ∈ T. Wniosek 6.20. Je±li dla prawie Wniosek 6.21. Je±li wsz¦dzie gdy k → ∞, oraz f ∈ L 1 (T) i fˆ(n) = 0 Sk f dla wszystkich f prawie wsz¦dzie. ϕk b¦dzie jedno±ci¡ aproksymatywn¡ Udowodnij, »e dla f ∈ C(T) i µ ∈ M (T) zachodzi Z π Z π µ ∗ ϕk (x)f (x)dx = f ∗ ϕ̃k (x)µ(dx). −π −π to L p (T) f (x) = 0 jest zbie»ny wzgl¦dem miary lub prawie to granica jest równa wiczenie 6.22. Niech n ∈ Z, w oraz ϕ̃k (x) = ϕk (−x). 30 Wywnioskuj, »e je±li µ ∈ M (T), to µ ∗ ϕk (x)dx d¡»y *sªabo do µ. µ ∈ M (T), wszystkich n ∈ Z, wiczenie 6.23. Wywnioskuj z poprzedniego ¢wiczenia, »e je±li to σk µ(x)dx µ = 0. d¡»y *sªabo do to Zbie»no±¢ σk f do f µ. W szczególno±ci je±li prawie wsz¦dzie dla µ̂(n) = 0 f ∈ L 1 (T) dla wyniknie z ogólnych metod omó- wionych w nast¦pnych rozdziaªach. Poni»ej jedynie formuªujemy odpowiednie twierdzenie. Twierdzenie 6.24 (dowód w rozdziale 13). Je±li prawie wsz¦dzie gdy k → ∞. f ∈ L 1 (T), to σk f d¡»y do f 31 Szeregi Fouriera przykªady szeregów rozbie»nych 7. W pierwszej cz¦±ci tego rozdziaªu skonstruujemy funkcj¦ ci¡gª¡, której szereg Fouriera jest rozbie»ny. Opisany ni»ej pomysª pochodzi of Fejéra. Gdy fk,l (x) = l X cos((k + l − n)x) − cos((k + l + n)x) n n=1 Zauwa»my, »e fk,l (0) = 0. Przypomnijmy, »e k≥0 wiczenie 7.1. Wyka», »e dla Z x 0 oraz Dk 1 ≤ l < k, okre±lamy . oznacza j¡dro Dirichleta. x ∈ (−π, π), Dk (y)dy ≤ π 2 . Mo»esz wykorzysta¢ lemat 5.11. wiczenie 7.2. Uzasadnij, »e fk,l (x) = 2 sin((k + l)x) l X sin(nx) n=1 i wobec tego n Z x Dl (y)dy − x = sin((k + l)x) 0 kfk,l k∞ ≤ π(π + 1). wiczenie 7.3. Udowodnij, »e Sk+l fk,l (x) = l X cos((k + l − n)x) n n=1 Pl Sk+l fk,l (0) = n=1 n1 ≥ ln l. Wyka» ponadto, »e dla Sm fk,l (x) = 0 dla m < k oraz Sm fk,l (x) = fk,l (x) dla m ≥ k + 2l. i wobec tego wszystkich x ∈ T, am b¦dzie sumowalnym ci¡giem liczb nieujemnych, za± km i lm rosn¡cymi ci¡gami naturalnych o wªasno±ci km + 2lm < km+1 dla wszystkich m ≥ 1. Okre±lamy Niech liczb g(x) = ∞ X am fkm ,lm (x). m=1 g jest poprawnie okre±lona, ci¡gªa i ma nast¦g(0) = 0, Skm −1 g(0) = 0, Skm +lm g(0) ≥ am ln lm dla wszystkich wiczenie 7.4. Wyka», »e funkcja puj¡ce wªasno±ci: m ≥ 1. wiczenie 7.5. Dobierz ci¡gi Sk g(0) am , km i lm w poprzednim ¢wiczeniu tak, aby ci¡g byª nieograniczony. wk liczb rzeczywiam , km i lm tak, aby ci¡g (wk / ln k)Sk g(0) byª nieograniczony. Porównaj wiczenie 7.6. Dla dowolnego nieograniczonego ci¡gu rosn¡cego stych dobierz uzyskany wynik z wnioskiem 5.19. Druga cz¦±¢ tego rozdziaªu po±wi¦cona jest imponuj¡cemu przykªadowi funkcji z L 1 (T), której szereg Fouriera jest rozbie»ny prawie wsz¦dzie. Pokazuje on, »e twierdzenie Carle1 sona nie rozszerza si¦ do L ( ). Pierwsza taka funkcja zostaªa opisana przez Koªmogo- T rowa w 1923 roku, poni»sza konstrukcja jest bardzo podobna. Zaªó»my, dla ka»dego dostatecznie maªego f oraz zbiór borelowski E ⊆ [0, 2π) ε>0 istnieje wielomian trygonometryczny o nast¦puj¡cych wªasno±ciach: kf k1 jest ograniczona 32 ε, fˆ(0) = 0, miara E wynosi co najmniej 2π(1 − ε2 ) oraz dla x ∈ E zachodzi |Sl f (x)| > ε12 dla pewnego l nie przekraczaj¡cego stopnia wielomianu trygonometrycznego f . Istnienie f i E b¦dzie wykazane pó¹niej. Dobierzmy funkcje fk i zbiory Ek zgodnie z powy»szymi warunkami do sumowalnego ci¡gu εk o nast¦puj¡cej wªasno±ci: jednostajnie ze wzgl¦du na k−1 X εj kfj k∞ < j=1 k ≥ 1. dla wszystkich qk+1 /qk 1 2εk Dobierzmy ponadto ci¡g dodatnich liczb caªkowitych byªo wi¦ksze od stopnia wielomianu trygonometrycznego g(x) = ∞ X fk . qk tak, aby Okre±lamy εj fj (qj x). j=1 Skoro ci¡g εk jest sumowalny, a normy kfj k1 wspólnie ograniczone, szereg po prawej L 1 ( ), wi¦c g jest poprawnie okre±lona i g ∈ L 1 ( ). T stronie jest zbie»ny w T h ∈ L 1 (T), q ≥ 1 oraz hq (x) = h(qx). Udowodnij, »e ĥq (qn) = ĥ(n) dla n ∈ Z oraz ĥq (n) = 0 gdy n ∈ Z nie dzieli si¦ przez q . Wywnioskuj, »e Sql hq (x) = Sl h(qx). wiczenie 7.7. Niech wiczenie 7.8. Wykorzystuj¡c poprzednie ¢wiczenie i denicj¦ Sqk l g(x) = k−1 X qk , udowodnij, »e εj fj (qj x) + εk Sl fk (qk x). j=1 gdy l ≤ qk+1 /qk . E ⊆ [0, 2π) niech 1q E oznacza zbiór liczb z przedziaªu [0, 2π) x+2nπ 1 postaci dla x ∈ E i n ∈ Z. Zauwa», »e E ma t¦ sam¡ miar¦, co E . Wykorzyq q 1 E , to istnieje stuj¡c poprzednie ¢wiczenie oraz denicj¦ εj , udowodnij, »e je±li x ∈ qk k l takie, »e |Sqk l g(x)| > 1/(2εk ). wiczenie 7.9. Dla x nale»y do niesko«czenie wielu spo±ród zbio1 rów E , to ci¡g Sk g(x) jest rozbie»ny. Wykorzystuj¡c wªasno±¢ zbiorów Ek , udoqk k wodnij, »e szereg Fouriera g jest rozbie»ny dla prawie wszystkich x ∈ . wiczenie 7.10. Wywnioskuj, »e je±li T Poni»ej konstruujemy funkcj¦ f E o »¡danych wªasno±ciach. Przypomnijmy, »e Dk i Fk oznaczaj¡ j¡dra Dirichleta i Fejéra oraz »e gdy 0 ≤ k ≤ l, to Sk Fl = k+1 F + l−k D. l+1 l l+1 l Ustalmy k ≥ 1. Dla j = 0, 1, .., k okre±lamy xj = 2π i zbiór 2j 2k+1 i deniujemy k 1X Fl (x − xj ), f (x) = k j=1 j lj ≥ k 4 , lj+1 > 2lj oraz 2lj +1 jest podzielne przez 2k+1. Na przykªad mo»emy obra¢ lj = 3j k 4 (2k+1)+k , cho¢ dokªadna posta¢ lj nie b¦dzie nam potrzebna (wa»na natomiast b¦dzie posta¢ xj ). gdzie l1 , ..., lk jest ustalonym ci¡giem, speªniaj¡cym nast¦puj¡ce warunki: 33 Ponadto okre±lamy przedziaªy Ij = (xj−1 + Oczywi±cie f 1 , xj k2 − 1 ). k2 jest nieujemna i ma caªk¦ 2π . Szukan¡ funkcj¡ b¦dzie »e zerowy wspóªczynnik szeregu Fouriera funkcji 4π . Ponadto f −1 f (x)−1 wynosi zero i ponadto kf −1k1 ≤ 2k + 1 2l + 1, dzieli to sin((l + 21 )nx). wiczenie 7.12. Udowodnij, »e jesli to zbiór Zauwa»my, jest wielomianem trygonometrycznym stopnia lk . wiczenie 7.11. Zauwa», »e gdy b∈R c|I|. f (x) − 1. E tych x∈I I c ∈ (0, 21 ), a > 2π/(c|I|), | sin(a(x − b))| < c ma miar¦ mniejsz¡ ni» jest przedziaªem, dla których wiczenie 7.13. Zauwa», »e je±li sin((l + 12 )n(x − xj )) = 1 ≤ n < k, to n k 1X 1 X ln + 1 Sln f (x) = Fl (x − xj ) + Fl (x − xj ) k j=1 j k j=n+1 lj + 1 n k 1 X lj − ln + Dl (x − xj ). k j=n+1 lj + 1 n wiczenie 7.14. Udowodnij, »e je±li 1≤n<k oraz x ∈ In , to n k 1X 1 X ln + 1 0≤ Fl (x − xj ) ≤ π 2 Fl (x − xj ) + k j=1 j k j=n+1 lj + 1 n (wykorzystaj oszacowania j¡dra Fejéra, denicj¦ korzystuj¡c podzielno±¢ 2lj + 1 przez 2k + 1), Ij ≥ k 4 ). oraz lj Wywnioskuj (wy- »e k 1 X lj − ln sin((ln + 12 )x) |Sln f (x)| ≥ − π2. k j=n+1 lj + 1 sin( 21 (x − xj )) wiczenie 7.15. Udowodnij, »e je±li 1≤n<k− √ k oraz x ∈ In , to k | sin((ln + 21 )x)| X 1 − π2 |Sln f (x)| ≥ k x − xn−1 j=n+1 j | sin((ln + 12 )x)| 1 ( 2 ln k − 1) − π 2 4π denicj¦ xj oraz lj+1 ≥ 2lj ). ≥ (wykorzystaj ε = (ln k)−1/5 i niech E b¦dzie zbiorem tych x ∈ [0, 2π), dla 1 których |Sln f (x)| > 2 +1 dla pewnego n. Udowodnij, »e je±li k jest dostatecznie du»e √ ε 1 2 oraz 1 ≤ n < k − k , to miara zbióru In \E wynosi co najwy»ej ε |In |. Wywnioskuj, 2 2 »e dla dostatecznie du»ych k miara E wynosi co najmniej 2π(1 − ε ). wiczenie 7.16. Niech k jest dostatecznie ε = (ln k)−1/5 . Wobec tego je±li wªasno±ci dla du»e, funkcja f −1 oraz zbiór E maj¡ »¡dane 34 8. Transformata Fouriera na Rd denicje i wªasno±ci Teori¦ szeregów Fouriera mo»na uogólnia¢ na wiele sposobów, których nie b¦dziemy tu omawia¢ (np. funkcje prawie okresowe). Skupimy si¦ na najwa»niejszym poj¦ciu: transd formacie Fouriera w przestrzeniach euklidesowych , d ≥ 1. Pó¹niej krótko omówimy R teori¦ dla lokalnie zwartych grup topologicznych. x·y oznaczamy iloczyn skalarny wektorów x, y ∈ Rd , za± przez B(x, r) oznaczamy d otwart¡ kul¦ o ±rodku w x ∈ R i promieniu r > 0. Przestrze« funkcji ci¡gªych i ograd niczonych oznaczamy przez Cb (R ). No±nik funkcji f , oznaczany supp f , to domkni¦cie d zbioru {x ∈ R : f (x) 6= 0}. Zbiór funkcji ci¡gªych o ograniczonym (i przez to zward d tym) no±niku oznaczamy Cc (R ). Jego domkni¦cie w Cb (R ) (w normie jednostajnej) to d przestrze« C0 (R ) funkcji ci¡gªych zbie»nych do zera w niesko«czono±ci. Przez Denicja transformaty Fouriera jest podobna do denicji szeregu Fouriera, zamiast ek (x) = eikx mamy funkcje eξ (x) = eiξx . funkcji Definicja 8.1. Je±li funkcji f ∈ L 1 (Rd ), i ξ ∈ Rd , to okre±lamy transformat¦ Fouriera f: fˆ(ξ) = Z R f (x)e−iξ·x dx. d Analogicznie je±li Z µ̂(ξ) = T µ ∈ M (Rd ) i ξ ∈ Rd , to okre±lamy transformat¦ Fouriera miary µ: e−iξ·x µ(dx). Przyporz¡dkowanie funkcji lub mierze jej transformaty Fouriera to transformacja Fouriera. Proste wªasno±ci transformacji Fouriera s¡ zawarte w nast¦puj¡cych ¢wiczeniach. wiczenie 8.2. Zauwa», »e je±li f ∈ L 1 (Rd ), µ ∈ M (Rd ), to fˆ, µ̂ ∈ Cb (Rd ) kfˆk∞ ≤ kf k1 , kµ̂k∞ ≤ kµk, zatem transformacja Fouriera jest ograniczonym 1 d d d d torem liniowym z L (R ) w Cb (R ) oraz z M (R ) w Cb (R ). wiczenie 8.3. Sprawd¹, »e je±li ĝ(ξ) = fˆ(−ξ) oraz f ∈ L 1 (Rd ), g(x) = f (x) opera- h(x) = f (−x), to ĥ(ξ) = fˆ(−ξ). f ∈ L 1 (Rd ), a ∈ Rd fˆ(ξ), ĥ(ξ) = e−iξ·a fˆ(−ξ). wiczenie 8.4. Sprawd¹, »e je±li h(x) = f (a − x), oraz i to ĝ(ξ) = e iξ·a oraz g(x) = f (a + x), f ∈ L 1 (Rd ), r > 0 oraz g(x) = rd f (rx), to ĝ(ξ) = fˆ(ξ/r). Ogólniej, udowodnij, »e je±li f ∈ L 1 (Rd ), A jest niezdegenerowan¡ −1 T macierz¡ d × d oraz g(x) = | det A|f (Ax), to ĝ(ξ) = fˆ((A ) ξ). Wywnioskuj, »e 1 d je±li f (x) = g(|x|) i f ∈ L (R ), to fˆ(ξ) = h(|ξ|) dla pewnej funkcji h. Poczytaj o wiczenie 8.5. Udowodnij, »e je±li transformacji Hankela. f1 ∈ L 1 (Rd1 ), f2 ∈ L 1 (Rd2 ) i okre±lmy f (x) = f1 (x1 )f2 (x2 ) dla x = (x1 , x2 ), x1 ∈ Rd1 , x2 ∈ Rd2 . Udowodnij, »e fˆ(ξ) = fˆ1 (ξ1 )fˆ2 (ξ2 ) d d dla ξ = (ξ1 , ξ2 ), ξ1 ∈ R 1 , ξ2 ∈ R 2 . wiczenie 8.6. Przypu±¢my, »e 35 f, g ∈ L 1 (Rd ), v ∈ Rd wiczenie 8.7. Przypu±¢my, »e oraz t Z f (x + tv) − f (x) = g(x + sv)ds 0 v jest j -tym wektorem bazowym, pochodna g = ∂j f ∈ L (Rd )). Udowodnij, »e ĝ(ξ) = iv · ξ fˆ(ξ). (w szczególno±ci tak jest, gdy ∂j f istnieje oraz wiczenie 8.8. Przypu±¢my, »e Udowodnij, »e pochodna Splot funkcji f cz¡stkowa 1 g oraz f ∈ L 1 (Rd ), g(ξ) = −iξj f (ξ) ∂j fˆ istnieje i jest transformat¡ Fouriera f ∗g to funkcja g ∈ L 1 (Rd ). oraz g. dana wzorem Z f ∗ g(x) = Rd f (x − y)g(y)dy wsz¦dzie tam, gdzie caªka ma sens. Z twierdzenia Fubiniego wynika, »e je±li f, g ∈ L 1 ( d ), to f ∗ g jest okre±lona prawie wsz¦dzie i f ∗ g ∈ L 1 ( d ). Je±li f ∈ L 1 ( d ) oraz g ∈ L ∞ ( d ), to f ∗ g jest okre±lona wsz¦dzie i f ∗ g ∈ L ∞ ( d ), a nawet f ∗ g ∈ Cb ( d ) 2 d na mocy wniosku 4.5 (z minimaln¡ zmian¡). Podobnie je±li f, g ∈ L ( ), to f ∗ g jest ∞ d d okre±lona prawie wsz¦dzie i f ∗ g ∈ L ( ), a nawet f ∗ g ∈ Cb ( ). R R R R R R Lemat 8.9. Je±li Dowód. R f, g ∈ L 1 (Rd ) i h = f ∗ g , to R R ĥ(ξ) = fˆ(ξ)ĝ(ξ). Na mocy twierdzenia Fubiniego, Z ĥ(ξ) = −iξ·x h(x)e Rd Z = fˆ(ξ) Rd Z dx = Rd g(y)e −iξ·y Z −iξ·(x−y) Rd f (x − y)e dx dy g(y)e−iξ·y g(y)dy = fˆ(ξ)ĝ(ξ). f, g ∈ L 1 (Rd ), to Z f (x)ĝ(x)dx = fˆ(ξ)g(ξ)dξ. Lemat 8.10. Je±li Z Rd Dowód. Rd Ponownie na mocy twierdzenia Fubiniego, Z Z Rd f (x) Rd −ix·ξ g(ξ)e Z dξ dx = Z Rd Rd f (x)e −iξ·x dx g(ξ)dξ. Bardziej zaawansowane wªasno±ci transformaty Fouriera mo»na uzyska¢ w rozmaity sposób. Jednym z najprostszych jest wykorzystanie j¡dra GaussaWeierstrassa, zdeniod wanego dla r > 0 i x ∈ wzorem R Kr (x) = 1 2 e−|x| /(4r) . d/2 (4πr) Lemat 8.11. Zachodzi Dowód. K̂r (ξ) = exp(−r|ξ|2 ). r = 1/2. Zauwa»my, Z ∞ ∞ e 1 2 ξ 2 /2 −x2 /2 −iξx e K̂1/2 (ξ) = √ e e dx = √ e−(x+iξ) /2 dx. 2π −∞ 2π −∞ Rozwa»my najpierw przypadek ξ 2 /2 Z d=1 oraz »e 36 exp(−z 2 /2) Funkcja jest holomorczna wzgl¦dem [−R, R] × [0, ξ], Z Z ξ −(R+iy)2 /2 −x2 /2 e idy − e dx + z ∈ C, zatem na mocy tw. Cauchy'ego dla brzegu prostok¡ta Z R 0= −R 2 2 2 2 |e−(±R+iy) /2 | = e−(R −y )/2 ≤ e−(R −4r do zera gdy R → ∞. Wobec tego Z ∞ Z ∞ 2 −x2 /2 e−(x+iξ) /2 dx. e dx − 0= d¡»¡ −(x+iξ)2 /2 e Z 2 )/2 ξ dx − −R 0 Poniewa» R e−(−R+iy) 2 /2 idy. 0 dla y ∈ [0, ξ], druga i czwarta caªka −∞ −∞ Caªkuj¡c we wspóªrz¦dnych biegunowych, otrzymujemy Z ∞ −x2 /2 e 2 dx Z ∞ Z ∞ = −(x2 +y 2 )/2 e −∞ −∞ Z ∞ dydx = 2π −∞ re−r 2 /2 dr = 2π. 0 Otrzymujemy zatem e ξ 2 /2 1 K̂1/2 (ξ) = √ 2π Z ∞ e−x 2 /2 dx = 1. −∞ d = 1 i r = 1/2 zostaª udowodniony. √ √ d = 1 i r > 0, zachodzi Kr (x) = (1/ 2r)K1/2 (x/ 2r), √ 2 √ 2 K̂r (ξ) = K̂1/2 (ξ 2r) = e−(ξ 2r) /2 = e−rξ . Lemat dla Gdy W przypadku wielowymiarowym gdzie K̃r zatem Kr (x) = K̃r (x1 )K̃r (x2 )...K̃r (xd ) jest j¡drem GaussaWeierstrassa w R 1 dla x = (x1 , x2 , ..., xd ), , przez co ˆ (ξ ) = e−rξ12 e−rξ22 ...e−rξd2 ˆ (ξ )...K̃ ˆ (ξ )K̃ K̂r (ξ) = K̃ r d r 2 r 1 dla ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξd ). Udowodnimy, »e Kr jest regularn¡ jedno±ci¡ aproksymatywn¡ gdy odpowiednio zmodykowan¡ denicj¡ 6.9. ci±lej, rodzin¦ funkcji jedno±ci¡ aproksymatywn¡, je±li istniej¡ liczby εr > 0 r → 0+ , zgodnie z ϕr nazywamy regularn¡ + zbie»ne do zera gdy r → 0 o nast¦puj¡cych wªasno±ciach: Z (A) (B) (C) ZRd ϕr (x)dx ≥ 1 − εr Rd \B(0,εr ) oraz kϕr k1 ≤ 1 + εr ; |ϕr (x)|dx ≤ εr ; |ϕr (x)| ≤ εr dla x ∈ Rd \ B(0, εr ). Je±li speªnione s¡ tylko pierwsze dwa z powy»szych warunków, mówimy po prostu, »e ϕr jest jedno±ci¡ aproksymatywn¡. Widzimy, »e Kr (x) ≥ 0 z ogólniejszego faktu. oraz R Rd Kr (x)dx = ϕ̂r (0) = 1. Pozostaªe wªasno±ci wynikaj¡ α(r) b¦dzie funkcj¡ o warto±ciach dodatnich, zbie»n¡ do zera gdy r → 0R . Dowolny ukªad funkcji ϕr postaci ϕr (x) = (α(r))−d f (x/α(r)), gdzie f (x) ≥ 0 oraz (III), Rd f (x)dx = 1, jest jedno±ci¡ aproksymatywn¡. Aby zachodziª warunek d wystarczy zaªo»y¢ dodatkowo, »e lim|x|→∞ f (x) = 0 (czyli np. f ∈ C0 (R )). Lemat 8.12. Niech + 37 Dowód. Oczywi±cie speªniony jest warunek (A). Ponadto dla dowolnego Z lim r→0+ Z ϕr (x)dx = lim+ Rd \B(0,ε) r→0 Rd ε>0 zachodzi f (x)1Rd \B(0,ε/α(r)) (x)dx = 0 na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci ograniczonej. Niech wi¦c r0 (ε) > 0 b¦dzie najwi¦ksz¡ liczb¡ o wªasno±ci Z Rd \B(0,ε) ϕr (x)dx < ε r ∈ (0, r0 (ε)) (dopuszczamy r0 (ε) = ∞). Oczywi±cie r0 jest rosn¡c¡ ε > 0. Okre±lmy εr = 2 inf{ε > 0 : r0 (ε) > r}. Wówczas dla dowolnego r > 0 zachodzi r ∈ (0, r0 (εr )), a wi¦c speªniony jest warunek (B). Ponadto dla ka»dego ε > 0 + je±li r0 (ε) > r , to εr ≤ 2ε, zatem εr d¡»y do zera gdy r → 0 (powy»szy argument jest dla wszystkich funkcj¡ rozwi¡zaniem ¢w. 6.11). Gdy lim|x|→∞ f (x) = 0, to analogicznie otrzymujemy lim sup{ϕr (x) : x ∈ Rd \ B(0, ε)} = 0 r→0+ dla ka»dego ε>0 i w powy»szej konstrukcji okre±lamy r0 (ε) tak, aby dla r ∈ (0, r0 (ε)) dodatkowo sup{ϕr (x) : x ∈ Rd \ B(0, ε)} < ε. Poni»sze twierdzenie zostaªo udowodnione (w nieco rozszerzonej wersji, uwzgl¦dniaj¡cej pewne funkcje nieci¡gªe) dla funkcji okre±lonych na T jako twierdzenia 6.12 i 6.18. Dowód wersji euklidesowej w zasadzie nie ró»ni si¦ niczym. Twierdzenie 8.13. (a) Je±li ϕr jest jedno±ci¡ aproksymatywn¡, to dla ka»dego f ∈ L ( ) oraz ka»dego punktu ci¡gªo±ci x ∈ d funkcji f zachodzi f ∗ ϕr (x) → f (x) gdy r → 0+ . Je±li f ∈ Cb ( d ), to zbie»no±¢ jest jednostajna na d d zwartych podzbiorach , a je±li f jest jednostajnie ci¡gªa (np. f ∈ C0 ( )), ∞ R R d R R R to zbie»no±¢ jest jednostajna. jest regularn¡ jedno±ci¡ aproksymatywn¡, to dla ka»dego f ∈ d oraz ka»dego punktu ci¡gªo±ci x ∈ funkcji f zachodzi f ∗ ϕr (x) + gdy r → 0 . (b) Je±li ϕr R ϕr jest jedno±ci¡ aproksymatywn¡ oraz p ∈ [1, ∞), L (Rd ) zachodzi f ∗ ϕr → f w L p (Rd ) gdy r → 0+ . (c) Je±li p L 1 (Rd ) → f (x) to dla ka»dego f ∈ wiczenie 8.14. Sprawdzi¢, »e w dowodzie odpowiednich twierdze« w rozdziale 6 wystarczy zamieni¢ T na Rd i usun¡¢ cz¦±¢ dotycz¡c¡ funkcji nieci¡gªych, by uzyska¢ dowód twierdzenia 8.13. Powy»sze twierdzenie stosuje si¦ w szczególno±ci do j¡dra GaussaWeierstrassa. lemat RiemannaLebesgue'a ). Twierdzenie 8.15 ( Je±li f ∈ L 1 (Rd ), to fˆ ∈ C0 (Rd ). Dowód. Transformata Fouriera fr = f ∗ Kr jest równa fˆr (ξ) = exp(−r|ξ|2 )fˆ(ξ), fˆr ∈ C0 (Rd ). Ponadto kfˆr − fˆk∞ ≤ kfr − f k1 → 0 gdy r → 0+ . wi¦c 38 wzór na transformat¦ odwrotn¡ ). Twierdzenie 8.16 ( zbie»no±ci w L (R ) 1 d Je±li f ∈ L 1 (Rd ), to w sensie zachodzi Z 1 2 f (x) = lim+ e−r|ξ| fˆ(ξ)eiξ·x dξ, d r→0 (2π) Rd 1 d d a je±li ponadto fˆ ∈ L (R ), to powy»sza zbie»no±¢ jest jednostajna wzgl¦dem x ∈ R oraz 1 f (x) = (2π)d Z fˆ(ξ)eiξ·x dξ R d x ∈ Rd . funkcji fˆ(ξ). W dla wszystkich Fouriera Dowód. t > 0, Niech Innymi sªowy, w tym przypadku d szczególno±ci f ∈ C0 ( ). R fx (y) = f (x − y) dla x, y ∈ Rd . Z f ∗ K̂t (x) = Rd Z fx (y)K̂t (y)dy = Rd Zachodzi f (−x) jest transformat¡ fˆx (ξ) = e−iξ·x fˆ(−ξ), zatem dla fˆx (ξ)Kt (ξ)dξ. K̂t (x) = exp(−t|x|2 ) = (π/t)d/2 K1/(4t) (x) oraz Kt (ξ) = (4πt)−d/2 K̂1/(4t) (ξ). Przyjmuj¡c r = 1/(4t), otrzymujemy Z d/2 −d/2 −d/2 π t f ∗ Kr (x) = (4πt) fˆx (ξ)K̂r (ξ)dξ, Zauwa»my, »e Rd czyli 1 f ∗ Kr (x) = (2π)d Z 1 fˆx (ξ)K̂r (ξ)dξ = (2π)d Rd Z Rd 2 e−iξ·x fˆ(−ξ)e−rξ dξ. Wraz z twierdzeniem 8.13 ko«czy to dowód pierwszej cz¦±ci. Gdy fˆ ∈ L 1 (Rd ), drugi wzór z twierdzenia wynika z pierwszego na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci ograniczonej. Ponadto 1 |f (x) − f ∗ Kr (x)| ≤ (2π)d a prawa strona nie zale»y od Z 2 Rd (1 − er|ξ| )|fˆ(ξ)|dξ, x i d¡»y do zera gdy r → 0+ na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci ograniczonej. Oznacza to, »e zbie»no±¢ w pierwszym wzorze z twierdzenia jest jednostajna. Wniosek 8.17. Je±li f, g ∈ L 1 (Rd ) oraz fˆ = ĝ prawie wsz¦dzie, to f =g prawie wsz¦dzie. Poni»sze ¢wiczenia zawieraj¡ kolejne proste wªasno±ci transformaty Fouriera. wiczenie 8.18. Udowodnij, »e wtedy, gdy f ∈ L 1 (Rd ) ma warto±ci rzeczywiste wtedy i tylko fˆ(−ξ) = fˆ(ξ). wiczenie 8.19. Udowodnij, »e f ∈ L 1 (Rd ) wtedy, gdy fˆ(−ξ) = fˆ(ξ) = Z Rd f (x) cos(ξ · x)dx. jest funkcj¡ parzyst¡ wtedy i tylko 39 f ∈ L 1 (Rd ) wiczenie 8.20. Udowodnij, »e jest funkcj¡ nieparzyst¡ wtedy i tylko wtedy, gdy −fˆ(−ξ) = fˆ(ξ) = i Z Rd f (x) sin(ξ · x)dx. f ∗ Kr W nast¦pnym dowodzie wykorzystamy zbie»no±¢ L 2 ( d ). R twierdzenie Plancherela ). Twierdzenie 8.21 ( f ḡ ∈ L (R ) i Z f (x)g(x)dx = 1 Rd Z Rd w L 2 (Rd ) f ∈ to fˆ(ξ)ĝ(ξ)dξ. Wobec tego transformacja Fouriera rozszerza si¦ do ci¡gªego operatora −d/2 i (2π) F jest operatorem unitarnym na L 2 ( d ). R Dowód. dla f, g ∈ L 1 (Rd ) ∩ L 2 (Rd ), Je±li d 1 (2π)d f do F na L 2 (Rd ) f, g ∈ L 1 (Rd ). Zauwa»my, »e dla r > 0, funkcja f ∗ g ∗ Kr oraz jej 1 d Fouriera, tj. fˆĝ K̂r , nale»¡ do L (R ). Na mocy wzoru na transformat¦ Niech transformata odwrotn¡, Z 1 f (x)g ∗ Kr (−x)dx = f ∗ g ∗ Kr (0) = (2π)d Rd Z Rd 2 fˆ(ξ)ĝ(ξ)e−r|ξ| dξ. f, g ∈ L 2 (Rd ). Gdy r → 0+ , g ∗ Kr d¡»y do g w L 2 (Rd ), zatem Rd f (x)g(−x)dx. Rozwa»my g(x) = f (−x). Wówczas ĝ(ξ) = fˆ(ξ), Przypu±¢my, »e ponadto lewa strona d¡»y do R zatem na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci monotonicznej Z 1 |f (x)| dx = lim+ r→0 (2π)d Rd 2 Z R e −r|ξ|2 d 1 |fˆ(ξ)| dξ = (2π)d 2 Z R |fˆ(ξ)|2 dξ. d R 2 d W szczególno±ci fˆ ∈ L ( ) i kfˆk2 = (2π)d/2 kf k2 . Wobec tego dla ogólnych 1 d 2 d L ( ) ∩ L ( ), na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci ograniczonej, R R Z 1 f (x)g(−x)dx = lim+ r→0 (2π)d Rd Z −r|ξ|2 R e fˆ(ξ)ĝ(ξ)dξ = d Twierdzenie Plancherela uzyskujemy, zast¦puj¡c funkcj¦ g(x) 1 (2π)d Z przez g(−x). R f, g ∈ fˆ(ξ)ĝ(ξ)dξ. d L 2 (Rd ) nie jest podzbiorem L 1 (Rd ). Cho¢ rozró»nienie mi¦dzy trans1 d 2 d formacj¡ Fouriera na L (R ) oraz na L (R ) cz¦sto jest nieistotne, b¦dziemy konse1 d kwentnie oznacza¢ transformat¦ Fouriera f ∈ L (R ) przez fˆ, za± transformat¦ Fouriera f ∈ L 2 (Rd ) przez Ff . Zauwa»my, »e Wniosek 8.22. Je±li Dowód. f, g ∈ L 2 (Rd ) oraz h = f g, to ĥ = (2π)−d Ff ∗ Fg . gξ (x) = eiξx g(x). Na mocy twierdzenia Plancherela, Z Z 1 Ff (η)Fgξ (η)dη. ĥ(ξ) = f (x)gξ (x)dx = (2π)d Rd Rd Niech Fgξ (η) = Fg(ξ − η) (wzór ten zachodzi dla g ∈ L 1 (Rd )∩L 2 (Rd ) 2 d ci¡gªo±¢ do L (R )). Pozostaje zauwa»y¢, »e i rozszerza si¦ przez 40 wzór na transformat¦ odwrotn¡ na L 2 (Rd )). Je±li f ∈ L 2 (Rd ), 2 d to w sensie zbie»no±ci w L (R ) zachodzi Z 1 2 f (x) = lim+ e−r|ξ| Ff (ξ)eiξ·x dξ, d r→0 (2π) Rd 1 d d a je±li ponadto fˆ ∈ L (R ), to powy»sza zbie»no±¢ jest jednostajna wzgl¦dem x ∈ R Twierdzenie 8.23 ( oraz 1 f (x) = (2π)d Z R fˆ(ξ)eiξ·x dξ d x ∈ Rd . Innymi sªowy, w tym przypadku f (−x) d funkcji Ff (ξ). W szczególno±ci f ∈ C0 (R ). dla wszystkich Fouriera jest transformat¡ Dowód. Je±li f ∈ L 2 (Rd ), g = Ff i g ∈ L 1 (Rd ), to g ∈ L 1 (Rd ) ∩ L 2 (Rd ), a wi¦c Fg = ĝ . St¡d wynika drugi wzór z twierdzenia. −r|ξ|2 Na mocy wniosku 8.22, transformat¡ Fouriera Kr ∗f jest caªkowalna funkcja e Ff (ξ). 2 d Ponadto f ∗ Kr d¡»y do f w L (R ). Wraz z wykazanym ju» drugim wzorem z twierdzenia dowodzi to pierwszego wzoru. Jednostajno±ci zbie»no±ci dowodzi si¦ tak samo, jak w 1 d dowodzie wzoru na transformat¦ odwrotn¡ na L ( ). R wiczenie 8.24. Sformuªuj i udowodnij odpowiedniki ¢wicze« 8.38.8 dla transfor- maty Fouriera na L 2 (Rd ). F 2 f (x) = (2π)d f (−x) 2 d jednostkowym na L (R ). wiczenie 8.25. Udowodnij, »e −2d (2π) F 4 jest operatorem dla f ∈ L 2 (Rd ) oraz »e L 2 (Rd ) rozkªada si¦ na ortogonaln¡ sum¦ prost¡ czterech podprzestrzeni liniowych H1 , Hi , H−1 , H−i , na −d/2 których (2π) F dziaªa jako operator mno»enia odpowiednio przez 1, i, −1, −i. wiczenie 8.26. Wywnioskuj z twierdzenia spektralnego, »e R 1 d Udowodnili±my, »e transformacja Fouriera jest ci¡gªym operatorem liniowym z L ( ) ∞ d 2 d 2 d ˜ ˆ w L ( ) oraz z L ( ) w L ( ). Pisz¡c Ff = f1 + Ff2 dla f = f1 + f2 , 1 f1 ∈ L ( d ), f2 ∈ L 2 ( d ), mo»emy rozszerzy¢ F do przestrzeni L 1 ( d ) + L 2 ( d ). 1 d Rozszerzenie to jest jednoznaczne, bowiem je±li f = f1 + f2 = g1 + g2 , f1 , g1 ∈ L ( ), 2 d 1 d 2 d f2 , g2 ∈ L ( ), to h = f1 − g1 = g2 − f2 jest funkcj¡ z L ( ) ∩ L ( ), a wi¦c R R R R R R R R R R R fˆ1 + Ff2 = (fˆ1 − ĥ) + (Ff2 + Fh) = ĝ1 + Fg2 . Wobec tego ˜ Ff nie zale»y od wyboru f1 , f2 . L p (Rd ) dla p ∈ [1, 2]. ˜ jest operatorem Wrócimy do tego tematu pó¹niej, w rozdziale ?? udowodnimy m.in., »e F 1 1 p d q d ograniczonym z L (R ) w L (R ), gdzie p ∈ [1, 2], q ∈ [2, ∞], + q = 1. Okazuje si¦ p p d jednak, »e dla p > 2 operator F nie mo»e zosta¢ w sposób ci¡gªy rozszerzony na L (R ). W szczególno±ci wi¦c Lemat 8.27. Niech √ F˜ okre±lone jest na ka»dej przestrzeni a ∈ R, r > 0 fˆ(ξ) = ( 1 − 4iar)−d e Dowód. oraz f (x) = Kr (x)eia|x| −r|ξ|2 /(1−4iar) 2 . Wówczas . Dowód przebiega identycznie, jak wyznaczanie transformaty Fouriera 2 2 macie 8.11, lecz zamiast funkcji exp(−z /2) wyst¦puje exp(−(1 − 2ia)z /2). Kr w le- 41 p, q ∈ [1, ∞]. Dla funkcji f z poprzedniego lematu zachodzi kf kp = kKr kp oraz kfˆkq = (1 + 16a2 r2 )−d/4 kK̂% kq dla % = r/(1 + 16a2 r2 ). W szczególno±ci dla pewnego c > 0 (zale»¡cego od wymiaru i q ), kfˆkq ≥ cr−d/(2q) (1 + 16a2 r2 )d/(2q)−d/4 . Lemat 8.28. Niech |fˆ(ξ)| = (1 + 16a2 r2 )−d/4 K̂% (ξ), pierwsza cz¦±¢ wynika przedniego lematu. Druga (dla q ∈ [1, ∞)) jest konsekwencj¡ oszacowania Z Z |B(0, 1)| 2 q −q%|ξ|2 e−q%|ξ| dξ ≥ . kK̂% kq = e dξ ≥ √ e(q%)d/2 Rd B(0,1/ q%) Dowód. Poniewa» Badaj¡c r=1 oraz a → ∞, Wniosek 8.29. Niech wprost z po- natychmiast otrzymujemy nast¦puj¡cy wniosek. p ∈ [1, ∞], q ∈ [1, 2). Transformacja Fouriera nie rozszerza si¦ L p (Rd ) do L q (Rd ). do ograniczonego operatora z 1 p d + 1q 6= 1. Rozwa»aj¡c 1 ∞ d funkcje postaci f (rx) dla dowolnej niezerowej f ∈ L (R ) ∩ L (R ), wyka», »e p d transformacja Fouriera nie rozszerza si¦ do ograniczonego operatora z L (R ) do q d L (R ). d/2 ˆ f gdy wiczenie 8.31. Rozwa»my funkcj¦ f z lematu 8.27. Do czego d¡»y r 2 r → ∞? W jaki sposób mo»na interpretowa¢ transformat¦ Fouriera funkcji eia|x| ? wiczenie 8.30. Niech p, q ∈ [1, ∞] i przypu±¢my, »e 42 9. Transformata Fouriera rozszerzenia f ∈ L p (Rd ) Badanie zbie»no±ci transformaty odwrotnej dla funkcji niem podobnym do badania zbie»no±ci szeregów Fouriera. jest zagadnie- Wpierw zajmiemy si¦ teraz analogami braku zbie»no±ci sum cz¦±ciowych oraz zbie»no±ci ±rednich Cesàro. It = [−t, t]d oznacza d-wymiarow¡ kostk¦. Lemat 9.1. Transformat¡ Fouriera funkcji td d Y 2 sin(tξj ) tξj j=1 d Y 2(1 − cos(tξj )) Qd Dowód. j=1 Wystarczy rozwa»y¢ przypadek Z ∞ −∞ 1It (x)eiξx dx = 2 max(1 − |xj | , 0) jest t . t2 ξj2 j=1 jest , za± transformat¡ Fouriera funkcji td 1It Niech d = 1. t Z cos(ξx)dx = 0 Wówczas 2 sin(tξ) . ξ Caªkuj¡c przez cz¦±ci, otrzymujemy analogicznie Z ∞ max(1 − −∞ |x| iξx )e dx t Z t (1 − xt ) cos(ξx)dx =2 0 2 = ξt Z r sin(ξx)dx = 0 2(1 − cos(ξt)) . ξ2t Jednym z analogów sum cz¦±ciowych s¡ wyra»enia wyst¦puj¡ce w poni»szym wyniku. Twierdzenie 9.2. Istnieje funkcja 1 (2π)d Z dla której ukªad funkcji fˆ(ξ)eiξ·x dξ [−t,t]d nie jest zbie»ny w gdy f ∈ L 1 (Rd ) L 1 (Rd ) (a wr¦cz normy L 1 (Rd ) tych funkcji s¡ nieograniczone) t → ∞. Dowód. Ze wzoru na transformat¦ odwrotn¡ na L 2 (Rd ), funkcja 1It jest transformat¡ Fouriera funkcji d td Y 2 sin(txj ) ft (x) = , (2π)d j=1 txj L 2 (Rd ) C0 (Rd ). Ustalmy t > 0. Ukªad ft ∗ Kr (Kr jest j¡drem GaussaWeierstressa) d¡»y punktowo (a nawet jednostaj+ + nie) do ft gdy r → 0 . Gdyby normy kft ∗ Kr k1 byªy ograniczone gdy r → 0 , to z 1 d lematu Fatou wynikaªoby, »e ft ∈ L (R ). Wobec tego kft ∗ Kr k1 mo»e by¢ dowolnie która nie jest caªkowalna, ale nale»y do oraz funkcji du»e. t > 0 istniej¡ zatem liczby r(t) oraz s(t) takie, »e k1Is(t) · (ft ∗ Kr(t) )k1 > t. Okre±lmy operator At wzorem At f (x) = 1Is(t) (x)ft ∗f (x). Wówczas At jest ograniczonym Dla ka»dego 43 operatorem z L 1 (Rd ) w L 1 (Rd ), bowiem kAt f k1 ≤ kIs(t) k2 kft ∗ f k2 ≤ kIs(t) k2 kft k2 kf k1 na mocy nierówno±ci Schwarza oraz wniosku 6.17. Udowodnili±my ju», »e norma opera1 d tora At przekracza t. Wobec zasady BanachaSteinhausa istnieje funkcja f ∈ L ( ) R kAt f k1 jest nieograniczona gdy t → ∞. Poniewa» kf ∗ ft k1 ≥ kAt f k1 , kf ∗ ft k1 s¡ nieograniczone. Z drugiej strony f ∗ ft jest funkcj¡ z L 2 (Rd ) o 2 d transformacie Fouriera 1It (ξ)fˆ(ξ), zatem ze wzoru na transformat¦ odwrotn¡ na L (R ), Z 1 f ∗ ft (x) = fˆ(ξ)eiξ·x dξ. (2π)d [−t,t]d dla której norma równie» normy Przy powy»szej analogii sum cz¦±ciowych, odpowiednikiem ±rednich Cesaàro s¡ wyra»enia w poni»szym twierdzeniu. f ∈ L 1 (Rd ), w sensie zbie»no±ci w L 1 (Rd ), ! Z d Y 1 |ξ | max(1 − tj , 0) fˆ(ξ)eiξ·x dξ. f (x) = lim t→∞ (2π)d Rd j=1 Twierdzenie 9.3. Dla Dowód. Ze wzoru na odwracanie, funkcja Qd j=1 max(1 − |ξj | , 0) jest transformat¡ Fouriera t funkcji d td Y 2(1 − cos(tξj )) gt (x) = . (2π)d j=1 t2 ξj2 gt tworz¡ jedno±¢ aproksymatywn¡ gdy t → ∞: s¡ nieujemne, gt (x) = td g1 (tx) 1 d oraz kgt k1 = ĝt (0) = 1. Wobec tego f ∗ gt d¡»y do f w L (R ). Ponadto f ∗ gt nale»y 1 d do L (R ) i ma transformat¦ Fouriera równ¡ ! d Y |ξ | max(1 − j , 0) fˆ(ξ). Funkcje t j=1 Teza wynika ze wzoru na odwracanie. wiczenie 9.4. Udowodnij, »e przy oznaczeniach z twierdzenia 9.2 zachodzi L (R ) 1 d dla wszystkich K1 ∗ft ∈ / t > 0. wiczenie 9.5. Udowodnij twierdzenia analogiczne do powy»szych dla granic 1 lim t→∞ (2π)d Z Rd max(1 − |ξ| , 0)fˆ(ξ)eiξ·x dξ t L 1 (Rd ) i jest równa f ) Z 1 lim fˆ(ξ)eiξ·x dξ t→∞ (2π)d B(0,t) (istnieje w (nie musi istnie¢ w L 1 (Rd )). oraz 44 wiczenie 9.6. Poszukaj informacji o zbiorach Kakeyi/Bezikowicza i ich zastosowa- niu do badania zbie»no±ci granicy 1 lim t→∞ (2π)d w Z fˆ(ξ)eiξ·x dξ B(0,t) L p (Rd ), p ∈ (1, ∞). Dowód twierdzenia 9.3 jest uniwersalny: po prawej stronie mo»na zamieni¢ czynnik |ξj | j=1 max(1− t , 0) transformat¡ Fouriera dowolnej jedno±ci aproksymatywnej. Wa»nym przykªadem takiej jedno±ci aproksymatywnej jest j¡dro Poissona (lub j¡dro Cauchy'ego ), Qd zdeniowane wzorem Γ( d+1 ) t 2 π (d+1)/2 (t2 + |x|2 )(d+1)/2 Pt (x) = dla t > 0 oraz x ∈ Rd . Potrzebny nam b¦dzie nast¦puj¡cy wynik. Dowód dla d = 1 mo»na upro±ci¢, wykorzystuj¡c metody caªki zespolonej. W ogólnym przypadku pomocny jest Pt (x) trik polegaj¡cy na wyra»eniu Kr (x) wzgl¦dem Lemat 9.7. Zachodzi Dowód. jako caªkowej ±redniej j¡dra GaussaWeierstrassa r > 0. P̂t (ξ) = e−t|ξ| . a, b > 0, Zauwa»my, »e dla dowolnych stosuj¡c podstawienie √ √ u = a v − b/ v otrzymujemy √ Z ∞ π= −u2 e −∞ Ponadto podstawienie ∞ Z 1 du = 2 ∞ √ (av −1/2 + bv −3/2 )e−(a √ v−b/ v)2 dv. 0 v = b2 /(a2 w) √ av −1/2 e−(a Z √ v−b/ v)2 daje Z dv = 0 ∞ bw−3/2 e−(b/ √ √ w−a w)2 dw, 0 zatem √ Z ∞ e π= −∞ Niech −u2 Z du = ∞ √ bv −3/2 e−(a √ v−b/ v)2 dv. 0 gt (r) = (4π)−1/2 tr−3/2 exp(−t2 /(4r)) dla t, r > 0. Otrzymujemy Z ∞ Z ∞ √ 2 √ 1 t|ξ| −r|ξ|2 gt (r)e tr−3/2 e−(|ξ| r−t/(2 r)) dr = 1, e dr = √ 4π 0 0 czyli Z ∞ gt (r)K̂r (ξ)dr = e−t|ξ| . 0 R∞ W szczególno±ci gt (r)dr = 1. Z drugiej strony, stosuj¡c podstawienie r = (t2 + 0 |x|2 )/(4s), otrzymujemy Z ∞ Z ∞ t 2 2 gt (r)Kr (x)dr = r−(d+3)/2 e−(t +|x| )/(4r) dr (d+1)/2 (4π) 0 0 Z ∞ 1 t = (d+1)/2 2 s(d−1)/2 e−s ds = Pt (x). π (t + |x|2 )(d+1)/2 0 Teza wynika z twierdzenia Fubiniego. 45 R Pt (x) = td P1 (tx), Pt (x) ≥ 0 oraz Rd Pt (x)dx = P̂t (0) = 1, j¡dro Poissona + jest jedno±ci¡ aproksymatywn¡ (gdy t → 0 ). St¡d natychmiast wynika zbie»no±¢ f ∗ Pt p d + p d do f w L (R ) gdy t → 0 dla wszystkich f ∈ L (R ) i dla ka»dego p ∈ [1, ∞). Poniewa» P̃t (x) = π1 x/(t2 + x2 ) dla x ∈ R (jest to sprz¦»one j¡dro 2 »e f ∈ L (R), ale f ∈ / L 1 (R). Udowodnij, »e FP̃t (ξ) = wiczenie 9.8. Niech Poissona ). Zauwa», (−i sign ξ)e−t|ξ| . wiczenie 9.9. Wykonaj analogiczny rachunek w 1≤j≤d oraz Pt jest j¡drem Poissona w R d Rd dla P̃j,t (x) = (xj /t)Pt (x), gdzie . W podobny sposób wyznacza si¦ transformat¦ Fouriera tzw. j¡dra potencjaªu Riesza. Wynik ten mo»na rozszerzy¢ do α ∈ (0, d) przy odpowiedniej interpretacji transformaty Fouriera. Lemat 9.10. Transformat¡ Fouriera funkcji dla pewnej staªej f (x) = |x|−d+α dla α ∈ (0, d2 ) jest cα |ξ|−α Cα > 0. R R R 1 d Poniewa» f ∈ L ( ) + L 2 ( d ), transformata f jest poprawnie okre±lona i 2 d ˜ (ξ/r) = rα Ff ˜ (ξ). nale»y do L ( ) + L ∞ ( d ). Ponadto rd f (rx) = rα f (x), zatem Ff Dowód. R f (x) jest funkcj¡ |x|, Ff (ξ/|ξ|) dla ξ ∈ Rd \ {0} Poniewa» −α ˜ |ξ| ˜ (ξ) jest funkcj¡ |ξ|. Ostatecznie Ff ˜ (ξ) = Ff d ˜ Ff (ξ/|ξ|) nie zale»y od ξ ∈ R \ {0}. równie» oraz wiczenie 9.11. Uzasadnij, »e funkcja 2α π d/2 Γ( d−α ) 2 f (x) = Wynacz staª¡ Cα Z f z lematu 9.10 speªnia ∞ r−1+α/2 Kr (x)dr. 0 z tego lematu. Wszystkie rozwa»ane powy»ej metody odwracania transformaty Fouriera, które s¡ 1 d zbie»ne w L ( ), s¡ równie» zbie»ne w L p ( d ) dla p ∈ [1, 2] oraz prawie wsz¦dzie. R R Pierwsze stwierdzenie wynika ªatwo z wªasno±ci splotu i dwóch wzorów na odwracanie: 1 d w L ( ) i L 2 ( d ). Drugie stwierdzenie jest konsekwencj¡ nast¦puj¡cego wyniku. R R f ∈ L 1 (Rd ), za± ϕr (x) jest jednoto f ∗ ϕr d¡»¡ do f prawie wsz¦dzie Twierdzenie 9.12 (dowód w rozdziale 13). Je±li ±ci¡ aproksymatywn¡ tak¡, jak w lemacie 8.12, + gdy r → 0 . W dalszej cz¦±ci tego rozdziaªu zajmiemy si¦ zwi¡zkami pomi¦dzy regularno±ci¡ i szybko±ci¡ zaniku f i analogicznymi wªasno±ciami fˆ. f jest szybko malej¡ca, je±li (1 + |x|2 )n f (x) jest n ≥ 0. Mówimy, »e funkcja f jest klasy Schwartza, Definicja 9.13. Mówimy, »e funkcja funkcj¡ ograniczon¡ dla ka»dego ∞ d je±li f ∈ C ( ) oraz f i wszystkie jej pochodne cz¡stkowe (dowolnego rz¦du) s¡ R szybko malej¡ce. Klas¦ funkcji Schwartza oznaczamy symbolem Twierdzenie 9.14. Je±li f ∈ S, to fˆ ∈ S . S. 46 Dowód. Af = f − ∆f = f − (∂12 + ∂22 f + ... + ∂d2 f ). Z denicji klasy Schwartza 2 2 2 wynika, »e Af ∈ S , ponadto transformat¡ Fouriera Af jest (1 + ξ1 + ξ2 + ... + ξd )fˆ(ξ), a 2 2 n wi¦c (1 + |ξ| )fˆ(ξ) jest funkcj¡ ograniczon¡. Przez indukcj¦ dowodzimy, »e (1 + |ξ| ) fˆ(ξ) jest ograniczona dla dowolnego n ≥ 0, a wi¦c fˆ jest szybko malej¡ca. Równie» z denicji klasy Schwartza wynika, »e ξj f (ξ) jest funkcj¡ klasy Schwartza, a wi¦c ∂j fˆ istnieje i jest szybko malej¡ca. Przez indukcj¦ dowodzi si¦, »e wszystkie pochodne cz¡stkowe fˆ istniej¡ i s¡ szybko malej¡ce, co ko«czy dowód. Niech Cc∞ (Rd ) ⊆ S , klasa Schwartza jest g¦stym podzbiorem C0 (Rd ) oraz L p (Rd ) dla p ∈ [1, ∞). Ponadto j¡dro GaussaWeierstrassa Kr skªada si¦ z funkcji z klasy Schwartza. atwo sprawdzi¢, »e f ∗g ∈ S je±li f ∈ S i g jest szybko malej¡ca. Podobnie f · g ∈ S je±li f ∈ S i g ∈ C ∞ (Rd ) ma wszystkie pochodne cz¡stkowe ograniczone. W szczególno±ci zatem (f ∗ Kr ) · K̂q oraz (f · K̂q ) ∗ Kr s¡ funkcjami klasy Schwartza dla 1 d ∞ d dowolnej funkcji f ∈ L (R ) + L (R ). Cz¦sto wygodnie jest dowodzi¢ wpierw twierdze« dla funkcji z S , a nast¦pnie uogólnia¢ 1 d je do np. L (R ), wykorzystuj¡c ci¡gªo±¢. Poniewa» s ∈ [0, ∞) okre±lamy przestrze« Sobolewa H s (Rd ) jako 2 d 2 s/2 funkcji f ∈ L (R ) takich, »e (1 + |ξ| ) Ff (ξ) jest w L 2 (Rd ). Na H s (Rd ) ±lamy norm¦ Sobolewa 1/2 Z 2 s 2 (1 + |ξ| ) |Ff (ξ)| dξ . kf kH s (Rd ) = Definicja 9.15. Dla Rd Tak, jak w przypadku L 2 (Rd ) w przestrzeni H s (Rd ) zbiór okre- uto»samiamy funkcje równe prawie wsz¦dzie. p ∈ [1, ∞), f ∈ L p (Rd ), Q ≥ 1, w jest ci¡gª¡, d nieujemn¡ funkcj¡ o wªasno±ci w(x + y) ≤ Q(w(x) + w(y)) dla x, y ∈ R oraz f · w ∈ L p (Rd ). Przypu±¢my ponadto, »e ϕr jest jedno±ci¡ aproksymatywn¡, która Lemat 9.16. Przypu±¢my, »e dodatkowo speªnia warunek Z Rd \B(0,εr ) |ϕr (x)|w(x)dx < εr εr → 0 gdy r → 0+ jest takie, jak w denicji p d Wówczas w · (f ∗ ϕr ) d¡»y do w · f w L (R ). (gdzie Dowód. jedno±ci aproksymatywnej). Zachodzi kw · (f ∗ ϕr ) − w · f kp ≤ kw · (f ∗ ϕr ) − (w · f ) ∗ ϕr kp + k(w · f ) ∗ ϕr − w · f kp . 47 Poniewa» w · f ∈ L p (Rd ), drugi skªadnik po prawej stronie d¡»y do zera gdy r → 0+ . Ponadto na mocy lematu 6.16, kw · (f ∗ ϕr ) − (w · f ) ∗ ϕr kp p 1/p Z Z dx = (w(x) − w(x − y))f (x − y)|ϕ (y)|dy r Rd Rd Z Z ≤ Rd Rd Rd Wobec nierówno±ci p Rd 1/p |(w(x) − w(x − y))f (x − y)| dx Z Z = p p 1/p |w(z + y) − w(z)| |f (z)| dz 0 ≤ w(z + y) ≤ Q(w(z) + w(y)), |ϕr (y)|dy |ϕr (y)|dy. zachodzi |w(z + y) − w(z)|p ≤ Qp (w(z) + w(y))p ≤ (2Q)p ((w(z))p + (w(y))p ). Zatem funkcja Z g(y) = p Rd p 1/p |w(z + y) − w(z)| |f (z)| dz 2Q(kw · f kp + w(y)kf kp ) i ci¡gªa (na mocy twierdzenia Lebesgue'a zbie»no±ci ograniczonej). Ponadto g(0) = 0. Ustalmy ε > 0. Zachodzi zatem Z Z |ϕr (y)|dy g(y)|ϕr (y)|dy ≤ sup{g(y) : y ∈ B(0, εr )} B(0,εr ) Rd Z + 2Q (kw · f kp + w(y)kf kp )|ϕr (y)|dy jest ograniczona przez o Rd \B(0,εr ) ≤ εr sup{g(y) : y ∈ B(0, εr )} + 2Qεr (kw · f kp + kf kp ). Gdy r → 0+ , prawa strona d¡»y do zera. s ∈ [0, ∞) oraz f ∈ H s (Rd ), za± Kr jest j¡drem f ∗ Kr oraz f · K̂r d¡»¡ do f w H s (Rd ) gdy r → 0+ . Lemat 9.17. Je±li Weierstrassa, to Dowód. Gaussa Na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci ograniczonej, kf ∗ Kr − Rd ) = f k2H s ( Z R (1 + |ξ|2 )s |Ff (ξ)|2 (1 − K̂ξ (ξ))2 dξ → 0 d r → 0+ . To dowodzi pierwszej cz¦±ci. Niech w(ξ) = (1 + |ξ|2 )s/2 oraz g(ξ) = Ff (ξ). Poniewa» F(f · K̂r ) = g ∗ Kr , z poprzedniego lematu otrzymujemy zbie»no±¢ gdy kf K̂r − f kH s (Rd ) = kw · F(f K̂r ) − w · Ff k2 = kw · (g ∗ Kr ) − w · gk2 do zera gdy r → 0+ . S jest g¦stym podzbiorem H s (Rd ) dla ka»dego s ∈ [0, ∞). Co wi¦cej, dla ka»dych s, t ∈ [0, ∞) oraz dla ka»dej funkcji f ∈ H s (Rd ) t d s d takiej, »e Ff ∈ H (R ) istnieje ci¡g fn ∈ S taki, »e fn → f w H (R ) oraz t d Ffn → Ff w H (R ). Lemat 9.18. Klasa Schwartza 48 Dowód. Oczywi±cie funkcje klasy Schwartza (oraz ich transformaty Fouriera) nale»¡ do H s (Rd ) dla ka»dego s ∈ [0, ∞). G¦sto±¢ S w H s (Rd ) wynika z drugiej cz¦±ci lematu, zastosowanej dla t = 0. Je±li f speªnia warunki lematu i r > 0, to niech fq,r = (f · K̂q ) ∗ Kr , gdzie Kr jest j¡drem GaussaWeierstrassa. Zauwa»my, »e Ffq,r = ((Ff ) ∗ Kq ) · K̂r . Wiemy ju», »e fq,r ∈ S . Na mocy poprzedniego lematu, lim kfq,r − f · K̂q kH s (Rd ) = 0, lim kFfq,r − (Ff ) ∗ Kq kH t (Rd ) = 0. r→0+ r→0+ Ponadto, znów na mocy poprzedniego lematu, lim kf · K̂q − f kH s (Rd ) = 0, lim k(Ff ) ∗ Kq − Ff kH t (Rd ) = 0. r→0+ q→0+ Stosuj¡c metod¦ przek¡tniow¡, znajdujemy szukany ci¡g fn = fqn ,rn . Dla informacji przytoczmy jeden z najwa»niejszych wyników dotycz¡cych przestrzeni Sobolewa. Wynika z niego, »e szybko±¢ zaniku caªkowalno±¢ i regularno±¢ f. fˆ w niesko«czono±ci oznacza odpowiedni¡ Warto podkre±li¢, »e jest wiele rozmaitych uogólnie« tego twierdzenia. (a) Niech s ∈ [0, ∞) i p ∈ [2, ∞] b¦d¡ takie, »e p1 ≥ 12 − ds . Wówczas H s (Rd ) jest podzbiorem L p (Rd ), a odpowiednia norma Sobolewa jest sªabsza od normy L p (Rd ). d Niech s ∈ [0, ∞), n ≥ 0 oraz α ∈ (0, 1] b¦d¡ takie, »e s − n − α ≥ . Wów2 s d n,α czas H (R ) jest podzbiorem C (Rd ), tj. klasy funkcji, których wszystkie pochodne cz¡stkowe rz¦du nie wi¦kszego od n speªniaj¡ warunek Höldera z wykªadnikiem α. Twierdzenie 9.19 (zanurzenie Sobolewa; bez dowodu). (b) Wykorzystuj¡c lemat 9.18, udowodnimy matematyczne sformuªowanie sªynnej zasady nieoznaczono±ci Heisenberga. f ∈ L 2 (Rd ), to 1/2 2 2 |ξ| |Ff (ξ)| dξ ≥ d2 kf k22 . Twierdzenie 9.20 (zasada nieoznaczono±ci). Je±li 1 (2π)d/2 1/2 Z |x| |f (x)| dx Z 2 2 Rd Rd f ma pierwsze j = 1, ..., d, to W szczególno±ci je±li dla wszystkich kxf k2 k∇f k2 ≥ d 2 pochodne cz¡stkowe oraz f, xj f, ∂j f ∈ L 2 (Rd ) kf k22 ; tutaj norma funkcji wektorowej to norma euklidesowa wektora norm wspóªrz¦dnych. Dowód. Niech dkf k22 f ∈ S. = Na mocy wzoru na caªkowanie przez cz¦±ci, d Z X j=1 Rd f (x)f (x)dx = − d Z X Rd j=1 ≤2 d Z X j=1 Rd xj (f (x)∂j f (x) + f (x)∂j f (x))dx |xj ||f (x)||∂j f (x)|dx 49 Z nierówno±ci Schwarza i to»samo±ci Plancherela otrzymujemy dkf k22 ≤ 2 !1/2 d Z X |xj |2 |f (x)|2 dx R d j=1 2 ≤ (2π)d/2 j=1 !1/2 d Z X j=1 Rd |xj |2 |f (x)|2 dx |∂j f (x)|2 dx R d !1/2 d Z X Rd j=1 f ∈ S. Zatem nierówno±¢ zachodzi dla !1/2 d Z X |ξj |2 |Ff (ξ)|2 dξ . Ponadto oczywi±cie nierówno±¢ z twierdzenia zachodzi, gdy jej lewa strona jest niesko«czona. 2 d Przypu±¢my, »e f ∈ L ( ), za± |x|2 |f (x)|2 oraz R |ξ|2 |Ff (ξ)|2 s¡ caªkowalne. Na mocy 2 1/2 lematu 9.18 istnieje ci¡g fn ∈ S taki, »e (1 + |x| ) fn (x) d¡»y do (1 + |x|2 )1/2 f (x) 2 d 2 1/2 2 1/2 w L (R ) oraz (1 + |ξ| ) Ffn (ξ) d¡»y do (1 + |ξ| ) Ff (ξ) w L 2 (Rd ). Nierówno±¢ zostaªa ju» udowodniona dla fn , przej±cie graniczne daje nierówno±¢ dla f . wiczenie 9.21. Dla jakich f zachodzi równo±¢ w powy»szym twierdzeniu? Inna wersja zasady nieoznaczono±ci Heisenberga mówi, »e f i Ff nie mog¡ jednocze±nie mie¢ zwartego no±nika. Udowodnimy nawet wi¦cej. Twierdzenie 9.22 (twierdzenie PaleyWienera). Je±li fˆ rozszerza f (x) = 0 gdy |x| > R, to |fˆ(ξ)| ≤ eR| Im ξ| kf k1 dla na ξ ∈ Cd . C d Przeciwnie, je±li R > 0, f ∈ L 1 (Rd ) si¦ do funkcji holomorcznej na f ∈ L 1 (Rd ) i fˆ rozszerza C d oraz oraz si¦ do funkcji holomorcznej , która speªnia |fˆ(ξ)| ≤ ceR| Im ξ| , to f (x) = 0 Dowód. dla prawie wszystkich x ∈ Rd , które speªniaj¡ |x| > R. Funkcja fˆ(ξ) = Z R e iξ·x Z f (x)dx = d e−(Im ξ)·x ei(Re ξ)·x f (x)dx B(0,R) jest poprawnie okre±lona dla ξ ∈ Cd i, z twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci ograniczonej, holomorczna. Ponadto |fˆ(ξ)| ≤ Z B(0,R) e−(Im ξ)·x |f (x)|dx ≤ eR| Im ξ| kf k1 . 50 Dowód przeciwnej implikacji wykorzystuje wzór na transformat¦ odwrotn¡: gdy , to R/(1 − ε) oraz η = εx r |x| > Z 1 i(ξ+iη)·x −r(ξ+iη)·(ξ+iη) ˆ(ξ + iη)e |f ∗ Kr (x)| = f dξ e (2π)d Rd Z c 2 2 ≤ e−r|ξ| +r|η| eR|η| e−η·x dξ d (2π) Rd Z c 2 2 2 2 = e−r|ξ| +(ε /r)|x| e(εR/r)|x| e−(ε/r)|x| dξ d (2π) Rd 2d/2 c −d/2 −ε|x|((1−ε)|x|−R)/r r e →0 π d/2 = gdy r → 0+ ; szczegóªy pomijamy. Znane s¡ rozmaite warianty powy»szego twierdzenia; jeden z najwa»niejszych dotyczy funkcji na póªprostej. Twierdzenie 9.23 (twierdzenie PaleyWienera; bez dowodu). Je±li f ∈ L 1 (R) x < 0, to fˆ rozszerza si¦ do ograniczonej funkcji holomorcznej w dolnej póªpªaszczy¹nie {ξ ∈ C : Im ξ < 0}, ci¡gªej na brzegu. Przeciwnie, gdy takie rozszerzenie fˆ istnieje, to f (x) = 0 dla prawie wszystkich x < 0. oraz f (x) = 0 gdy f ∈ L 1 (Rd ) ma no±nik zwarty, to zbiór miejsc zerowych funkcji wn¦trze. W szczególno±ci fˆ nie mo»e mie¢ zwartego no±nika. Wniosek 9.24. Je±li fˆ w R d ma puste Dowód. Przypu±¢my, »e fˆ(ξ) = 0 dla ξ z pewnej (by¢ mo»e nieograniczonej) kostki I1 × ... × Id . Wówczas dla ustalonych ξj ∈ Ij , j = 2, ..., d, funkcja f (ξ) zmiennej ξ1 jest C i zbiór jej miejsc zerowych ma punkt skupienia. Wobec tego jest ona stale równa zero. Mo»na zatem I1 zast¡pi¢ przez R. Powtarzaj¡c to rozumowanie d razy, uzyskujemy równo±¢ fˆ(ξ) = 0 dla ξ z kostki R × ... × R. holomorczna na 51 10. Transformata Fouriera na grupach Teori¦ szeregów i transformaty Fouriera mo»na dalej uogólnia¢ w rozmaity sposób. W poni»szym rozdziale bardzo skrótowo przedstawimy ogólne idee dotycz¡ce grup topologicznych. Definicja 10.1. Zbiór G z dziaªaniem i topologi¡ nazywamy grup¡ topologiczn¡, G jest grup¡, topologia rozdziela punkty, a dziaªanie jest ci¡gªe, tj. funkcja f (x, y) = x−y jest ci¡gªa z G×G (z topologi¡ produktow¡) do G. Grup¦ topologiczn¡ je±li nazywamy: • lokalnie zwart¡, je±li pewne otoczenie 0 ma zwarte domkni¦cie; • zwart¡, je±li G jest przestrzeni¡ zwart¡; • dyskretn¡, je±li G jest przestrzeni¡ dyskretn¡ (tj. wszystkie podzbiory G s¡ otwarte). B¦dziemy si¦ zajmowa¢ wyª¡cznie grupami przemiennymi. Przykªady przemiennych grup lokalnie zwartych to: • • • • R (z dodawaniem) i ogólniej Rd ; T = R/(2π Z) (z dodawaniem modulo 2π ) i ogólniej Td ; Z (z dodawaniem) i ogólniej Zd ; Zp = Z/(pZ) (z dodawaniem modulo p). Kolejne dwa przykªady zawarte s¡ w nast¦puj¡cych ¢wiczeniach. x ∈ Q niech |x|p = p−n , gdzie n ∈ Z ma nast¦puj¡c¡ wªasno±¢: licznik i mianownik liczby p−n x (zapisanej w postaci nieskracalnej) nie dziel¡ si¦ przez p. Przyjmujemy ponadto |0|p = 0. Udowodnij, »e dp (x, y) = |x − y|p jest metryk¡ na Q, w której dziaªania dodawania i mno»enia s¡ wiczenie 10.2. Niech p b¦dzie liczb¡ pierwsz¡. Dla ci¡gªe. wiczenie 10.3. Zbiór Q z metryk¡ liczb p-adycznych Qp Q dp . to uzupeªnienie przestrzeni metrycznej Udowodnij, »e elementy p mo»na w naturalny sposób uto»sami¢ P∞ n z formalnymi szeregami n=−∞ an p , w których an ∈ {0, 1, ..., p − 1} oraz an = 0 dla dostatecznie maªych n. Wyka» ponadto, »e dziaªania dodawania i mno»enia s¡ zgodne z naturalnymi denicjami, tj. dodawanie odbywa si¦ z przeniesieniem po wspóªrz¦dnych, za± mno»enie jest iloczynem Cauchy'ego szeregów z przeniesieniem. Wywnioskuj, »e Qp jest grup¡ lokalnie zwart¡, a tak»e ciaªem liczbowym (z wy»ej opisanymi denicjami dodawania i mno»enia). caªkowitych liczb p-adycznych Q∗p (zwany cz¦sto odometrem ) to analogiczne uzupeªnienie zbioru Z w metryce dp , czyli równowa»nie domkni¦cie wiczenie 10.4. Zbiór zbioru Z w Qp . Wyka», »e Q∗p jest zwart¡ grup¡ topologiczn¡. T Z d W±ród podanych przykªadów zwartymi grupami s¡ , p i d i p . Odt¡d G oznacza przemienn¡ grup¡ lokalnie zwart¡. Z Z wiczenie 10.5. Niech D za± dyskretnymi b¦dzie dowolnym symetrycznym otoczeniem 0 o zwartym G najmniejsz¡ domkni¦t¡ podgrup¡ G zawieraj¡c¡ D. Udowodnij, S D1 = D, Dn+1 = D + Dn = {x + y : x ∈ D, y ∈ Dn }, to G0 = ∞ n=1 Dn , domkni¦ciu, za± »e je±li 0 Q∗p , 52 wobec czego G0 jest zbiorem otwarto-domkni¦tym, σ -zwartym (tj. b¦d¡cym sum¡ przeliczalnie wielu zbiorów zwartych). miara Haara G: nieujemna miara borelowska µ na G taka, »e µ(K) < ∞ dla dowolnego zwartego K ⊆ G, µ(K) > 0 dla pewnego (równowa»nie: dowolnego) K o niepustym wn¦trzu oraz µ(x + E) = µ(E) dla dowolnego x ∈ G i wszystkich borelowskich E ⊆ G. Ponadto miara µ jest wyznacznona jednoznacznie, z dokªadno±ci¡ do przemno»enia przez czynnik staªy. Twierdzenie 10.6 (A. Weil; bez dowodu). Istnieje wiczenie 10.7. Wska» miary Haara na na Rd , Td , Zd , Zp , Qp i Q∗p . wiczenie 10.8. Udowodnij, »e miara Haara jest sko«czona wtedy i tylko wtedy, gdy G jest zwarta. wiczenie 10.9. Udowodnij, »e miara Haara jest σ -sko«czona (tj. jest sum¡ przeG jest σ -zwarta (tj. jest liczalnie wielu miar sko«czonych) wtedy i tylko wtedy, gdy sum¡ przeliczalnie wielu zbiorów zwartych). wiczenie 10.10. Udowodnij, »e miara Haara jest symetryczna, tj. dla wszystkich borelowskich µ(E) = µ(−E) E. inx W szeregach Fouriera kluczow¡ rol¦ odgrywaªy funkcje e , w transformacie Fouriera iξ·x funkcje e . W przypadku przemiennych grup lokalnie zwartych t¦ funkcj¦ peªni¡ tzw. charaktery. ϕ : G → T nazywamy charakterem G. Zbiór wszystkich charakterów oznaczamy Ĝ i nazywamy grup¡ dualn¡ do G lub grup¡ charakterów na G. Ponadto na Ĝ okre±lamy topologi¦ zbie»no±ci jednostajnej na zwartych podzbiorach G (tj. baz¡ topologii s¡ zbiory U (K, ε, ϕ0 ) = {ϕ ∈ Ĝ : |ϕ(x) − ϕ0 (x)| < ε dla x ∈ K}) oraz dziaªanie (ϕ1 + ϕ2 )(x) = ϕ1 (x) + ϕ2 (x). Definicja 10.11. Dowolny ci¡gªy homomorzm na Bardzo cz¦sto charakterem nazywa si¦ funkcje postaci eiϕ(x) , gdzie ϕ jest charakterem w rozumieniu powy»szej denicji. wiczenie 10.12. Udowodnij, »e Ĝ jest grup¡ topologiczn¡. D ⊆ G b¦dzie otoczeniem 0 i ε ∈ (0, π2 ), oraz niech K̂ = {ϕ ∈ Ĝ : ϕ(x) ∈ [−ε, ε] dla x ∈ D} (uto»samiamy T z przedziaªem [−π, π)). Uzasadnij, »e dla n ≥ 1 istnieje otoczenie zera Dn o zwartym domkni¦ciu i takie, »e Dn + Dn + ... + Dn ⊆ D (n skªadników po lewej stronie). Dowied¹, »e |ϕ(x)| ∈ [− nε , nε ] dla x ∈ Dn oraz ϕ ∈ K̂ . Wywnioskuj, »e funkcje z K̂ s¡ jednakowo ci¡gªe i wobec tego K̂ jest zwarty na mocy twierdzenia ArzeliAscoliego. Wywnioskuj, »e grupa Ĝ wiczenie 10.13. Niech jest lokalnie zwarta. wiczenie 10.14. Niech charakterem na Ĝ. x ∈ G oraz ψx : Ĝ → T, ψx (ϕ) = ϕ(x). Udowodnij, ψx jest 53 wiczenie 10.15. Udowodnij, »e je±li G jest zwarta, to funkcje eiψ(x) , ψ ∈ Ĝ, sytuacji Ĝ gdzie s¡ wzajemnie ortogonalne wzgl¦dem miary Haara. Wywnioskuj, »e w tej jest grup¡ dyskretn¡. We wszystkich przykªadach podanych powy»ej grup¦ dualn¡ stosunkowo ªatwo wyznaczy¢. Potrzebne s¡ do tego pewne proste fakty topologiczne. W poni»szych ¢wiczeniach T jest przedziaªem [0, 2π) z topologi¡ uto»samiaj¡c¡ podawa¢ sformuªowania dla R). grupy 0 2π . i (W nawiasach b¦dziemy T = R/(2π Z), tj. gdy T jest rodzin¡ warstw podgrupy 2π Z f : R → T jest ci¡gªa, to istnieje ci¡gªa funkcja taka, »e f (x) przystaje do f˜(x) modulo 2π (tzn. f (x) = f˜(x) + 2π Z). Wyka», »e funkcja f˜ jest wyznaczona jednoznacznie, je±li za»¡damy, by f (0) ∈ [0, 2π). Przy tym zaªo»eniu udowodnij (rozwa»aj¡c funkcj¦ f˜(x + y) − f˜(x) − f˜(y)), »e je±li f jest homomorzmem, to równie» f˜ jest homomorzmem. wiczenie 10.16. Udowodnij, »e je±li f˜ : R → R wiczenie 10.17. Udowodnij, »e wszystkie charaktery na (mod 2π) (tzn. izomorczna z ϕξ (x) = ξx + 2π Z) R. dla pewnego ξ ∈ R. R s¡ postaci ϕξ (x) = ξx Wywnioskuj, »e R̂ jest T s¡ postaci ϕn (x) = nx (mod 2π) (tzn. ϕξ (x + 2π Z) = nx + 2π Z) dla pewnego n ∈ Z. Wywnioskuj, »e T̂ jest izomorczna z Z. wiczenie 10.19. Zauwa», »e wszystkie charaktery na Z s¡ postaci ϕξ (k) = ξk (mod 2π) (tzn. ϕξ (k) = ξk + 2π Z) dla pewnego ξ ∈ [0, 2π). Wywnioskuj, »e Ẑ jest izomorczna z T. wiczenie 10.20. Zauwa», »e wszystkie charaktery na Zp s¡ postaci ϕn (k) = nk (mod p) (tzn. ϕn (k) = nk + pZ) dla pewnego n ∈ {0, 1, ..., p − 1}. Wywnioskuj, »e Ẑp jest izomorczna z Zp . wiczenie 10.18. Udowodnij, »e wszystkie charaktery na wiczenie 10.21. Udowodnij, »e grupa dualna do z d Ĝ Gd jest kanonicznie izomorczna . wiczenie 10.22. Opisz grupy dualne do Qp i Q∗p . Wymienione wy»ej wyniki sugeruj¡, »e grupa dualna do grupy dualnej do morczna do G. Twierdzenie 10.23 (twierdzenie Pontriagina; bez dowodu). (c) jest izo- Zauwa»my, »e w przypadku x∈G (a) Charaktery ϕ ∈ Ĝ taki, »e ϕ(x) 6= 0. Grupa dualna do Ĝ jest kanonicznie izomorczna z G przez przyporz¡dkowanie elementowi x ∈ G charakteru ψx (ϕ) = ϕ(x) na Ĝ. Grupa G jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy Ĝ jest zwarta. Grupa G jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy Ĝ jest dyskretna. rozdzielaj¡ punkty: dla ka»dego (b) G Mówi o tym twierdzenie Pontriagina. istnieje Rd i kilku innych przykªadów grup lokalnie zwartych twier- dzenie Pontriagina zostaªo udowodnione w ¢wiczeniach poprzedzaj¡cych sformuªowanie twierdzenia. Najtrudniejsz¡ cz¦±ci¡ dowodu w ogólnym przypadku jest istnienie dostatecznie wielu charakterów, tj. pierwszy punkt twierdzenia. 54 G. Za pomoc¡ charakterów okre±la si¦ transformat¦ Fouriera na G ustalamy pewn¡ miar¦ Haara na pewn¡ miar¦ Haara na Ĝ i oznaczamy j¡ symbolem i oznaczamy j¡ symbolem f ∈ L 1 (G) (tj. f format¦ Fouriera funkcji f wzorem Z ˆ f (x)e−iϕ(x) µ(dx). f (ϕ) = Definicja 10.24. Dla µ. W dalszej cz¦±ci Analogicznie ustalamy ν. caªkowalnych wzgl¦dem µ) okre±lamy trans- G Przeksztaªcenie Fouriera lub transformacja Fouriera f ∈ L 1 (G) jej transformaty Fouriera fˆ. wiczenie 10.25. Udowodnij, »e je±li f ∈ L 1 (G), to to przyporz¡dkowanie funkcji fˆ ∈ C(Ĝ). f ∈ L 1 (G) i niech τx (f )(y) = f (x + y). Udowodnij Cc (G) w L 1 (G)), »e kτx f − f k1 → 0 gdy x → 0 w G. wiczenie 10.26. Niech rzystuj¡c g¦sto±¢ (wyko- lemat RiemannaLebesgue'a : je±li f ∈ L 1 (G), to fˆ ∈ C0 (Ĝ) (tzn. dla dowolnego ε > 0 istnieje zbiór zwarty K̂ ⊆ Ĝ taki, »e |fˆ(ϕ)| < ε gdy ϕ ∈ Ĝ\ K̂ ). W tym celu rozwa» otoczenie zera Dε ⊆ G dla którego kτx f −f k1 < ε. wiczenie 10.27. Udowodnij Transformacja Fouriera na G ma wiele wªasno±ci znanych z teorii szeregów Fouriera i d transformaty Fouriera na . R Twierdzenie 10.28 (bez dowodu). (a) Transformacja Fouriera jest operatorem ró»nowarto±ciowym z L (G) w C0 (Ĝ). 1 2 2 (b) Je±li f ∈ L (G) ∩ L (G), to fˆ ∈ L (Ĝ) i ponadto 1 staªej kfˆk2 = Ckf k2 dla pewnej C. W szczególno±ci przeksztaªcenie Fouriera rozszerza si¦ do operatora F unitarnego (z dokªadno±ci¡ do czynnika C ) z L 2 (G) w L 2 (Ĝ). 1 1 (c) Je±li f ∈ L (G) oraz fˆ ∈ L (Ĝ), to dla x ∈ G zachodzi wzór 1 f (x) = 2 C deniuj¡cy Z fˆ(x)eiϕ(x) ν(dϕ), Ĝ odwrotne przeksztaªcenie Fouriera. Na zako«czenie zauwa»my, »e denicja i wªasno±ci splotu funkcji uogólniaj¡ si¦ w prosty sposób na przemienne grupy lokalnie zwarte. Definicja 10.29. Okre±lamy splot f ∗ g funkcji f, g wzorem Z f ∗ g(x) = f (y)g(x − y)µ(dy) G dla tych x ∈ G, dla których caªka jest zbie»na. f, g ∈ L 1 (G), to splot f ∗ g(x) jest poprawnie x ∈ G i wówczas kf ∗ gk1 ≤ kf k1 kgk1 . wiczenie 10.30. Udowodnij, »e je±li okre±lony dla prawie wszystkich wiczenie 10.31. Zauwa», »e je±li splot albo f ∗ g(x) jest poprawnie kf ∗ gk∞ ≤ kf k1 kgk∞ . f, g ∈ L 2 (G) okre±lony dla f ∈ L 1 (G) i g ∈ L ∞ (G), to wszystkich x ∈ G i kf ∗ gk∞ ≤ kf k2 kgk2 lub 55 wiczenie 10.32. Zauwa», »e splot jest przemienny i ª¡czny. wiczenie 10.33. Udowodnij, »e je±li jest fˆ(ϕ)ĝ(ϕ). f, g ∈ L 1 (G), to transformat¡ Fouriera f ∗g 56 11. Niech X Twierdzenie interpolacyjne Marcinkiewicza b¦dzie przestrzeni¡ miarow¡ z miar¡ zbiór wszystkich (klas równowa»no±ci) funkcji f, µ. Przypomnijmy, »e dla których kf kp < ∞, L p (X) oznacza gdzie 1/p p |f (x)| µ(dx) Z kf kp = X p ∈ [1, ∞) oraz kf k∞ = ess sup |f |. Analogiczne denicje wprowadza si¦ równie» dla p ∈ (0, 1), lecz wtedy otrzymuje si¦ przestrzenie, które nie s¡ przestrzeniami Banacha. Przez 1ϕ oznaczmy funkcj¦ równ¡ 1 gdy ϕ jest prawdziwe, 0 gdy ϕ jest faªszywe. W gdy tym rozdziale stosujemy oznaczenie µf (λ) = µ({x : |f (x)| > λ}). p ∈ (0, ∞), Z ∞ Z 1/p 1|f (x)|p >s dsµ(dx) = µf (s )ds = p Z twierdzenia Fubiniego wynika, »e dla (11.1) kf kpp = Z Z X ∞ 0 0 ∞ λp−1 µf (λ)dλ. 0 f ∈ L (X) wtedy i tylko wtedy, gdy λ µf (λ) jest caªkowalna na (0, ∞) λ−1 dλ. Ponadto µf jest funkcj¡ nierosn¡c¡, a wi¦c Z Λ p kf kp ≥ p λp−1 µf (λ)dλ ≥ Λp µf (Λ) p Widzimy wi¦c, »e p wzgl¦dem miary 0 dla ka»dego Λ > 0. p p nale»y do sªabego L (p ∈ (0, ∞)), je±li t µf (t) nale»y ∞ p,∞ do L (0, ∞). Piszemy wówczas f ∈ L (X). Okre±lamy ponadto kwazinorm¦ Definicja 11.1. Mówimy, »e f kf kp,∞ = sup{λ(µf (λ))1/p : λ > 0}. Ponadto deniujemy L ∞,∞ (X) = L ∞ (X) i kf k∞,∞ = kf k∞ . przestrzenie Lorentza L p,q (X) jako przestrze« tych (klas równo1/q wa»no±ci) funkcji f , dla których p λ(µf (λ))1/p nale»y do przestrzeni L q ((0, ∞)), gdzie −1 p p,p na (0, ∞) rozpatrujemy miar¦ λ dλ; zatem L (X) = L (X). Nie b¦dziemy jednak p p,∞ wykorzystywa¢ przestrzeni innych ni» L (X) i L (X). p,∞ Oczywi±cie L (X) zawiera L p (X) oraz kf kp,∞ ≤ kf kp . Funkcja k · kp,∞ dla p ∈ (0, ∞) nie jest norm¡; speªnia jednak warunek kwazinormy, tj. Ogólniej deniuje si¦ kf + gkp,∞ ≤ c(kf kp,∞ + kgkp,∞ ), c=2 gdzie dla p ∈ [1, ∞) oraz x = 21/p dla p ∈ (0, 1). W istocie, (2t)p µf +g (2t) ≤ 2p tp µ({x : |f (x)| > t} ∪ {x : |g(x)| > t}) (11.2) ≤ 2p (kf kpp,∞ + kgkpp,∞ ) ≤ (2max(1,1/p) (kf kp,∞ + kgkp,∞ ))p . Wprowadzamy nast¦puj¡ce oznaczenia na obci¦cia funkcji z góry i z doªu: fλ (x) = f (x)1|f (x)|≤λ , f λ (x) = f (x)1|f (x)|>λ . µ nie skªada L p (X). wiczenie 11.2. Udowodnij, »e je±li to L p,∞ (X) jest istotnie wi¦ksze od wiczenie 11.3. Udowodnij, »e dla nierówno±ci trójk¡ta. p ∈ (0, ∞) si¦ ze sko«czenie wielu atomów, kwazinorma k · kp,∞ nie speªnia 57 wiczenie 11.4. Udowodnij, »e je±li jest podzbiorem L (X). wiczenie 11.5. Udowodnij, »e je±li to fλ ∈ L p1 (X) 0 < p0 < p < p1 ≤ ∞, to L p0 ,∞ (X)∩L p1 ,∞ (X) p f λ ∈ L p0 (X). oraz λ > 0, 0 < p0 < p < p1 ≤ ∞ oraz f ∈ L p,∞ (X), wiczenie 11.6. Udowodnij, »e je±li p ∈ (1, ∞), to kwazinorma k · kp,∞ jest jedno- stajnie równowa»na normie Z 1/p−1 sup (µ(E)) |f (x)|µ(dx) : E ⊆ X, µ(E) ∈ (0, ∞) , E w której L p,∞ (X) jest przestrzeni¡ Banacha. p W niniejszym rozdziale badamy operatory dziaªaj¡ce z przestrzeni L (X) w przestrze« L q (Y ) lub L q,w (Y ); miar¦ na przestrzeni miarowej Y oznaczamy przez ν i analogicznie do µf (λ) zakªadali νT f (λ). kwaziliniowo±¢ : deniujemy Rozwa»ane operatory nie musz¡ by¢ liniowe, b¦dziemy |T (f + g)(x)| ≤ Q(|T f (x)| + |T g(x)|) dla wszystkich f, g z dziedziny operatora i wszystkich x∈X oraz dla pewnej staªej Q. T jest mocnego typu p, q je±li kT f kq ≤ Akf kp dla wszystkich f ∈ L (X) z dziedziny T i pewnego A. Najmniejsz¡ liczb¦ A o tej wªasno±ci nazywamy norm¡ T i oznaczamy kT kp→q . Mówimy, »e T jest sªabego typu p, q , je±li kT f kq,∞ ≤ Akf kp dla wszystkich f ∈ L p (X) z dziedziny T i pewnego A. Najmniejsz¡ liczb¦ A o tej wªasno±ci równie» nazywamy norm¡ T i oznaczamy kT kp→q,∞ . Definicja 11.7. Mówimy, »e operator p p p W poni»szym twierdzeniu L 0 (X) + L 1 (X) oznacza zbiór wszystkich sum funkcji z L p0 (X) i funkcji z L p1 (X). W szczególno±ci zbiór ten zawiera L p (X) dla wszystkich p ∈ (p0 , p1 ). Twierdzenie 11.8 (Twierdzenie interpolacyjne Marcinkiewicza). Przypu±¢my, »e 0 < p0 < p < p1 ≤ ∞, kwaziliniowy operator T jest okre±lony na L p0 (X) + L p1 (X) i jest sªabego typu p0 , p0 oraz sªabego typu p1 , p1 , z normami A0 i A1 . Wówczas T α β jest mocnego typu p, p, z norm¡ co najwy»ej γA0 A1 , gdzie !1/p 1 1 1 1 1 1 1 − − ( − ) p p1 p p p p0 p1 β = 10 1 , γ = 2Q . α= 1 1 , 1 1 1 − p1 − p1 ( p − p1 )( p0 − p1 ) p0 p0 Przyjmujemy tu, »e 1 ∞ = 0, za± Q jest staª¡ kwaziliniowo±ci Dowód. Przypu±¢my wpierw, »e p1 < ∞. λ we wzorze (11.1), otrzymujemy kT f kpp Z =p ∞ p−1 t 0 r > 0. Niech p Z νT f (t)dt = p(2rQ) 0 T. Podstawiaj¡c ∞ λp−1 νT f (2rQλ)dλ. t = 2rQλ w miejsce 58 Szacuj¡c tak, jak w (11.2), otrzymujemy νT f (2rQλ) = ν({y : |T f (y)| > 2rQλ}) ≤ ν({y : Q(|T fλ (y)| + |T f λ (y)|) > 2rQλ}) ≤ ν({y : |T fλ (y)| > rλ}) + ν({y : |T f λ (y)| > rλ}) = νT fλ (rλ) + νT f λ (rλ). Ponadto fλ ∈ L p1 (X) f λ ∈ L p0 (X), oraz zatem νT fλ (rλ) ≤ (rλ)−p1 kT fλ kpp11 ,∞ ≤ (rλ)−p1 Ap11 kfλ kpp11 , νT f λ (λ) ≤ (rλ)−p0 kT f λ kpp00 ,∞ ≤ (rλ)−p0 Ap00 kf λ kpp00 . Prawe strony wyra»amy ponownie za pomoc¡ wzoru (11.1), kfλ kpp11 λ Z p1 −1 = p1 t kf λ kpp00 = p0 tp1 −1 µf (λ)dt, µf (t)dt − p1 0 Z λ Z 0 λ tp0 −1 µf (λ)dt + p0 0 Z ∞ tp0 −1 µf (t)dt. p0 Podsumowuj¡c, kT f kpp Ap11 Ap00 p1 λ p0 ≤ p(2rQ) λ kfλ kp1 + kf kp0 dλ (rλ)p1 (rλ)p0 0 Z λ Z pp1 Ap11 (2rQ)p ∞ p−p1 −1 p1 −1 λ t µf (t)dt dλ = r p1 0 0 Z λ Z pp1 Ap11 (2rQ)p ∞ p−p1 −1 p1 −1 t µf (λ)dt dλ − λ r p1 0 0 Z λ Z pp0 Ap00 (2rQ)p ∞ p−p0 −1 p0 −1 + λ t µf (λ)dt dλ r p0 0 0 Z ∞ Z pp0 Ap00 (2rQ)p ∞ p−p0 −1 p0 −1 + λ t µf (t)dt dλ. r p0 0 λ p Z ∞ p−1 Zmieniaj¡c kolejno±¢ caªkowania w pierwszej i ostatniej caªce, otrzymujemy kT f kpp pp1 Ap11 ≤ (2Q)p (p1 − p)rp1 −p Z pAp11 ∞ p−1 t µf (t)dt − p1 −p λ µf (λ)dλ r 0 0 Z ∞ Z pp0 rp−p0 Ap00 ∞ p−1 p−p0 p0 p−1 + pr A0 λ µf (λ)dλ + t µf (t)dt p − p0 0 0 Ap11 p0 rp−p0 Ap00 p1 Ap11 p−p0 p0 − p1 −p + r A0 + kf kpp = p −p 1 (p1 − p)r r p − p0 p1 p−p0 p0 pA1 pr A0 = + kf kpp . p −p (p1 − p)r 1 p − p0 Obierzmy r tak, by Z ∞ p−1 rp1 −p0 = Ap11 /Ap00 . Wówczas p (p −p)/(p −p ) p (p−p )/(p −p ) 1 0 0 1 0 pAp11 prp−p0 Ap00 pAp11 A00 1 pAp00 A11 + = + p (p −p)/(p1 −p0 ) p (p−p0 )/(p1 −p0 ) (p1 − p)rp1 −p p − p0 (p1 − p)A11 1 (p − p0 )A00 1 1 ( − p11 ) 1 1 p p0 pα pβ pα pβ = pA0 A1 + = A0 A1 1 . p 1 − p p − p0 ( p − p11 )( p10 − p11 ) St¡d otrzymujemy tez¦ twierdzenia. 59 Gdy p1 = ∞ r > 0, dowód jest nieco prostszy. Jak poprzednio, dla kT f kpp = p(2rQ)p ∞ Z λp−1 νT f (2rQλ)dλ, 0 przy czym νT f (2rQλ) ≤ νT fλ (rλ) + νT f λ (rλ). Tym razem kT fλ k∞ ≤ A1 kfλ k∞ ≤ A1 λ, zatem dla r = A1 zachodzi νT fλ (rλ) = 0. Drugi skªadnik szacujemy tak, jak poprzednio. Otrzymujemy (jak poprzednio) kT f kpp p p−p0 p0 Ap00 A0 p pr λ p0 dλ = (2Q) kf kpp . kf k p0 p 0 (rλ) p − p0 ∞ Z λp−1 ≤ p(2rQ) 0 Skoro r = A1 , mamy 0 kT f kpp ≤ (2Q)p Ap00 Ap−p 1 p pβ kf kpp = (2Q)p Apα 0 A1 p − p0 1 p0 1 p0 − 1 p , co ko«czy dowód. Twierdzenie interpolacyjne Marcinkiewicza ma mnóstwo uogólnie«, przede wszystkim na operatory sªabego typu p0 , q0 oraz sªabego typu p, q , operatory takie s¡ mocnego typu 1 p = 1−ϑ p0 + p1 , q1 , gdzie 1−ϑ q0 ϑ . q1 p0 ≤ q0 , p1 ≤ q1 , q0 6= q1 : gdzie ϑ , p1 1 q = Dowód jest bardzo podobny, ale wykorzystuje uci¦cia f + na poziomie innym ni» λ. Inne uogólnienie dotyczy przestrzeni Lorentza. Twierdzenie interpolacyjne Marcinkiewicza jest wreszcie podstaw¡ rzeczywistej interpolacji mi¦dzy przestrzeniami Banacha. p, q > 0, f ∈ L p (X), g ∈ L q (X), to f g ∈ r takiego, »e p1 + 1q = 1r . Udowodnij ponadto, »e wiczenie 11.9. Udowodnij, »e je±li L r (X) oraz kf gkr ≤ kf kp kgkq dla kf kp = sup {kf gkr : g ∈ L q (X), kgkq = 1} . wiczenie 11.10. Udowodnij sªab¡ nierówno±¢ Höldera : f ∈ L p,∞ , g ∈ L q,∞ , to kf gk1,∞ ≤ ( pq )1/p + ( pq )1/q kf kp,∞ kgkq,∞ . wiczenie 11.11. Wywnioskuj, »e je±li f g ∈ L r,∞ (X) dla r takiego, »e 1 p + 1 q = je±li p, q ∈ (1, ∞), p1 + 1q = 1, p, q > 0, f ∈ L p,∞ (X), g ∈ L q,∞ (X), 1 . r to 60 12. Twierdzenie interpolacyjne RieszaThorina I = {z ∈ C : 0 ≤ Re z ≤ 1}. Mówimy, holomorczna we wn¦trzu I i ci¡gªa na I . Niech »e ϕ jest holomorczna na I je±li jest ϕ jest ograniczon¡ funkcj¡ holomors ∈ [0, 1], 1−s s sup |ϕ(s + it)| ≤ sup |ϕ(it)| sup |ϕ(1 + it)| . Lemat 12.1 (lemat PhragmenaLindelöfa). Je±li I, czn¡ na to dla wszystkich R t∈ t∈ R t∈ Dowód. Niech Ms = supt∈R |ϕ(s + it)| M1 ≤ 1, oraz »e dla R s ∈ [0, 1]. Przypu±¢my wpierw, »e M0 ≤ 1 i lim sup{|ϕ(s + it)| : s ∈ [0, 1]} = 0. t→±∞ t0 , warto±ci |ϕ| na brzegu prostok¡ta {s + it : s ∈ [0, 1], |t| ≤ t0 } s¡ ograniczone przez 1. Z zasady maksimum moduªu wynika, »e |ϕ| jest ograniczona przez 1 na ka»dym takim prostok¡cie, i wobec tego |ϕ| jest ograniczona przez 1 na I . Rozwa»my teraz ogólny przypadek. Niech ε > 0 oraz niech Wówczas dla dostatecznie du»ych ϕ̃(z) = eε(z Wówczas ϕ̃ 2 −z) (M0 + ε)1−z (M1 + ε)z ϕ(z). jest holomorczna w ε(s2 −s−t2 ) |ϕ̃(s + it)| = e dla s ∈ [0, 1], t ∈ R. I oraz (M0 + ε)−(1−s) (M1 + ε)−s |ϕ(s + it)| ϕ̃ jest ograniczona na I i speªnia warunki pierwszej ograniczona przez 1 na I . Oznacza to, »e W szczególno±ci cz¦±ci dowodu. Wobec tego |ϕ̃| −ε(s2 −s−t2 ) |ϕ(s + it)| ≤ e Przechodz¡c do granicy jest (M0 + ε)1−s (M1 + ε)s . ε → 0+ , otrzymujemy |ϕ(s + it)| ≤ M01−s M1s . wiczenie 12.2. Udowodnij, »e w powy»szym lemacie wystarczy zaªo»y¢, »e ograniczona na brzegu I oraz c2 | Im z| |ϕ(z)| ≤ c1 e dla ϕ jest z ∈ I. wiczenie 12.3. Udowodnij, »e lemat nie zachodzi, je±li zaªo»ymy wyª¡cznie, »e jest ograniczona na brzegu I. W dalszej cz¦±ci rozdziaªu X i Y ϕ s¡ pewnymi przestrzeniami miarowymi, z miarami Je±li p ∈ [1, ∞], to przez p̃ oznaczamy wykªadnik 1 hölderowsko sprz¦»ony, tj. taki, = 1. p̃ Pn Przypomnijmy, »e funkcje proste to funkcje postaci k=1 ak Ak , gdzie Ak s¡ parami rozª¡cznymi zbiorami o sko«czonej mierze. oznaczanymi odpowiednio przez (twierdzenie 1 interpolacyjne RieszaThorina). Niech 1 1−ϑ ϑ 1 1−ϑ ϑ p0 , q0 , p1 , q1 ∈ [1, ∞], ϑ ∈ [0, 1] oraz p = p0 + p1 , q = q0 + q1 . Przypup p ±¢my, »e T jest okre±lony na L 0 (X) + L 1 (X) i jest ograniczonym operatorem p q p q liniowym z L 0 (X) do L 0 (Y ) z norm¡ M0 oraz z L 1 (X) do L 1 (Y ) z norm¡ M1 . p q Wówczas T jest ograniczonym operatorem liniowym z L (X) do L (X) z norm¡ co 1−ϑ ϑ najwy»ej M0 M1 . Twierdzenie 12.4 µ i ν. 1 »e + p 61 Dowód. Wybierzmy parami rozª¡czne zbiory rowe wspóªczynniki n X f (x) = a1 , ..., an i b1 , ..., bm A1 , ..., An ⊆ X , B1 , ..., Bm ⊆ Y i okre±lmy ak 1Ak (x), g(y) = m X k=1 Niech = 1−z p0 fz (x) = dla z ∈ I. + q̃(s) Zauwa»my, »e bl 1Bl (y). l=1 p(z), q(z) i q̃(z) 1 p(z) oraz nieze- b¦d¡ dane wzorami z , p1 1 q(z) = 1−z q0 + z , q1 jest wykªadnikiem sprz¦»onym do 1 f (x) |f (x)|1/p(z) f (x)6=0 , |f (x)| 1 q̃(z) q(s) gz (y) = dla = 1−z q̃0 + s ∈ [0, 1]. z . q̃1 Niech wreszcie 1 g(y) |g(y)|1/q̃(z) g(y)6=0 |g(y)| Rozwa»my Z ϕ(z) = = Poniewa» T fz (y)gz (y)ν(dy) Y n X m X ak |a |1/p(z) |bbll | |bl |1/q̃(z) |ak | k k=1 l=1 Z T 1Ak (y)1Bl (y)ν(dy). Y 1Ak ∈ L p0 (X), wi¦c T 1Ak ∈ L q0 (Y ), a skoro 1Bl ∈ L q̃0 (Y ), to T 1Ak (y)1Bl (y) ν(dy). Zatem ϕ jest poprawnie okre±lona i holomorczna na I . Poniewa» Re p(z), Re q̃(z) ∈ [0, 1], ϕ jest ograniczona na I . Ponadto na mocy nierówno±ci jest caªkowalna wzgl¦dem Höldera, 1/p0 |ϕ(it)| ≤ kT fit kq0 kgit kq̃0 ≤ M0 kfit kp0 kgit kq̃0 = M0 kf k1 1/q̃0 kgk1 . Analogicznie 1/p1 |ϕ(1 + it)| ≤ M1 kf k1 1/q̃1 kgk1 . Z lematu PhragmenaLindelöfa wynika, »e 1/p(s) |ϕ(s)| ≤ M01−s M1s kf k1 1/q̃(s) kgk1 = M01−s M1s kfs kp(s) kgs kq̃(s) . Zbiór wszystkich funkcji gs rozwa»anej postaci to zbiór wszystkich funkcji prostych. Jest q̃(s) on g¦sty w L (Y ), a wi¦c na mocy lematu Fatou, Z T fs (y)g(y)ν(dy) ≤ M01−s M1s kfs kp(s) kgkq̃(s) Y dla wszystkich g ∈ L q̃(s) (Y ). Wybieraj¡c g (o niezerowej normie) tak, by zachodziªa równo±¢ w nierówno±ci Höldera zastosowanej do caªki po lewej stronie, otrzymujemy kT fs kq(s) ≤ M01−s M1s kfs kp(s) . Zbiór wszystkich funkcji rozwa»anej postaci to ponownie zbiór wszystkich funkcji pro- otrzymujemy tez¦ twierdzenia dla wszystkich funkcji prostych f . p Z g¦sto±ci zbioru funkcji prostych w L (X) wynika, »e zaw¦»enie T do przestrzeni p funkcji prostych ma jednoznaczne ci¡gªe rozszerzenie do L (X) o normie nie przekra1−ϑ czaj¡cej M0 M1ϑ . Teza dla dowolnej funkcji f ∈ L p (X) wynika z równo±ci granicy w L q (Y ) i L qj (Y ): na zbiorze L p (X) ∩ L pj (X) ci¡gªe rozszerzenie w sensie zbie»no±ci q q w L (Y ) jest zgodne z ci¡gªym rozszerzeniem w sensie zbie»no±ci w L j (Y ), które jest p p p zgodne z denicj¡ operatora T , a przy tym L (X) ⊆ L 0 (X) + L 1 (X). stych. Bior¡c s = ϑ, fs 62 wiczenie 12.5 (twierdzenie interpolacyjne Steina). Udowodnij, »e operator twierdzeniu RieszaThorina mo»na zast¡pi¢ rodzin¡ operatorów Tz , z ∈ I , T w pod wa- Tz 1A (y)1B (y)ν(dy) s¡ holomorczne i ograniczone p q na I , operatory Tit przeksztaªcaj¡ L 0 (X) w L 0 (Y ) i ich normy s¡ ograniczone przez p1 M0 , za± operatory T1+it przeksztaªcaj¡ L (X) w L q1 (Y ), z normami ograniczonymi przez M1 . runkiem, »e funkcje ϕA,B (z) = R wiczenie 12.6. Sformuªuj i udowodnij wersj¦ twierdzenia RieszaThorina dla prze- strzeni Sobolewa H s (Rd ), s ∈ [0, ∞). wiczenie 12.7. Poczytaj o interpolacji zespolonej mi¦dzy przestrzeniami Banacha. p, q, r ∈ [1, ∞] speªniaj¡ f ∈ L (R ) oraz g ∈ L q (Rd ) zachodzi Twierdzenie 12.8 (nierówno±¢ Younga). Je±li 1 p + 1 q 1 r = + 1, to dla wszystkich p równo±¢ d kf ∗ gkr ≤ kf kp kgkq . Dowód. Niech f ∈ L 1 (Rd ) oraz T g = f ∗ g . Z twierdzenia Fubiniego wiemy, »e kT gk1 ≤ kf k1 kgk1 , za± z prostego oszacowania caªki wynika, »e kT gk∞ ≤ kf k1 kgk∞ . Z twierdzenia RieszaThorina wynika, »e kT gkp ≤ kf k1 kgkp dla wszystkich p ∈ [1, ∞] (fakt ten zostaª ju» udowodniony innymi metodami we wniosku 6.17). p d Niech teraz f ∈ L ( ) dla pewnego p ∈ [1, ∞] i niech ponownie R T g = f ∗ g . Wiemy ju», »e kT gkp ≤ kf kp kgk1 . Ponadto z nierówno±ci Höldera wynika, »e kT gk∞ ≤ kf kp kgkp̃ , gdzie p̃ jest wykªadnikiem sprz¦»onym do p. Wobec tego kT gkr ≤ kf kp kgkq , o ile dla pewnego ϑ ∈ [0, 1] zachodzi 1 q 1−ϑ 1 = + ϑp̃ , 1 r ϑ i p̃, Eliminuj¡c z ukªadu = 1−ϑ p 1 p otrzymujemy Twierdzenie 12.9. Niech k(y, x) + + ϑ , ∞ 1 q 1 p̃ = 1 r = 1 − p1 . + 1. b¦dzie j¡drem operatora T, tj. Z T f (y) = k(y, x)f (x)µ(dx), X dla wszystkich f, dla których caªka ma sens. Je±li Z Z |k(y, x)|µ(dx) ≤ M0 , |k(y, x)|ν(dy) ≤ M1 , X Y T jest operatorem ograniczonym z 1−1/p 1/p M0 M1 . to Dowód. L p (X) do Z prostego oszacowania caªki wynika, »e Fubiniego kT f k1 M01−ϑ M1ϑ kf kp gdy p1 ≤ M1 kf k1 . = 1−ϑ + ϑ1 . ∞ L p (Y ), z norm¡ nie przekraczaj¡c¡ kT f k∞ ≤ M0 kf k∞ , Twierdzenie 12.10 (nierówno±¢ HausdoraYounga). Je±li f ∈ L p (Rd ), to za± z twierdzenia Z twierdzenia RieszaThorina otrzymujemy kF̃f kq ≤ (2π)d/q kf kp kT f kp ≤ p ∈ [1, 2], p1 + 1q = 1 oraz 63 F̃ ma norm¦ 1 jako operator z L 1 (Rd ) do L ∞ (Rd ) oraz norm¦ (2π)d/2 2 d 2 d jako operator z L (R ) w L (R ). Na mocy twierdzenia RieszaThorina, F̃ jest ope1 p d q d = 1−ϑ + ϑ2 , 1q = 1−ϑ + ϑ2 , a norma ratorem ograniczonym z L (R ) do L (R ), gdzie p 1 ∞ dϑ/2 tego operatora nie przekracza (2π) . Dowód. Operator Twierdzenie 12.11 (nierówno±¢ HausdoraYounga dla szeregów Fouriera). Je±li p ∈ [1, 2], p1 + 1q = 1 oraz f ∈ L p (T), p −1/p ˆ oraz fˆ ∈ ` , to kf kq ≤ (2π) kf kp . Dowód. to kfˆkq ≤ (2π)1/q kf kp . Je±li za± f ∈ L 1 (T) Dowód pierwszej cz¦±ci jest taki sam, jak w przestrzeniach euklidesowych. Druga kf k∞ ≤ (2π)−1 kfˆk1 oraz kf k2 = (2π)−1/2 kfˆk2 . wynika podobnie, bowiem 64 Operator maksymalny 13. Jednym z najwa»niejszych zastosowa« twierdzenia Marcinkiewicza jest oszacowanie p norm L operatora maksymalnego Hardy'ego-Littlewooda. Poni»ej rozwa»amy przypad dek funkcji okre±lonych na ; teoria dla (i innych grup lokalnie zwartych) jest niemal d identyczna. Mówimy, »e funkcja f jest lokalnie caªkowalna na , je±li f jest borelow1 d ska i f K ∈ L ( ) dla ka»dego zbioru zwartego K . Zbiór wszystkich funkcji lokalnie 1 d caªkowalnych oznaczamy Lloc ( ). R 1 R T R R Operator maksymalny Hardy'ego-Littlewooda Z 1 M f (x) = sup |f (y)|dy : r > 0 . |B(x, r)| B(x,r) Definicja 13.1. 1 f ∈ Lloc (Rd ). dla Oznaczmy Funkcja Mf jest okre±lony wzorem przyjmuje warto±ci z przedziaªu ψr (x) = |B(0, r)|−1 1B(0,r) (x). [0, ∞]. Wówczas M f (x) = sup {|f | ∗ ψr (x) : r > 0} . |f | ∗ ψr (x) = (|f |1B(x0 ,2r) ) ∗ ψr (x) dla x ∈ B(x0 , r), za± |f |1B(x0 ,2r) ∈ L 1 (Rd ), |f | ∗ ψr (x) jest ci¡gªa. Wobec tego zbiór [ x ∈ Rd : M f (x) > t = x ∈ Rd : |f | ∗ ψr (x) > t Ponadto zatem r>0 M f jest funkcj¡ borelowsk¡. Wprost z denicji wynika, »e M (f +g)(x) ≤ M f (x)+M g(x), a wi¦c M jest operatorem kwaziliniowym ze staª¡ Q = 1 (inaczej mówi¡c operatorem podaddytywnym). Ponadto je±li f jest ograniczona, to równie» M f jest ograniczona i kM f k∞ ≤ kf k∞ , czyli M jest mocnego (lub równowa»nie sªabego) typu ∞, ∞. jest otwarty. W szczególno±ci Lemat 13.2 (lemat pokryciowy Vitalego). Przypu±¢my, »e Bi , i ∈ I , jest rodzin¡ kul (w dowolnej przestrzeni metrycznej), których promienie s¡ ograniczone od góry. Wówczas istnieje podrodzina Bj , j ∈ J , J ⊆ I , Bj , j S ∈ J , s¡ parami rozª¡czne; 0 0 i∈I Bi ⊆ j∈J Bj , gdzie Bj oznacza o wªasno±ciach: (a) kule (b) S kul¦ o tym samym ±rodku, co Bj , lecz o pi¦ciokrotnie wi¦kszym promieniu. Dowód. Bi = B(xi , ri ) oraz M = sup{ri : i ∈ I}. Zbiór J konstruujemy J0 = ∅. Przypu±¢my, »e Jn−1 . S mamy ju» okre±lony zbiór −n Niech In b¦dzie zbiorem tych i, dla których Bi ∩ M. j∈Jn−1 Bj = ∅ oraz ri > 2 Niech Kn b¦dzie dowolnym maksymalnym podzbiorem In takim, »e Bi dla i ∈ Kn s¡ parami rozª¡czne (istnienie Kn wynika z lematu KuratowskiegoZorna). Przyjmujemy S Jn = Jn−1 ∪ Kn . Ponadto okre±lamy J = ∞ n=1 Jn . −n Przypu±¢my, »e x ∈ Bi dla pewnego i ∈ I i dobierzmy n tak, by 2 M < ri ≤ 2−n+1 M . S 0 Je±li i ∈ Kn , to oczywi±cie i ∈ J , zatem x ∈ / Kn , to Bi przecina si¦ z j∈J Bj . Gdy i ∈ 0 pewnym Bk , k ∈ Kn lub z pewnym Bj , j ∈ Jn−1 . W pierwszym przypadku x ∈ Bk , w S 0 0 drugim x ∈ Bj . Zatem zawsze x ∈ j∈J Bj . Przypu±¢my, »e indukcyjnie. Przyjmujemy 65 f ∈ L 1 (Rd ), to M f ∈ L 1,∞ (Rd ) oraz kM f k1,∞ ≤ 5d kf k1 , 1, 1. Twierdzenie 13.3. Je±li tj. M Dowód. jest sªabego typu t > 0 i rozwa»my zbiór E R= {x ∈ Rd : M f (x) > t}. Dla ka»dego x ∈ E Bx = B(x, rx ) taka, »e |Bx |−1 Bx |f (y)|dy > t. Wybierzmy podrodzin¦ kul Ustalmy istnieje kula Bx , x ∈ F , X zgodnie z lematem pokryciowym Vitalego. Otrzymujemy |Bx |t ≤ x∈F XZ Z |f (y)|dy = |f (y)|dy ≤ kf k1 . S Bx x∈F x∈F Bx 0 Z drugiej strony je±li Bx = B(x, 5rx ), to E ⊆ X X |Bx0 | ≥ 5−d |E|. |Bx | = 5−d x∈F Bx0 , a wi¦c x∈F x∈F St¡d S t|E| ≤ 5d kf k1 . Z twierdzenia interpolacyjnego Marcinkiewicza wynika natychmiast, »e torem mocnego typu p, p dla wszystkich wiczenie 13.4. Udowodnij, »e »e je±li M f ∈ L (R ), 1 d to f =0 M M jest opera- p ∈ (1, ∞). nie jest mocnego typu 1, 1. Udowodnij ponadto, prawie wsz¦dzie. wiczenie 13.5. Rozwa»a si¦ czasami uci¦ty operator maksymalny, dany wzorem MR f (x) = sup{|f | ∗ ψr (x) : r ∈ (0, R)}. Oczywi±cie 0 ≤ MR f (x) ≤ M f (x). Udo1 d wodnij, »e równie» MR nie jest mocnego typu 1, 1, lecz tym razem MR f ∈ L (R ) d dla wszystkich funkcji f ∈ Cc (R ). Operator maksymalny jest jednym z fundamentalnych poj¦¢ analizy harmonicznej, niezwykle u»ytecznym przy dowodzeniu zbie»no±ci prawie wsz¦dzie. W szczególno±ci udowodnimy zbie»no±¢ prawie wsz¦dzie ±rednich Cesàro transformat i szeregów Fouriera. −1 Przypomnijmy, »e ψr (x) = |B(0, r)| B(0,r) (x). Wprowad¹my oznaczenie: 1 ϑf (x) = lim sup |ψr ∗ f (x) − f (x)|. r→0+ ϑ(f + g)(x) ≤ ϑf (x) + ϑg(x) i ϑf (x) ≤ |f (x)| + M f (x). Poniewa» ψr jest d jedno±ci¡ aproksymatywn¡, dla wszystkich f ∈ Cb (R ) funkcje f ∗ψr d¡»¡ do f punktowo d (a nawet jednostajnie na zbiorach zwartych), zatem ϑf (x) = 0 dla wszystkich x ∈ R . Zauwa»my, »e Oznacza to, »e g¦sto±¢ miary o ci¡gªej g¦sto±ci mo»na odzyska¢ przez ró»niczkowanie na kulach. Poni»sze twierdzenie podaje analogiczny wynik dla ogólniejszych miar. Twierdzenie 13.6. Je±li kich x ∈ Rd . 1 f ∈ Lloc (Rd ), to f ∗ ψr (x) d¡»y do f (x) dla prawie wszyst- Dowód. Przypu±¢my wpierw, »e f ∈ L 1 (Rd ). Ustalmy t > 0 i Rd : ϑf (x) > t}. Dla dowolnej funkcji g ∈ Cc (Rd ) zachodzi rozwa»my zbiór E = {x ∈ E ⊆ {x ∈ Rd : ϑ(f − g)(x) > t} ⊆ {x ∈ Rd : |f (x) − g(x)| + M (f − g)(x) > t}, a wi¦c t|E| ≤ k|f − g| + M (f − g)k1,∞ ≤ ckf − gk1 dla pewnego c > 0. Prawa strona = 0. Tak jest dla wszystkich t > 0, a mo»e by¢ dowolnie maªa, sk¡d otrzymujemy |E| d wi¦c ϑf (x) = 0 dla prawie wszystkich x ∈ . R 66 1 (Rd ) oczywi±cie ϑf (x) = ϑ(1B(x0 ,2) f )(x) = 0 dla prawie wszystf ∈ Lloc d kich x ∈ B(x0 , 1). Pozostaje zauwa»y¢, »e przestrze« R mo»na pokry¢ przeliczaln¡ liczb¡ kul B(x0 , 1). Dla ogólnych Powy»sze twierdzenie mówi, »e ±rednia warto±¢ (f (y) − f (x)) dla x ∈ d i r → 0+ d¡»y do zera dla prawie wszystkich x R ustalonym y ∈ B(x, r) przy ∈ Rd . Wynik ten mo»na wzmocni¢ przez dodanie warto±ci bezwzgl¦dnej. x ∈ Rd Definicja 13.7. Punkt nazywamy punktem Lebesgue'a funkcji 1 (Rd ) f ∈ Lloc je±li 1 lim sup r→0+ |B(x, r)| Z |f (y) − f (x)|dy = 0. B(x,r) 1 Ef punktów Lebegue'a dowolnej funkcji f ∈ Lloc (Rd ) jest |Rd \ Ef | = 0. Twierdzenie 13.8. Zbiór peªnej miary, tj. Dowód. s ∈ R zbiór Fs = {x ∈ Rd : ϑ(|f − s|)(x) > 0} jest zbiorem miary s∈Q Fs oraz E = R \ F . Oczywi±cie |F | = 0. Ponadto je±li x ∈ E , Dla dowolnego zero. Niech u = f (x) S F = s ∈ Q, oraz to 1 ϑ(|f − u|)(x) ≤ lim sup r→0+ |B(x, r)| Z |f (y) − s|dy + |s − u| B(x,r) = ϑ(|f − s|)(x) + |s − u| = |s − u|. Prawa strona mo»e by¢ dowolnie maªa, a wi¦c 1 lim sup r→0+ |B(x, r)| Wobec tego x ϑ(f − u)(x) = 0, tj. Z |f (y) − u|dy = 0. B(x,r) jest punktem Lebesgue'a, czyli E ⊆ Ef . Z twierdzenia o punktach Lebesgue'a wynika mo»liwo±¢ ró»niczkowania wzgl¦dem dowolnego ci¡gu zbiorów dobrze zbie»nego do x. f ∈ L ∞ (Rd ) oraz ci¡g En ⊆ Rd zbiorów mierzalnych speªnia nast¦puj¡cy warunek: istnieje staªa C > 0 i ci¡g rn > 0 zbie»ny do 0, dla którychR|En \ B(x, rn )|/|B(x, rn )| → 0 oraz |En ∩ B(x, rn )| ≥ C|B(x, rn )| gdy n → ∞, to |E1n | En f (y)dy d¡»y do f (x). wiczenie 13.9. Je±li x wiczenie 13.10. Je±li x jest punktem Lebesgue'a funkcji jest punktem Lebesgue'a funkcji 1 f ∈ Lloc (Rd ) oraz ci¡g En ⊆ R zbiorów mierzalnych speªnia nast¦puj¡cy warunek: istnieje staªa C > 0 i ci¡g rn > 0 zbie»ny do 0, dla których En ⊆ B(x, rn ) oraz |En | ≥ C|B(x, rn )|, to R 1 f (y)dy d¡»y do f (x). |En | En d ψr mo»na zast¡pi¢ ϕr , r > 0 i okre±lmy Funkcje funkcje du»o ogólniejsz¡ jedno±ci¡ aproksymatywn¡. ϕ∗r (s) = sup{|ϕr (x)| : |x| ≥ s}. Rozwa»my 67 B¦dziemy zakªadali, »e I>0 ϕr r → 0+ jest jedno±ci¡ aproksymatywn¡ gdy oraz dla pewnego zachodzi Z R d ϕ∗r (|x|)dx ≤ I dla wszystkich r > 0. Niech ϑ̃f (x) = lim sup |f ∗ ϕr (x) − f (x)|. r→0+ f ∈ L 1 (Rd ), Lemat 13.11. Je±li to |f ∗ ϕr (x)| ≤ IM f (x) Dowód. ϑ̃f (x) ≤ |f (x)| + IM f (x). oraz ϕ∗r jest malej¡ca i lewostronnie ci¡gªa, jest wi¦c ogonem ∗ dystrybuanty pewnej nieujemnej miary µr na (0, ∞), tj. ϕr (s) = µr ([s, ∞)) dla s > 0. Zachodzi Zauwa»my, »e funkcja Z |f ∗ ϕr (x)| ≤ = |f (x − d ZR Z Rd y)|ϕ∗r (|y|)dy Z = Rd |f (x − y)|µr ([|y|, ∞))dy 1[|y|,∞) (s)|f (x − y)|µr (ds)dy. (0,∞) Z twierdzenia Fubiniego wynika, »e Z |f ∗ ϕr (x)| ≤ (0,∞) Z Z Rd Z 1[|y|,∞) (s)|f (x − y)|dyµr (ds) Z Z |f (x − y)|dyµr (ds) = = (0,∞) B(0,s) |f (z)|dzµr (ds). (0,∞) B(x,s) Wobec tego Z |f ∗ ϕr (x)| ≤ M f (x) |B(0, s)|µr (ds). (0,∞) Wykonuj¡c analogiczne kroki w odwrotnej kolejno±ci otrzymujemy Z Z |f ∗ ϕr (x)| ≤ M f (x) (0,∞) Rd 1[|y|,∞) (s)dyµr (ds) Z = M f (x) Z Rd µr ([|y|, ∞))dy = M f (x) Rd ϕr (|y|)dy ≤ IM f (x). To dowodzi pierwszej cz¦±ci lematu. Druga wynika z pierwszej i denicji ϑ̃f (x). L 1 (Rd )+L ∞ (Rd ) oznacza zbiór sum funkcji z L 1 (Rd ) i z L ∞ (Rd ). p d wszystkie przestrzenie L (R ) dla p ∈ [1, ∞]. Przypomnijmy, »e Zawiera on Twierdzenie 13.12. Je±li prawie wszystkich x∈R d f ∈ L 1 (Rd ) + L ∞ (Rd ), . Co wi¦cej, dla prawie Z lim r→0+ Rd |f (y) − f (x)||ϕr (y − x)|dy = 0. f ∗ ϕr (x) d¡»y do f (x) d wszystkich x ∈ R zachodzi to dla 68 Dowód. Dowód pierwszej cz¦±ci jest caªkiem analogiczny do dowodu twierdzenia 13.6. 1 d d Niech f ∈ L (R ), t > 0 oraz E = {x ∈ R : ϑ̃f (x) > t}. Dla dowolnej funkcji d g ∈ Cc (R ) zachodzi E ⊆ {x ∈ Rd : ϑ̃(f − g)(x) > t} ⊆ {x ∈ Rd : |f (x) − g(x)| + IM (f − g)(x) > t}, t|E| ≤ k|f − g| + IM (f − g)k1,∞ ≤ Ckf − gk1 dla pewnej staªej C > 0. St¡d |E| = 0. Tak jest dla wszystkich t > 0, a wi¦c ϑ̃f (x) = 0 dla prawie wszystkich x ∈ Rd . 1 d ∞ d Dowoln¡ funkcj¦ f ∈ L (R ) + L (R ) mo»emy zapisa¢ w postaci f = f1 + f∞ , gdzie f1 ∈ L 1 (Rd ), f∞ ∈ L ∞ (Rd ). atwo sprawdzi¢, »e ϑ̃f (x) = ϑ̃(f1 + 1B(x0 ,2) f2 )(x) = 0 d dla prawie wszystkich x ∈ B(x0 , 1). Poniewa» przestrze« R mo»na pokry¢ przeliczaln¡ liczb¡ kul B(x0 , 1), pierwsza cz¦±¢ twierdzenia zostaªa udowodniona. Dowód drugiej cz¦±ci niczym nie ró»ni si¦ od dowodu twierdzenia 13.8. a wi¦c wiczenie 13.13. Wyka», »e zbie»no±ci w twierdzeniu 13.12 zachodz¡ w ka»dym punkcie Lebesgue'a funkcji f. wiczenie 13.14. Zaªó»my dodatkowo, »e ϕ̃r maj¡ no±nik zawarty w pewnym usta- lonym zbiorze zwartym K . Udowodnij, »e wówczas powy»sze twierdzenie zachodzi 1 d dla wszystkich f ∈ Lloc ( ). R Bezpo±rednim wnioskiem z twierdzenia 13.12 jest zbie»no±¢ prawie wsz¦dzie we wzorach na transformat¦ odwrotn¡, takich jak twierdzenie 9.3. Odpowiednie modykacje pozwalaj¡ uzyska¢ analogiczny wynik tak»e dla szeregów Fouriera. Szczegóªy pozostawiamy jako ¢wiczenie. wiczenie 13.15. Sformuªuj odpowiedniki twierdze« 13.6 i 13.12 dla funkcji L (T) 1 (a wi¦c dla 2π -okresowych funkcji lokalnie caªkowalnych). Wykorzystaj je do udowodnienia twierdzenia 6.24: ±rednie Cesàro L 1 ( ) d¡»¡ do f prawie wsz¦dzie. T Przypu±¢my, »e stem |x|. ϕr (x) = ϕ∗r (|x|), f ∈ σk f a wi¦c »e funkcje szeregów Fouriera funkcji ϕr (x) f ∈ s¡ radialne i malej¡ ze wzro- Rozwa»my operator maksymalny zwi¡zany z jedno±ci¡ aproksymatywn¡ ϕr , czyli M̃ f (x) = sup{|f | ∗ ϕr (x) : r > 0}. Lemat 13.11 dowodzi, »e M̃ f (x) ≤ IM f (x). Z drugiej strony |B(0, s)| |f | ∗ ψs (x) ≤ (ϕ∗r (s))−1 |f | ∗ ϕr (x) ≤ (ϕ∗r (s))−1 M̃ f (x), wobec czego M̃ f (x) ≥ |B(0, 1)| inf sd sup{ϕ∗r (s) : r > 0} : s > 0 M̃ f (x). Je±li np. ϕ r = Kr jest j¡drem GaussaWeierstrassa, otrzymujemy CM f (x) ≤ M̃ f (x) ≤ M f (x), d d/2 −d/2 C = ( 2π ) e |B(0, 1)|. Taka sama nierówno±¢ zachodzi dla j¡dra Poissona ϕr = Pr , ze staª¡ C = Γ( d+1 )π −(d+1)/2 (d + 1)d/2 (d + 2)−(d+1)/2 |B(0, 1)|. W tym (i w 2 wielu innych przypadkach) operatory maksymalne M̃ s¡ wi¦c porównywalne z operatorem Hardy'egoLittlewooda M i mo»na korzysta¢ z tego operatora, który w danej sytuacji gdzie 69 jest najwygodniejszy. Jeszcze inny rodzaj operatora maksymalnego zostanie opisany w kolejnym rozdziale. 70 Rozkªad CalderónaZygmunda 14. k ∈ Z niech Qk oznacza rodzin¦ elementarnych kostek o wierzchoªkach w punktach −k d kratowych 2 Z . ci±lej mówi¡c, kostki z Qk s¡ przesuni¦ciami kostki [0, 2−k )d o wektory −k d z kraty 2 Z . Oznaczmy przez Q sum¦ wszystkich rodzin Qk . d Dla x ∈ R niech Qk (x) oznacza jedyn¡ kostk¦ z Qk , która zawiera x. Dla funkcji f ∈ L 1 (Rd ) okre±lamy Z kd |f (y)|dy. fk (x) = 2 Dla Qk (x) Je±li λ > 0, to okre±lamy ( Qk (x) Qf,λ (x) = ∅ je±li je±li fj (x) ≤ λ fj (x) ≤ λ dla dla j<k fk (x) > λ, wszystkich j ∈ Z. oraz f jest caªkowalna, dla dostatecznie du»ych ujemnych j ∈ Z zachodzi fj (x) ≤ λ, zatem Qf,λ (x) jest poprawnie okre±lone. Rodzin¦ wszystkich niepustych zbiorów Qf,λ (x) oznaczamy Qf,λ , za± ich sum¦ Qf,λ . Zauwa»my, »e kostki z Qf,λ s¡ parami rozª¡czne. Poniewa» wiczenie 14.1. Udowodnij, »e ka»da kostka jest (przeliczaln¡) rozª¡czn¡ sum¦ kostek z kostek z Q, które s¡ rozª¡czne z Qf,λ Definicja 14.2. fλgood + fλbad , Q∈Q Qf,λ (daj¡cych w sumie (daj¡cych w sumie Rozkªadem CalderónaZygmunda Qf,λ , Q ∩ Qf,λ ) albo zawiera si¦ w albo oraz Q \ Qf,λ ). funkcji f nazywamy rozkªad f= gdzie X 1 Z f (y)dy 1Q (x), = f (x)1Rd \Qf,λ (x) + |Q| Q Q∈Qf,λ Z X 1 bad fλ (x) = f (y)dy 1Q (x). f (x) − |Q| Q Q∈Q fλgood (x) f,λ diadyczny operator maksymalny : Z 1 Md f (x) = sup{fk (x) : k ∈ Z} = sup |f (y)|dy : k ∈ Z . |Qk (x)| Qk (x) Z powy»szym podziaªem naturalnie zwi¡zany jest wiczenie 14.3. Znajd¹ rozkªad CalderónaZygmunda funkcji g(x) = x−1/2 1(0,1) (x) wiczenie oraz h(x) = x−2 1(1,∞) (x) (x ∈ R). f (x) = 1(0,1) (x), 14.4. Wykorzystuj¡c wªasno±ci operatora maksymalnego Hardy'ego Littlewooda i odpowiednie rozwa»ania geometryczne, uzasadnij, »e operator sªabego typu Md jest 1, 1. Z powy»szego ¢wiczenia, a tak»e z ¢wicze« dotycz¡cych dobrej zbie»no±ci w poprzednim rozdziale, wynika natychmiast wiele wªasno±ci diadycznego operatora maksymalnego. Mo»na jednak te wªasno±ci udowodni¢ bezpo±rednio. B¦dzie to dobr¡ rozgrzewk¡ przed badaniem caªek singularnych. 71 Twierdzenie 14.5. Operator jest sªabego typu 1, 1 i mocnego typu p, p dla p ∈ (1, ∞]. ka»dego Dowód. Md ∞, ∞. Na mocy twierdzenia interpolacyjnego Marcinkiewicza wystarczy zatem dowie±¢, »e Md jest sªabego typu 1, 1. 1 d Bez utraty ogólno±ci mo»emy przyj¡¢, »e f ∈ L (R ) przyjmuje warto±ci nieujemne. d Zauwa»my, »e ka»da kostka Q ∈ Qf,λ jest jedn¡ z 2 kostek skªadaj¡cych si¦ na pewn¡ 0 0 wi¦ksz¡ kostk¦ Q . Mówi¡c ±ci±lej, je±li Q ∈ Qk , to Q jest t¡ kostk¡ z Qk−1 , która zawiera Q. Wobec denicji Qf,λ , Z Z 1 2d f (x)dx ≤ 0 f (x)dx ≤ 2d λ, |Q| Q |Q | Q0 Oczywi±cie Md jest mocnego typu good d jest ograniczona przez 2 λ na Qf,λ . Warto±¢ ±rednia fλ na ka»dej kostce z good d Qf,λ nie przekracza zatem 2 λ. Ponadto fλ = f na ka»dej kostce z Q , która jest rozgood na takich kostkach nie przekracza λ. Oznacza ª¡czna z Qf,λ , zatem warto±¢ ±rednia fλ good d to, »e na dowolnej kostce z Q warto±¢ ±rednia fλ nie przekracza 2 λ. bad Z kolei warto±¢ ±rednia funkcji fλ na ka»dej kostce z Qf,λ wynosi zero, zatem je±li bad kostka Q ∈ Q nie zawiera si¦ w Qf,λ , to warto±¢ ±rednia fλ na Q wynosi zero. Udowodnili±my zatem, »e dla dowolnej kostki Q ∈ Q która nie jest zawarta w Qf,λ zachodzi czyli fλgood 1 |Q| Z 1 f (x)dx = |Q| Q Oznacza to, »e Z Md f (x) ≤ 2d λ fλgood (x)dx ≤ 2d λ. Q dla x∈ / Qf,λ . Z drugiej strony Z |f (x)|dx ≥ λ|Q|, Q zatem |Qf,λ | ≤ λ1 kf k1 . To dowodzi, »e Md jest sªabego typu 1, 1. wiczenie 14.6. Wykorzystuj¡c powy»sze twierdzneie i odpowiednie rozwa»ania geo- metryczne, uzasadnij, »e operator maksymalny Hardy'egoLittlewooda jest sªabego typu 1, 1. Powtarzaj¡c dowód twierdzenia 13.6 (lub wykorzystuj¡c ¢wiczenia o dobrej zbie»no±ci z poprzedniego rozdziaªu) otrzymujemy nast¦puj¡cy wynik. niego, »e |f (x)| ≤ λ dla prawie wszystkich W szczególno±ci wynika z x∈ / Qf,λ . f ∈ L 1 (Rd ), to Z kd f (y)dy f (x) = lim 2 Wniosek 14.7. Je±li k→∞ dla prawie wszystkich Qk (x) x ∈ Rd . Ciekawy i bardzo krótki dowód powy»szych wyników mo»na uzyska¢ z nierówno±ci maksymalnych dla martyngaªów i twierdze« o zbie»no±ci martyngaªów. Rozkªad CalderónaZygmunda wykorzystuje si¦ przede wszystkim do badania wªasno±ci caªek singularnych. Udowodnimy tylko to, co b¦dzie nam potrzebne do badania 72 transformaty Hilberta i transformat Riesza, za± ogólniejszy wynik pozostawimy bez dowodu. K ∈ L 2 (Rd ) Twierdzenie 14.8. Niech b¦dzie funkcj¡ o nast¦puj¡cych wªasno- ±ciach: (a) (b) FK ∈ L ∞ (Rd ); d istnieje C takie, »e dla ka»dego x ∈ R Z |K(x + z) − K(z)|dz ≤ C. zachodzi Rd \B(0,2|x|) Wówczas operator splotu z (1, ∞), K jest sªabego typu z ograniczeniami na normy zale»¡cymi oraz staªej C (lecz nie zale»¡cymi od 1, 1 i jest ograniczony na L p dla p ∈ tylko od wymiaru d, normy kFKk∞ kKk2 ). Drugie zaªo»enie nazywane jest zwykle warunkiem Hörmandera. T f = f ∗K dla f ∈ L p (Rd ), p ∈ [1, 2]. Na mocy twierdzenia Plancherela T 2 d jest ograniczony na L (R ) z norm¡ kFKk∞ . Poni»ej wyka»emy, »e T jest sªabego typu 1, 1, z ograniczeniem zale»¡cym wyª¡cznie od d i C . Na mocy twierdzenia interpolacyjnego p d Marcinkiewicza oznacza to, »e T jest ograniczony na L (R ) dla p ∈ (1, 2). Przypu±¢my, 1 »e p ∈ (2, ∞) oraz + 1q = 1. Wówczas q ∈ (1, 2). Na mocy twierdzenia Plancherela dla p p d 2 d q d 2 d wszystkich f ∈ L (R ) ∩ L (R ) oraz g ∈ L (R ) ∩ L (R ) zachodzi Z Z Z 1 T f (x)g(x)dx = FK(ξ)Ff (ξ)Fg(−ξ)dξ = f (x)T g̃(−x)dx, (2π)d Rd Rd Rd Dowód. gdzie Niech g̃(x) = g(−x). Na mocy nierówno±ci Höldera zachodzi Z ≤ kf kp kT g̃kq ≤ kf kp kT kq→q kgkq , T f (x)g(x)dx d R za± aproksymuj¡c przy pomocy g funkcj¦, dla której zachodzi równo±¢ w nierówno±ci Höldera po lewej stronie powy»szej nierówno±ci, otrzymujemy kT f kp ≤ kf kp kT kq→q . p d Oznacza to, »e T jest ograniczony na L ( ) z t¡ sam¡ norm¡, co na L q ( d ). Pozostaje R zatem dowie±¢, »e Przypu±¢my, »e R T jest sªabego typu 1, 1. f ∈ L 1 (Rd ) i λ > 0. Poniewa» kfλgood k∞ ≤ 2d λ, zachodzi kfλgood k22 2d kfλgood k1 ≤ . |{x ∈ R : > λ}| ≤ λ2 λ 0 Niech Q ∈ Qf,λ i niech Q oznacza kostk¦ o tym samym ±rodku yQ , co Q, lecz powi¦kszon¡ √ (2 d)-krotnie. Oznaczmy dla wygody g = fλbad 1Q . Je±li x ∈ / Q0 , to Z Z bad bad |g ∗ K(x)| = fλ (y)K(y − x)dy = fλ (y)(K(y − x) − K(yQ − x))dy Q Q Z ≤ |fλbad (y)||K(y − x) − K(yQ − x)|dy, d |T fλgood (x)| Q przez co Z Rd \Q0 Z |fλbad (y)| |g ∗ K(x)|dx ≤ Q Z Z bad ≤ |fλ (y)|dy Q Z Rd \Q0 |K(y − x) − K(yQ − x)|dx dy Rd \B(0,2|y−yQ |) |K(y − yQ + z) − K(z)|dz ≤ Ckgk1 . 73 Sumuj¡c powy»sze nierówno±ci dla wszystkich Z R d \Q0 λ,f gdzie Q0λ,f Q ∈ Qf,λ otrzymujemy |fλbad ∗ K(x)|dx ≤ Ckfλbad k1 , jest sum¡ kostek Q0 dla wszystkich |{x ∈ Rd : |T fλbad (x)| > λ}| ≤ |Q0λ,f | + Q ∈ Qλ,f . Ostatecznie otrzymujemy Ckfλbad k1 (4d)d/2 kf k1 Ckfλbad k1 ≤ + . λ λ λ Z udowodnionych wy»ej nierówno±ci wynika, »e 2d kfλgood k1 (4d)d/2 kf k1 Ckfλbad k1 |{x ∈ R : |T f (x)| > 2λ}| ≤ + + . λ λ λ good Pozostaje zauwa»y¢, »e kfλ k1 ≤ kf k1 oraz kfλbad k1 ≤ kf k1 + kfλgood k1 ≤ 2kf k1 . d Twierdzenie 14.9 (bez dowodu). Niech K b¦dzie mierzaln¡ funkcj¡ o nast¦puj¡cych wªasno±ciach: C1 takie, »e |K(x)| ≤ C1 |x|−d R > r > 0, to (a) istnieje (b) je±li dla wszystkich x ∈ Rd ; Z K(x)dx = 0; B(0,R)\B(0,r) (c) istnieje C2 takie, »e dla ka»dego x ∈ Rd zachodzi Z Rd \B(0,2|x|) |K(x + z) − K(z)|dz ≤ C2 . x K(x) = |x|−d k( |x| ) dla pewnej hölderowsko ci¡gªej funkcji k na sferze jednostkowej. Dla ε > 0 niech Kε = K 1Rd \B(0,ε) i niech Tε b¦dzie operatorem splotu z Kε . Rozwa»my granic¦ W szczególno±ci powy»sze warunki s¡ speªnione, je±li T f (x) = lim+ Tε f (x) ε→0 Wówczas: f ∈ L p (Rd ) dla p ∈ (1, ∞) powy»sza granica istnieje p d p d prawie wsz¦dzie i w L (R ) i okre±la ograniczony operator na L (R ); 1 d dla dowolnej funkcji f ∈ L (R ) powy»sza granica istnieje prawie wsz¦dzie i okre±la operator sªabego typu 1, 1. (1) dla dowolnej funkcji (2) Pierwsze dwa zaªo»enia mo»na zast¡pi¢ warunkiem splotu z K oraz transformata Fouriera K FK ∈ L ∞ (Rd ), je±li operator rozumiane s¡ w sensie dystrybucyjnym. 1 Analogiczne twierdzenia s¡ prawdziwe dla funkcji z L ( ): rozkªad CalderónaZygmunda T T, za± dowód twierdzenie 14.8 deniuje si¦ analogicznie, wykorzystuj¡c diadyczny podziaª praktycznie nie wymaga zmian. 74 15. Je±li 1≤j≤d P̃j,t (x) = jest »e Transformata Hilberta i transformaty Riesza oraz t > 0, xj P (x) t t = ξ to transformat¡ Fouriera sprz¦»onego j¡dra Poissona ) Γ( d+1 xj 2 π (d+1)/2 (t2 + |x|2 )(d+1)/2 FP̃j,t (ξ) = (−i |ξ|j )e−t|ξ| . W szczególno±ci |FP̃j,t (ξ)| ≤ 1. |∇P̃j,t (ξ)| ≤ C|x|−d−1 dla pewnej staªej C zale»¡cej Z Z |P̃j,t (x + z) − P̃j,t (z)|dz ≤ Rd \B(0,2|x|) Ponadto ªatwo sprawdzi¢, tylko od wymiaru Rd \B(0,2|x|) C|x||z|−d−1 dz = d, przez co Cd |B(0, 1)| . 2 P̃j,t speªnia warunek Hörmandera. Na mocy twierdzenia 14.8 oznacza to, »e dla p d ka»dego p ∈ (1, ∞) splot z P̃j,t jest operatorem ograniczonym na L (R ), z norm¡ ograniczon¡ przez staª¡ zale»¡c¡ wyª¡cznie od p oraz od wymiaru d. Podobnie splot z P̃j,t jest operatorem sªabego typu 1, 1, z norm¡ ograniczon¡ przez staª¡ zale»¡c¡ wyª¡cznie od wymiaru d. Zatem wiczenie 15.1. Uzasadnij, »e norma operatora splotu z ani od t, ani od P̃j,t na L p (Rd ) nie zale»y j. Lemat 15.2. Je±li p ∈ [1, ∞] oraz f ∈ L p (Rd ), to dla prawie wszystkich x ∈ Rd zachodzi lim t→0+ Γ( d+1 ) 2 f ∗ P̃j,t (x) − (d+1)/2 π Z Rd \B(0,t) yj f (x − y) dy |y|d+1 ! = 0. Dowód. W poni»szym dowodzie przez Cn oznaczamy staªe zale»¡ce tylko od wymiaru d. −(d+1)/2 Niech gt,j (y) = π Γ( d+1 )yj /|y|d+1 1Rd \B(0,t) (x). Zauwa»my, »e 2 Z 2 yj yj (d + 1)|y| t 1 (d + 1)t2 − = ds ≤ , (t2 + |y|2 )(d+1)/2 |y|d+1 2 (s + |y|2 )(d+3)/2 |y|d+2 0 czyli |P̃t,j (y) − gt,j (y)| ≤ C1 t2 /|y|d+2 (t2 zatem dla y ∈ Rd \ B(0, t). Ponadto oczywi±cie 1 1 yj ≤ 2 ≤ d, 2 (d+1)/2 2 d/2 + |y| ) (t + |y| ) t |P̃t,j (y) − gt,j (y)| ≤ C2 t−d dla y ∈ B(0, t). Oznacza to, »e max(C1 , C2 ) min(1, (t/|y|)d+2 ). td Przy odpowietniej warto±ci C3 je±li oznaczymy praw¡ stron¦ powy»szej nierówno±ci przez C3 ϕt (y), to ϕt jest jedno±ci¡ aproksymatywn¡ na Rd przy t → 0+ , speªniaj¡c¡ zaªo»enia twierdzenia 13.12. Z nieparzysto±ci j¡dra P̃j,t − gj,t wynika, »e Z |f ∗ P̃j,t (x) − f ∗ gj,t (x)| = (P̃t,j (y) − gt,j (y))(f (x − y) − f (x))dy RZd ≤ C3 |f (x − y) − f (x)|ϕt (y)dy, |P̃t,j (y) − gt,j (y)| ≤ Rd 75 a prawa strona d¡»y do zera gdy t → 0+ dla prawie wszystkich x ∈ Rd na mocy twier- dzenia 13.12. Twierdzenie 15.3. Rozwa»my granice Γ( d+1 ) 2 Rj f (x) = lim+ f ∗ P̃j,t (x) = (d+1)/2 lim t→0 ε→0+ π Z Rd \B(0,ε) yj f (x − y) dy. |y|d+1 Wówczas: (1) dla dowolnej funkcji f ∈ L p (Rd ) dla p ∈ (1, ∞) powy»sze granice istniej¡ p d (i na mocy lematu 15.2 s¡ sobie równe) prawie wsz¦dzie i w L ( ) oraz p d okre±laj¡ ograniczony operator Rj na L ( ); 1 d (2) dla dowolnej funkcji f ∈ L ( ) powy»sze granice istniej¡ prawie wsz¦dzie i R R R okre±laj¡ operator Rj sªabego typu 1, 1; ξ 2 d (3) dla f ∈ L ( ) zachodzi F(Rj f )(ξ) = (−i |ξ|j )Ff (ξ). R Operatory Rj tów w analizie Hilberta. transformatami Riesza i s¡ jednym z najwa»niejszych obiekharmonicznej. Gdy d = 1 operator H = R1 nosi nazw¦ transformata s¡ nazywane Dowód. Niech 1 ≤ j ≤ d, p ∈ (1, ∞) oraz f ∈ L p (Rd ). Na mocy twierdzenia 14.8 normy L p (Rd ) funkcji f ∗ P̃j,t s¡ ograniczone przez staª¡ zale»¡c¡ wyª¡cznie od p i wymiaru d. Na mocy twierdzenia BanachaAlaoglu istnieje zbie»ny do zera ci¡g tn taki, »e ci¡g p d p d funkcji f ∗ P̃j,tn jest ∗-sªabo zbie»ny w L (R ) do pewnej funkcji g ∈ L (R ) (bowiem L p (T) jest przestrzeni¡ dualn¡ do L q (T), gdzie p1 + 1q = 1). Zauwa»my, »e P̃j,t ∗ Ps = P̃j,t+s . Wobec tego f ∗ P̃j,tn +t = (f ∗ P̃j,tn ) ∗ Pt . Niech q b¦dzie 1 wykªadnikiem hölderowsko sprz¦»onym do p, tj. + 1q = 1. Poniewa» Pt ∈ L q (Rd ) oraz p P̃j,tn +t d¡»y do P̃j,t w L q (Rd ) gdy n → ∞ (obie te wªasno±ci zachodz¡ dla dowolnego q ∈ (1, ∞]), otrzymujemy g ∗ Pt (x) = lim (f ∗ P̃j,tn ) ∗ Pt (x) = lim f ∗ P̃j,tn +t (x) = f ∗ P̃j,t (x) n→∞ n→∞ x∈R . Poniewa» Pt jest jedno±ci¡ funkcje f ∗ P̃j,t = g ∗ Pt d¡»¡ d dla ka»dego aproksymatywn¡ speªniaj¡c¡ warunki twierdzenia 13.12, p d do g w L ( ) i prawie wsz¦dzie. To dowodzi pierwszej R cz¦±ci twierdzenia. Dowód drugiej cz¦±ci wymaga powtórzenia pewnych elementów dowodu twierdzenia 14.8. 1 d Niech f ∈ L ( ). Dla λ > 0 niech f = fλgood + fλbad b¦dzie rozkªadem Calderóna Zygmunda i niech Qf,λ b¦dzie rodzin¡ kostek wykorzystywan¡ w tym rozkªadzie. Sum¦ good tych kostek oznaczamy Qf,λ . Skoro fλ ∈ L 2 ( d ), limt→0+ fλgood ∗ P̃j,t (x) istnieje dla d prawie wszystkich x ∈ . Ponadto na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci ogra- R R R niczonej dla ka»dego Z lim t→0+ Q ∈ Qf,λ granica fλbad (y)P̃j,t (x − y)dy Q 0 spoza kostki Q o tym samym ±rodku, co bad wi¦kszej. Oznacza to, »e limt→0+ fλ ∗ P̃j,t (x) istnieje dla x ∈ d \ 0 sum¡ kostek Q dla wszystkich Q ∈ Qf,λ . Poniewa» miara zbioru istnieje dla ka»dego 2d kf k1 /λ i λ x Q, lecz dwukrotnie Q0f,λ , gdzie Q0f,λ jest Q0f,λ nie przekracza Rj f (x) = limt→0+ f ∗ P̃j,t (x) istnieje dla R mo»e by¢ dowolnie du»e, granica d prawie wszystkich x ∈ . R 76 L 1,∞ (Rd ) funkcji Rj f (x), ale du»o d ªatwiej skorzysta¢ z twierdzenia 14.8: miary zbiorów {x ∈ R : |f ∗ P̃j,t (x)| > λ} s¡ ograniczone przez Ckf k1 /λ dla t > 0, gdzie C jest staª¡ zale»¡c¡ tylko od wymiaru d, W podobny sposób mo»na by oszacowa¢ norm¦ zatem |{x ∈ Rd : |Rj f (x)| > λ}| ≤ lim inf |{x ∈ Rd : |f ∗ P̃j,t (x)| > λ}| ≤ + t→0 Innymi sªowy Rj jest operatorem sªabego typu Ckf k1 . λ 1, 1. Ostatnia cz¦±¢ twierdzenia wynika wprost z twierdzenia Plancherela i twierdzenia Le- besgue'a o zbie»no±ci ograniczonej. Odwzorowanie podobne do transformaty Hilberta mno»¡ce wspóªczynniki rozwini¦1 cia w szereg Fouriera przez −i sign n mo»na zdeniowa¢ na L ( ). Odwzorowanie to, nazywane Hilberta na transformat¡ Hilberta na okr¦gu, R i transformaty Riesza na Rd . T ma te same wªasno±ci, co transformata Wa»n¡ motywacj¡ do badania tego od- wzorowania jest teoria funkcji harmonicznych i holomorcznych w dysku jednostkowym, zarysowana w kolejnym rozdziale. 77 16. Niech D Funkcje harmoniczne i odwzorowanie sprz¦»one b¦dzie niepustym otwartym podzbiorem C. Zakªadamy, »e D jest spójny (tj. D nie jest sum¡ dwóch niepustych zbiorów o rozª¡cznych domkni¦ciach) i jednospójny (tj. D = C albo C \ D jest nieograniczony i spójny). Przypomnijmy, »e funkcja h jest holo∂h morczna wtedy i tylko wtedy, gdy h speªnia równania Cauchy'egoRiemanna = −i ∂h ; ∂x ∂y ∂ ∂ oraz oznaczaj¡ pochodne cz¡stkowe funkcji h wzgl¦dem odpowiedw tym rozdziale ∂x ∂y nio cz¦±ci rzeczywistej i cz¦±ci urojonej argumentu. Zbiór funkcji holomorcznych na D oznaczamy Hol(D). h jest antyholomorczna w D, je±li jej sprz¦»eh̄ jest funkcj¡ holomorczn¡ w D. Zbiór funkcji antyholomorcznych oznaczamy e e Hol(D) . Ponadto oznaczamy Harm(D) = Hol(D) + Hol(D) ; zatem Harm(D) jest Definicja 16.1. Mówimy, »e funkcja nie przestrzeni¡ sum funkcji holomorcznych i antyholomorcznych. Z denicji wynika, »e h h jest ∂h = ∂y = 0. Zauwa»my, »e je±li − ∂h , ∂x jest antyholomorczna wtedy i tylko wtedy, gdy jednocze±nie holomorczna i antyholomorczna, ∂h ∂x ∂h ∂x = i ∂h . ∂y ∂h = i ∂y = ∂h Wobec tego jedyne funkcje holomorczne i antyholomorczne ∂x to funkcje staªe (wykorzystujemy tu spójno±¢ D ). ∗ Je±li h ∈ Hol(D), to funkcja h(z̄) jest holomorczna w D , odbiciu symetrycznym zatem e wzgl¦dem osi rzeczywistej. Zatem h ∈ Hol(D) wtedy i tylko wtedy, gdy h(z) = ∗ dla pewnej funkcji g ∈ Hol(D ). W szczególno±ci funkcje antyholomorczne w zbioru g(z̄) D otoczeniu z0 ∞ X rozwijaj¡ si¦ w szeregi pot¦gowe postaci an (z̄ − z̄0 )n . n=0 Niech ∆ b¦dzie operatorem Laplace'a, tj. Twierdzenie 16.2. Funkcja h ∂2h ∂x2 + ∂2h . ∂y 2 Harm(D) wtedy ∆h = 0 w D. nale»y do ci¡gªe drugie pochodne cz¡stkowe oraz Dowód. δh = i tylko wtedy, gdy h ma h ∈ Hol(D), to h jest ró»niczkowalna dowolnie wiele razy i na mocy równa« 2 ∂2h ∂ ∂h ∂ ∂h Cauchy'egoRiemanna zachodzi = −i ∂x = −i ∂y = − ∂∂yh2 . Wobec tego ∆h = 0. ∂x2 ∂y ∂x e Je±li h ∈ Hol(D) , to h̄ jest holomorczna, wi¦c ponownie h jest ró»niczkowalna dowolnie wiele razy i ∆h = ∆h̄ = 0. To dowodzi implikacji w jedn¡ stron¦. 1 ∂h − i ∂h . Zaªó»my, »e h ma ci¡gªe drugie pochodne cz¡stkowe i ∆h = 0 w D . Niech g = 2 ∂x 2 ∂y Je±li Wówczas ∂g ∂x zatem g + ∂g i ∂y = 1 ∂ ∂h 2 ∂x ∂x − i ∂ ∂h 2 ∂x ∂y +i 1 ∂ ∂h 2 ∂y ∂x − i ∂ ∂h 2 ∂y ∂y = 21 ∆h = 0, g ∈ Hol(D). Funkcja g 0 »e g = G ; tu korzystamy ∂G istocie, = G0 = g oraz ∂x speªnia równania Cauchy'egoRiemanna. Wobec tego ma wi¦c zespolon¡ funkcj¦ pierwotn¡ z jednospójno±ci D ). Twierdzimy, »e ∂G = iG0 = ig , zatem ∂y ∂ G̃ ∂x − i ∂∂yG̃ = Wobec tego ∂h ∂x G ∈ Hol(D) (oznacza e G̃ = h − G ∈ Hol(D) . to, W ∂G ∂G ∂h ∂h − i ∂h − − i = − i − 2g = 0. ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y h = G + G̃ ∈ Harm(D). 78 Powy»sze twierdzenie tªumaczy oznaczenie harmonicznych funkcji w D, Harm(D): jest to przestrze« zespolonych tj. speªniaj¡cych równanie Laplace'a ∆h = 0 w D. ∂h = 21 ∂h − 2i ∂h oraz = 12 ∂h + 2i ∂h (s¡ to tzw. pochodne ∂x ∂y ∂ z̄ ∂x ∂y Wirtingera albo operatory Cauchy'egoRiemanna ). Udowodnij, »e h jest holomor∂h = 0 i wówczas h0 = ∂h . Udowodnij analogiczny czna wtedy i tylko wtedy, gdy ∂ z̄ ∂z ∂2h ∂2h wynik dla funkcji antyholomorcznych. Udowodnij ponadto, »e ∆h = = ∂z∂ . ∂ z̄∂z z̄ wiczenie 16.3. Niech ∂h ∂z wiczenie 16.4. Zapisz dowód twierdzenia i wcze±niejsze rozwa»ania za pomoc¡ pochodnych Wirtingera. D = {z ∈ C : Re z > 0} oraz h(x + iy) = ln(x2 + y 2 ). h ∈ Harm(D) i rozªó» h na cz¦±¢ holomorczn¡ i antyholomorczn¡. wiczenie 16.5. Niech Udowodnij, »e h1 , h2 ∈ Harm(D) nazywamy harmonicznie e sprz¦»onymi, je±li h1 + ih2 ∈ Hol(D) oraz h1 − ih2 ∈ Hol(D) . Przyporz¡dkowanie funkcji h1 funkcji h2 nazywamy odwzorowaniem sprz¦»onym i oznaczamy H : h2 = Hh1 . Definicja 16.6. Funkcje harmoniczne h1 i h2 s¡ harmonicznie sprz¦»one, to równie» h1 + c1 i h2 + c2 oraz h2 i −h1 (lecz nie h2 i h1 ) s¡ harmonicznie sprz¦»one. Wynika st¡d, »e Hh1 jest okre±lone jednoznacznie z dokªadno±ci¡ do staªej oraz H(Hh1 ) = −h1 . Poniewa» ln z = ln |z|+i arg z oraz ln z̄ = ln |z|+i arg z dla z ∈ C\(−∞, 0], funkcje ln |z| oraz arg z s¡ harmonicznie sprz¦»one. Wynika st¡d, »e funkcja harmonicznie sprz¦»ona Zauwa»my, »e je±li do funkcji ograniczonej mo»e by¢ nieograniczona. Naszym celem jest zbadanie zwi¡zku mi¦dzy regularno±ci¡ funkcji i funkcji do niej harmonicznie sprz¦»onej, czyli wªasno±ci odwzorowania sprz¦»onego. e f ∈ Hol(D), g ∈ Hol(D) oraz h ∈ Harm(D). Niech ponadto ϕ : Ω → D b¦dzie holomorczna, za± ψ : Ω → D antyholomorczna. Uzasadnij, »e e f ◦ ϕ, g ◦ ψ ∈ Hol(Ω), f ◦ ψ, g ◦ ϕ ∈ Hol(Ω) oraz h ◦ ϕ, h ◦ ψ ∈ Harm(Ω). wiczenie 16.7. Niech wiczenie 16.8. Czy je±li h◦ϕ jest holomorczna, antyholomorczna lub harmoniczna, h jest holomorczna, antyholomorczna lub harmoniczna, a ϕ jest harmoniczna? Wa»nym uzupeªnieniem ¢wiczenia 16.7 jest nast¦puj¡cy wynik. funkcja ϕ Wyst¦puj¡ca w nim nazywana jest odwzorowaniem Riemanna. Twierdzenie 16.9 (Twierdzenie Riemanna i twierdzenie Carathéodory'ego; bez do- Ω jest niepustym, spójnym i jednospójnym wªa±ciwym podzbiorem C, to istnieje funkcja holomorczna ϕ odwzorowuj¡ca Ω wzajemnie jednoznacznie na dysk jednostkowy D = {z ∈ C : |z| < 1}. Je±li ponadto brzeg D jest krzyw¡ Jordana, to ϕ rozszerza si¦ do ci¡gªego, wzajemnie jednoznacznego odwzorowania Ω w D. wodu). Je±li Przykªadem niech b¦dzie funkcja ϕ(z) = z+i , 1 + iz ϕ−1 (z) = z−i , 1 − iz wzajemnie jednoznacznie odwzorowuj¡ca górn¡ póªpªaszczyzn¦ w dysk jednostkowy D. H = {z ∈ C : Im z > 0} 79 Odt¡d zakªadamy, »e jednostkowym. Dr = {z ∈ C : |z| < r} oraz D = D1 , tj. D jest dyskiem W tym przypadku funkcje holomorczne i antyholomorczne w D s¡ dane odpowiednio szeregami ∞ X an z n ∞ X oraz n=0 zbie»nymi w n=0 D. Wobec tego funkcje harmoniczne w h(z) = a0 + (16.1) a−n z̄ n , ∞ X an z n + n=1 ∞ X ∞ X a−n z̄ n = n=1 D s¡ dane szeregiem an r|n| einα , n=−∞ z = reiα ∈ D. Oznaczmy ∞ X iα fr (α) = h(re ) = an r|n| einα . zbie»nym, gdy n=−∞ fˆr (n) = 2πan r|n| . Niech Pr oznacza j¡dro Poissona dysku, ∞ 1 re−iα 1 1 X |n| inα + r e = Pr (α) = 2π n=−∞ 2π 1 − reiα 1 − re−iα Otrzymujemy zatem = dla 1 1 1 − r2 1 − r2 = 2π 1 + r2 − r(eiα + e−iα ) 2π 1 + r2 − 2r cos α r ∈ [0, 1), α ∈ T. Niech ponadto PD µ(reiα ) = µ ∗ Pr (α), PD f (reiα ) = f ∗ Pr (α) r ∈ [0, 1), α ∈ T, µ ∈ M (T) caªkami Poissona. dla f ∈ L 1 (T). i h ∈ Harm(D) Funkcje PD µ oraz PD f nazywamy 2πan w rozwini¦ciu h w szereg (16.1) s¡ wspóªczynnikami Fouriera pewnej miary µ ∈ M (T), to h = PD µ. Przeciwnie, je±li µ ∈ M (T), to PD µ ∈ Harm(D) i h = PD µ ma rozwini¦cie (16.1), gdzie 2πan = µ̂(n). Lemat 16.10. Je±li Dowód. oraz wspóªczynniki µ ∈ M (T) zachodzi ∞ ∞ X X ˆ(µ)(−n)z̄ n . 2πPD µ(z) = µ̂(0) + µ̂(n)z n + Dla dowolnej miary n=1 n=1 W szczególno±ci wi¦c PD µ ∈ Harm(D). Teza wynika z porównania powy»szego wzoru z (16.1). Lemat 16.11. J¡dro Poissona dysku − r→1 Dowód. Oczywi±cie Pr (α) = Pr jest regularn¡ jedno±ci¡ aproksymatywn¡ gdy . Pr jest funkcj¡ nieujemn¡ o caªce funkcj¡ parzyst¡, malej¡c¡ na czyli Pr [0, π] Pˆr (0) = r0 = 1. Ponadto Pr jest oraz 1 1 − r2 1 2 − 2r 1 1−r ≤ = , 2 2π (1 − r) + 2r(1 − cos α) 2π 2r(1 − cos α) 4π r(sin α2 )2 d¡»y do zera jednostajnie na ka»dym przedziale [ε, π] gdy r → 1− . 80 f ∗ Pr d¡»y do f w L p (T) gdy r → 1− dla ka»dej funkcji f ∈ L p (T), f ∗ Pr d¡»y do f jednostajnie gdy r → 1− dla ka»dej funkcji f ∈ C(T). W sczególno±ci a tak»e h ∈ Harm(D) oraz fr (α) = h(reiα ), to frs = fs ∗Pr Lemat 16.12. Je±li dla wszystkich r, s ∈ [0, 1). Dowód. Przypu±¢my, »e h ma reprezentacj¦ (16.1) ze wspóªczynnikami an . Funkcja hs (z) = h(sz) jest harmoniczna w D, a w jej reprezentacji postaci (16.1) wspóªczynniki an zast¡pione s¡ przez an s|n| . Poniewa» ci¡g an s|n| jest sumowalny, s¡ to wspóªczynniki Fouriera pewnej funkcji f i wobec tego hs = PD f . Na mocy uwagi poprzedzaj¡cej lemat, frs (α) = hs (reiα ) d¡»y jednostajnie do f , czyli f = fs . h ∈ Harm(D) µ ∈ M (T). wiczenie 16.13. Wska» przykªad h = PD µ jest postaci dla wiczenie 16.14. Wyka», »e dla Wywnioskuj, »e je±li gdzie σ(dw) 1 2π h ∈ Harm(D) ma ci¡gªe rozszerzenie na D, to 2 Z ∂D 1 − |z| h(w)σ(dw), |w − z|2 oznacza miar¦ dªugo±ci na ∂D. h(x1 , ..., xd ) jest harmoniczna drugie pochodne cz¡stkowe i ∆h = 0 w D . Udowodnij, »e kuli B(0, r) i ma ci¡gªe rozszerzenie na B(0, 1), to Z 1 − |z|2 1 h(w)σ(dw), h(z) = σ(∂B(0, 1)) ∂B(0,1) |w − z|d σ(dw) która nie zachodzi wiczenie 16.15. Funkcja gdzie h ∈ Hol(D)), 1 1 − |z|2 . 2π |w − z|2 Pr (α − β) = h(z) = z = reiα , w = eiβ (a nawet oznacza miar¦ powierzchniow¡ na D ⊆ Rd , je±li ma ci¡gªe je±li h jest harmoniczna w w ∂D. h ∈ Harm(D), to funkcja Hh harmonicznie Wówczas H(Hh)(z) = −h(z) + h(0). W tym Dla jednoznaczno±ci przyjmujemy, »e je±li sprz¦»ona do przypadku h h speªnia oraz Hh h(z) = a0 + Hh(0) = 0. maj¡ nast¦puj¡ce rozwini¦cia w szeregi: ∞ X n an z + n=1 ∞ X n a−n z̄ , h̃(z) = −i n=1 ∞ X n an z + i n=1 ∞ X a−n z̄ n . n=1 h − iHh jest antyholomorczna w D. Zauwa»my, »e wspóªczynniki rozwini¦cia (16.1) dla funkcji Hh s¡ dane przez (−i sign n)an , gdzie an to wspóªczynniki odpowiedniego rozwini¦cia h. Zdeniujmy zatem sprz¦»one j¡dro Poissona dysku wzorem ! ∞ ∞ X X 1 1 −ireiα ire−iα n inα n −inα P̃r (α) = −i r e +i r e = + 2π 2π 1 − reiα 1 − re−iα n=1 n=1 W istocie, wówczas = h + iHh jest holomorczna, a 1 ire−iα − ireiα 1 2r sin α = , 2 iα −iα 2π 1 + r − r(e + e ) 2π 1 + r2 − 2r cos α 81 a tak»e sprz¦»on¡ caªk¦ Poissona P̃D µ(reiα ) = µ ∗ P̃r (α), P̃D f (reiα ) = f ∗ P̃r (α) α ∈ T. Je±li zatem h = PD µ, to Hh = P̃D µ. Je±li ponadto Hh = PD µ̃, to piszemy µ̃ = Hµ i nazywamy µ̃ transformat¡ Hilberta µ. Gdy jedna z miar µ, µ̃ ma g¦sto±¢, stosujemy podobne zapisy, a wi¦c je±li h = PD f i Hh = Pd f˜, to piszemy f˜ = Hf . Nasz cel to uzyskanie odpowiedzi na nast¦puj¡ce pytania: kiedy h ∈ Harm(D) wyra»a p p si¦ jako caªka Poissona funkcji f ∈ L (T), kiedy Hh jest caªk¡ Poissona g ∈ L (T) oraz jaki jest zwi¡zek mi¦dzy regularno±ci¡ f i g = Hf . Pierwsze pytanie jest wzgl¦dnie dla r ∈ [0, 1) oraz proste. Wpierw podamy wynik nieco innego rodzaju, ale posiadaj¡cy liczne zastosowania. h ∈ Harm(D) i h ≥ 0, to h = PD µ iα dla pewnej miary nieujemnej µ ∈ M (T). Ponadto µ jest sªab¡ granic¡ miar h(re )dα − gdy r → 1 . Twierdzenie 16.16 (twierdzenie Herglotza). Je±li Dowód. fr (α) = h(reiα ). Zachodzi Z π fr (α)dα = 2πh(0). kfr k1 = Niech −π fr (α)dα maj¡ wahanie caªkowite ograniczone przez 2πh(0). M (T) jest przestrzeni¡ dualn¡ do C(T), na mocy twierdzenia BanachaAlaoglu, ∗ istnieje ci¡g rn zbie»ny do 1, dla którego frn (α)dα d¡»y sªabo (±ci±lej: -sªabo) do pewnej miary µ ∈ M (T). Oczywi±cie µ jest nieujemna. Ponadto gdy r ∈ [0, 1), ci¡g funkcji frrn d¡»y jednostajnie z jednej strony do fr , a z drugiej do Wobec tego (nieujemne) miary Poniewa» lim frrn = lim frn ∗ Pr = µ ∗ Pr . n→∞ Wobec tego d¡»y sªabo n→∞ fr = µ∗Pr , czyli h = PD µ. − do µ gdy r → 1 . St¡d oczywi±cie wynika, »e fr (α)dα = µ∗Pr (α)dα Odpowied¹ na pierwsze pytanie podana jest w nast¦puj¡cym klasycznym twierdzeniu. p ∈ (1, ∞]. Je±li h ∈ Harm(D), fr (α) = h(re ) oraz kfr kp jest ograniczone dla r ∈ [0, 1), to h = PD f p p − dla pewnej funkcji f ∈ L (T) oraz f jest granic¡ fr w sensie L (T) gdy r → 1 . W przypadku p = 1 przy tych samych zaªo»eniach zachodzi h = PD µ dla pewnej miary µ ∈ M (T), która jest sªab¡ granic¡ miar fr (x)dx gdy r → 1− . Twierdzenie 16.17 (twierdzenie o reprezentacji Poissona). Niech iα Dowód. Dowód drugiej cz¦±ci jest niemal identyczny, jak dowód twierdzenia Herglotza, z µ mo»e by¢ miar¡ zespolon¡. Dowód pierwszej cz¦±ci równie» jest podobny. iα Niech fr (α) = h(re ). Na mocy twierdzenia BanachaAlaoglu, istnieje ci¡g rn zbie»ny ∗ p p do 1, dla którego frn d¡»y -sªabo w L (T) do pewnej funkcji f ∈ L (T) (bowiem L p (T) jest przestrzeni¡ dualn¡ do L q (T), gdzie p1 + 1q = 1). Gdy r ∈ [0, 1), ci¡g funkcji frrn d¡»y z jednej strony jednostajnie do fr , a z drugiej punktowo do t¡ ró»nic¡, »e lim frrn = lim frn ∗ Pr = f ∗ Pr n→∞ n→∞ Pr ∈ L (R)). − gdy r → 1 . (bo q St¡d f r = f ∗ Pr , czyli h = PD f i wobec tego fr d¡»y do f w L p (T) 82 p ∈ [1, ∞), h ∈ Harm(D) oraz fr (α) = h(reiα ), to kfr kp ≤ kfs kp gdy 0 ≤ r ≤ s < 1. W istocie, fr = fs ∗ Ps/r i rozwa»ana nierówno±¢ wynika z nierówno±ci Zauwa»my, »e je±li Younga. Odpowiedzi na pozostaªe dwa pytania cz¦±ciowo zawarte s¡ w kolejnym rozdziale. 83 Wªasno±ci odwzorowania sprz¦»onego 17. C, h ∈ Harm(D) i niech h̃ ∈ Harm(D) iα b¦dzie harmonicznie sprz¦»ona do h. Dla r ∈ [0, 1) i α ∈ T oznaczmy fr (α) = h(re ) iα oraz gr (α) = h̃(re ). Przypomnijmy, »e je±li h = PD µ, to fr = µ ∗ Pr oraz gr = µ ∗ P̃r , gdzie Pr i P̃r to zwykªe i sprz¦»one j¡dro Poissona dysku. Poni»ej rozwa»amy wyª¡cznie p przypadek miar µ z g¦sto±ci¡ f ∈ L (T) dla pewnego p ∈ [1, ∞] i szukamy funkcji g = Hf takiej, »e h̃ = PD g . Przypu±¢my, »e p ∈ (1, ∞). Na mocy twierdzenia 16.17 je±li funkcja g istnieje, to jest p − granic¡ w L (T) funkcji gr = f ∗ P̃r gdy r → 1 . Powtarzaj¡c dowód twierdzenia 15.3 D Niech oznacza dysk jednostkowy w niech otrzymujemy nast¦puj¡cy wynik. Twierdzenie 17.1. Rozwa»my granice 1 Hf (α) = lim− f ∗ P̃r (α) = lim+ r→1 ε→0 2π Z (−π,−ε)∪(ε,π) f (α − β) dβ. tan β2 Wówczas: (1) dla dowolnej funkcji sobie równe) prawie H na L p ( ); T (2) dla dowolnej funkcji f ∈ L p (T) dla p ∈ (1, ∞) powy»sze granice istniej¡ (i s¡ p wsz¦dzie i w L (T) oraz okre±laj¡ ograniczony operator f ∈ L 1 (T) powy»sze granice istniej¡ (i s¡ sobie równe) prawie wsz¦dzie i okre±laj¡ operator H sªabego typu 1, 1; p (3) dla p ∈ (1, ∞) i f ∈ L ( ) zachodzi (Hf )ˆ(n) = (−i sign n)fˆ(n). T W szczególno±ci oznacza to, »e dla p ∈ (1, ∞) je±li h ∈ Harm(D) jest caªk¡ Poissona p pewnej funkcji f ∈ L ( ), to funkcja harmonicznie sprz¦»ona h̃ równie» jest caªk¡ p Poissona funkcji z L ( ). Ten wynik nie jest jednak prawdziwy dla p = 1 oraz p = ∞. T T p = 1. radialna funkcja maksymalna : Poni»ej podamy bez dowodu wyniki cz¦±ciowo opisuj¡ce przypadek Z j¡drem Poissona stowarzyszona jest Mr h(α) = sup{|h(reiα )| : r ∈ [0, 1)}. Poni»szy wynik stwierdza, »e je±li h jest caªk¡ Poissona f, to funkcja walna z operatorem maksymalnym Hardy'egoLittlewooda na Lemat 17.2. Je±li h jest nieujemna, Mr h jest porówny- f. h ∈ Harm(D) i h(reiα ) = µ ∗ Pr (α), to Mr h(α) ≤ M µ(α) ≤ (1 + π 2 )Mr h(α), gdzie dla µ ∈ M (T), M µ(α) = sup Dowód. Poniewa» 1 2πr Pr |µ|((α − πr, α + πr)) : r ∈ (0, 1) . 2πr jest parzysta i malej¡ca na 1(−πr,πr) (α) ≤ 1 P1−r (α) 2πr P1−r (πr) [0, π], . Ponadto 1 2πrP1−r (πr) = r2 + 2(1 − r)(1 − cos(πr)) r2 + π 2 r2 (1 − r) ≤ ≤ 1 + π2. r(1 − (1 − r)2 ) r2 (2 − r) 84 Wobec tego 1 µ((α 2πr − πr, α + πr)) = 1 µ 2πr ∗ 1(−πr,πr) (α) ≤ (1 + π 2 )µ ∗ P1−r (α) = (1 + π 2 )h((1 − r)eiα ). To dowodzi górnego oszacowania. Oszacowanie dolne zachodzi na mocy lematu 13.11 (w wersji dla T). p ∈ (0, ∞), h ∈ Harm(D). Mówimy, »e h nale»y do rzeczywistej przestrzeni Hardy'ego na D, co zapisujemy h ∈ H p (D), je±li Mr h ∈ L p (T) (tzn. (Mr h)p jest caªkowalna). Okre±lamy ponadto khkH p (D) = kMr hkp . Definicja 17.3. Niech p ∈ (1, ∞), to h ∈ H p (D) wtedy i tylko wtedy, gdy h = PD f dla f ∈ L p (T), a z porównywalno±ci radialnego operatora maksymalnego Wiemy ju», »e gdy pewnej funkcji z operatorem maksymalnym Hardy'egoLittlewooda i wªasno±ci tego drugiego otrzymujemy jednostajn¡ porównywalno±¢ norm khkH p (D) oraz kf kp . p p wi¦c, »e h ∈ H (D) wtedy i tylko wtedy, gdy h̃ ∈ H (D). W szczególno±ci wiemy Powy»szy wynik jest prawdziwy dla wszystkich p ∈ (0, ∞). Szczególnie wa»ny jest 1 1 przypadek p = 1, je±li bowiem h ∈ H (D), to h = PD f dla pewnej funkcji f ∈ L ( ) i 1 wobec tego równie» h̃ = PD g dla pewnej g ∈ L ( ). T [cdn.] T