całkowanie i rózniczkowanie numeryczne - L-5
Transkrypt
całkowanie i rózniczkowanie numeryczne - L-5
Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE INFORMATYKA Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Kiedy stosujemy całkowanie numeryczne? W przypadkach elementarnych obliczanie wartości całki oznaczonej odbywa się na podstawie wzoru Newtona-Leibnitza Zb f (x) dx = F (b) − F (a) I (f ) = a Powyższy wzór możemy stosować wtedy, gdy znana jest tzw. funkcja pierwotna F (x) spełniająca związek: dF (x) = f (x) dx Jeśli wyznaczenie funkcji pierwotnej jest bardzo trudne lub niemożliwe i/lub funkcja podcałkowa f (x) zadana jest w postaci tablicy, to możliwe jest stosowanie całkowania numerycznego. INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Na czym polega numeryczne całkowanie? Gdy przedział całkowania jest skończony, wówczas numeryczne całkowanie polega na zastąpieniu funkcji podcałkowej f (x) odpowiednim wielomianem interpolacyjnym lub aproksymacyjnym ϕ(x) zbudowanym na zbiorze n + 1 węzłów o współrzędnych xi , i = 0, 1, 2, . . . , n . Wymaga to wówczas całkowania jedynie prostych funkcji bazowych z wykorzystaniem wzoru na I (f ). W dalszym ciągu omówione zostaną najprostsze metody całkowania numerycznego wykorzystujące interpolację (aproksymację) funkcji za pomocą wielomianów algebraicznych. Podstawiając w miejsce funkcji podcałkowej f (x) wielomian algebraiczny ϕ(x) = f0 N0 (x) + f1 N1 (x) + · · · + fn Nn (x) otrzymamy tzw. wzór kwadraturowy. INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Kwadratura całkowania Wzorem kwadraturowym albo krócej kwadraturą nazywamy: Zb Zb f (x) dx ≈ I (f ) = a ϕ(x) dx = n X i=0 a Zb f (xi ) Ni (x) dx = a n X wi f (xi ) = S(f ) i=0 w którym Zb wi = Ni (x) dx, i = 0, 1, 2, . . . , n a są tzw. współczynnikami wagowymi (wagami). Wartość wi określa wielkość udziału rzędnej fi ≡ f (xi ) w wartości całej sumy S(f ) . INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Rząd kwadratury Jako kryterium dokładności kwadratury można przyjąć zgodność I (W ) z S(W ) gdy W jest wielomianem. Najczęściej stosowaną miarą dokładności jest tzw. rząd kwadratury. Kwadratura S(f ) jest rzędu r (r 1) , jeśli I (W ) = S(W ) dla wszystkich wielomianów W (x) stopnia mniejszego niż r oraz jeśli istnieje taki wielomian W (x) stopnia r dla którego I (W ) 6= S(W ). Można wykazć, że kwadratury interpolacyjne zbudowane na n + 1 węzłach są co najmniej n + 1 rzędu. INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Kwadratury dla węzłów równoodległych Najprostszymi kwadraturami interpolacyjnymi są kwadratury zbudowane na węzłach równoodległych: xi = a + i h, i = 0, 1, 2, . . . , n . Jeśli końce przedziału są również węzłami wówczas kwadratury noszą nazwę kwadratur zamkniętych. INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Wzór prostokątów Wzór prostokątów Najprostszym sposobem obliczania przybliżonej wartości S(f ) całki oznaczonej I (f ) jest zastosowanie aproksymacji funkcji f (x) za pomocą wielomianu ϕ(x) = f (x0 ) = const. Po podstawieniu do wzoru Zb Zb f (x) dx ≈ a ϕ(x) dx a otrzymujemy Zb Zb f (x) dx ≈ I (f ) = a f (x0 ) dx = (b − a) f (x0 ) = S(f ). a INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE (1) Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Wzór prostokątów Wybór położenia węzła dla wzoru prostokątów W zależności od wyboru położenia węzła x0 otrzymujemy wzory: (a) lewych prostokątów, gdy x0 = a (b) środkowych prostokątów, gdy x0 = (a + b)/2 (c) prawych prostokątów, gdy x0 = b INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Wzór trapezów Wzór trapezów Jeśli do interpolacji funkcji f (x) zastosujemy interpolację za pomocą wielomianu liniowego Lagrange’a, to otrzymamy wzór kwadraturowy, nazywany wzorem trapezów. Zb f (x) dx ≈ I (f ) = a Zb h Zb h i f0 L10 (x) + f1 L11 (x) dx = a (2) i x −b x −a i b−a h + f (b) = f (a) + f (b) = S(f ). f (a) a−b b−a 2 a INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Wzór Simpsona Wzór Simpsona Zastosowanie kwadratowej interpolacji Lagrange’a prowadzi do wzoru kwadraturowego: Zb f (x) dx ≈ a Zb h i f0 L0 + f1 L1 + f2 L2 dx = a Zb h (x − c)(x − b) (x − a)(x − b) (x − a)(x − c) i f0 + f1 + f2 dx (a − c)(a − b) (c − a)(c − b) (b − a)(b − c) a Ostatecznie kwadratura (wzór) Simpsona przyjmuje postać: Zb f (x) dx ≈ 1 h f0 + 4 f1 + f2 = s(f ), 3 h= b−a 2 a INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE (3) Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Wzór Simpsona Wzór Simpsona Zb f (x) dx = 1 h f0 + 4 f1 + f2 = s(f ), 3 h= b−a 2 a Uwaga: Wzór Simpsona jest rzędu czwartego, co oznacza, że jest dokładny nie tylko dla wielomianów stopnia drugiego, lecz także dla wielomianów stopnia trzeciego tzn. I (W3 ) = S(W3 ) oraz I (W4 ) 6= S(W4 ) . INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Wzory Newtona-Cotesa Wzory Newtona-Cotesa Stosowanie wielomianów ϕ(x) coraz to wyższych stopni we wzorze kwadraturowym prowadzi do tzw. wzorów Newtona-Cotessa. xZn =b f (x) dx ≈ S(Wk ) = n X wi f (xi ) = S(f ) i=0 x0 =a Dla wielomianów ϕ(x) kolejnych stopni n wartości współczynników wagowych wi otrzymuje się z rozwiązania układu n + 1 liniowych równań algebraicznych, które otrzymamy na podstawie kwadratury zastosowanej dla wielomianów Wk (x) = x k , k = 0, 1, 2, . . . , n, dla których I (Wk ) = S(Wk ) . Zb I (Wk ) = x k dx = a skąd n X i=0 wi xik = n X wi xik = S(Wk ) i=0 1 b k+1 − ak+1 , k +1 INFORMATYKA k = 0, 1, 2, . . . , n CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE (4) Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Wzory Newtona-Cotesa Układ równań Po rozpisaniu Pn i=0 1 w0 x0 w 0 x02 w0 + + + 1 w1 x1 w 1 x12 w1 x0n w0 + x1n w1 wi xik = 1 k+1 b k+1 − ak+1 otrzymamy: + 1 w2 · · · + 1 wn = b − a + x2 w2 · · · + xn wn = 12 (b 2 − a2 ) + x22 w2 · · · + xn2 wn = 13 (b 3 − a3 ) .................................... + x22 w2 ··· + xnn wn = 1 (n+1) b (n+1) − a(n+1) Powyższy układ równań można zapisać w postaci macierzowej: b−a 1 1 1 ... 1 w0 1 2 (b − a2 ) x0 x1 x2 . . . xn w1 2 2 1 3 2 2 2 (b − a3 ) x0 x1 x2 . . . xn w2 = 3 . . . . . ..... . .......... 1 n n 2 n (n+1) (n+1) x0 x1 xn . . . xn wn b − a (n+1) Rozwiązaniem tego układu są wartości wag wi . INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Wzory Newtona-Cotesa Wagi we wzorach kwadraturowych Wagi wi , i = 0, 1 występujące we wzorze trapezów można wyznaczyć rozwiązując układ równań: b−a 1 1 w0 = 1 2 2 a b w1 2 (b − a ) skąd w0 = w1 = 1 2 (b − a) . Dla 3 węzłów równoodległych, tzn. gdy c = 0.5 (a + b) współczynniki wagowe wi , i = 0, 1, 2 we wzorze Simpsona oblicza się z układu równań: b−a 1 1 1 w0 a c b w1 = 12 (b 2 − a2 ) 1 2 2 3 3 a c b2 w2 3 (b − a ) Po rozwiązaniu tego układu otrzymamy w0 = w2 = b−a , 6 INFORMATYKA w1 = 2 (b − a) . 3 CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Wzory Newtona-Cotesa Zestawienie współczynników wagowych Wzory Newtona-Cotesa Zestawienie wartości współczynników wagowych wi n 1 w00 1 w10 w20 w30 w40 2 1 4 1 3 1 3 3 1 4 7 32 12 32 1 5 19 75 50 50 75 w50 m 2 6 8 90 19 228 Wartości wag występujące we wzorze Newtona-Cotesa (4) obliczane są według wzoru w0 wi = i m Uwaga: Kwadratury Newtona-Cotesa uzyskane przy zastosowaniu wielomianów interpolujących ϕ(x) stopni n > 8 ujawniają cechy narastajacej niestabilności kwadratury interpolacyjnej (4). INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Kwadratury Gaussa Do podwyższenia dokładności wzorów kwadraturowych można zastosować propozycję Gaussa, polegajacą na: optymalizacji położenia n węzłów interpolacyjnych, doborze odpowiednich wartości współczynników wagowych. Można przyjąć, że we wzorze: Zb f (x) dx ≈ n X wi f (xi ) (5) i=0 a niewiadomymi są nie tylko współczynniki wagowe wi ale także współrzędne węzłów xi . Zatem równanie (5) zawiera 2(n + 1) niewiadomych. Kwadratura będzie dokładna gdy f (x) będzie wielomianem co najwyżej stopnia (2n + 1). Wszystkie niewiadome można wyznaczyć z układu 2n + 2 równań dla n + 1 wag wi oraz n + 1 węzłów xi , i = 0, 1, . . . , n. INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Układ równań dla kwadratury Gaussa Dla funkcji podcałkowej f (x), która ma postać wielomianu zgodnie ze wzorem: Zb n X k x dx = wi xik , k = 0, 1, 2, . . . , 2n + 1 a i=0 otrzymujemy układ równań: n X i=0 wi xik = 1 k+1 b − ak+1 , k +1 k = 0, 1, 2, . . . , 2n + 1 (6) który jest liniowy ze względu na wagi i nieliniowy ze względu na węzły. INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Wzór kwadraturowy Gaussa w przedziale unormowanym Odwzorowanie przedziału [a, b] na osi x na unormowany przedział [−1, 1] na pomocniczej osi ξ i odwzorowanie do niego odwrotne można opisać za pomocą wzorów: a+b b−a + ξ 2 2 (7) co daje wygodny sposób zapisu całki: ξ= Zb 2x − a − b b−a ⇔ b−a f (x) dx = 2 x= Z1 f( a+b b−a + ξ) dξ 2 2 −1 a oraz wzoru kwadraturowego Gaussa: Zb n f (x) dx ≈ a a + b b − a b−a X wi f + ξi . 2 2 2 i=0 INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE (8) Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Obliczanie współczynników dla wzoru Gaussa Dla tej postaci wzoru wartości wi , ξi można obliczyć z układu równań Z1 Przykład: I = R1 −1 ξ k dξ = n X wi ξik , k = 0, 1, 2, . . . , 2n − 1. (9) i=0 α0 + α1 ξ + α2 ξ 2 + α3 ξ 3 dξ −1 Wynik ścisły: I = 2α0 + 32 α2 = 2α0 + 0α1 + 23 α2 + 0α3 I = w0 f (ξ0 ) + w1 f (ξ1 ) = = w0 α0 + α1 ξ0 + α2 ξ02 + α3 ξ03 + w1 α0 + α1 ξ1 + α2 ξ12 + α3 ξ13 = = (w0 + w1 )α0 + (w0 ξ0 + w1 ξ1 )α1 + (w0 ξ02 + w1 ξ12 )α2 + (w0 ξ03 + w1 ξ13 )α3 w0 + w1 = 2 w 0 ξ0 + w 1 ξ1 = 0 ⇒ w0 = w1 = 1 w0 ξ02 + w1 ξ12 = 23 w0 ξ03 + w1 ξ13 = 0 INFORMATYKA √ ξ0,1 = ±1/ 3 CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Tablica węzłów i wag Gaussa n 0 1 2 3 ξi , i = 0, . . . , n ξ0 = 0 √ ξ0 = +1/√3 ξ1 = −1/ √ 3 ξ0 = + 0.6 ξ1 = 0 √ ξ2 = − 0.6 ξ0 = +0.86113631 ξ1 = +0.33998104 ξ2 = −0.33998104 ξ3 = −0.86113631 wi , i = 0, . . . , n w0 = 2 w0 = 1 w1 = 1 w0 = 5/9 w1 = 8/9 w2 = 5/9 w0 = 0.34785485 w1 = 0.65214515 w2 = 0.65214515 w3 = 0.34785485 Uwaga: Niezależnie od postaci funkcji f (x) 10 wartości wag wi i węzłów Gaussa ξi są zawsze takie same, 20 zależą tylko od liczby węzłów interpolacji n. INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Przykład Zastosowanie wzorów kwadraturowych dla 1 przedziału Obliczyć S(f ) = Rb f (x) gdy f (x) = 4 · x 3 + 5 · x 2 + 1 dla a a = −1.0, b = 1.0, . Rozwiązanie: Dwupunktowa metoda Gaussa (n = 1): Zb a b−a f (x)dx = 2 Z1 1 f (ξ) dξ ≈ −1 INFORMATYKA b−a X wi f (ξi ) = 5.33333. 2 i=0 CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Przykład Wyniki dla prezentowanych wzorów Wartość dokładna I (f ) = Wzór prostokątów: lewych środkowych prawych Postać kwadratury trapezów Simpsona Gaussa dla n = 1 5.3333 Wartość S(f ) = h f (a) S(f ) = h f ( a+b 2 ) S(f ) = h f (b) = = = 4 2 20 S(f ) = h 2 = 12 S(f ) = 1h 32 S(f ) = [f (a) + f (b)] [f (a) + 4 f ( a+b 2 ) + f (b)] b−a 2 1 P wi f (ξi ) = 5.3333 = 5.3333 i=0 INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Kwadratury złożone Podział przedziału całkowania na podprzedziały Bardzo skutecznym sposobem podwyższania dokładności całkowania numerycznego jest dokonanie podziału przedziału [a, b] na podprzedziały [aj , bj ], j = 1, 2, . . . , N przy zachowaniu związków: a1 = a, bN = b, bi = ai+1 , i = 1, 2, . . . , N − 1. Można zapisać: bj Zb I (f ) = f (x) dx = a N Z X f (x) dx = I1 (f ) + I2 (f ) + · · · + IN (f ) j=1 a j Każda z całek oznaczonych Ij (f ) , wystepujacych we wzorze różni się od od całek I (f ) tylko wartościami granic całkowania. Do obliczania każdego składnika sumy można posłużyć się dowolnym wzorem kwadraturowym. INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Wzór sumacyjny prostokątów Metoda prostokątów Gdy długości wszystkich podprzedziałów [aj , bj ] są sobie równe czyli bj − aj = H, j = 1, 2 . . . , N, H = b−a N , to możemy określić wzory sumacyjne. Przedział całkowania < a, b > dzielimy na N równych podprzedziałów < x0 , x1 >, < x1 , x2 >, · · · < xn−1 , xn > gdzie H = (b − a)/N. W każdym z nich stosujemy wzór złożony: (a) lewych prostokątów Zb f (x)dx ≈ H N X f (xj−1 ) = H f0 + f1 + f2 + · · · + fN−1 j=1 a (b) środkowych (średnich) prostokątów Zb f (x)dx ≈ H N X f( j=1 x +x a xj − xj−1 ) = H f01 + f12 + f23 + · · · + fN−1 N 2 gdzie fj−1 j = f j−12 j , (c) prawych prostokątów Zb f (x)dx ≈ H a N X j = 1, 2, . . . , N, f xj ) = H (f1 + f2 + · · · + fN j=1 INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Wzór sumacyjny prostokątów Ilustracja metody prostokątów lewych Zb f (x)dx ≈ H a N X f (xj−1 ) = H f0 + f1 + f2 + · · · + fN−1 j=1 INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Wzór sumacyjny trapezów Metoda trapezów Zb f (x)dx ≈ N i f 1 Xh fN 0 H f (xj−1 + f (xj ) = H + f1 + f2 + · · · + 2 2 2 j=1 a lub Zb N−1 X 1 1 f0 + fj + fN f (x)dx ≈ H 2 2 j=1 a INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Wzór sumacyjny Simpsona Metoda Simpsona Zb f (x)dx ≈ a 1 H ( f0 + fN ) + 4 ( f1 + f3 + · · · + fN−1 )+ 3 2 (f2 + f4 + · · · + fN−2 ) , przy czym H = (xN − x0 )/N i N musi być liczbą parzystą. INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Wzór sumacyjny Simpsona Przykład – podsumowanie Oblicz Zb S= f (x)dx, gdzie f (x) = 4 · x 4 + 5 · x 3 + 1. a Przyjmij a = −5, b = 5, N = 3. Metoda prostokątów lewych prostokątów prawych prostokątów średnich trapezów Simpsona Gaussa 3pkt dokładne biblioteka INFORMATYKA Wynik 6465.761317 10632.427984 3302.181070 8549.094650 5051.152263 5009.999985 5010.000000 5010.000000 CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Na czym polega numeryczne różniczkowanie? Zadanie różniczkowania numerycznego polega na obliczeniu wartości pochodnych k– tego rzędu funkcji y = f (x), za pomocą wzorów przybliżonych tzw. wzorów różnicowych. Są to wzory służące do obliczenia pochodnej w węźle i za pomocą znanych wartości funkcji w innych węzłach, np.: mamy dane wartości funkcji f (x0 ), f (x1 ), f (x2 ) w równo oddalonych węzłach x0 , x1 , x2 , należy zbudować wzory różnicowe do obliczenia pierwszej i drugiej pochodnej w węźle x1 . Pochodne funkcji f (x) można obliczyć wieloma metodami np.: różniczkując wcześniej zbudowany wielomian iterpolacyjny, wykorzystującą rozwijanie w szereg Taylora wartośći węzłowych. INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Wyprowadzenie wzorów z użyciem szeregu Taylora Na podstawie rozwinięcia Taylora funkcji: 1 1 1 f (x + h) = f (x) + hf 0 (x) + h2 f 00 (x) + h3 f 000 (x) + h4 f IV (x) + . . . + 2 6 24 (10) możemy wyprowadzić wzory przybliżone na obliczanie pochodnych. INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Wyprowadzenie wzorów różnicowych dla węzła centralnego Poszukujemy wzoru różnicowego jako kombinacji liniowej znanych i nieznanych (nieoznaczonych) wartości Pnwęzłowych i = 0, 1, 2 o postaci: 1. Dla pierwszej pochodnej: f 0 (x) ≈P i=0 ai f (xi ) = a0 f0 + a1 f1 + a2 f2 n 2. Dla drugiej pochodnej: f 00 (x) ≈ i=0 bi f (xi ) = b0 f0 + b1 f1 + b2 f2 Rozpisujemy rozwinięcia w szereg dla punktów i = 0, 1, 2 obu funkcji a następnie kolejne równania i mnożymy przez współczynniki ai , bi ; i =0: i =1: i =2: 1 f1 − hf10 + h2 f100 e + . . . / · a0 , b0 2 f1 = f1 / · a1 , bb 1 f2 = f1 + hf10 + h2 f100 + . . . / · a2 , b2 2 f0 = INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Wyprowadzenie wzorów różnicowych dla węzła centralnego Po dodaniu otrzymujemy wzory: dla pierwszej pochodnej: a0 fo + a1 f1 + a2 f2 = f1 (a0 + a1 + a2 ) + f10 (−ha0 + ha2 ) + f100 ( 12 a0 + 12 a2 ) f10 = f1 (a0 + a1 + a2 ) + f1 (−ha0 + ha2 ) + f100 ( 12 h2 a0 + 12 h2 a2 ) dla drugiej pochodnej: b0 fo + b1 f1 + b2 f2 = f1 (b0 + b1 + b2 ) + f1 (−hb0 + hb2 ) + f100 ( 21 h2 b0 + 12 h2 b2 ) f100 = f1 (b0 + b1 + b2 ) + f1 (−hb0 + hb2 ) + f100 ( 12 h2 b0 + 12 h2 b2 ) W zapisie macierzowym: 1 1 1 a0 b0 0 −h 0 h · a1 b1 = 1 1 2 a2 b2 0 0 12 h2 2h INFORMATYKA 0 a0 rozw. 0 −−−→ a1 1 a2 1 − 2h b0 b1 = 0 1 b2 2h CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE 1 h2 − h22 1 h2 Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Wyprowadzenie wzorów różnicowych dla węzła centralnego 1 −h 1 2 2h 1 0 0 1 a0 h · a1 1 2 a2 2h b0 0 b1 = 1 b2 0 0 a0 rozw. 0 −−−→ a1 1 a2 1 − 2h b0 b1 = 0 1 b2 2h Stąd: 1 (f2 − f1 ) 2h 1 ≈ b0 f0 + b1 f1 + b2 f2 = 2 (f0 − 2f1 + f2 ) h f10 ≈ a0 f0 + a1 f1 + a2 f2 = f100 INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE 1 h2 − h22 1 h2 Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Wzór różnicowy centralny Pierwsza pochodna 1 1 1 f (x + h) = f (x) + hf 0 (x) + h2 f 00 (x) + h3 f 000 (x) + h4 f IV (x) + . . . + 2 6 24 ( − f2 = f1 + h f10 + 1 2 h2 f100 + 1 6 h3 f1000 + . . . f0 = f1 − h f10 + 1 2 h2 f100 − 1 6 h3 f1000 + . . . f2 − f0 f10 = = 2 h f10 + 2 6 h3 f1000 1 1 (−f0 + f2 ) − h2 f1000 2h 6 INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE (11) Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Wzór różnicowy centralny Druga pochodna ( f2 = f1 + h f10 + 1 2 h2 f100 + 1 6 h3 f1000 + 1 24 f0 = f1 − h f10 + 1 2 h2 f100 − 1 6 h3 f1000 + 1 4 IV 24 h f1 + f0 + f2 f100 = h4 f1IV + . . . = 2 f1 + h2 f100 + 1 12 + ... h4 f1IV 1 2 IV 1 (f0 − 2 f1 + f2 ) − h f h2 12 1 1 INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE (12) Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Wzór różnicowy zwykły (wprzód) ( + − 4 f1 + f2 f1 = f0 + h f00 + f2 = f0 + 2 h f00 + = −3 f0 − 2 h f00 − 1 2 4 2 h2 f000 + 1 3 000 6 h f0 + . . . 1 1 2 00 3 000 2 (2h) f0 + 6 (2h) f0 h2 f000 + 4 2 h2 f000 − 4 6 /−4 + ... h3 f0000 + 8 6 h3 f0000 1 1 (−3 f0 + 4 f1 − f2 ) + h2 f0000 2h 3 = f0 + h f00 + 12 h2 f000 + 16 h3 f0000 /−2 f00 = ( + f1 f2 = f0 + 2 hf00 + 1 2 (2h)2 f000 + − 2 f1 + f2 f000 = 1 6 (2h)3 f0000 = −f0 + h2 f000 + h3 f0000 1 (f0 − 2 f1 + f2 ) − h f0000 h2 INFORMATYKA (13) CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE (14) Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Wzór różnicowy wstecz ( + f1 f0 = f2 − h f20 + = f2 − 2 h f20 h2 f200 − 1 3 000 6 h f2 + . . . 1 1 2 00 3 000 2 (2h) f2 − 6 (2h) f2 1 2 + f0 − 4 f1 + + ... = −3 f2 + 2 h f20 − 2 3 f1 1 2 000 h f2 3 1 2 00 1 3 000 0 = f2 − h f2 + 2 h f2 − 6 h f2 + . . . f0 = f2 − 2 h f20 + f20 = ( 1 /−4 h3 f2000 2h(f0 − 4 f1 + 3 f2 ) + 1 2 (2h)2 f200 − f0 − 2 f1 f200 = 1 6 (15) /−2 (2h)3 f2000 + . . . = −2 f2 + h2 f200 − h3 f2000 1 (f0 − 2 f1 + f2 ) + h f2000 h2 INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE (16) Wprowadzenie Kwadratury – węzły równoodległe Kwadratury Gaussa Wzory sumacyjne Różniczkowanie numeryczne Przykład Wyznaczyć pochodną pierwszego i drugiego rzędu funkcji f (x) = −x 3 + 6.0 x 2 − 11 x + 6. Do obliczeń przyjąć a = 1, b = 3.5, n = 9 . Wyniki porównać z rozwiązaniem ścisłym. INFORMATYKA CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE