PODSTAWYELEKTRODYNAMI KI – Ć WICZENIA Semestr zimowy r

PODSTAWY ELEKTRODYNAMIKI –
Semestr zimowy r. ak. 2016/2017
ĆWICZENIA
ZADANIA
I
1. Pokazać, że div rot A = 0, rot grad f = 0, div (grad f × grad g) = 0, gdzie wektor A i skalary f i g
– dowolne funkcje różniczkowalne.
2. Wykazać tożsamości wektorowe (f, g oraz wektory A, B – dowolne funkcje różniczkowalne):
- grad fg = f grad g + g grad f
- div fA = f div A + A grad f
- rot fA = f rot A + (grad f)×A
- div A×B = B rot A – A rot B
- grad A•B = A×rot B + B×rot A + (A•) B + (B•) A
- grad div A = rot rot A + div grad A
- rot A×B = A div B – B div A + (B•) A – (A•) B
3. Wyrazić we współrzędnych kartezjańskich, cylindrycznych (walcowych) oraz sferycznych
wektor wodzący r oraz jego długość, wykorzystując wektory jednostkowe określone w tych
układach współrzędnych.
4. Obliczyć grad f(r), gdzie dowolna różniczkowalna funkcja f(r) zależy tylko od długości wektora
r, we współrzędnych kartezjańskich, cylindrycznych (walcowych) oraz sferycznych.
5. Obliczyć wektory jednostkowe wyrażone we współrzędnych kartezjańskich dla układu
cylindrycznego (walcowego) oraz sferycznego. Wykazać ortogonalność tych wektorów.
Określić skrętność (parzystość) układu.
6. Sprawdzić następujące operacje w różnych (kartezjańskim, cylindrycznym, sferycznym)
układach współrzędnych:
grad rn = n rn-2 r , n=0,+1,+2,...,
rot w = 0,
7. Obliczyć grad (er),
div r=3,
rot r=0 ,
div w = 2/r,
gdzie w = r/r.
grad(er/r3), (e•) r, div(e×r),
rot(e×r), e -stały wektor.
8. Obliczyć grad(A•B), div(fA), rot(fA), gdy A, B i f zależą tylko od długości wektora r.
9. Obliczyć we współrzędnych cylindrycznych i sferycznych: grad f(r),  f(r), div A(r), rot A(r),
funkcje f(r) i A(r) zależą tylko od r ( r =  – dla współrzędnych cylindrycznych).
10. Pokazać, że
1   2   1  2
r

r  
r 2  r   r  r  r 2
11. Niech A(r) będzie wektorem o stałym kierunku. Udowodnić, że rot A jest wektorem
ortogonalnym do A.
12. Wyznaczyć wartość wyrażenia (B)  B, gdy B = y i – x j + 1 k. Podać inne przykłady B.
13. Wykazać, że dla współrzędnych walcowych [z], ln  = rot k , gdzie k jest wersorem osi
Z.
1
PODSTAWY ELEKTRODYNAMIKI –
Semestr zimowy r. ak. 2016/2017
ĆWICZENIA
14. Posługując się twierdzeniem Gaussa lub jego rozszerzeniami obliczyć całki

I=
r (An) dS ,

I=
gdzie A - stały wektor, oraz n dS = dS.
(Ar) n dS,
15. Posługując się twierdzeniem Gaussa wykazać dla dowolnych pól wektorowych A i B, który
związek jest prawdziwy związek:
   A B dV   B A  dS
   A B dV   A B  dS
czy
16. W sferycznym układzie współrzędnych znaleźć rozwiązanie równania Laplace'a zależne jedynie
od jednej współrzędnej r.
17. Dana jest funkcja skalarna f=x2+y2+z2 oraz pole wektorowe A = xi+yj+zk.
Obliczyć: ∆f,
∆A, ∆(fA).
18. Obliczyć całkę krzywoliniową ,

Adr wzdłuż okręgu o promieniu a, gdy:
a). A = xi – yj + zk,
b). A = i sin y + j(x cos y). Sprawdzić, że rot A=0. Znaleźć taką
funkcję U, że grad U = A. Sprawdzić wynik za pomocą twierdzenia Stokesa.
19. Wykazać, że dla dowolnej zamkniętej powierzchni

d = 0.
20. Znaleźć dywergencję i rotację pola wektorowego:
a). A=(x + y )i + (y +2x)j + (z +xy)k,
b). A=(xi + yj)/(x2+y2)
c). A= yz i – zx j + xy k,
d). A= sin x cosh y i – cos x sinh y j + (x+y) k,
e). A= sin x sinh y i – cos x cosh y j + xy k
f). A= (z – y) i + (x – y) j + (x – y) k
Określić jakie są to wektory.
II.
1. Obliczyć następujące całki:
5
6
a.  (3 x  2 x  1) ( x  3) dx ,
b.  cos x ( x   ) dx ,
3
2
0

3
c.
 x  ( x  1) dx ,
3
d.

0
 (kx) 
2. Wykazać, że
 ln( x  3) ( x  2) dx

1
 ( x)
|k|
oraz
1
  ( x) dx  2 .
0
3. Obliczyć następujące całki:
3
a.  x  ( x  3) dx
3
0
b.
 (2 x  3) (3x) dx ,
2
d.
 9 x  (3x
a
2
 2) dx
1
c.
 (x
3
 3x  2) (1  x 2 ) dx ,
0
1
2
2
2
e.
 (3x
3
 ax  b) ( x  b) dx

4. Wykazać, że (ε > 0)
2
PODSTAWY ELEKTRODYNAMIKI –
Semestr zimowy r. ak. 2016/2017
1

e

 k
cos kx dk 
0
ĆWICZENIA

1
   x2
2
5. Obliczyć całkę (ε > 0)

  ( x,  ) dx

dla
 ( x,  ) 
1

oraz
  2  x2
 ( x,  ) 
exp(  x 2 /  )


1
1 sin kx
e ikx dk
wykazać, że  ( x)  lim
.

k  
x
2 
7. Wykorzystując rozwiązania równania falowego d’Alemberta wyznaczyć relatywistyczny
4-potencjał A(r,t) = [ (r,t), A(r,t)] (potencjał Liénarda-Wiecherta) wytwarzany przez jeden
ładunek punktowy e wykonujący zadany ruch, określony równaniem r’ = r0(t’). Najpierw
przyjmując, że r0(t) = r, wykazać związek:
 ( x) 
6. Korzystając ze związku
 t  t   1c r  r0 (t )  
 (t  t )
d
t   t  1c r  r0 (t ) 
dt 
.
III
1. Wykorzystując transformację Galileusza oraz fakt, że do lagranżjanu można dodać funkcję
df(r,t)/dt wykazać, że dla klasycznej cząstki swobodnej (w przestrzeni jednorodnej i
izotropowej) lagranżjan ma postać L(r,v,t) = L(v) = Av2, gdzie A – stała, v – prędkość cząstki.
2. Na podstawie transformacji wzorów Lorentza określających przejście czterowektora Aμ w
czterowektor Aμ’ wyznaczyć zależności dla dylatacji czasu i skrócenia Lorentza-Fitzgeralda,
oraz relatywistyczne prawo składania prędkości.
3. Wykazać, że element czaso-przestrzeni dΩ = cdtdxdydz jest niezmiennikiem (inwariantem)
transformacji Lorentza.
4. Wykazać, że ładunek q zawarty w przestrzeni V jest niezmiennikiem transformacji Lorentza.
(Konorski)
5. Wykonać transformacje Lorentza dla a). czterowektora prądu, b). czterowektora falowego
(Konorski).
6. Konorski (VI) – cz. 3 rozdz. 7 § 29.8 s. 287-291 przykład: 29.6, 29.11, 29.13.
7. Wykazać, że jeżeli w układzie istnieją dwa strumienie cząstek różnoimiennych o różnych
wartościach gęstości cząstek w spoczynku 01 > 0 i 02 < 0 (|01| < |02|) poruszające się:
pierwszy z v = 0, drugi z v > 0, to istnieje taki układ odniesienia poruszający się z prędkością u,
w którym znika pole elektryczne. Przyjąć, że v = – u i ustalić wartość natężenia pola E.

8. Uwzględniając, że transformacja obrotu C w 4-wymiarowej przestrzeni to transformacja
liniowa taka, że: A  C  A i A  C A , oraz że kwadrat 4-wektora A A jest
inwariantem dla transformacji obrotu ( A A  A A  ) wykazać, że spełniona jest relacja
ortogonalności: C   C

  .
3
PODSTAWY ELEKTRODYNAMIKI –
Semestr zimowy r. ak. 2016/2017
ĆWICZENIA

9. Na podstawie poprzedniego zadania wykazać, że: A  C   A i A  C A , oraz z faktu, że
kwadrat 4-wektora A A jest inwariantem dla transformacji obrotu ( A A  A A ) wykazać,
że spełniona jest druga relacja ortogonalności: C  C     .

10. Uwzględniając transformacje liniowe A  C  A , A  C A , A  C   A , A  C A
oraz relacje ortogonalności:
C   C

 
oraz
C  C    
pokazać, że



 
oraz
.
 C 
 C
 x
 x
 x
 x
11. Wykazać, że wyrażenia postaci:
 A
,
 x
oraz równanie ciągłości
 j
 0 i cechowanie
 x
 A
 0 są niezmiennicze względem transformacji grupy obrotów w
 x
czasoprzestrzeni, j – 4-wektor prądu.
12. Sprawdzić niezmienniczość względem transformacji grupy obrotów w czasoprzestrzeni
relatywistycznego równania Newtona (dla naładowanej cząstki w polu elektromagnetycznym,
d p  e 
uwzględniając siłę Lorentza)
 F u .
ds
c
13. Wykazać niezmienniczość równań Maxwella względem transformacji grupy obrotów w
czasoprzestrzeni (zadanie 7) wykorzystując 4-wymiarową postać równań Maxwella:
 F 
4 

e   
F

0
oraz

j ,
 

x
c
x
gdzie F – 4-tensor pola elektromagnetycznego, j – 4-wektor prądu.
14. Wykazać niezmienniczość różniczkowych równań ciągłości dla gęstości energii i gęstości pędu
pola elektromagnetycznego względem transformacji grupy obrotów w czasoprzestrzeni
wykorzystując ich 4-wymiarowe postaci:
 T 
1
  F  j ,

c
x

gdzie T – 4-tensor energii i pędu pola elektromagnetycznego.
15. Wykazać, że wyrażenia postaci: F  F 
i F       F  są niezmiennikami względem
transformacji grupy obrotów.
16. Wykazać, że przekształcenia ortogonalne: C   C    i C  C     tworzą grupę
obrotów.
17. Zakładając, że obrót zachodzi tylko w płaszczyźnie x0x1 zdefiniować postać tensora

transformacji obrotu C , oraz wykorzystując relacje ortogonalności C   C    i
Lorentza
C  C     wyznaczyć jawną postać szczególnej transformacji Lorentza. Przyjąć, że
1
C0

  oraz zasadę, że zmiana znaku elementów tensora C zachodzi tylko przy
0
C0
podnoszeniu lub opuszczaniu indeksów przestrzennych (1,2.3).
IV
1. Pokazać, że gdy pole H = H k to A= Hx j lub A = - Hy i , oraz że gdy E = E i to  = - Ex,
gdzie pola H i E są stałe i jednorodne.
4
PODSTAWY ELEKTRODYNAMIKI –
Semestr zimowy r. ak. 2016/2017
ĆWICZENIA
2. Znaleźć potencjały i rozważyć ich cechowanie we współrzędnych kartezjańskich i
cylindrycznych a). H = Hz, H = const
b). H = bt z, b = const.
3. Wyznaczyć energię potencjalną U jednorodnie naładowanej sfery o promieniu R i całkowitym
ładunku Q. (U = Q2/2R)
4. Wykorzystując wynik zad. 3 wyznaczyć energię potencjalną układu dwóch naładowanych
cząstek – kul o promieniach r i R, i ładunkach q i Q, znajdujących się w odległości ρ > r + R.
5. Wykazać, że dla stałego pola magnetycznego H = Hz zamkniętego w nieskończonym
solenoidzie o promieniu R, potencjał we współrzędnych cylindrycznych wyraża się następująco:

H 
R2
A = Az = 0 oraz A   Y ( R   ) 
Y (   R) , gdzie Y(x) oznacza funkcję Heaviside'a.
2 2


Wyznaczyć natężenie pola magnetycznego wewnątrz i na zewnątrz solenoidu.
6. Pokazać, że jeżeli wielkości fizyczne są określone za pomocą funkcji zespolonych np.
E(t )  E e i t oraz H(t )  H e i t , gdzie E i H są stałymi zespolonymi wektorami, to
0
0
0
0
średnia po czasie z iloczynu skalarnego ich części rzeczywistych wyraża się następująco:
2
Re E(t )  Re H(t )  12 Re E0  H*0 , w szczególności Re E(t )  Re E(t )  12 E 0 .
7. Wykazać, że w nieskończonym ośrodku (nieograniczonym) o skończonej (niezerowej)
konduktywności  nie może istnieć trwały i stały w czasie rozkład ładunków elektrycznych
(wykorzystać j = E - prawo Ohma).
8. Pole elektryczne w betatronie wyraża się wzorem E = z kt/, k – stała, t – czas,  – współrzędna
cylindryczna. Obliczyć pole magnetyczne. Sprawdzić, że H jest bezźródłowe i wirowe (div
H=0, rot H ≠ 0). Znaleźć potencjały dla pól E i H.
9. Określić długość fali fotonu, którego energia odpowiada relatywistycznej energii spoczynkowej
masy Ziemi.
10. Wyznaczyć potencjał i natężenie w punkcie P od jednorodnie naładowanego odcinka o zadanej
długości l.
11. Fala płaska o częstości  rozchodzi się w próżni w kierunku n:
n = (i + 2j + 3k )/ 14 . Wiedząc, że E jest równoległe do płaszczyzny XY znaleźć równanie
opisujące wektory fali E i H oraz A.
12. Wypisać potencjał zespolony W jednorodnego pola elektrycznego o natężeniu E. Rozpatrzyć
przypadek szczególny pola elektrycznego wytwarzanego przez powierzchnię o gęstości
powierzchniowej ładunku 
1
13. Wykorzystując wzór m = 2 ∑ 𝑒r×v wyznaczyć moment magnetyczny kołowej ramki o
promieniu R, w której płynie prąd o natężeniu I.
14. Wypisać równanie różniczkowe, które spełnia potencjał V = q exp(-r/a)/r. Wielkości q i a stałe.
15. Znaleźć potencjał i siłę Coulomba w n-wymiarowej przestrzeni. Objętość n-wymiarowej kuli
wynosi n = Rnn/2/(n/2)!, powierzchnia jest równa Sn = dn/dR. Ponadto (½)! =  .
16. Rozwiązać równanie różniczkowe opisujące precesję Larmora
dM
 Ω  M ,
dt
gdzie Ω 
e
H
2mc
jest częstością Larmora.
V
1. Niech Y(x) oznacza funkcję Heaviside'a. Obliczyć w sensie teorii dystrybucji:
5
PODSTAWY ELEKTRODYNAMIKI –
Semestr zimowy r. ak. 2016/2017
a). (
ĆWICZENIA
d
d2
dm
x m1
– k) Y(x) ekx , b). ( 2 + q2 )Y(x) sin (qx)/q, c).
Y
(
x
)
dx
dx
(m  1)!
dx m
2. Obliczyć w sensie teorii dystrybucji wszystkie pochodne
dk
| x | funkcji | x |.
dx k
3. Wykazać, że (∂/∂ x + i ∂/∂ y)/(x + iy) = 2π δ(x + iy).
4. Wykazać, że dla n-wymiarowej przestrzeni Rn:

1
r n2
0
dla r ≠ 0 ,
gdzie  
2
2

...

 x12
 xn2
oraz r  x12  ...  xn2 .
5. Wyznaczyć postać wyrażenia:

1
r
n2
 (n  2) S n (r ) dla n = 2 ,
n
gdzie S n  2 2 / ( n2 ) jest powierzchnią n-wymiarowej sfery.
6. Przykłady z podręcznika III: rozdz. IX, § 2, s. 263, przykłady 1, 2, 3, 4 oraz rozdz. IX, § 4,
s. 266, przykłady 1, 2, gdzie t  t   1c r  r0 (t ) .

7. Szereg trygonometryczny
 x
sin kx
jest zbieżny w klasycznym sensie do funkcji okresowej
k
k 1

o okresie 2, określonej dla 0 < x < 2. Wykorzystując funkcję Heaviside’a Y(x) zapisz
2
rezultat sumowania szeregu dla dowolnego x,  < x < . Znajdź pochodną dystrybucyjną tej
funkcji.
TEMATY DO OPRACOWANIA
1. Funkcje pola
I – § 9 rozdz. 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74
s. 205-214
2. Funkcje pola we współrzędnych krzywoliniowych
I – § 8 rozdz. 66, 67
s. 190-192,
I - § 14 rozdz. 103, 104
s. 305-309
3. Funkcje pola we współrzędnych krzywoliniowych c.d.
I – § 14 rozdz.105, 106, 107
s. 309-314
4. Funkcje pola we współrzędnych krzywoliniowych przykłady
I – § 14 przykład 1, 2, 3, 4
s. 314-316
5. Dywergencja
I – § 11 rozdz. 78, 79, 82
s. 231-236 i
238-240
6. Wzory Greena i niezmienniki pola
I – § 11 rozdz. 80 i 83
s. 236-237
i
240-242
I – § 12 rozdz. 84-85 i 88-89 s. 251-255
i
258-265
7. Rotacja
8. Funkcja delta Diraca
XVI – rozdz. 1.5 s. 65-69, 70-71,
6
PODSTAWY ELEKTRODYNAMIKI –
Semestr zimowy r. ak. 2016/2017
II – § 12 rozdz. 1 s. 34-39,
II - dodatek 6
ĆWICZENIA
s. 437-442
9. Równanie Poissona i jego rozwiązanie
I – § 14 rozdz. 111
s. 288-292
10. Prędkość światła
XI – par. 42-3
s. 403-407,
XIII – rozdz. 12.4
s. 581-589
11. Doświadczenie Michelsona i Morleya; przestrzeń czterowymiarowa
II – rozdz. 12, § 1 – 2 s. 307-313,
XIII – rozdz. 12.5
s. 600-604
12. Interwał czasoprzestrzenny – niezmiennik transformacji
VII – rozdz.1 § 2
s. 14-18
13. Model Londona nadprzewodnictwa
XIV – § 49
s. 397-402
LITERATURA
I
II
E. Karaśkiewicz – zarys teorii wektorów i tensorów
M. Suffczyński – elektrodynamika
III
J. Górski, S. Brychczy, T. Czarliński, B. Główczyńska, D. Węglowska W. Woźniak
– wybrane działy matematyki stosowanej
IV
J.D. Jackson – elektrodynamika klasyczna
V
L.G. Grieczko, W.I. Sugarow, O.F. Tomasiewicz, A.M. Fiedorcienko
– zadania z fizyki teoretycznej
VI
B. Konorski
VII
L.D, Landau, E.M. Lifszic – teoria pola – fizyka teoretyczna
VIII
L.D. Landau, E.M. Lifszic – krótki kurs fizyki teoretycznej, tom 1 mechanika,
– elementy teorii względności, relatywistycznej mechaniki i elektrodynamiki
elektrodynamika
IX
A. Januszajtis – fizyka dla politechnik, t. I cząstki
X
A. Januszajtis – fizyka dla politechnik, t. II pola
XI
D. Holliday, R. Resnick – fizyka t. II
XII
F. Rohrilch – klasyczna teoria cząstek naładowanych
XIII
W. Bolton – zarys fizyki, cz. 2
XIV
A.L. Fetter, J.D. Walecka – kwantowa teoria układów wielu cząstek
XV
I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew – Matematyka poradnik encyklopedyczny
XVI
D.J. Griffiths – Podstawy elektrodynamiki
Uzupełnienia:
XVII
B.F. Schulz – Wstęp do ogólnej teorii względności
XVIII K.A. Meissner – Klasyczna teoria pola
XIX
R. Sikora – teoria pola elektromagnetycznego
Prowadzący zajęcia: Prof. dr hab. inż. Ryszard Gonczarek
7