Twierdzenia o wzajemności

Twierdzenia o wzajemności
Praca - definicja
Praca – iloczyn skalarny wektora siły i
wektora drogi jaką pokonuje punkt
materialny pod wpływem działania tej siły.
r
r
L = F ( s ) o ds =
∫
S
=
∫
S
r
F ( s ) cos(α )ds
r
F (s )
r
ds
r
ds
S
r
F ( s)
α
r
r
Fs ( s ) = Fs ( s ) cos(α )
S
Praca zewnętrzna
Praca statycznego układu sił zewnętrznych na konstrukcję trwa w
nieskończenie długim czasie i dlatego można narysować wykres tego
obciążenia tak jak na rysunku:
Fi
r
r
1
Lz = ∫ F ( s ) o ds = ∑ Fi si
i 2
S
F1
F
Lwi
2
s1
s2
F2
Fw1
s1
s2
si
Praca zewnętrzna sił
Praca jest to iloczyn skalarny wektora siły i wektora drogi jaką
pokonuje „punkt” belki pod wpływem działania tej siły czyli,
aby policzyć pracę trzeba pomnożyć przez siebie wartość
przemieszczenia i wartość składowej siły, działającej na
kierunku tego przemieszczenia.
s1
F1y
F2
F1
F1
F1x
s2
r
r
Lz = F ( s ) o ds =
∫
∑
S
i
s1
(
1
1
Fi si = F1 y s1 + F2 s2
2
2
)
F2
s2
Praca zewnętrzna sił
i momentów
Praca jest to iloczyn skalarny wektora oddziaływania (siły lub momentu) i
wektora przemieszczenia (przesunięcia lub kąta obrotu) przekroju belki pod
wpływem działania tego oddziaływania siły
czyli, aby policzyć pracę trzeba pomnożyć przez siebie wartość
przemieszczenia (przesunięcia lub kąta obrotu) i wartość składowej
odpowiedniego oddziaływania (siły lub momentu), działającej na kierunku
tego przemieszczenia (przesunięcia lub kąta obrotu) .
F2
M1
s2
ϕ1
Lz =
1
(M 1ϕ1 + F2 s2 )
2
Praca zewnętrzna obciążeń
Praca jest to iloczyn skalarny wektora oddziaływania (siły lub momentu) i
wektora przemieszczenia (przesunięcia lub kąta obrotu) przekroju belki pod
wpływem działania tego oddziaływania siły
czyli, aby policzyć pracę trzeba pomnożyć przez siebie wartość
przemieszczenia (przesunięcia lub kąta obrotu) i wartość składowej
odpowiedniego oddziaływania (siły lub momentu), działającej na kierunku
tego przemieszczenia (przesunięcia lub kąta obrotu) .
s1 =u(a)
F2
q
s2 =u(a+b)
s1
u(x)
b
a
F2
q
a
x
1  a +b
 1
Lz =  q ∫ u (x )dx + F2 s2  = (qA + F2 s2 )
2 a
 2
s2
A
b
Praca wewnętrzna
Praca sił wewnętrznych jest zawsze ujemna, bo siły wewnętrzne
przeciwstawiają się odkształceniom, a więc mają przeciwne zwroty.
Praca ta jest równa całce iloczynu naprężeń, wywołanych siłami
wewnętrznymi, i odkształceń jakie powoduje działanie sił
zewnętrznych:
.
Lw = −
1 T
1 T
σ
ε
dV
=
−
ε σdV
∫
∫
2V
2V
Energia sprężysta
1 T
1 T
V = ∫ σ εdV = ∫ ε σdV
2V
2V
Energia sprężysta powoduje, że gdy usuniemy obciążenie, to
układ wróci do kształtu pierwotnego przed działaniem sił.
Oznaczenia
Wektor naprężeń:
σ x 
σ 
 y
σ z 
σ= 
τ xy 
τ xz 
 
τ yz 
Praca sił wewnętrznych:
Lw = −
1 T
1 T
σ
ε
dV
=
−
ε σdV
∫
∫
2V
2V
Energia sprężysta
V=
1 T
1 T
σ
ε
dV
=
ε σdV
∫
∫
2V
2V
εx 
∂u
ε  ε x = x
∂x
Wektor odkształceń
 y
εz 
∂u y
ε
=
ε=  y
∂y
γ xy 
γ xz 
∂u z
ε
=
  z
∂z
γ yz 
γ xz =
∂u x ∂u z
+
∂z
∂x
γ yz =
γ xy =
∂u y
∂z
+
∂uz
∂y
∂ux ∂u y
+
∂y
∂x
Równania konstytutywne
Równania konstytutywne to zależności opisujące związki pomiędzy
naprężeniami i odkształceniami
σ = Dε
Najbardziej popularne i najczęściej stosowane równania konstytutywne dla
układów Clapeyrona i materiałów izotropowych dla stanu przestrzennego:
σ xx 
σ 
 yy 
 σ zz 
σ= 
 τ xy 
 τ xz 
 
 τ yz 
λ + 2 µ
 λ

 λ
D=
 0
 0

 0
gdzie stałe Lamego
λ
λ
λ
λ + 2µ
λ
λ + 2µ
µ =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
µ
0
0
0
0
0
0
E
2 (1 + ν
)
= G
µ
0
λ
ε xx 
ε 
 yy 
 ε zz 
ε= 
 γ xy 
 γ xz 
 
 γ yz 
νE
2ν G
=
=
(1 + ν )(1 − 2ν ) 1 − 2ν
0
0 
0

0
0

µ 
Równania konstytutywne
Równania konstytutywne to zależności opisujące związki pomiędzy
naprężeniami i odkształceniami
ε = D−1σ
Najbardziej popularne i najczęściej stosowane równania konstytutywne dla
układów Clapeyrona i materiałów izotropowych dla stanu przestrzennego:
ε xx 
1
ε 
 −ν
 yy 

 ε zz 
1  −ν
−1
ε=  D = 
E 0
 γ xy 
 γ xz 
0

 
 0
 γ yz 
gdzie stałe Lamego
−ν
1
−ν
−ν
−ν
0
1
0
0
0
0
0
µ =



0
0
0 

2(1 +ν )
0
0 
0
2(1 +ν )
0 

0
0
2(1 +ν )
E
2 (1 + ν
0
0
)
0
0
= G
0
0
λ=
νE
σ xx 
σ 
 yy 
 σ zz 
σ= 
 τ xy 
 τ xz 
 
 τ yz 
(1 + ν )(1 − 2ν )
=
2ν G
1 − 2ν
Równania konstytutywne
Macierz, zawierająca dane materiałowe
λ
λ
0 0 0
λ + 2 µ
 λ

2
0
0
0
+
λ
µ
λ


 λ
λ
λ + 2µ 0 0 0 
D=

0
0
0
µ
0
0


 0
0
0
0 µ 0


0
0
0 0 µ 
 0
gdzie stałe Lamego
E
= G
2 (1 + ν )
νE
2ν G
λ=
=
(1 + ν )(1 − 2ν ) 1 − 2ν
µ =
E – moduł Younga, moduł sprężystości podłużnej
G – moduł Kirchoffa, moduł sprężystości postaciowej
ν – współczynnik Poissona, równy ilorazowi odkształceń wzdłuż kierunku
działania naprężenia i w kierunku prostopadłym,
np. ν = −
ε xx
ε
= − xx
ε yy
ε zz
przy
σ xx ≠ 0,σ yy = 0,σ zz = 0.
Równania konstytutywne geneza
Zestawienie zależności pomiędzy odkształceniami podłużnymi i
naprężeniami normalnymi w przestrzennym stanie naprężeń,
wyznaczonymi na podstawie badań dla materiałów liniowo-sprężystych,
np. próba statyczna rozciągania.
σ yy = 0
σ zz = 0
τ xy = τ yx = 0
τ xz = τ zx = 0
τ yz = τ zy = 0
naprężenia działają tylko wzdłuż osi x
σ xx
E
σ
ν
ε yy = −νε xx = −ν xx = − σ xx
E
E
σ
ν
ε zz = −νε xx = −ν xx = − σ xx
E
E
ε xx =
ε xx =
du y dv
dux du
ε yy =
=
=
dy
dy
dx dx
ε zz =
du z dw
=
dz
dz
Równania konstytutywne geneza
Zestawienie zależności pomiędzy odkształceniami podłużnymi i
naprężeniami normalnymi w przestrzennym stanie naprężeń,
wyznaczonymi na podstawie badań dla materiałów liniowo-sprężystych,
np. próba statyczna rozciągania.
naprężenia działają wzdłuż osi y
ε yy =
σ yy
E
σ yy
ν
σ yy
E
E
σ yy
ν
ε zz = −νε yy = −ν
= − σ yy
E
E
ε xx = −νε yy = −ν
=−
naprężenia działają wzdłuż osi z
σ zz
E
σ
ν
ε xx = −νε zz = −ν zz = − σ zz
E
E
ε zz =
ε yy = −νε zz = −ν
σ zz
E
=−
ν
E
σ zz
Równania konstytutywne geneza
Zestawienie zależności pomiędzy odkształceniami postaciowymi i
naprężeniami stycznymi w przestrzennym stanie naprężeń, wyznaczonymi
na podstawie badań dla materiałów liniowo-sprężystych, np. próba statyczna
skręcania.
2γ xy =
2γ yz =
τ xy
G
τ yz
G
τ
2 γ xz = xz
G
Układy Clapeyrona
Układ sprężysty musi spełniać następujące warunki:
– materiał, z którego wykonany jest układ, zachowuje się zgodnie z
prawem Hooke’a czyli jest to materiał liniowo-sprężysty,
– w układzie nie ma takich warunków brzegowych, których istnienie
zależy od odkształcenia konstrukcji,
– temperatura układu jest stała,
– nie ma naprężeń i odkształceń wstępnych.
Układy, które spełniają wymienione warunki, nazywane są
układami Clapeyrona.
Twierdzenie Clapeyrona
Twierdzenia Clapeyrona mówi, że dla układu sprężystego, znajdującego się w
równowadze, praca sił zewnętrznych Lz równa jest energii potencjalnej sił
wewnętrznych (energii sprężystej):
Lz=V
1 T
1 T
1 n
σ
ε
dV
=
ε σdV
Pi ⋅ u i =
∑
∫
∫
2V
2V
2 i =1
lub w innej wersji
Praca sił zewnętrznych jest miarą energii potencjalnej obciążenia zewnętrznego
przekształcającej się w energię sprężystą:
Lz=Vz=V=-Lw
Twierdzenie E.Bettiego o
wzajemności pracy
Układ sił Pik wykonuje taką samą pracę na przemieszczeniach wywołanych
układem sił Pjn jak układ sił Pjn na przemieszczeniach wywołanych przez siły Pik.
∑P
ik
⋅ u jk = ∑ P jn ⋅ u in
k
Pi ⋅ u j = P j ⋅ u i
n
Pi
Ugięcie belki od siły Pi
uji
uii
uij
Praca siły Pi
uji
uii
P j ⋅ u ji
ujj
Pi
Pj
Praca siły Pj
Pj
Ugięcie belki od siły Pj
=
uij
Pi ⋅ u ij
ujj
Twierdzenie E.Bettiego o
wzajemności pracy - dowód
Układ sił Pik wykonuje taką samą pracę na przemieszczeniach wywołanych
układem sił Pjn jak układ sił Pjn na przemieszczeniach wywołanych przez siły Pik.
Zgodnie z twierdzeniem Clapeyrona praca sił zewnętrznych Lz równa jest energii
potencjalnej sił wewnętrznych (energii sprężystej):
Lz=V
czyli
1
2
k
1 T
1 T
Pi ⋅ u i = ∫ σ εdV = ∫ ε σdV
∑
2V
2V
i =1
σ = Dε
Wykorzystując równania konstytuwne:
mamy:
∑
n
∫
∫
∫
V
V
V
σ T = ε T DT = ε T D
Pik ⋅ u jk = σ iT ε j dV = ε iT D T ε j dV = ε iT σ j dV =
∑P
ik
k
⋅ u jk = ∑ P jn ⋅ u in
n
∑P
n
jn
⋅ u in
Twierdzenie o wzajemności
przemieszczeń (Maxwella)
Jeżeli na konstrukcję działają dwie niezależne uogólnione siły jednostkowe Pi=1 i Pj=1,
wywołujące odpowiednio przemieszczenia wji (przemieszczenie w punkcie j na kierunku siły
Pj wywołane siłą Pi) i wij (przemieszczenie w punkcie i na kierunku siły Pi wywołane siłą Pj),
to te przemieszczenia są sobie równe.
Pi wij = Pj wji oraz Pi=1 i Pj=1 ⇒ wij = wji
Pi=1
Ugięcie belki od siły Pi=1
wii
wji
wij
Pj
Praca siły Pj
wii
wji
Ugięcie belki od siły Pj=1
wjj
Pi Praca siły Pi
wjj
wij
Pj=1
Twierdzenie o wzajemności
przemieszczeń (Maxwella)
Jeżeli na konstrukcję działają dwie niezależne uogólnione siły jednostkowe Pi=1 i Pj=1,
wywołujące odpowiednio przemieszczenia wji i wij, to te przemieszczenia są sobie równe.
Przykład
Odkształcenie belki od siły Pi=1
Ugięcie belki od siły Pj=1
Pj=1
Pi=1
wji
wij
wii
Pi wij = Pj wji oraz Pi=1 i Pj=1 ⇒ wij = wji
wjj
Twierdzenie o wzajemności
reakcji (Rayleigha)
Jeżeli statycznie niewyznaczalna konstrukcja zostanie poddana dwóm niezależnym
uogólnionym przemieszczeniom jednostkowym δi=1 i δj=1 (obciążenie geometryczne),
wywołującym odpowiednio reakcje Rji (reakcja w podporze j wywołana obciążeniem
geometrycznym δi) i Rij (reakcja w podporze i wywołana obciążeniem geometrycznym δj), to
te reakcje są sobie równe.
δi Rij = δj Rji oraz δi=1 i δj=1 ⇒ Rij = Rji
Ugięcie belki od wymuszenia δi=1
Rji
δi=1
Rii
Ugięcie belki od wymuszenia δj=1
Rij
Praca reakcji Rij
δj=1
Praca reakcji Rji
δi=1
Rij
Rjj
δi Rij
=
δj Rji
δj=1
Rji
Twierdzenie o wzajemności
reakcji (Rayleigha)
Jeżeli statycznie niewyznaczalna konstrukcja zostanie poddana dwóm niezależnym
uogólnionym przemieszczeniom jednostkowym δi=1 i δj=1, wywołującym odpowiednio
reakcje Rji i Rij, to te reakcje są sobie równe.
Przykład
Odkształcenie belki od przemieszczenia δi=1
Rji
Odkształcenie belki od przemieszczenia δj=1
Rjj
δi=1
Rii
δj=1
δi Rij = δj Rji oraz δi=1 i δj=1 ⇒ Rij = Rji
Rij
Twierdzenie o wzajemności
reakcji (Rayleigha)
Jeżeli statycznie niewyznaczalna konstrukcja zostanie poddana dwóm niezależnym
uogólnionym przemieszczeniom jednostkowym δi=1 i δj=1, wywołującym odpowiednio
reakcje Rji i Rij, to te reakcje są sobie równe.
Przykład
Odkształcenie belki od przemieszczenia δi=1
Odkształcenie belki od przemieszczenia δj=1
δj=1
δi=1
Rii
Rji
δi Rij = δj Rji oraz δi=1 i δj=1 ⇒ Rij = Rji
Rij
Rjj
Twierdzenie o wzajemności
przemieszczeń i reakcji
Jeżeli na układ statycznie niewyznaczalny działają niezależnie (dwie sytuacje) w punkcie i
siła jednostkowa Pi=1 oraz w podporze j przemieszczenie jednostkowe δj=1 (obciążenie
geometryczne), wywołujące odpowiednio reakcję Rji (reakcja w podporze j wywołana siłą Pi)
i przemieszczenie wij (przemieszczenie w punkcie i wywołane obciążeniem geometrycznym
przyłożonym w podporze j), to reakcja Rji i przemieszczenie wij są sobie równe.
Pi=1
Pi wij + Rji δj=0
Ugięcie belki od siły Pi=1
Ugięcie belki od wymuszenia δj=1
Rji
wij
wii
δi=0
δj
Pi=1
Rjj
Praca siły Pi
Praca reakcji Rji
wii
δi=0
0 wii+0 Rjj
wij
= Pi wij+δj Rji
δj
Rjj
Rji
Twierdzenie o wzajemności
przemieszczeń i reakcji
Jeżeli na układ statycznie niewyznaczalny działają niezależnie w punkcie i siła jednostkowa
Pi=1 oraz w podporze j przemieszczenie jednostkowe δj=1, wywołujące odpowiednio reakcję
Rji i przemieszczenie wij, to reakcja Rji i przemieszczenie wij są sobie równe.
Przykład
Odkształcenie belki od przemieszczenia δj=1
Odkształcenie belki od siły Pi=1
Pi=1
δj=1
wji=0
wij
wii
Rjj
Rji
0 wii+0 Rjj
= Pi wij+δj Rji
Metoda kinematyczna
wyznaczania linii wpływu
Linie wpływu a twierdzenie o wzajemności
przemieszczeń i reakcji
P=1
Układ i
a
b
Układ j
δj=1
w
R
δj=1
l.w.R
b
0= Pi wij+δj Rji
Praca sił układu i na przemieszczeniach układu j
0= Pw+δjR ⇒ R=-w
Wyznaczanie linii wpływu belek
metodą kinematyczną
Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficzną linię wpływu reakcji VC (reakcja w formie siły), to
należy przesunąć podporę o jednostkę w kierunku działania tej reakcji. Pod wpływem takiego
wymuszenia nastąpi przesunięcie podpory. Jeżeli podpora ma zamocowanie sztywne, to
nastąpi przesunięcie przęsła czyli fragmentu belki od podpory do przegubu. Belka w
pozostałych podporach nie może się przesunąć, ale jeżeli są to podpory przegubowe, to
może się obrócić.
x
P=1
A
Przy rysowaniu
kształtu belki pod
wpływem
wymuszenia należy
pamiętać, że belka
może załamywać
A
się w przegubach.
L.w.VC
C
B
VC
B
x
VC(x)
-
1
C
przesunięcie
+
1
Wyznaczanie linii wpływu belek
metodą kinematyczną
Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficzną linię wpływu reakcji MC (reakcja w formie momentu), to
należy obrócić podporę o jednostkowy kąt w kierunku działania tej reakcji. Obrót o kąt jednostkowy
oznacza (przy założeniu małych przemieszczeń), że obracamy o kąt, którego tangens jest równy 1.
Pod wpływem takiego wymuszenia nastąpi obrót podpory, ale nie przesunięcie. Na rysunku
pokazano wymuszony obrót w punkcie C. Belka załamuje się w przegubie, po to aby wrócić do
podpory B. To powoduje przesunięcie drugiego przegubu, w którym belka także musi się złamać po
to, aby wrócić do podpory w punkcie A. Przemieszczenia zgodne ze zwrotem siły P bierzemy ze
znakiem ujemnym.
x
MC
P=1
A
C
B
obrót
A
x
1
B
C
M C(x)
k
+
k
_
L.w.MC
Wyznaczanie linii wpływu belek
metodą kinematyczną
Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficzną linię wpływu siły poprzecznej (tnącej) TM, to należy
belkę rozciąć i rozsunąć o jednostkę. Rozcięte fragmenty przęsła muszą być po rozsunięciu
równoległe, tak więc przesunięcia punktów rozcięcia (c1 i c2) w stosunku do pierwotnego
położenia muszą spełniać następujące warunki:
c1 c 2
=
d1 d2
c1 + c 2 = 1
x
P=1
b
M
B
C
M
1
rozsunięcie
A
c1
A
C
d1
x
TM(x)
-
d2
1
d1
B
L.w.TM
Wyznaczanie linii wpływu belek
metodą kinematyczną
Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficzną linię wpływu momentu zginającego MM, to należy belkę
przełamać i obrócić w taki sposób, aby kat pomiędzy fragmentami przęsła wyniósł 1.
h=
d1d2
d1 + d2
x
b
P=1
M
B
C
M
złamanie
G
F
H
1
d2
A
d1
W związku z tym należy odłożyć
odcinek d1 z lewej strony
rozcinanego fragmentu (d1=BF) a
d2 z prawej strony (d2=EG).
Następnie połączyć końce tych
odcinków z przeciwległymi
punktami przęsła czyli narysować
odcinki BG i EF. Odcinki
pomiędzy punktami B, H i G
tworzą kształt belki,
spowodowany analizowanym
wymuszeniem. Wartość h można
wyznaczyć ze wzoru:
C
A
B
d1
MM(x)
x
E
d2
h +
-
Wyznaczanie linii wpływu kratownic
metodą kinematyczną
P=1
Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficzną
linię wpływu siły normalnej w pręcie, to
należy pręt skrócić o 1.
α
1
Skrócenie pręta o 1
Obrót pręta tak, aby pozostałe węzły nie
przesunęły się w poziomie.
1
1
y
y
α
α
α
1
= cos (α )
y
1
y=
cos (α )
Wyznaczanie linii wpływu kratownic
metodą kinematyczną
P=1
Jeżeli
chcemy
otrzymać
metodą
graficzną linię wpływu siły normalnej w
pręcie, to należy pręt skrócić o 1.
Przesuwamy węzły w pionie tak, aby
uzyskać odkształcenie kratownicy
Najpierw węzły prętów sąsiadujących z
prętem, dla którego wyznaczana jest linia
wpływu siły normalnej
y=
y
1
cos (α )
Dopasowanie pozostałych części
kratownicy; lewa część górnego pasa ma
być równoległa do prawej części górnego
pasa
Wyznaczanie linii wpływu kratownic
metodą kinematyczną
P=1
Jeżeli
chcemy
otrzymać
metodą
graficzną linię wpływu siły normalnej w
pręcie, to należy pręt skrócić o 1.
Linię wpływu tworzą przesunięte węzły,
leżące na drodze siły
y
y=
a1
y1
y
-
y = y1 + y 2
y2
a2
y1
y2
+
1
cos (α )
l.w. N
y1 y 2
=
a1 a 2
l.w. N
Wyznaczanie linii wpływu kratownic
metodą kinematyczną
P=1
Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficzną
linię wpływu siły normalnej w pręcie, to
należy pręt skrócić o 1.
β
C
B
Skrócenie pręta o 1
A
Skrócenie pręta zmienia trójkąt ABC, bok
BC się skraca a bok AC się obraca.
C
B
y
1
1
A
β
β
1
= tg (β )
y
y β
1
y = ctg (β )
Wyznaczanie linii wpływu kratownic
metodą kinematyczną
P=1
Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficzną
linię wpływu siły normalnej w pręcie, to
należy pręt skrócić o 1.
β
α
B
Przesuwamy węzły w pionie tak, aby
uzyskać odkształcenie kratownicy
C
y
1
Najpierw węzły prętów sąsiadujących z
prętem, dla którego wyznaczana jest linia
wpływu siły normalnej
y = ctg (β )
A
y
Przesunięcie węzła C na linię i
dopasowanie pozostałych części
kratownicy
Wyznaczanie linii wpływu kratownic
metodą kinematyczną
P=1
Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficzną
linię wpływu siły normalnej w pręcie, to
należy pręt skrócić o 1.
α
y
y
-
l.w. N
l.w. N
y
Wyznaczanie linii wpływu w belkach
statycznie niewyznaczalnych
Wyznaczenie linii wpływu metodą kinematyczną reakcji M
P=1
M
Uzyskanie linii wpływu reakcji M wymaga obrotu podpory o kąt równy 1
M
1
+
Linie wpływu w układach statycznie niewyznaczalnych są krzywoliniowe.
l.w.M
Wyznaczanie linii wpływu w belkach
statycznie niewyznaczalnych
Wyznaczenie linii wpływu metodą kinematyczną Tα i Mα
P=1
α
α
Uzyskanie linii wpływu siły tnącej Tα wymaga przesunięcia o 1 końców belki w przekroju,
proporcje rozdzielenia dobieramy tak, jak dla układu statycznie wyznaczalnym.
1
+
Linie wpływu w układach statycznie niewyznaczalnych są krzywoliniowe.
l.w.Tα
Wyznaczanie linii wpływu w belkach
statycznie niewyznaczalnych
Wyznaczenie linii wpływu metodą kinematyczną Tα i Mα
P=1
α
α
Uzyskanie linii wpływu siły tnącej Mα złamania w przekroju i wzajemnego obrotu końców
belki w przekroju o 1, pozostałe zasady doboru wartości w przekroju także tak, jak w układach
statycznie wyznaczalnych.
1
+
Linie wpływu w układach statycznie niewyznaczalnych są krzywoliniowe.
l.w.Mα
Zasada prac wirtualnych
Przemieszczenie wirtualne
Przemieszczenie wirtualne powinno spełniać następujące warunki:
•
dowolne, niezależne od sił działających na bryłę,
•
zgodne z więzami, a więc kinematycznie dopuszczalne,
•
niezależne od czasu.
Pi
ui
Pi
ui
ui
Ciało sprężyste Clapeyrona
Zasada prac wirtualnych
dla ciał sprężystych (odkształcalnych)
Suma prac sił zewnętrznych Pik na przemieszczeniach wirtualnych
uik i naprężeń rzeczywistych σi na odkształceniach
wirtualnych εi jest równa zero.
T
P
⋅
u
−
σ
∑ ik ik ∫ i ε j dV = 0
k
Pi
V
czyli
ui
Pi
T
P
⋅
u
=
σ
∑ ik ik ∫ i ε j dV
k
V
ui
ui
Zasada prac wirtualnych
dla elementów prętowych
W elementach prętowych stosujemy założenie płaskich
przekrojów, dzięki czemu wektory naprężeń i odkształceń
redukują się do dwóch składowych: naprężeń normalnych i
odkształceń oraz naprężeń stycznych i odkształceń postaciowych.
Pi
T
P
⋅
u
=
σ
∑ ik ik ∫ i ε j dV
k
V
∑P
ik
k
ui
Pi
⋅ uik = ∫ σ iε j dV + ∫ τ iγ j dV
V
V
ui
ui
Koniec