Zadanie 1 (Metoda odrzucania)

Jakub Olczyk Rachunek prawdopodobie«stwa i statystyka semestr letni 2014/2015
Zadanie 1 (
Metoda odrzucania)
Metoda odrzucania w ogólno±ci sprowadza si¦ do wykorzystania rozkªadu jednostajnego z przedziaªu [0,1] do generacji innych rozkªadów. Zgodnie z twierdzeniem podanym na wykªadzie, je»eli wektor losowy
tajny na obszarze
f.
Wtedy f
A = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ f (x)}
(X, Y )
ma rozkªad jednos-
dla pewnej funkcji g¦sto±ci
jest g¦sto±ci¡ X. Tak wi¦c metoda sprowadza si¦ do losowania
punktów z pªaszczyzny i brania pod uwag¦ jedynie tych, które znajd¡ si¦ pod
wykresem funkcji g¦sto±ci, a odrzucaniem tych innych. W efekcie otrzymujemy
punkty wylosowane zgodnie z rozkªadem, który chcieli±my wygenerowa¢ za pomoc¡ funkcji f.
W zadaniu mamy podane, »e symulacj¦ nale»y przeprowadzi¢ na obszarze
[0, 1] × [0, 2.5].
Ogólny algorytm metody odrzucania mo»na zapisa¢ w nast¦pu-
j¡cy sposób:
Algorytm (Metoda odrzucania)
[a, b] × [0, c]
(U, V ), gdzie U, V ∼ U nif orm(0, 1)
(X, Y ) o rozkªadzie jednostajnym w [a, b] × [0, c]
Dla obszaru
1. wylosuj punkt
2. wylicz
za pomoc¡ wzorów:
X := a + (b − a) · U
Y := c · V
3. Je»eli
Y > f (X) odrzu¢ i wró¢ do 1.
f (x).
zmienn¡ losow¡ o g¦sto±ci
1
W przeciwnym wypadku
X
jest szukan¡
a)
b e t a _ g e n e r a t o r <− f u n c t i o n ( ) {
a l p h a <−
b e t a <−
a <−
0;
b <−
1;
5.5;
3.1;
c <−
2.5;
X <−
0;
Y <− c ;
while
(Y > gamma ( a l p h a + b e t a )
/ ( gamma ( a l p h a ) ∗ gamma ( b e t a ) ) ∗
X^( a l p h a
U <−
V <−
−
1 ) ∗ ( 1 −X) ^ ( b e t a
−
1)){
runif (1);
runif (1);
X <− a + ( b−a ) ∗ U ;
Y <− c ∗V ;
}
X
}
b)
Kod sªu»¡cy do wygenerowania histogramu (doª¡czonego poni»ej) jak w zadaniu.
n <− 2 0 0 0 0 ;
B <− c ( ) ;
while
(n > 0)
{
B <− c ( B , b e t a _ g e n e r a t o r ( ) ) ;
n <− n
−
1;
}
b r e a k p o i n t s <−c ( 0 ) ;
for ( i
in
1:30){
b r e a k p o i n t s <−c ( b r e a k p o i n t s , b r e a k p o i n t s [ i ] + 1 / 3 0 )
}
h i s t (B,
b r e a k s=b r e a k p o i n t s ,
2
r i g h t=TRUE ) ;
c)
Kod generuj¡cy wykres g¦sto±ci rozkªadu Beta poni»ej. Jak wida¢ wykres oraz
histogram opisuj¡ bardzo podobny ksztaªt.
n <− 2 0 0 0 0 ;
X <− r b e t a ( n , 5 . 5 , 3 . 1 ) ;
p l o t ( d e n s i t y (X) , main="F u n k c j a
3
gestosci
rozkladu
Beta " ) ;
4
Jakub Olczyk Rachunek prawdopodobie«stwa i statystyka semestr letni 2014/2015
Zadanie 2 (
Dzielony zasób)
1
Rozwi¡zanie :
Oznaczmy przez
T
zmienn¡ losow¡, która b¦dzie opisywa¢ caªkowity czas, w
którym dziaªaj¡ procesy. Jest on sum¡ poszczególnych czasów
Ti
wykorzystania
procesora przez poszczególnych aktywnych u»ytkowników.
T = T1 + T2 + T3 + . . . + TX
X oznaczmy zmienn¡ losow¡ opisuj¡c¡ ilo±¢ aktywnych u»ytkowników,
X ∼ Binom(C, p) . Ponadto ka»dy z u»ytkowników wª¡cza ilo±¢
procesów Yi ∼ Geom(q). Z tego wynika, »e czas poszczególnego u»ytkownika
b¦dzie dany wzorem Ti = Ti,1 + . . . + Ti,Yi , który jest sum¡ Yi zmiennych o
rozkªadzie Gamma(β, λ).
Aby odpowiedzie¢ na pytanie dotycz¡ce P (T < 24h) nale»y wyliczy¢ ilo±¢
prób potrzebnych do uzyskania »¡danej precyzji (α = 0.01, = 0.01). SkorzyszPrzez
wiemy »e
tam ze wzoru :
2
2 N ≥ 0.25 zα/2 = 0.25 2.575
= 16577
0.01
gdzie
zα/2 = z0.005 = 2.575
odczytaªem z tablic statystycznych dla rozkªadu
normalnego, równie» z niego mo»na dowiedzie¢ si¦, »e
Φ(2.575) ≈ 0.995,
czyli
tyle ile »¡daj¡ od nas w zadaniu. Liczba N jest uzasadnieniem skorzystania z
rozkªadu normalnego.
Nast¦pnie korzystaj¡c z pakietu R mo»na zasymulowa¢ i otrzyma¢ przybli»one wyniki.
1 M.Baron
Probablity and Statistics for Computer Scientists
5
ss.114-118
N <− 1 6 5 7 7 ;
C <− 2 5 0 ;
p <−
0.3;
q <−
0.15;
b e t a <− 1 0 ;
lambda <−
3;
T o t a l <− c ( ) ;
for
( i
in
1 :N) {
X <− r b i n o m ( 1 , C , p ) ;
Y <− rgeom (X, q ) ;
T a s k s <− sum (Y ) ;
Time <− rgamma ( Tasks , b e t a , lambda ) ;
T o t a l <−c ( T o t a l ,
sum ( Time ) ) ;
}
p r i n t ( mean ( T o t a l <
p r i n t ( mean ( T o t a l ) ) ;
p r i n t ( sd ( Total ) ) ;
1 4 4 0 ) ) ; # estymator
# wartosc
# ochylenie
W moich symulacjach wynik dla
oczekiwana
standardowe
P (T < 24h) ≈ 0.55.
Za pomoc¡ ±redniej arytmetycznej mo»na oszacowa¢ warto±¢ oczekiwan¡ dla
zmiennej losowej T. W moich symulacjach wynosiªa ona okoªo
ET ≈ 1416
. Natomiast odchylenie standardowe wynosiªo okoªo
Std(T ) ≈ 227
6