KRZYWA PŁATKA ŚNIEŻNEGO

KRZYWA PŁATKA ŚNIEŻNEGO
1. Zaczynamy od trójkąta równobocznego o boku równym 1.
2. Na środkowej 1/3 części wszystkich boków, rysujemy trójkąt równoboczny o boku 1/3.
Usuwamy podstawę każdego z trzech tak wybudowanych trójkątów.
3. Na środkowej 1/3 części każdego z dwunastu boków, rysujemy trójkąt równoboczny z
bokami o długości 1/9. Usuwamy podstawę wszystkich nowych dwunastu trójkątów.
4. Powtarzamy ten proces z powyższą figurą o 48 bokach. Czy widzisz podobieństwo do
kryształka płatka śniegu?
Oto figura nr 4:
„Graniczna krzywa” określona przez powtarzanie niniejszego procesu nieskończoną ilość
razy, dodając coraz to więcej mniejszych i mniejszych trójkątów, nazywa się krzywą Kocha.
Krzywa Kocha –fraktal, który można zdefiniować jako granicę ciągu krzywych opisanych
poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni.
Można więc narysować pewne jej przybliżenie. Została opisana po raz pierwszy w pracy „Sur
une courbe continue sans tangente obtenue par une construction géométrique élémentaire”
przez Helgego von Kocha w roku 1904.
Niels Fabian Helge von Koch (ur. 25 stycznia 1870, zm. 11 marca 1924) – szwedzki
matematyk, twórca jednego z najbardziej znanych i zarazem jednego z pierwszych fraktali –
krzywej Kocha (opisanej w pracy z 1904 roku pt. Une méthode géométrique élémentaire pour
l'étude de certaines questions de la théorie des courbes plane). Napisał wiele prac na temat
teorii liczb, zajmował się hipotezą Riemanna. Zajmował się nieskończonymi wyznacznikami.
Krzywa płatka śniegu ma kilka interesujących właściwości, które mogą wydawać się
paradoksalne:
 Krzywa płatka śniegu jest połączona tak, iż nie ma żadnych przerw w niej. Ale nie jest
gładka i równa, gdyż ma nieskończoną ilość ostrych narożników, które są ciaśniej
upakowane niż kamyki na plaży.

Płatek śniegu Kocha nigdy nie odstępuje od kształtu figur pokazanych na rys. 1-4, więc
zajmuje skończoną wielkość powierzchni. Z drugiej strony, na każdym etapie budowania
nowych małych trójkątów - dodawana jest więcej niż jedna jednostka długości do
krzywej. Dokładniej: [4 ÷ 3]n – 1 jednostek zostaje dodanych w kroku n-tym, tak więc
obwód płatka śniegu jest większa niż 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + … = nieskończoność.
Płatek śniegu ma nieskończenie długi obwód, ale skończoną powierzchnię.

Pod powiększającym szkłem, mała część płatka wygląda identycznie jak większa,
niepowiększona część. Obiekty wykazujące ten rodzaj wzajemnego podobieństwa
nazywają się fraktalami i są przedmiotem badań w nowoczesnej nauce i matematyce.