praca domowa 1

Matematyka w ubezpieczeniach
III rok matematyki finansowej
praca domowa nr.1
1 marca 2016
1. Rozważmy zmienną losową
∗
T (x) =
T (x), gdy T ≤ n
n,
gdy T > n
oraz przez e̊x:n oznaczmy E(T ∗ (x)). Pokazać, że
a)
n
Z
e̊x:n =
t px dt
0
b)
∗
Z
n
V ar(T (x)) = 2
t t px dt − (e̊x:n )2
0
2. Niech
K ∗ (x) = min(K(x), n), K(x) = 0, 1, . . .
oraz ex:n = E(K ∗ (x)). Udowodnij następujące związki rekurencyjne
a)
ex:n = px (1 − n px+1 ) + px ex+1:n
b)
ex:y−x = px + px ex+1:y−(x+1) dla x = 0, 1, . . . , y − 1
3. Załóżmy, że przyszły czas życia (x) ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 70], wyznaczyć
a) e̊x:10 ;
b) ex:10 .
Uwaga!
Za każdy podpunkt w powyższych zadaniach można otrzymać 1 punkt przeliczeniowy. Pracę
wykonać należy w zespołach dwuosobowych i oddać w terminie do 17.03.2016.