Własności_funkcji

Wykłady z matematyki
Własności funkcji rzeczywistych
Andrzej Musielak
Rok akademicki 2016/17
UTP Bydgoszcz
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych
Przypomnienie o funkcjach elementarnych
Funkcje potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne,
trygonometryczne i cyklometryczne to podstawowe funkcje
elementarne.
Wszystkie funkcje, które powstaną z ich dodawania,
odejmowania, mnożenia i dzielenia oraz złożenia tych funkcji
to funkcje elementarne.
Pojęcie funkcji elementarnych, ich właściwości, dziedziny,
wykresy są ważne w dalszej części programu matematyki!
◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych
Dziedzina funkcji
Funkcja f odwzorowująca zbiór D ⊂ R w R jest to
przyporządkowanie każdemu elementowi x ∈ D dokładnie
jednej liczby rzeczywistej.
Dziedzina naturalna funkcji rzeczywistej, to maksymalny zbiór
liczb rzeczywistych dla którego funkcja jest dobrze określona.
W praktyce pewne liczby mogą nam ”wypaść” z dziedziny w
następujących wypadkach:
Aby wyrażenie 1t miało sens, musi być t ≠ 0
◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych
Dziedzina funkcji
Funkcja f odwzorowująca zbiór D ⊂ R w R jest to
przyporządkowanie każdemu elementowi x ∈ D dokładnie
jednej liczby rzeczywistej.
Dziedzina naturalna funkcji rzeczywistej, to maksymalny zbiór
liczb rzeczywistych dla którego funkcja jest dobrze określona.
W praktyce pewne liczby mogą nam ”wypaść” z dziedziny w
następujących wypadkach:
Aby wyrażenie 1t miało sens, musi być t ≠ 0
√
Aby wyrażenie t miało sens, musi być t ≥ 0
◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych
Dziedzina funkcji
Funkcja f odwzorowująca zbiór D ⊂ R w R jest to
przyporządkowanie każdemu elementowi x ∈ D dokładnie
jednej liczby rzeczywistej.
Dziedzina naturalna funkcji rzeczywistej, to maksymalny zbiór
liczb rzeczywistych dla którego funkcja jest dobrze określona.
W praktyce pewne liczby mogą nam ”wypaść” z dziedziny w
następujących wypadkach:
Aby wyrażenie 1t miało sens, musi być t ≠ 0
√
Aby wyrażenie t miało sens, musi być t ≥ 0
Aby wyrażenie √1t miało sens, musi być t > 0
◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych
Dziedzina funkcji
Funkcja f odwzorowująca zbiór D ⊂ R w R jest to
przyporządkowanie każdemu elementowi x ∈ D dokładnie
jednej liczby rzeczywistej.
Dziedzina naturalna funkcji rzeczywistej, to maksymalny zbiór
liczb rzeczywistych dla którego funkcja jest dobrze określona.
W praktyce pewne liczby mogą nam ”wypaść” z dziedziny w
następujących wypadkach:
Aby wyrażenie 1t miało sens, musi być t ≠ 0
√
Aby wyrażenie t miało sens, musi być t ≥ 0
Aby wyrażenie √1t miało sens, musi być t > 0
Aby wyrażenie loga t miało sens, musi być t > 0
◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych
Dziedzina funkcji
Funkcja f odwzorowująca zbiór D ⊂ R w R jest to
przyporządkowanie każdemu elementowi x ∈ D dokładnie
jednej liczby rzeczywistej.
Dziedzina naturalna funkcji rzeczywistej, to maksymalny zbiór
liczb rzeczywistych dla którego funkcja jest dobrze określona.
W praktyce pewne liczby mogą nam ”wypaść” z dziedziny w
następujących wypadkach:
Aby wyrażenie 1t miało sens, musi być t ≠ 0
√
Aby wyrażenie t miało sens, musi być t ≥ 0
Aby wyrażenie √1t miało sens, musi być t > 0
Aby wyrażenie loga t miało sens, musi być t > 0
Aby wyrażenie logt a miało sens, musi być t > 0 i t ≠ 1
◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych
Dziedzina funkcji
Funkcja f odwzorowująca zbiór D ⊂ R w R jest to
przyporządkowanie każdemu elementowi x ∈ D dokładnie
jednej liczby rzeczywistej.
Dziedzina naturalna funkcji rzeczywistej, to maksymalny zbiór
liczb rzeczywistych dla którego funkcja jest dobrze określona.
W praktyce pewne liczby mogą nam ”wypaść” z dziedziny w
następujących wypadkach:
Aby wyrażenie 1t miało sens, musi być t ≠ 0
√
Aby wyrażenie t miało sens, musi być t ≥ 0
Aby wyrażenie √1t miało sens, musi być t > 0
Aby wyrażenie loga t miało sens, musi być t > 0
Aby wyrażenie logt a miało sens, musi być t > 0 i t ≠ 1
Aby wyrażenie arc sin t lub arc cos t miało sens, musi być
−1 ≤ t ≤ 1
◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych
Dziedzina funkcji
Przykładowe zadanie:
arc sin x2
Znaleźć dziedzinę naturalną funkcji: f (x) = √1−log (x+2)
2
Rozwiązanie:
Muszą być spełnione następujące warunki:
−1 ≤ x2 ≤ 1 x + 2 > 0 1 − log2 (x + 2) > 0 Pierwszy warunek
oznacza, że x ∈ [−2, 2]. Drugi, że x ∈ (−2, +∞). W przypadku
trzeciego mamy:
1 > log2 (x + 2) ⇔ log2 2 > log2 (x + 2) ⇔ 2 > x + 2 ⇔ 0 > x
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych
Dziedzina funkcji
czyli x ∈ (−∞, 0). Ponieważ muszą być spełnione wszystkie
trzy warunki jednocześnie, więc odpowiedzią jest część
wspólna tych przedziałów, czyli (−2, 0) ◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych
Funkcje różnowartościowe
Funkcję rzeczywistą nazywamy różnowartościową jeśli dla
dowolnych x1 , x2 z dziedziny funkcji zachodzi wynikanie:
x1 ≠ x2 ⇒ f (x1 ) ≠ f (x2 ) Inaczej mówiąc: funkcja
różnowartościowa różnym argumentom przypisuje różne
wartości (jak sama nazwa wskazuje).
W praktyce wykazać, że funkcja jest różnowartościowa można
kilkoma sposobami:
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych
Funkcje różnowartościowe
Można skorzystać z równoważnej definicji
różnowartościowości: f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych
Funkcje różnowartościowe
Można skorzystać z równoważnej definicji
różnowartościowości: f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2
Można narysować wykres funkcji (o ile to możliwe) i
sprawdzić czy każda prosta pozioma przetnie ten wykres
co najwyżej raz (wtedy funkcja będzie różnowartościowa)
czy też przeciwnie: istnieje taka prosta pozioma, która
przetnie wykres przynajmniej dwa razy (wtedy funkcja nie
będzie różnowartościowa)
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych
Funkcje różnowartościowe
Można skorzystać z równoważnej definicji
różnowartościowości: f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2
Można narysować wykres funkcji (o ile to możliwe) i
sprawdzić czy każda prosta pozioma przetnie ten wykres
co najwyżej raz (wtedy funkcja będzie różnowartościowa)
czy też przeciwnie: istnieje taka prosta pozioma, która
przetnie wykres przynajmniej dwa razy (wtedy funkcja nie
będzie różnowartościowa)
Jeśli wiemy skądinąd, że funkcja jest monotoniczna, to
możemy wywnioskować, że jest też różnowartościowa.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych
Funkcje różnowartościowe
Można skorzystać z równoważnej definicji
różnowartościowości: f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2
Można narysować wykres funkcji (o ile to możliwe) i
sprawdzić czy każda prosta pozioma przetnie ten wykres
co najwyżej raz (wtedy funkcja będzie różnowartościowa)
czy też przeciwnie: istnieje taka prosta pozioma, która
przetnie wykres przynajmniej dwa razy (wtedy funkcja nie
będzie różnowartościowa)
Jeśli wiemy skądinąd, że funkcja jest monotoniczna, to
możemy wywnioskować, że jest też różnowartościowa.
Jeśli badana funkcja jest złożeniem funkcji
różnowartościowych, to sama też jest różnowartościowa.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych
Funkcje różnowartościowe
Przykładowe zadanie:
√
Sprawdzić czy funkcja f (x) = log2 (2 + arc sin x) z dziedziną
naturalną jest różnowartościowa.
Rozwiązanie:
Nietrudno sprawdzić, że dziedzina naturalna to [−1, 1]. Jeśli
chcemy skorzystać z definicji, to zakładamy, że dla pewnych
x1 , x2 z dziedziny zachodzi równość f (x1 ) = f (x2 ) i
sprawdzamy czy wynika√stąd, że x1 = x2 :
√
log2 (2 + arc sin x1 ) = log2 (2 + arc sin x2 ) Podnosimy
stronami do kwadratu:
log2 (2 + arc sin x1 ) = log2 (2 + arc sin x2 ) Korzystamy z tego, że
funkcja log2 t jest różnowartościowa:
2 + arc sin x1 = 2 + arc sin x2
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych
Funkcje różnowartościowe
Odejmujemy obustronnie dwójkę:
arc sin x1 = arc sin x2 Korzystamy z różnowartościowości funkcji
arc sin t x1 = x2 cbdo!
Inną metodą
jest zauważenie, że nasza funkcja to złożenie
√
funkcji x, log2 x, 2 + x i arc sin x, z których każda jest
różnowartościowa, a zatem nasza funkcja też jest
różnowartościowa. ◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych
Monotoniczność funkcji
Funkcję rzeczywistą nazywamy rosnącą jeśli dla dowolnych
x1 , x2 z dziedziny funkcji zachodzi wynikanie:
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )
Funkcję rzeczywistą nazywamy malejącą jeśli dla dowolnych
x1 , x2 z dziedziny funkcji zachodzi wynikanie:
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )
Funkcja jest monotoniczna w przedziale < a, b > gdy jest
rosnąca lub malejąca dla x ∈< a, b >.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych
Przykładowe zadania
Zadanie: Sprawdzić czy funkcja f (x) = (log2 x)2 jest
monotoniczna.
Rozwiązanie: Pokażemy, że funkcja ta nie jest ani rosnąca ani
malejąca. Weźmy najpierw x1 = 41 oraz x2 = 2 Mamy wtedy
2
f (x1 ) = (log2 14 ) = (−2)2 = 4 i f (x2 ) = (log2 2)2 = (1)2 = 1
czyli f(x) nie jest rosnąca.
A teraz weźmy najpierw x1 = 12 oraz x4 = 2 Mamy wtedy
2
f (x1 ) = (log2 21 ) = (−1)2 = 1 i f (x2 ) = (log2 4)2 = (2)2 = 4
czyli f(x) nie jest malejąca. Wniosek: funkcja ta nie jest
monotoniczna dla x ∈ R.
◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych
Funkcja odwrotna
Jeśli funkcja f ∶ A → B (gdzie A to dziedzina, a B - zbiór
wartości) jest różnowartościowa, to istnieje wtedy funkcja
odwrotna do niej (oznaczana przez f −1 ), której dziedziną jest
B, a zbiorem wartości A oraz jeśli f (x) = y , to f −1 (y ) = x.
Można powiedzieć, że funkcja odwrotna zamienia miejscami
wartość z argumentem funkcji wyjściowej.
Rozważmy na przykład funkcję f (x) = log2 (2x + 4). Łatwo
sprawdzić (rysując wykres), że jej dziedziną jest (−2, +∞), a
zbiorem wartości R oraz, że funkcja jest różnowartościowa.
Istnieje zatem funkcja do niej odwrotna.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych
Funkcje odwrotna
Funkcja wyjściowa przypisuje argumentowi x wartość y
zgodnie z ”przepisem” y = log2 (2x + 4), czyli ”weź argument,
pomnóż go przez dwa, do wyniku dodaj czwórkę, a całość
zlogarytmuj przy podstawie dwa”. Jeśli szukamy funkcji
odwrotnej, to tym razem argumentem jest y , a wartością x,
więc choć zależność między nimi to również y = log2 (2x + 4),
to tym razem podobnego ”przepisu” nie ma (bo obliczenie x
dla danej wartości y wymagałoby za każdym razem
rozwiązania równania).
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych
Funkcja odwrotna
Skoro więc ”przepisu” na to jak wyliczać wartość x w
zależności od y nie ma, to należy go znaleźć. Mamy:
y = log2 (2x + 4)
2y = 2x + 4
2y − 4 = 2x
2y −1 − 2 = x
i stąd mamy ”przepis” na x:
x = 2y −1 − 2
lub jak kto woli:
f −1 (y ) = 2y −1 − 2 Na koniec można jeszcze z przyczyn
estetycznych zmienić nazwę zmiennej na x (alternatywnie
można też zamienić miejscami x i y na samym początku):
f −1 (x) = 2x−1 − 2 ◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych
Ćwiczenia
Narysuj wykres funkcji:
a) f (x) = (x − 2)2 + 3
b) f (x) = 2x−1 − 1
c) f (x) = 2 − log3 (x − 3) d) f (x) = 3−4x
2x+1
Sprawdź czy xfunkcja jest różnowartościowa:
a) f (x) = e 3 + 4 b) f (x) = ln(x 2 + 4)
3
c) f (x) = 2x − 2 d) f (x) = e x + e −x
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych
Ćwiczenia
Znajdź dziedzinę naturalną oraz zbiór wartości. Sprawdź czy
funkcja jest różnowartościowa, a jeśli tak, to wyznacz funkcję
odwrotną. :
√
a) f (x) = 2 + log5 (x + 1) b) f (x) = x−2
√ 1−x
7
4
c) f (x) = 5x
d) f (x) = log22 x − 4 log2 x
Wyznacz funkcję odwrotną do podanej:
a) f (x) = x 2 − 2x + 3 dla x ∈ (1, +∞) b) f (x) = 2x−5 + 5 z
dziedziną naturalną
√
c) f (x) = x + x1 dla x ∈ (1, ∞) d) f (x) = 2x − 8 z dziedziną
naturalną
e)* f (x) = cos x dla x ∈ [π, 2π]
◇◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych