ik katka.cz

Dyfrakcja fal EM na aperturze wejściowej, czyli
otworze wejściowym toru optycznego teleskopu
Sytuacja bardzo uproszczona (opis bardziej realistyczny poprzez wzór dyfrakcyjny
Fresnela-Kirchhoffa):
Do apertury dociera monochromatyczna prawie płaska
fala, źródło i detektor znajdują się dostatecznie
daleko od apertury (w porównaniu
z długością fali, jak i
rozmiarem apertury)
r
Detector
σ
r
P - bieŜący punkt apertury,
ρ
r
r jego wektor wodzący,
r
r
ρ - wektor łączący źródło
ρ0
z punktem P,
r
σ - wektor łączący punkt P
Source
r z detektorem,
ρ 0 - wektor idący od źródła
r do centrum (0,0) apertury,
σ 0 - wektor idący od centrum apertury do detektora
P
•r
r
(0,0)
r
σ0
apertura
69
Zajmijmy się przyczynkiem do wektora pola E fali EM w rejonie detektora,
przyczynkiem pochodzącym od punktu apertury P (pomijając człon związany z
oscylacjami w czasie i wykorzystując fakt, Ŝe fala jest prawie płaska):
( ) ( )
rr
rr
r
r
E D = E S exp ik ρ exp ik σ
Skorzystajmy z zaleŜności wektorowych:
r r
r r
r
r
ρ = ρ0 + r , σ = σ 0 − r
Po przekształceniach otrzymujemy:
((
)) ( (
))
rr
rr
r r r
r
r
E D = E S exp i k ρ 0 + k ′σ 0 exp i k − k ′ r
Pierwszy człon ma wartość stałą, niezaleŜną od połoŜenia punktu P w
obszarze apertury. Tak więc moŜna zapisać:
((
))
r r r
r
r
E D = E S C exp i k − k ′ r
Następnie sumujemy przyczynki (superpozycja) pochodzące od
infinitezymalnych obszarów apertury uwzględniając waŜenie uogólnioną
funkcją przepuszczania apertury dla tych obszarów.
70
Funkcja przepuszczania apertury (Aperture Transfer Function):
pierwszy człon opisuje zmiany amplitudy fali (natęŜenia)
r
r
r
G (r ) = g(r ) exp( iϕ (r ))
światła, drugi - zmiany fazy fali zachodzące w aperturze
dla otworu kołowego o promieniu R funkcja ta ma postać:
G (r ) = η ( R − r )
Wracamy do sumowania przyczynków i otrzymujemy:
r
r
E D = ES C
((
))
r r r r
r
∫∫ G(r ) exp i k − k ′ r d r
Saperture
r 2π r r 2
k=
n, n =1
Wektor falowy zastępujemy przez:
λ
r
r r
w=
oraz wprowadzamy bezwymiarową zmienną:
λ
Ostatecznie otrzymujemy:
r
r
E D = ES D
r
r r r r
∫∫ G(w) exp( 2π i(n − n′) w) dw
Saperture
Czy poznajecie Państwo tę postać ?
71
Tak, tak.
Jest to z dokładnością do czynnika odwrotna transformata Fouriera.
Wniosek: Pole elektryczne w punkcie detektora jest odwrotną transformatą
Fouriera funkcji przepuszczania apertury.
Teraz liczymy natęŜenie promieniowania w punkcie detektora:
ID = B
r
r r r r
G
w
exp
2
π
i
n
∫∫ ( ) ( ( − n′) w) dw
2
Saperture
Przeanalizujmy właściwości otrzymanego wyniku.
1. ZałóŜmy, Ŝe apertura ma nieskończenie duŜe rozmiary. Wtedy całka ma
postać:
r
r r r r
r r
∫∫ G(w) exp(2π i(n′ − n′) w) dw = δ (n − n′)
Plane
Wniosek: W przypadku nieskończenie duŜej apertury fala płaska pozostaje falą płaską biegnącą w pierwotnym kierunku. Trywialne, ale ile trzeba było pracy, by to wykazać !
72
2. Dla apertury o skończonych rozmiarach wynik transformaty staje się
r
funkcją dzwonową z maksimum przewaŜnie dla pierwotnego kierunku fali n .
Z własności transformaty Fouriera wynika, Ŝe im mniejszy rozmiar apertury
tym ”szersza” jest ta funkcja.
r
Zmienna w (bezwymiarowa) jest częstotliwością kierunkową i jest sprzęŜona
r
ze zmienną n (równieŜ bezwymiarową) poprzez transformatę Fouriera.
Funkcję:
r r
K (n − n ′) =
r
r r r r
G
w
exp
2
π
i
n
− n ′) w) dw
(
)
(
(
∫∫
Saperture
nazywamy Optyczną Funkcją Przenoszenia (Optical Transfer Function - OTF).
73
Natomiast kwadrat modułu OTF znormalizowany do 1 określamy mianem
Funkcji Instrumentalnej, Funkcji Rozmycia Punktu, lub Funkcji Odpowiedzi
Impulsowej (Point Spread Function - PSF).
r r
r r 2
A(n − n ′) = K (n − n ′) ,
∫∫
r r
A(n − n ′)d Ω nr′ = 1
4π
r
Opisuje ona rozmycie kierunkowe (poprzez wektor n ′ ) fali płaskiej padającej na
r
aperturę wzdłuŜ wektora n .
r r
PowyŜsza PSF jest funkcją jedynie róŜnicy kierunków n − n ′ . Nazywana jest
izoplanatyczną (ισο- stały, jednakowy πλαξ - płaszczyzna, powierzchnia). W
ogólności PSF moŜe mieć postać:
r r
r r 2
A(n , n ′ ) = K (n , n ′ ) ,
∫∫
r r
A(n , n ′ )d Ω nr′ = 1
4π
Dla apertury kołowej o promieniu R funkcja
rozmycia punktu zaleŜy jedynie od
r
kąta polarnego θ względem kierunku n i jest dana wzorem Airy (Sir George Airy
1835-1892, angielski astronom i matematyk):
 2 J1 (2π Wθ ) 
AAiry (θ ) = 

2
W
π
θ


2
gdzie: W=R/λ
74
Ma ona charakter funkcji (sin(x)/x)2. Posiada maksimum dla θ = 0, krąŜek
(zwany krąŜkiem Airy) między maksimum, a pierwszym zerem funkcji A(θ)=0
oraz nieskończenie wiele pierścieni dyfrakcyjnych o malejącej amplitudzie.
Wykres przekroju
3-D plot
obraz gray-scale
75
Kryterium zdolności rozdzielczej Rayleigha.
Zagadnienie: jaka powinna być minimalna odległość kątowa dwóch
monochromatycznych punktowych źródeł fal EM (fal płaskich), by po
przejściu przez aperturę kołową ich obrazy rozróŜniane były jako
rozdzielone ?
Obrazy ”wyraźnie” rozdzielone
Obrazy ”prawie” nie rozdzielone
Problem rozstrzygają kryteria zdolności rozdzielczej, z których najbardziej
znane to kryterium Rayleigha. Obrazy obiektów ”punktowych” są wyraźnie
rozdzielone, jeśli maksimum funkcji Airy dla obrazu jednego źródła wypada w
pierwszym zerowym pierścieniu funkcji dla obrazu drugiego źródła. Odległość
kątowa źródeł punktowych powinna być wtedy większa niŜ θR.
Przykłady (λ =550nm):
oko (dzień/noc) ~ 50”/15”
teleskop 8m
~ 0.02”
θ R = 122
.
λ
gdzie: D=2R, średnica apertury
D
76
Dodatkowe zagadnienia związane z aperturą wejściową i jej PSF.
- Apodyzacja optyczna apertury - ATF apertury ma odpowiednio dobraną część
amplitudową g(r) (apodyzacja amplitudowa) lub fazową φ(r) (apodyzacja fazowa)
tak, by usunąć lub osłabić pierścienie dyfrakcyjne PSF. Dla amplitudy
wykorzystuje się filtry aperturowe o zmieniającej się z r przepuszczalności (”rozmyty”
profil 0-1). Np. profil Gaussa (FT Gaussa jest Gaussem), funkcję logistyczną, funkcje
hiperboliczne itp.
- Apertury niespójne i niewypełnione - dotyczy to teleskopów zwiarciadłowych z
przesłoniętym centrum (np. zwierciadło wtórne), teleskopów wielo-zwierciadłowych
(np. MMT, Keck, SALT), specjalnych rozwiązań anten radioteleskopów (np. RATAN600), interferometrów wielo-aperturowych optycznych i radiowych.
- Synteza apertury - ”tworzenie” w miarę wypełnionej apartury:
1. Wraz z upływem czasu. Chwilowa apartura odpowiada duŜej zdolności rozdzielczej
w wybranych kierunkach bazowych interferometru. Z czasem bazy zmieniają
ukierunkowanie i nastepuje ”wypełnienie” apertury - klasyka.
2. Na zasadzie cyfrowego przetwarzania sygnału z wielu stacji odbiorczych rozsianych
na duŜym terenie (kaŜda stacja ma izotropową charakterystykę kierunkową) - LOFAR.
77
Jeden z największych i najnowocześniejszych interferometrów
optycznych z syntezą apertury - VLT na Paranal Mountain
78
”Działanie” PSF na rozciągłe źródła promieniowania
niekoherentnego.
Sytuacja odwrotna do opisu dyfrakcji monochromatycznej płaskiej rfali EM.
Po przejściu przez aperturę, dla danego ”wyjściowego”r kierunku n ′ mamy
przyczynki natęŜenia pochodzące z róŜnych kierunków n źródła rozciągłego
waŜone PSF.
Dla izoplanatycznej funkcji instrumentalnej:
r
r r
r r
I (n ′) = ∫∫ A(n − n ′) I (n )dn
r
n
r
n′
Ω
r
r
gdzie: I (n ), I (n ′ ) rozkład natęŜenia (jasności
powierzchniowej) źródła rozciągłego przed i
po przejściu fali przez aperturę
Wniosek: rozkład kierunkowy natęŜenia promieniowania źródła rozciągłego
po przejściu fali przez aperturę jest splotem oryginalnego rozkładu
kierunkowego z PSF.
Dla PSF nie izoplanatycznej mamy:
r
r r
r r
I (n ′) = ∫∫ A(n , n ′) I (n )dn
Ω
79
Uwaga: Dla promieniowania koherentnego zamiast splotu natęŜeń występuje splot
pola E fali EM.
Rozpatrzmy sytuację dla rozciągłego źródła promieniowania niekoherentnego
w dziedzinie transformat Fouriera (FT):

r
r r
r r
FT[ I (n ′)] = FT  ∫∫ A(n − n ′) I ( n )dn 
 Ω

Po wstawieniu zaleŜności dla optycznej funkcji przenoszenia OTF i
skorzystania z twierdzenia, Ŝe FT splotu jest iloczynem FT funkcji
splotowych otrzymujemy:
[
]
[
]
r
r 2
r r
r * r
r
FT[ I (n ′)] = FT K ( n ) ∗ I ( n )dn = FT K ( n ) K ( n ) FT[ I ( n )]
dalej mamy:
{
(
[
]}
r
r
r
* r
FT[ I (n ′ )] = FT[ K ( n )] ∗ FT K ( n ) FT[ I ( n )]
r
r
r
r
FT[ I (n ′ )] = G( w )∗ G * ( w ) FT[ I ( n )]
)
80
r r
n
Ostatecznie, pamiętając Ŝe zmienne i w są sprzęŜone względem transformaty
Fouriera oraz wprowadzając oznaczenie I dla FT[I] mamy:
(
)
r
r
r
* r
I ′( w ) = G( w ) ∗ G ( w ) I ( w )
Wniosek: W przypadku transformaty natęŜenia promieniowania mamy do
czynienia z filtrowaniem w dziedzinie częstotliwości kierunkowych. Ze
względu na to, Ŝe ogólnie autokorelacja funkcji przenoszenia otworu G spada
wraz z rosnącą częstotliwością, filtr jest filtrem dolnoprzepustowym (wygasza
amplitudę dla wyŜszych częstotliwości).
Funkcję będącą odpowiednio unormowaną autokorelacją ATF (funkcja filtru)
określamy mianem Funkcji Przenoszenia Modulacji - MTF (Modulation
Transfer Function):
I
I ′ Jak to działa ?
r
* r
G( w ) ∗ G ( w )
r
T ( w) =
r 2 r
∫ G(w) dw
T
Saperture
w
w
w
81
Jak PSF teleskopu wygląda naprawdę ?
PSF otrzymujemy jako ”obraz” obiektu ”punktowego” (najlepszymi modelami
obiektów punktowych są odległe gwiazdy i inne obiekty ”gwiazdopodobne”).
Tak powinna wyglądać
dyfrakcyjna PSF dla
apertury kołowej...
a tak jest.
Dlaczego ?
Zdjęcie fragmentu gromady otwartej
NGC 7686, texp= 20 sec, filtr V
82
Jakie efekty kształtują pełną funkcję instrumentalną
systemu detekcji1 ?
Oto waŜniejsze, wybrane efekty kształtujące PSF.
•
•
•
•
•
•
•
dyfrakcja,
wady optyczne toru optycznego,
rozogniskowanie,
ruch obiektu względem detektora,
efekty związane z detektorem,
efekty związane z ośrodkiem, w którym rozchodzi się fala EM,
pasmo przenoszenia (λ0,∆λ)
Dla izoplanatycznej PSF.
∞
r r
r r
r r
A(n − n ′) = ∫ t (λ ) Adiff (n − n ′, λ )∗ Aopt def (n − n ′, λ )∗
0
r r
r r
∗ ... ∗ Aeffi (n − n ′, λ )∗ ... ∗ Amedium (n − n ′, λ ) dλ
1system
detekcji to optyka zasilająca (np. teleskop) + detektor.
83
Ostatecznie wracamy do seeingu.
Pytanie: Jak fluktuacje fazy fali EM wpływają na chwilową PSF ?
Dla fali płaskiej docierającej do apertury chwilową funkcję jej przenoszenia
ATF opisać moŜna:
r
r
r
G( r , t ) = g( r ) exp(iφ ( r , t ))
gdzie człon fazowy opisuje stochastyczne fluktuacje fazy fali wywołane przez
turbulencje atmosferyczne. Stąd moŜna otrzymać chwilową MTF (PSF).
Skoro chwilowego stanu turbulencji przewidzieć nie moŜna naleŜy badać
statystyczne parametry fluktuacji φ (n), np. funkcję struktury:
r
r r
r 2
Dn d = n r + d − n ( r )
()
(
)
Przypomnijmy: Dla rozkładu Kołmogorowa funkcja ta ma postać:
r
Dn d = Dn ( d ) = Cn2 d 5 / 3
()
Wpływ fluktuacji n na MTF (PSF) dla kołowej apertury o promieniu R badał
Fried (1965, 1966). Otrzymał wyraŜenie na uśrednioną w czasie postać MTF
dla odpowiednio duŜej apertury (co to znaczy ”duŜa” apertura wyjaśni się
niebawem).
84
Wprowadzamy model ”wmroŜonych” turbulencji Taylora. Przedział czasu t, w którym
rozpatrujemy stan turbulencji jest t<<τc (czas koherencji dla turbulencji); τc=l/vw (l - skala
turbulencji, vw - prędkość wiatru). To będzie jeszcze uściślone !
Turbulencje te występują w warstwie o grubości ∆ h dostatecznie grubej w porównaniu z
lext. Ich wpływ na część fazową równania fali płaskiej jest rozpatrywany bezpośrednio
poniŜej warstwy (seeing fazowy, warstwa jest tzw. ekranem fazowym - phase screen).
r
r
r
r
ψ
ρ
exp
i
φ
ρ
=
(
)
(
)
r
gdzie:
wektor w płaszρ
ψ 0 (ρ ) = 1 k
czyźnie warstwy turbu-
(
∆h
zdeformowany front falowy
r
r
ψ (ρ ) = 0
r
lentnej, k = 2π λ
r
φ ( ρ ) = k ∫ n ( ρ, h) dh
cn2
ψ (ρ)
∆h
r
płaski front falowy
)
r
r
0
Własności statystyczne fazy określone są przez zmienną
losową fluktuacji współczynnika załamania. Pierwszy
moment i funkcja autokorelacji będąca miarą drugiego
momentu (zresztą proporcjonalna do kwadratu pola E czyli
proporcjonalna do natęŜenia światła) są:
[
r
r
r
r
]
Γψ ( ρ ) = ψ ( ρ + η)ψ (η) = exp i φ ( ρ + η) − φ (η)
∗
Rozkład fazy jest gaussowski, poniewaŜ dla większej liczby turbulencji na drodze
promienia świetlnego zaczyna obowiązywać centralne twierdzenie graniczne. A wtedy:
(
exp ia = exp − 2 a 2
1
)
Gdzie: a zmienna losowa
o rozkładzie Gaussa
85
Tak więc funkcja autokorelacji dla czynnika fazy związana jest z funkcją struktury dla fazy:
(
r
r
)
Γψ ( ρ ) = exp − Dφ ( ρ )
Ta ostatnia dana jest wzorem:
r
Dφ ( ρ ) = k
∆h
2
1
2
∫ (n ( ρ + η, h) − n (ρ, h)) dh
r
r
2
r
0
I nie ma co kryć, całkowanie nie jest łatwe nawet dla kołmogorowskiego rozkładu
fluktuacji. Nie obejdzie się bez całkowania numerycznego. Ostatecznie mamy:
(
r
Γψ ( ρ ) = Γψ ( ρ ) = exp −1.45 k 2 cn2 ∆hρ 5 3
)
Długość korelacji dla fluktuacji fazy po przejściu przez warstwę turbulentną wyraŜa się
wzorem:
Γ (ρ )
−3 5
ψ
c
Γψ ( 0)
(
= e −1 ⇒ ρ c = 1.45 k 2 cn2 ∆h
)
i jak widać maleje ona wraz ze wzrostem ”siły” fluktuacji i grubością warstwy turbulentnej.
Inaczej: Przestrzenne ”skorelowanie” fazy fali pierwotnie płaskiej spada po przejściu przez
warstwę fluktuacji współczynnika załamania.
A jak wygląda sytuacja, gdy warstwa turbulentna znajduje się ”daleko” od detektora ?
Wtedy prócz fluktuacji fazy pojawiają się fluktuacje amplitudy (seeing amplitudowy). Na
szczęście (!) dokładne rozwaŜania pokazują, Ŝe pełny efekt (fazowo-amplitudowy) moŜna
równieŜ opisać powyŜszymi zaleŜnościami.
86
Wreszcie nadszedł czas na zbadanie wpływu turbulentnej atmosfery na PSF
układu apertura teleskopu + atmosfera !
r
r
Chwilowa ATF teleskopu i atmosfery jest:
G( ρ, t ) = g( ρ )ψ ( ρ, t )
Czynnik amplitudowy (stały w czasie) opisuje przepuszczanie natęŜenia światła przez
aperturę, drugi (zaleŜny od czasu i stochastyczny) opisuje wpływ fluktuacji
atmosferycznych.
Rozpatrzmy MTF takiego chwilowego ATF:
r
∗ r
∗
g
w
ψ
w
,
t
g
r
( ) ( ) ( w)ψ ∗ ( w, t )
T ( w) =
r
2 r
g
w
w
,
t
dw
ψ
(
)
(
)
∫
r
r ρ
gdzie: w =
λ
Saperture
Idąc za Friedem wyznaczmy PSF dla długiej ekspozycji texp>τc wyznaczając
średnie MTF:
r
T (w) =
∫
r
1
r r ∗ r
r r ∗ r
g
w
+
η
g
w
ψ
w
+
η
ψ
w
d
η
) ( ) (
) ( )
r 2 r ∫∫ (
g ( w ) dw
Saperture
Najprostszy przypadek, gdy Rap >>ρc. Wtedy własności filtrujące średniej MTF
całkowicie determinuje atmosfera:
(
r
53
T ( w ) ≈ exp −1.45 k 2 cn2 ∆h (λw )
)
87
Przypadek dowolnego stosunku Rap i rc dla fluktuacji kołmogorowskich badał Fried
(J. Opt. Soc. Am. 56, 1378, 1966 rok). Określił on zdolność rozdzielczą Res przez
objętość figury ograniczonej płaszczyzną układu współrzędnych i MFT (rozsądne, bo
poniewaŜ MFT(0)=1 mierzy to jej ”szerokość” czyli odwrotność ”szerokości” PSF):
r r
Res = ∫∫ T ( w ) dw
Po wprowadzeniu parametru r0 (nazwanego na jego cześć parametrem Frieda, promieniem
Frieda lub promieniem strefy koherentnej):
gdzie wzięto pod uwa∞


2
2
r0 =  0.423k ∫ cn ( z ) dz


0
−3 5
∞ 2

65
= 0.185 λ  ∫ cn ( z ) dz
0

−3 5
gę warstwę turbulentną
o formalnie nieskończonej grubości
Uzyskał on numerycznie następującą zaleŜność unormowanej zdolności
rozdzielczej od stosunku promienia apertury Rap do parametru r0:
Res
T ( w)
W przypadku apertury koło-
Resmax
wej o Rap >> r0 mamy:
1
1
0.1
Rap
0.01
0.1
1
10
100
r0
0
r0/λ
Rap/λ
w
88
Parametr Frieda moŜe być uwaŜany za promień równowaŜnej apertury kołowej
mającej taką samą zdolność rozdzielczą jaką zapewnia turbulentna atmosfera.
Jak widać mamy do czynienia z czterema ekstremalnymi przypadkami dla PSF
apertury teleskopu i turbulentnej atmosfery (obrazownie przez turbulentną
atmosferę):
Apertura:
Czas ekspozycji:
mała (Rap<r0)
krótki (texp<tc)
duŜa (Rap>r0)
długi (texp>tc)
gdzie:
wartość r0 - promienia (parametru) Frieda, dla przeciętnych warunków atmosferycznych i
zakresu Vis. wynosi ~ 100-102 cm. MoŜna obecnie sprecyzować inne waŜne pojęcia.
Inne waŜne pojęcia:
rozmiar kątowy krąŜka seeingu:
θ s ≈ λ r0
~ 0.5 - 4.0 arcsec
czas koherencji:
tc ≈ r0 v
ϑ c ≈ r0 h
~ 10-3 - 100 s
rozmiar kątowy krąŜka koherencji:
~ 100 - 102 arcsec
gdzie: v - prędkość masy powietrza w warstwie turbulentnej, h - odległość warstwy turbulentnej od teleskopu.
Wniosek: Dla duŜej apertury (typowe dla astronomii) MTF (PSF) kształtowane
jest w głównej mierze przez fluktuacje n.
89
(
)
53
Czy mając postać MTF dla tego przypadku:
T ( w ) = exp −3.44(λw r0 )
moŜna wyznaczyć PSF ? Owszem, ale jedynie liczbowo. Do pełni szczęścia brakuje 1/3 w wykładniku. Wtedy byłby to Gauss i PSF
jako FT-1 Gaussa byłaby Gaussem. Ale i tak okazuje się, Ŝe Gauss jest dobrym
przybliŜeniem PSF.
A co w przypadku duŜej apertury i krótkiego czasu ekspozycji ? Lepiej nie pytać !
Jako funkcji statystycznej uŜywa się uśrednionego po dostatecznie długim czasie
kwadratu modułu MTF (Labeyrie 1970).
T ( w)
Po dokonaniu uproszczeń w poczwórnej całce słuŜącej wyliczeniu kwadratu
modułu MFT, dla pewnych w
otrzymujemy:
2
T ( w)
2
(
)
2
≈ r0 R ap Tdyfr ( w )
r0 λ < w < Rap λ
w
Wniosek:
Stosując podejście Labeyrie zachowujemy pewną informację (co
prawda mocno zuboŜoną) dotyczącą MFT duŜej apertury teleskopu.
90
A jak to wygląda w praktyce ?
plaski front falowy
wiatr
warstwa turbulencji
zaburzony front falowy
fluktuacje jasności
Zmiana
jasności
i deformacje
i dyfrakcyjnej
deformacja PSF
dyfrakcyjnej PSF
R>r0
fluktuacje fazy,
(ekran fazowy)
R~r0
R<r0
scyntylacja
ang. scintillation,
skoki ~1 plamki / rozmycie
deformacje ~N plamek / rozmycie
agitation, speckles (texp<tc)/smearing (texp>tc)
fluktuacje PSF
w ognisku tel.
Ile jest plamek ?
91
Czy moŜliwe jest wykorzystanie informacji zawartej w przedziale częstotliwości
kątowych od r0/λ do Rap/λ (traconej w wyniku turbulencji w ośrodku) ?
Odpowiedź: Jak najbardziej (Labeyrie, 1970) !
Interferometria plamkowa (Speckle Interferometry) jako stochastyczna synteza
MTF.
Wystarczy:
1. Wykonać duŜo (rzędu 102-103) zdjęć obiektu i standardu PSF z krótkim czasem
ekspozycji (texp<τc) i odpowiednio gęstym próbkowaniem kątowym,
2. Skonstruować dwa obrazy, jeden będący średnim kwadratem modułu widma obiektu
O i standardu S:
FT[O]
FT[ S ]
2
2
3. Dokonać dekonwolucji czyli formalnie uzyskać estymator kwadratu modułu widma
obiektu, widma niezniekształconego turbulencjami:
FT[O] = FT[O]
2
2
FT[ S ]
2
Tej ostatniej operacji dokonuje się zwykle stosując specjalne filtry zapewniające:
- brak wzmocnienia lub wygaszenie składowej szumowej dla wyŜszych częstotliwości,
- jednoznaczność rozwiązania.
Niezły jest filtr Winera.
92
Czy moŜliwe jest odzyskanie informacji fazowej niezbędnej do wykonania FT-1
i odtworzenia obrazu obiektu ?
Odpowiedź: Jak najbardziej i to na wiele sposobów !
NajwaŜniejsze i najpopularniejsze z nich to:
1. widmo Labeyrie + cross-spectrum (Knox & Thompson 1974):
r
r
r
O ( w) O ∗ ( w + ∆w)
2. widmo Labeyrie + więzy (nieujemność, ograniczony Support) (Finup 1978),
3. widmo Labeyrie + bispectrum (Lohmann et al. 1983 ):
r
r
r
∗ r
O ( w) O ( w ′ ) O ( w + w ′ )
4. widmo Labeyrie + ”ślepa” dekonwolucja (Blind Deconvolution)
(jednoczesne wyznaczenie zespołu chwilowych PSF i wyjściowego obrazu nieskaŜonego seeingiem, tak naprawdę nie całkiem ”ślepa”, bo wykorzystuje chwilowe obrazy i więzy np. nieujemność, ograniczony Support) (Lane 1992)
Uwaga: Metoda 2 nie pozwala na usunięcie niejednoznaczności kwadrantowej !
93
A jak to wygląda w praktyce ?
Sytuacja realna, obiektem jest gwiazda - źródło punktowe.
Gwiazda BS1910, filtr I
chwilowa PSF
średnia PSF
średnia MTF
średni kwadrat
modułu MTF
średnia MTF
średni kwadrat
modułu MTF
Gwiazda BS1230, filtr I
chwilowa PSF
średnia PSF
Gwiazda BS1230 to wizualnie podwójna.
Ze średniego kwadratu modułu MTF wyznaczyć moŜna:
separację składników, kąt pozycyjny (modulo 180°) i stosunek blasku.
94
Obrazowanie przy pomocy interferometrii plamkowej (Speckle Imaging)
Gwiazda wizualnie podwójna BS1310 (ρ=0.79”), filtr I, texp=0.04 sec
1.0 arcsec
Rekonstrukcja metodą Fienupa.
BS 1230
1.0 arcsec
Rekonstrukcja z cross-spectrum.
BS 6983
• wyniki z
Krakowa
Wyznaczenie orbit w układach wizualnie podwójnych przy pomocy interferometrii plamkowej.
95
...inny przykład z zastosowaniem duŜego (nie tylko w
porównaniu do r0) teleskopu.
Tytan (księŜyc Saturna), mapa albedo
dla 2 µm, teleskop Keck I, obrazowanie
plamkowe
... i widziany przez sondę Cassini
96
... i z naszego podwórka
Fragment pierścienia Saturna, filtr I, texp=0.06 sec
Obraz uzyskany
metodą ”shift&add”.
Rekonstrukcja z „cross-spectrum”.
Dla porównania:
Obserwatorium Pick du Midi,
obraz po dekonwolucji.
97
... i z naszego podwórka
Fragment pierścienia Saturna, filtr I, texp=0.06 sec
Obraz uzyskany
metodą ”shift&add”.
Rekonstrukcja z „cross-spectrum”.
Dla porównania:
Obserwatorium Pick du Midi,
obraz po dekonwolucji.
98