Zadania i rozwiązania etapu I

X Wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów
rok szkolny 2014/2015
Etap I – szkolny
Matematyka to „sztuka poprawnego rozumowania”.
Odpowiedź do każdego zadania należy uzasadnić, nie wystarczy odpowiedzieć tak lub nie.
Zadanie 1
W ciągu ostatniego tygodnia waga małej foczki wzrosła o 4%, a słoniątka o 4 kg. Skutkiem tego
średnia waga obu zwierząt wzrosła o 3 kg, czyli o 2%. Ile waży obecnie słoniątko?
Zadanie 2
Ustaw w kolejności malejącej liczby: 342 ; 435 ; 528 ; 621 ; 714
Zadanie 3
Liczbę 485 można zapisać w siódemkowym systemie pozycyjnym jako 1262(7)
według następującej zasady:
485(10) = 1262(7) = 1 . 73 + 2 . 72 + 6 . 71 + 2 . 70
Podaj wartość poniższej sumy w trójkowym systemie pozycyjnym
112410(5) + 2131(4).
Zadanie 4
Dwa okręgi o promieniach 5 cm i 12 cm są wewnętrznie styczne. Prosta przechodząca przez
punkt styczności wyznacza w każdym z okręgów cięciwę. Jedna z tych cięciw ma długość 8 cm.
Jaką długość ma druga cięciwa?
Zadanie 5
W trójkącie prostokątnym ABC na przedłużeniu przeciwprostokątnej AB odłożono odcinki
AD = AC i BE = BC. Uzasadnij, że kąt DCE ma 1350.
Zadanie 6.
Trapez prostokątny ma pole równe 96 cm2. Krótsza przekątna dzieli go na dwa trójkąty
równoramienne. Jaką długość ma dłuższa przekątna?
Powodzenia !
Przykładowe rozwiązania
Zadanie 1.
W ciągu ostatniego tygodnia waga małej foczki wzrosła o 4%, a słoniątka o 4 kg. Skutkiem tego
średnia waga obu zwierząt wzrosła o 3 kg, czyli o 2%. Ile waży obecnie słoniątko?
Rozwiązanie:
x - waga foczki, y - waga słoniątka
Średnia waga zwierząt wzrosła o 3 kilogramy, zatem waga obu zwierząt wzrosła o 6 kilogramów.
6 – 4 = 2 Foczka przybrała na wadze 2 kilogramy.
4% . x = 2  x = 50 Foczka ważyła 50 kilogramów.
2%
x
y
3
2
2
(50
100
y 250
y)
6
y + 4 = 254
Odpowiedź: Słoniątko obecnie wazy 254 kilogramów.
Zadanie 2
Ustaw w kolejności malejącej liczby: 342 ; 435 ; 528 ; 621 ; 714
Rozwiązanie:
342 = (36)7 = 7297
435 = (45)7 = 10247
528 = (54)7 = 6257
621 = (63)7 = 2167
714 = (72)7 = 497
36 = 33 . 33 = 27 . 27 = 729
45 = 42 . 43 = 16 . 64 = 1024
Odpowiedź: 435 ; 342 ; 528 ; 621 ; 714.
Zadanie 3
Liczbę 485 można zapisać w siódemkowym systemie pozycyjnym jako 1262(7)
według następującej zasady: 485(10) = 1262(7) = 1 . 73 + 2 . 72 + 6 . 71 + 2 . 70
Podaj wartość poniższej sumy w trójkowym systemie pozycyjnym
112410(5) + 2131(4).
Rozwiązanie:
112410(5) = 1 . 55 + 1 . 54 + 2 . 53 + 4 . 52 + 1 . 51 + 0 . 50 = 3125 + 625 + 250 + 100 + 5 + 0 = 4 105
2131(4) = 2 . 43 + 1 . 42 + 3 . 41 + 1 . 40 = 128 + 16 + 12 + 1 = 157
4 105 + 157 = 4 262
4262 : 3 = 1420 reszta = 2
1420 : 3 = 473 reszta = 1
473 : 3 = 157 reszta = 2
157 : 3 = 52 reszta = 1
52 : 3 = 17 reszta = 1
17 : 3 = 5 reszta = 2
5 : 3 = 1 reszta = 2
1 : 3 = 0 reszta = 1
12211212(3) = 1 . 37 + 2 . 36 + 2 . 35 + 1 . 34 + 1 . 33 + 2 . 32 + 1 . 31 + 2 . 30
Odpowiedź: 112410(5) + 2131(4) = 12211212(3).
Zadanie 4
Dwa okręgi o promieniach 5 cm i 12 cm są wewnętrznie styczne. Prosta przechodząca przez
punkt styczności wyznacza w każdym z okręgów cięciwę. Jedna z tych cięciw ma długość 8 cm.
Jaką długość ma druga cięciwa?
Rozwiązanie:
Trójkąty ABC i AEF są równoramienne
i podobne, bo mają równe kąty.
Z podobieństwa trójkątów otrzymujemy
proporcję
x = AE – długość drugiej cięciwy, AB = 8
5
8
12
a stąd x = 19,2
x
drugi przypadek:
x = AB - długość drugiej cięciwy, AE=8
5
x
12
a stąd x
8
Odpowiedź: Dłuższa cięciwa ma długość 19,2 cm lub 3,(3) cm.
3
1
3
Zadanie 5
W trójkącie prostokątnym ABC na przedłużeniu przeciwprostokątnej AB odłożono odcinki
AD = AC i BE = BC. Uzasadnij, że kąt DCE ma 1350.
Rozwiązanie:
i
- kąty ostre trójkąta prostokątnego
900
Trójkąty DAC i CBE są równoramienne, stąd
1800
(1800
2
DCA 900
Odpowiedź:.
2
)
2
2
900
1800
i
2
900
(1800
2
450
)
2
1350
DCA 1350
Zadanie 6.
Trapez prostokątny ma pole równe 96 cm2. Krótsza przekątna dzieli go na dwa trójkąty
równoramienne. Jaką długość ma dłuższa przekątna?
Rozwiązanie:
Oba trójkąty, na które krótsza przekątna BD podzieliła trapez
są równoramienne. W trójkącie BCD wysokość a podzieliła
podstawę na dwie części równe a, zatem trójkąt BCD jest
prostokątny.
1
2
Pole trapezu jest równe 1 a 2
1
1 a2
2
a 8
96
Dłuższą przekątną trapezu p obliczamy z twierdzenia Pitagorasa
p2 = 82 + 162
p 8 5
Odpowiedź: Dłuższa przekątna ma długość p
8 5.