Teoria Gier

Program przedmiotu Teoria Gier
30 godzin wykªadów
30 godzin ¢wicze«
Wymagania: analiza matematyczna, algebra liniowa, rachunek prawdopodobie«stwa.
W1. Gry bezkoalicyjne.
1) Model gry bezkoalicyjnej. Denicje strategi, sytuacji i funckji wypªat.
2) Gra w orªa i reszk¦. Gra w losowanie liczby ze zbioru {1, 2, 3, 4},
drzewo dla tej gry.
3) Denicja sytuacji dopuszczalnej i sytuacji równowagi. Wyznaczy¢
sytuacje dla gry w orªa i reszk¦.
W2. Gry bezkoalicyjne.
1) Rozwi¡zanie gry. Relacja strategicznej równowa»no±ci gier (dowód,
»e jest to relacja równowa»no±ci).
2) Denicja gry o sumie staªej. Dowód faktu, »e ka»da gra o sumie staªej
jest strategicznie równowa»na grze o sumie zerowej.
3) Dowód twierdzenia o równo±ci zbioru sytuacji równowagi dla gier
strategicznie równowa»nych.
W3,W4. Punkty siodªowe.
1. Denicja kresu dolnego i górnego zbioru. Dowód nierówno±ci
sup inf f (x, y) ≤ inf sup f (x, y).
x∈X y∈Y
2)
3)
4)
5)
y∈Y x∈X
Przykªad, »e nierówno±¢ w drug¡ stron¦ jest nieprawdziwa.
Denicje gry antagonistycznej i pnuktu siodªowego dla tej gry. Twierdzenie z dowodem o równo±ci minimaksowej.
Dowód wªasno±ci prostok¡ta dla punktów siodªowych i wnioski z tej
wªasno±ci.
Denicja gry macierzowej. Denicja punkty siodªowego dla tej gry.
Rozszerzenie mieszane gry macierzowej. Lemat z dowodem o przej±ciu do strategii mieszanych. Wnioski z tego lematu.
Dowód warunku równowa»nego na punkt siodªowy. Lemat z dowodem o osi¡ganiu zewn¦trznych i wewn¦trznych ekstremów.
W5,W6. Twierdzenia "minimaksowe".
1
12) Denicja normy. Lemat z dowodem o hiperpªaszczy¹nie oporowej.
13) Twierdzenie o alternatywie (dla macierzy), z dowodem.
14) Twierdzenie o minimaksie z dowodem.
W7. Warto±¢ gry i strategie optymalne.
15) Denicja strategii optymalnych i warto±ci gry macierzowej. Wªasno±ci warto±ci gier (zwi¡zek pomi¦dzy punktami siodªowymi w strategiach czystych i mieszanych).
16) Poj¦cie sto»ka. Lemat Farkasa z dowodem.
17) Twierdzenie, z dowodem, o alternatywie dla gier. Wnioski z tego
twierdzenia. Zasada równowa»no±ci.
18) Wªasno±ci warto±ci gier i strategii optymalnych, z dowodem.
19) Dominacja w strategiach mieszanych. Twierdzenie z dowodem, mówi¡co
o tym, »e strategia dominuj¡ca nad optymaln¡ jest optymalna. Twierdzenie z dowodem, mówi¡co o tym, »e startegia silnie zdominowana nie
mo»e by¢ optymalna.
20) Twierdzenie z dowodem o dominacji nad strategi¡ czyst¡. Wniosek z
tego twierdzenia.
21) Charakteryzacja zbioru strategii optymalnych. Gry przek¡tniowe i
ich wªasno±ci z dowodami.
22) Gry symetryczne i ich wªasno±ci z dowodami. Rozwi¡za¢ gr¦ w
parzsyt¦ i nieparzyst¦ tzn. gr¦ o macierzy
23) Rozwi¡zanie gry o macierzy 2 × 2. Gra Mendelsona.
25) Rozwi¡zanie gry o macierzy 2 × n i m × 2 (mo»e by¢ na przykªadzie).
W8,W9,W10. Programowanie liniowe.
26) Problem prymalny a dualny. Pokaza¢, »e dualny do dualnego to prymalny. Zwi¡zek programowania liniowego z teori¡ gier. Nierówno±¢
(dowód) xcT ≤ ybT . Wnioski z tej nierówno±ci.
27) Kiedy program liniowy nie ma rozwi¡zania?. Twierdzenia z dowodami
dotycz¡ce tego problemu.
28) Twierdzenie o warto±ci prymalnego i dualnego. Dowód równo±ci
xcT = ybT .
29) Charakteryzacja wektórów optymalnych. Algorytm sympleks dla
gier. Poprawno±¢ tego algorytmu z dowodem.
W10,W11,W12. Gry bezkoalicyjne. Twierdzenia Johna Nasha.
30) Model gry bezkoalicyjnej. Denicja startegii, sytauacji, strategii
mieszanych, sytuacji mieszanych. Rozszerzenie funkcji wypªat na
zbiór sytuacji mieszanych.
Denicje H δ||s0j , H (δ||δi ).
31) Twierdzenie z dowodem o istnieniu strategii czystej aktywnej. Sytuacja równowagi, warunek równowa»ny na sytuacje równowagi.
2
32) Twierdzenie z dowodem o istnieniu sytuacji w równowadze. Zasada
równowa»no±ci z dowodem.
33) Gry dwumacierzowe, sytuacje w równowadze w tych grach. Poziomy
bezpiecze«stwa i strategie minimaksowe w grach dwumacierzowych.
3
W12,W13,W14,W15. Gry koalicyjne. Funkcja arbitra»owa Johna Nasha.
34) Koalicyjno±¢ w grach. Omówi¢ na przykªadzie Walki Pªci oraz Dylematu
Wi¦znia. Omówi¢ aksjomaty Nasha i wªasno±ci zbioru S . Funkcja
Nasha.
35) Lemat o maksymalizacji funkcji z dowodem.
36) Lemat z dowodem o poªo»eniu zbioru S .
37) Twierdzenie Nasha z dowodem, bez lematów. Jedyno±¢ funkcji Nasha.
38) Wyznaczy¢ punkty arbitra»owe dla trójk¡ta o wierzchoªkach w punktach (0, 0), (0, 1), (3, 0) i elipsy (x − 2)2 + 4(y − 1)2 ≤ 8.
40) Gry antagonistyczne niesko«czone. Przykªad gry bez punktów siodªowych
z dowodem.
Literatura
[1] Thomas Ferguson, Game
[2] G.Owen
Theory, Cambridge Press (2002).
Teoria Gier, PWN (1982).
4