Przykładowe zadania z matematyki

MATURA 2015
Matematyka | Poziom rozszerzony
Przykładowe zadania
z matematyki
przygotowujące do NOWEGO egzaminu maturalnego
na poziomie rozszerzonym
WYPEŁNIA UCZEŃ
Kod ucznia
Sprawdzian z matematyki na zakończenie nauki w drugiej klasie
szkoły ponadgimnazjalnej. Poziom rozszerzony
Informacje dla ucznia
1.Sprawdź, czy sprawdzian ma 9 stron. Ewentualny brak stron lub inne usterki zgłoś
nauczycielowi.
2.Na tej stronie i na karcie odpowiedzi wpisz swój kod.
3.Rozwiązania zadań zapisz długopisem lub piórem. Nie używaj korektora.
4.W zadaniach, w których są podane cztery odpowiedzi: A, B, C, D, wybierz tylko jedną
i zamaluj na karcie odpowiedzi kratkę z odpowiadającą jej literą, np. gdy wybierzesz
odpowiedź „A”:
A B C D
5.Staraj się nie popełnić błędów przy zaznaczaniu odpowiedzi, ale jeśli się pomylisz,
Ai zamaluj
B Cinną D
błędne zaznaczenie otocz kółkiem
odpowiedź, np.:
A B C D
A B C D
6.Odpowiedzi do zadań z kodowanym wynikiem zakoduj na karcie odpowiedzi.
7. Rozwiązania zadań, w których należy samodzielnie sformułować odpowiedź,
zapisz czytelnie i starannie w wyznaczonych miejscach. Pomyłki przekreśl.
8.Za rozwiązanie wszystkich zadań można uzyskać 45 punktów.
9.Na rozwiązanie wszystkich zadań masz 90 minut.
Powodzenia!
wsip.pl/nowa-matura
1
MATURA 2015
Matematyka | Poziom rozszerzony
ZADANIA ZAMKNIĘTE
W zadaniach od 1. do 12. wybierz jedną poprawną odpowiedź i zaznacz ją na karcie odpowiedzi.
Zadanie 1.
Liczby –2, –1, 1 są miejscami zerowymi wielomianu
A. W(x) = x3 – 2x2 – x + 2
B. W(x) = x3 – 2x2 – x – 2
C. W(x) = x3 – 2x2 + x + 2
D. W(x) = x3 + 2x2 – x – 2
Zadanie 2.
–
(
)
3
2√5 . n jest ciągiem
Ciąg (an) = – –
3
A. arytmetycznym rosnącym.
B. arytmetycznym malejącym.
C. geometrycznym rosnącym.
D. geometrycznym malejącym.
Zadanie 3.
x2–––
–4
Dziedziną wyrażenia –––
jest zbiór
(x + 2)(x + 1)(x – 3)
A. R \ {–3, 1, 2}
B. R \ {–2, –1, 3}
C. R \ {–2, 2}
D. R \ {–2, –1, 2, 3}
Zadanie 4.
–
–
√5 ,... . Wzór ogólny tego ciągu ma postać
Dany jest ciąg geometryczny –5, √5 , –1, –
5
(
–
)
√5
A. an = –5. – –
5
n
–
–
3–n
B. an = –(–√5 )
n+1
C. an = –(–√5 )
–
3–n
D. an = (–√5 )
Zadanie 5.
x
Do wykresu funkcji opisanej wzorem f(x) = 3 nie należy punkt o współrzędnych
A. (2, 4)
B. (1, 3)
(
)
1 –
C. – , √3
2
D. (0, 1)
wsip.pl/nowa-matura 2
MATURA 2015
Matematyka | Poziom rozszerzony
Zadanie 6.
Miary kątów wewnętrznych trójkąta przedstawionego
na rysunku obok są równe
A.
B.
C.
D.
75º
40°, 65°, 75°
40°, 60°, 80°
35°, 65°, 80°
30°, 70°, 80°
S
40º
Zadanie 7.
Prostą prostopadłą do prostej o równaniu 5x – y + 4 = 0 opisuje równanie
A. –5x + y = 0
B. –5x – y = 0
1
C. – – x + y = 0
5
1
D. – – x – y = 0
5
Zadanie 8.
Okrąg o równaniu (x – 8)2 + (y + 5)2 = 4 ma środek w punkcie o współrzędnych
A. (8, 5)
B. (8, –5)
C. (–8, 5)
D. (–8, –5)
Zadanie 9.
y
Krzywa przedstawiona na rysunku jest wykresem funkcji f.
Wykres funkcji f przesunięty o wektor [–1, 0] opisuje wzór
4
3
–0,5
A. y = –
x–2
–2
B. y = –
x+2
0,5
C. y = – – 1
x
2
D. y = –
x+1
–1
2
1
0 1 2
3 4
x
–1
Zadanie 10.
Wykres funkcji opisanej wzorem y = x3 w wyniku przesunięcia o wektor u→ = [–1, 2] ilustruje funkcję
opisaną wzorem
A. y = (x – 1)3 + 2
B. y = (x – 1)3 – 2
C. y = (x + 1)3 + 2
D. y = (x + 1)3 – 2
wsip.pl/nowa-matura 3
MATURA 2015
Matematyka | Poziom rozszerzony
Zadanie 11.
Przygotowano 96 pytań konkursowych dla kilkunastu osób, dla każdego po tyle samo pytań.
Do konkursu zgłosiło się o 3 uczestników mniej niż przewidywano. W związku z tym każdemu
uczestnikowi zadano o 2 pytania więcej i pozostało jeszcze 6 pytań. Przyjmując, że x to planowana
liczba uczestników konkursu, warunki zadania opisuje równanie
6
96
96
A. – – 2 – – = –
x
x–3
x
96
96
6
B. – = – + 2 + –
x
x–3
x–3
96
90
C. – = – – 2
x
x–3
96
96
D. – = – + 2
x
x–3
Zadanie 12.
2
x–2
Wyrażenie – – – jest równe wyrażeniu
x–3
x+1
2
–x
+–––
3x – 4
–
–
–
A. –
(x + 1)(x – 3)
2
–x
+–––
3x – 8
–
–
–
B. –
(x + 1)(x – 3)
2
–x
+–––
7x – 4
–
–
–
C. –
(x + 1)(x – 3)
2
–x
+–––
7x – 8
–
–
–
D. –
(x + 1)(x – 3)
BRUDNOPIS
wsip.pl/nowa-matura 4
MATURA 2015
Matematyka | Poziom rozszerzony
ZADANIA Z KODOWANĄ ODPOWIEDZIĄ
W zadaniach od 13. do 17. zakoduj na karcie odpowiedzi wyniki obliczeń.
Zadanie 13.
Na rysunku obok przedstawiono wymiary trójkąta ABC.
Odcinek CD jest wysokością trójkąta ABC. Długość
–
odcinka AD jest równa 3√3 cm. Ile cm2 jest równe pole
–
trójkąta ABC? (Przyjmij: √3 =1,73).
C
A
–
2√ 21 cm
30º
–
D
3√ 3 cm
B
Zakoduj cyfrę dziesiątek, cyfrę jedności i pierwszą
cyfrę po przecinku rozwinięcia dziesiętnego
otrzymanego wyniku.
Zadanie 14.
3 , –2 –
1 . Ile jest równy trzydziesty trzeci wyraz tego ciągu?
Dany jest ciąg arytmetyczny –7, –4 –
4
2
Zakoduj cyfrę dziesiątek, cyfrę jedności i pierwszą cyfrę po przecinku rozwinięcia dziesiętnego
otrzymanego wyniku.
Zadanie 15.
Trójkąt ABC o polu 9 cm2 przekształcono w jednokładności o skali k = –3. Ile cm2 jest równe pole
obrazu tego trójkąta?
Zakoduj cyfrę setek, cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności otrzymanego wyniku.
Zadanie 16.
Pan Adam założył w banku lokatę z opcją dopisywania odsetek po każdym kwartale oszczędzania
oprocentowaną 6% w stosunku rocznym. Wpłacił na nią 3000 zł. Przez 2 lata nie wpłacał, ani nie
wypłacał z tej lokaty żadnych pieniędzy. O ile wzrosły jego oszczędności po 2 latach?
Zakoduj cyfrę setek, cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności otrzymanego wyniku.
Zadanie 17.
–
Kąt rozwarty trapezu prostokątnego o krótszej podstawie długości 2√3 i wysokości 3 ma miarę 150°.
–
Ile jest równy obwód tego trapezu? (Przyjmij: √3 =1,73).
Zakoduj cyfrę dziesiątek, cyfrę jedności i pierwszą cyfrę po przecinku rozwinięcia dziesiętnego
otrzymanego wyniku.
wsip.pl/nowa-matura 5
Matematyka | Poziom rozszerzony
MATURA 2015
ZADANIA OTWARTE
Zadania od 18. do 23. rozwiąż w wyznaczonych miejscach.
Zadanie 18.
Dany jest ciąg arytmetyczny (an), w którym sumę n początkowych wyrazów opisuje wzór
Sn = 2,25n – 0,15n2. Zapisz wzór ogólny tego ciągu.
Zadanie 19.
Wykaż, że nie istnieje wartość parametru m, dla którego funkcja opisana wzorem
f(x) = (m3 – m2 – 9m + 9)x2 + (15 – m2)x – 2m + 1 jest funkcją liniową malejącą.
wsip.pl/nowa-matura 6
Matematyka | Poziom rozszerzony
MATURA 2015
Zadanie 20.
2
2m
+ 5m
–
–
–
–––
Wyznacz taką wartość parametru m, aby wykresy funkcji opisane wzorami f(x) = –
(x ≠ 1)
x
–
1
1
2
oraz g(x) = x + – m – 2 przecinały oś Oy w tym samym punkcie.
3
Zadanie 21.
Dane są okręgi o1: (x + 1)2 + (y + 2)2 = 25 oraz o2: (x – 2)2 + (y – 7)2 = 25. Oblicz pole rombu,
którego wierzchołkami są środki tych okręgów oraz ich punkty wspólne.
wsip.pl/nowa-matura 7
Matematyka | Poziom rozszerzony
MATURA 2015
Zadanie 22.
Reszta z dzielenia wielomianu W(x) = x3 + (6 – a)x2 – 3ax + 5 – 3a przez dwumian x – 1 jest równa 5.
a) Oblicz wartość parametru a.
b) Rozwiąż nierówność W(x) ≥ 3x + 2.
Zadanie 23.
xI dla x ∈ –2π; 2π \{0}.
Rozwiąż graficznie równanie: – sin x = I–
x
wsip.pl/nowa-matura 8
MATURA 2015
Matematyka | Poziom rozszerzony
KARTA ODPOWIEDZI
WYPEŁNIA UCZEŃ
WYPEŁNIA NAUCZYCIEL
Kod ucznia
Numer
zadania
Numer
zadania
Odpowiedzi
1
A
B
C
D
18
2
A
B
C
D
19
3
A
B
C
D
4
A
B
C
D
5
A
B
C
D
Liczba punktów
0
1
2
3
4
5
20
21
22
23
6
A
B
C
D
7
A
B
C
D
8
A
B
C
D
9
A
B
C
D
10
A
B
C
D
11
A
B
C
D
12
A
B
C
D
Numer
zadania
SUMA PUNKTÓW:
Cyfry kodowanego
wyniku
13
14
15
16
17
wsip.pl/nowa-matura 9