54. Satelita o masie 50 kg okrąża planetę w 6 h. Planeta przyciąga

WM-E; kier. MBM, lista zad. nr 9 pt. (z karty przedmiotu): Analiza ilościowa i jakościowa wybranych
zagadnień fizyki pola grawitacyjnego dotyczących: a) wyznaczania wartości siły grawitacyjnej, natężenia,
potencjału, energii potencjalnej; b) ruchu ciał w polu grawitacyjnym z wykorzystaniem zasad zachowania (energii,
orbitalnego momentu pędu) i praw Keplera; pod koniec listy zadania do samodzielnego rozwiązania. Przypomnienie: Studentka/student jest zobligowana/y do założenia i przynoszenia na zajęcia portfolio, w którym powinny
znaleźć się: wydrukowane tabele wzorów fizycznych i matematycznych, notatki z wykładów, wszystkie listy zadań
itp. Lista ma na celu zdobycie przez studentów wiedzy matematyczno-fizycznej oraz nabycie umiejętności
rozwiązywania zadań dotyczących pola grawitacyjnego z wykorzystaniem dotychczas zdobytych kompetencji.
Brakujące a potrzebne dane należy samodzielnie znaleźć w tablicach fizycznych lub podręczniku RHW: Masa
Ziemi 6·1024 kg, odległość Ziemia-Księżyc 3,8·108m, stała grawitacji G=6,67ˑ10-11 m3/(kgˑs2) w przybliżeniu
7·10-11m3/kg·s2, odległość Ziemia-Słońce 1,5·1011m, masa Słońca 2·1030 kg, masa Księżyca 7,4·1022 kg.
54. Satelita o masie 50 kg okrąża planetę w 6 h. Planeta przyciąga satelitę siłą 80 N. Ile wynosi promień
orbity a ile masa planety?
55. A) Trzy identyczne kulki o masach m znajdują się w wierzchołkach trójkąta równobocznego o boku
a. Wyznacz natężenie i potencjał pola grawitacyjnego w środku jednego z jego boków. B) Trzy
identyczne kulki o masach m znajdują się w wierzchołkach trójkąta równobocznego o boku a. Jaką pracę
wykonają siły oddziaływań grawitacyjnych, a jaką siła zewnętrza przy przesunięciu jednej z kulek do
nieskończoności (bez zmiany energii kinetycznej)?
56. Korzystając ze stosownych danych wyznacz na prostej łączącej środki Ziemi i Księżyca punkt(y), w
którym(ch) wartość zerową przyjmuje natężenie i potencjał wypadkowego pola grawitacyjnego.
57. A) Energia mechaniczna planety A o masie m na orbicie eliptycznej o nieznanej półosi wielkiej a
wokół gwiazdy o masie M >> m wyraża się wzorem Em = –GMm/(2a). Znając m, M, czas T obiegu A
wokół gwiazdy, wyznacz Em. B) Tzw. efektywna energia potencjalna (EEP) planety2 o momencie pędu L
mM S
L
poruszającej się w polu grawitacyjnym Słońca określa wzór U (r ) = −G
+
, gdzie r oznacza
r
2mr 2
40
2
odległość planety od Słońca; dla Ziemi L=2,7 ˑ10 kgˑm /s. Czy EEF ma minimum?2 Pochodna EEP podU (r )
mM
L
zwala obliczyć siłę grawitacji działającą na planetę: F (r ) = −
= −G 2 S +
. Wyznacz wartość
dr
r
mr 3
r0 dla której F (r0 ) = 0 i porównaj wynik z odległością Ziemia-Słońca podawaną w tablicach fizycznych.
58. Okres obrotu Słońca wokół własnej osi wynosi 27 dób. Po spaleniu paliwa jądrowego (5·109 lat)
Słońce zacznie początkowo pęcznieć (do rozmiaru promienia orbity ziemskiej 1,5·1011 m), następnie
zacznie kurczyć się pod wpływem grawitacji. Oszacować promień Słońca, przy którym zacznie się ono
rozpadać, jeśli jej obecny promień wynosi 7·108 m.
59. Z powierzchni planety o masie M i promieniu R wystrzelono pionowo do góry pocisk z prędkością
(GM/R)1/2. Na jaką wysokość wzniesie się pocisk?
60. Największa odległość komety Halleya od Słońca to L = 35,4 RZS (RZS = 1,5·1011 m − średnia
odległość Ziemi i Słońca), a najmniejsza l = 0,59 RZS. Prędkość liniowa ruchu komety w odległości L jest
równa 910 m/s. Ile wynosi prędkość komety i jej energia mechaniczna, gdy jest najbliżej Słońca?
61. Wykorzystując prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego wyznacz natężenia pola grawitacyjnego,
którego źródłem jest jednorodna kula o masie M i promieniu R , w punktach odległych od środka kuli r >
R, r < R i r = R.
62. Dwa ciała o masach m i M znajdują się w spoczynku nieskończenie daleko od siebie. Następnie
zbliżają się do siebie wzdłuż jednej prostej pod wpływem siły grawitacji. Pokazać, że ich wzajemna
prędkość zbliżania się w chwili, gdy dzieli je odległość d, jest równa (2g(M+m)/d)1/2. Wskazówka: Proszę
zastosować zasady zachowania energii i pędu.
W. Salejda
Wrocław, 25 XI 2015
1
Siłownia umysłowa. Zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania
W obliczeniach przyjąć g = 10 m/s2.
1. Układ podwójny tworzą gwiazdy o masach 3·1030 kg każda, które krążą wokół wspólnego środka
masy po orbitach o promieniach 1011 m. Wyznacz ich prędkości kątowe i liniowe.
2. Ciała o masach m i M znajdujące się w spoczynku, gdy dzieli je ogromna odległość, zaczynają spadać
na siebie wzdłuż prostej pod wpływem wzajemnej grawitacji. Wyznacz prędkości mas, gdy dzieli je
odległość d.
3. Dwie identyczne kulki znajdują się na tej samej wysokości. Jedna z nich leży na płaskim poziomym,
nieprzewodzącym ciepła stole, a druga wisi na nieprzewodzącej nici. Obu kulkom dostarczmy tej samej
ilości ciepła Q. Która z kul będzie miała wyższą temperaturę?
4. Trzy identyczne kulki o masach m znajdują się w wierzchołkach trójkąta równobocznego o boku
a. Wyznacz natężenie i potencjał pola grawitacyjnego w środku trójkąta.
5. Ziemia o masie 6·1024 kg porusza się po elipsie wokół Słońca o masie 2·1030 kg. Jej najmniejsza
i największa odległość od Słońca wynoszą odpowiednio 1,49·1011 m i 1,51·1011 m. Wyznacz wartości
prędkości Ziemi w tych punktach. Oszacuj całkowitą energię mechaniczną Ziemi w polu grawitacyjnym
Słońca zakładając, że średnia odległość dzielące te obiekty wynosi 1,50·1011 m.
6. Z powierzchni Ziemi wyrzucono ciało pionowo do góry z prędkością v0. Na jaką wysokość wzniesie
się to ciało? Jaką powinno mieć najmniejszą prędkość początkową, aby nie spadło nigdy na Ziemię?
7. Ziemia obiega wokół Słońca po elipsie. Wektor momentu pędu Ziemi nie zależy od czas. Dlaczego?
8. Oszacować prędkość ruchu Księżyca wokół Ziemi oraz Ziemi wokół Słońca zakładając, że orbity są
kołowe. Przyjąć: stałą grawitacji 7·10-11m3/kg·s2, masę Ziemi 6·1024 kg, odległość Ziemia-Księżyc
3,8·108m, odległość Ziemia-Słońce 1,5·1011m, masę Słońca 2·1030 kg.
9. Wyznaczyć odległość od środka Ziemi, prędkość kątową i liniową geostacjonarnego − tj.
poruszającego się w płaszczyźnie równikowej naszej planety − satelity. Przyjąć wartość stałe grawitacji
7·10-11 m3/kg·s2, promień Ziemi 6400 km, przyspieszenie ziemskie g = 10 m/s2.
10. Gwiazda neutronowa ma masę Słońca i promień 10 km. Ile: a) wynosi natężenie pola grawitacyjnego
na powierzchni tej gwiazdy, b) ile czasu zajmuje spadek swobodny z wysokości 1 m?
11. SOHO, to kosmiczna obserwatorium monitorujące non-stop Słońce (patrz Solar and Heliosferic
Observatory Homepage http://sohowww.nascom.nasa.gov/) umieszczone w punkcie, gdzie równoważą
się siły grawitacji Słońca i Ziemi. W jakiej odległości od Słońca orbituje SOHO?
12. Oszacować promienie RCz.D Ziemi, Słońca i kuli o masie 55 kg, przy których stałyby się czarnymi
dziurami? Ile ważyłoby ciało znajdujące się w odległości 2·RCz.D od takich obiektów?
13. Wyznacz prędkości ucieczki dla: a) Słońca, b) białego karła (jedna z gwiazd układu potrójnego
Syriusza) o masie Słońca i promieniu 107 m, c) gwiazdy neutronowej o masie Słońca i promieniu 104 m.
14. Obliczyć i porównać ze sobą siły oddziaływań grawitacyjnych: a) Ziemi i Księżyca; b) Słońca i
Księżyca; c) Ziemi i Słońca. Masy: MZ = 6·1024 kg, MK = 7,4·1022 kg, MS = 2·1030 kg; odległości: d Z−K =
3,8·108m, d Z−S = 1,5·1011m; stała grawitacji G = 6,67 · 10−11 m3/(s2kg).
15. Korzystając z twierdzenia Gaussa, wyznaczyć natężenie i potencjał pola grawitacyjnego: A)
Wewnątrz i na zewnątrz jednorodnej cienkiej sfery o masie M i promieniu R (rozwiązanie w notatkach do
wykładów); B) Powłoki sferycznej o masie M, promieniu zewnętrznym R i wewnętrznym r; C) Wyznacz
natężenie pola grawitacyjnego jednorodnej nieskończenie długiej struny o liniowej gęstości masy λ.
16. A) Zakładając, że orbita Ziemi jest okręgiem oblicz jej prędkość orbitalną. B) Wyznaczyć energię
mechaniczną Ziemi w polu grawit. Słońca. C) Obliczyć energię mech. Księżyca w polu grawit. Ziemi.
17. Pokazać, że sztuczny satelita okrąża kulistą planetę po orbicie kołowej nisko leżącej nad
powierzchnią planety w czasie T = [Gρ/(3π)]1/2, gdzie ρ — średnia gęstość masy planety.
2
18. Satelita znajduje się na kołowej orbicie okołoziemskiej. Jak zależy od promienia r orbity: A) Okres
obiegu; B) Energia kinetyczna satelity; C) Jego moment pędu i prędkość w ruchu po orbicie.
19. Pokazać, że przyspieszenie grawitacyjne aD na dnie wydrążonego w Ziemi pionowego szybu o
głębokości D wynosi aD = g(1 − D/RZ), gdzie R–promień Ziemi.
20. Maksymalna wysokość pierwszego sputnika Ziemi wynosiła 947 km. Jaką prędkość liniową musiał
mieć wtedy sputnik, jeśli dalszy jego ruch odbywał się po orbicie kołowej? Promień Ziemi RZ  6370km
21. Na linii prostej łączącej Ziemię i Księżyc znaleźć punkt o tej własności, że znajdujące się w nim
ciało jest przyciągane przez Księżyc i Ziemię z tą samą siłą. Odległość między Ziemią i Księżycem
przyjąć za równą 60 ziemskim promieniom, a masa Księżyca jest 81 razy mniejsza od masy Ziemi.
22. Wyznaczyć liczbę obrotów satelity dookoła Ziemi w ciągu doby, jeśli porusza się on po orbicie
kołowej o promieniu R = 7340 km.
23. Jaką prędkość poziomą względem powierzchni Ziemi należy nadać rakiecie lecącej w niewielkiej
odległości od tej powierzchni wzdłuż równika, aby po wyłączeniu silników rakieta nie spadając na
Ziemię zaczęła poruszać się po orbicie kołowej dookoła Ziemi (tzn. stała się jej sztucznym satelitą)? Nie
uwzględniać oporu atmosfery.
24. Wyznaczyć odległość od środka Ziemi do sztucznego satelity oraz wyznaczyć jego prędkość liniową,
jeżeli satelita ten porusza się w płaszczyźnie równika w kierunku obrotu Ziemi z taką prędkością, że jest
on nieruchomy względem Ziemi. Promień Ziemi RZ = 6370 km.
25. Średnica planetoidy równa jest d = 5km. Zakładając, że gęstość masy planetoidy wynosi
5,5⋅103 kg/m3, znaleźć przyspieszenie grawitacyjne g
p
na jej powierzchni i obliczyć, na jaką wysokość
podskoczył człowiek znajdujący się na jej powierzchni, jeżeli w wykonanie skoku włożył tyle samo
wysiłku ile potrzeba, aby podskoczyć na wysokość 0,5m na powierzchni Ziemi.
26. Wyznaczyć przyspieszenie ziemskie na wysokości h = 200 km nad powierzchnią Ziemi, przyjmując
przyspieszenie na powierzchni równe g0 = 9,81 m / s2 . Promień Ziemi RZ = 6370 km.
27. Wyznaczyć stosunek ciężarów ciała na równiku i biegunie planety, której promień jest równy R,
masa M a doba wynosi T.
W. Wożniak, W. Salejda
Wrocław, 25 XI 2015
3