Untitled - Mariola Szałapska

1
SPIS TREŚCI:
1.
2.
-
3.
-
4.
-
-
Wstęp..................................................................................................................................................3
Powiatowy Konkurs Matematyczny dla klas IV
Zadania przygotowawcze....................................................................................................................4
Etap szkolny........................................................................................................................................7
Etap powiatowy
a) Test...............................................................................................................................................8
b) Zadania otwarte...........................................................................................................................10
Rozwiązania zadań.......................................................................................................................11, 12
Powiatowy Konkurs Matematyczny dla klas V
Zadania przygotowawcze...................................................................................................................14
Etap szkolny.......................................................................................................................................18
Etap powiatowy
a) Test................................................................................... ................................................19
b) Zadania otwarte.................................................................................................................21
Rozwiązania zadań.......................................................................................................................22, 23
Powiatowy Konkurs Matematyczny dla klas VI
Zadania przygotowawcze...................................................................................................................25
Etap szkolny..................................... .................................................................................................28
Etap powiatowy
a) Test.............................................................................................................................................29
b) Zadania otwarte...........................................................................................................................31
Rozwiązania zadań.......................................................................................................................32, 33
2
WSTĘP
W roku szkolnym 2002/2003 na terenie powiatu kłodzkiego odbył się konkurs matematyczny dla uczniów
klas IV – VI szkół podstawowych. Celem tego konkursu było:
- rozwijanie zainteresowań i uzdolnień uczniów,
- doskonalenie umiejętności matematycznych młodzieŜy,
- upowszechnianie wiedzy matematycznej w szkołach,
promowanie szkół osiągających wyróŜniające wyniki nauczania matematyki.
Konkurs składał się z trzech etapów :
etap I
Uczeń, konsultując z nauczycielem uczącym, rozwiązywał zadania przygotowawcze
opracowane przez komisję Powiatowego Konkursu Matematycznego.
etap II – szkolny; Przeprowadziły go Szkolne Komisje Konkursowe w dniu 6 marca 2003 roku.
1. Uczniowie rozwiązywali przez 90 minut 5 zadań otwartych pod nadzorem Szkolnej Komisji
Konkursowej.
2. Prace były kodowane i nie wolno było korzystać z kalkulatorów.
3. Przyznawano po 6 punktów za kaŜde zadanie.
4. Po dokonaniu oceny Szkolne Komisje Konkursowe przesyłały protokoły i prace zgłoszonych
uczniów do Powiatowego Centrum Doskonalenia Kadr. W protokołach znalazły się nazwiska
uczestników, którzy uzyskali ponad 60% punktów, a w przypadku braku takich osób zamieszczono
nazwiska autorów dwóch najlepszych prac.
5. Po zebraniu sprawozdań komisja Powiatowego Konkursu Matematycznego ustaliła listę finalistów
i przesłała ją do szkół.
etap III – powiatowy
Etap powiatowy przeprowadziła komisja Powiatowego Konkursu Matematycznego w następujących
miejscach i terminach:
Klasy IV – Zespół Szkół Integracyjnych w Kłodzku
- 5.04.2003r.
Klasy V – Szkoła Podstawowa nr 2 w Polanicy Zdroju
- 26.04.2003r.
Klasy VI – Szkoła Podstawowa nr 1 w Kłodzku
- 12.04.2003r.
Etap powiatowy składał się z dwóch części:
I cz.
Test wyboru
30 minut (45 minut dla klas V)
II cz.
5 zadań otwartych
90 minut
Ogółem w konkursie udział wzięło 941 uczniów z 43 szkół naszego powiatu, w tym:
W klasach czwartych
W klasach piątych
W klasach szóstych
Etap szkolny
325
312
304
Etap powiatowy
75
45
99
Laureatami Powiatowego Konkursu Matematycznego zostali uczniowie, którzy w finale uzyskali co najmniej
80% maksymalnej liczby punktów. Ponadto Komisja wyróŜniła tych finalistów, którzy pod względem zdobytej
ilości punktów uklasowali się w pierwszej dziesiątce.
Uroczyste rozdanie nagród odbyło się 18 maja 2003r. w Szkole Podstawowej Nr 2 w Polanicy Zdroju.
Komisja mogła nagrodzić laureatów i wyróŜnionych dzięki sponsorom do których naleŜeli:
• Wydawnictwo Edukacyjne RES POLONA z Łodzi ( Matematyka „Krok po kroku”) – główny sponsor,
• Oficyna Wydawniczo – Poligraficzna „Adam” („MoŜesz zostać Pitagorasem”),
• Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne z Warszawy („Matematyka wokół nas”, „Matematyka 2001”),
• Wydawnictwo BTiW MENTOR z Chorzowa,
• Wydawnictwo NOWIK z Opola,
• Kłodzkie Towarzystwo Oświatowe,
• Powiatowe Centrum Doskonalenia Kadr w Kłodzku.
Organizatorzy:
Drozd Janina
SP 1 w Kłodzku
Dudek BoŜena
PCDK w Kłodzku
Haracari Anna
Gimnazjum Nr 1 w Kłodzku
Hołyńska Krystyna
nauczyciel emerytowany
Sowińska Jadwiga
ZSI w Kłodzku
Szałapska Mariola
SP2 w Polanicy Zdroju
3
POWIATOWY KONKURS MATEMATYCZNY DLA KLAS IV
Zadania przygotowawcze
Uczniowie klas IV wyjeŜdŜają na wycieczkę do Warszawy
PRZYGOTOWANIA DO WYCIECZKI
1.
2.
3.
4.
5.
Wynajem autokarów
Autokar 40-osobowy – 500zł/doba
Autokar 53-osobowy – 600zł/doba
Bus 15-osobowy – 230zł/doba
Na czterodniową wycieczkę do Warszawy wyjeŜdŜa 45 osób: 40 dzieci, 3 nauczycieli i 2 rodziców.
Jakie zamówienie naleŜy złoŜyć w firmie wynajmującej autokary, aby koszt był najniŜszy?
Paczka ciastek „Wacki” waŜy 25dag i kosztuje 2zł. Ile kilogramów ciastek kupili organizatorzy
wycieczki za 32zł?
W 40-osobowej grupie dzieci wyjeŜdŜających na wycieczkę chłopców jest 3 razy więcej niŜ
dziewczynek. Ilu chłopców i ile dziewczynek wyjeŜdŜa na wycieczkę?
Zosia obliczyła, Ŝe jeśli na podróŜ kupi dwa pączki i karton soku, to zostanie jej 3zł. Kupiła sok, jaki
zamierzała, ale zamiast pączków kupiła dwa ciastka, kaŜde o 20 groszy tańsze niŜ pączek. Ile pieniędzy
zostało Zosi?
Ania i Basia mają razem 60zł. Ania ma o 12zł więcej niŜ Basia. Ile pieniędzy ma kaŜda z dziewczynek?
PODRÓś DO WARSZAWY
6.
W dzień wyjazdu słońce wzeszło o godzinie 4.34, a zaszło o 20.31. Ile godzin i ile minut trwał ten
dzień?
7. Z Kłodzka do Warszawy jest 434km. Autokar z wycieczką przejeŜdŜa 62 kilometry w ciągu godziny.
Wycieczkowicze dotarli na miejsce o godzinie 19.00 w czwartek. W czasie podróŜy były dwie
półgodzinne przerwy. O której godzinie wyjechali z Kłodzka?
8. Autokar wioząc dzieci na wycieczkę spala przeciętnie 14 litrów benzyny na 100 kilometrów. Czy 100
litrów benzyny znajdującej się w baku wystarczy na podróŜ z Kłodzka do Warszawy i z powrotem?
9. O godzinie 14.00 rozpoczęła się półgodzinna przerwa w podróŜy. Jaki kąt był między wskazówką
minutową i godzinową w chwili rozpoczęcia i zakończenia postoju?
10. W czasie podróŜy autokarem dzieci oglądały film. Zaczął się on o godzinie 16.15 i trwał godzinę i 23
minuty. O której skończyła się emisja filmu, jeŜeli był on trzykrotnie przerywany 2 – minutowymi
reklamami?
W WARSZAWIE
11.
Opłaty za parkowanie
Samochód osobowy – 3zł/godz.
lub 25zł/doba
Autobus – 6zł/godz.
lub 35zł/doba
12.
Schronisko „Syrena”
Ile zapłacą organizatorzy wycieczki za parkowanie
autokaru przez 3 doby?
Organizatorzy zarezerwowali 5 pokoi 3-osobowych i 6
pokoi 5-osobowych na 3 noclegi. Zamówili teŜ śniadania
i kolacje na 3 dni. Ile zapłacą za usługi schroniska?
Noclegi:
- pokój 3-osobowy –
4zł/osoba
- pokój 5-osobowy –
3zł/osoba
Śniadanie – 5zł/osoba
Kolacja – 4zł/osoba
4
13. Dzieci wybrały się do kina na film Walta Disney′a. Oglądając końcowe napisy zauwaŜyły, Ŝe został on
wyprodukowany w MCMXCIV roku. Ile to lat temu?
14. Dzieci wchodzące do kina moŜna było ustawić: parami, trójkami, czwórkami, piątkami lub szóstkami.
Ile było dzieci, jeŜeli wiadomo, Ŝe było ich mniej niŜ 100?
15. Na planie Warszawy w skali 1 : 20 000 odległość między Zamkiem Królewskim a Pałacem Kultury i
Nauki wynosi 9cm. Jaka jest rzeczywista odległość między tymi budowlami?
16. Na mapie Polski w skali 1 : 1 000 000 odległość z Warszawy do Poznania wynosi 30cm. Oblicz, jaką
drogę pokona samolot , lecąc z Warszawy do Poznania.
17. Ile trzeba zapłacić za bilety wstępu do Zamku Królewskiego
dla wszystkich uczestników wycieczki?
Zamek Królewski w Warszawie
Bilety wstępu:
Dorośli – 15zosoba
Dzieci do lat 14 – 12zł\osoba
Grupy wycieczkowe (powyŜej 20 osób) –
9zł\osoba
18. Na pomniku Adama Mickiewicza znajduje się tabliczka:
Adam Mickiewicz
1798 – 1855
Ile lat Ŝył poeta i w którym wieku?
19. W roku 1937 najwyŜszą budowlą w Warszawie była wieŜa Zamku Królewskiego, mająca 59m
wysokości. Gdyby wieŜa ta była o 1 decymetr wyŜsza, to byłaby 3 razy wyŜsza od najwyŜszego
pomnika Warszawy – kolumny Zygmunta III Wazy. Oblicz wysokość tej kolumny.
20. Obwód prostokątnego trawnika wynosi 28m. WzdłuŜ przekątnej tego trawnika biegnie ścieŜka, która
dzieli trawnik na dwa jednakowe trójkąty o obwodzie 24m kaŜdy. Jaka jest długość ścieŜki?
2
21. Wyremontowanie 1m ulicy w Warszawie kosztuje 63zł. Ulica ma szerokość 8m. Oblicz koszt
wyremontowania tej ulicy o długości 1 kilometra.
22. Most Świętokrzyski w Warszawie zawieszony jest na 48 linach. Suma długości wszystkich lin jest
równa 5150m. Najkrótsza lina ma 53m, a najdłuŜsza jest o 10m dłuŜsza od trzykrotności najkrótszej
liny.
a) Oblicz długość najdłuŜszej liny
b) Oblicz róŜnicę najdłuŜszej i najkrótszej liny
c) Oblicz średnią długość liny
23. Kościół św. Anny jest zabytkiem architektury. Powstał w 1454 roku. Na kościele jest data MDCLXVII,
która określa rok ukończenia przebudowy kościoła. Ile wieków temu powstał kościół św. Anny? Ile lat
po powstaniu kościoła zakończono jego przebudowę?
24. W 1904 roku właściciel młyna parowego w Warszawie zaczął uŜywać samochodu cięŜarowego do
przewozu zboŜa. CięŜarówka o ładowności 2500kg przewoziła zboŜe z jednego wagonu, robiąc 5
kursów. Jeden kurs samochodu kosztował 2 ruble. Jaka była ładowność jednego wagonu? Ile kosztował
przewóz zboŜa z trzech wagonów?
25. Prostokątny trawnik w Parku Łazienkowskim o wymiarach 6m i 9m otoczony jest ścieŜką o szerokości
2m. Jaka jest powierzchnia trawnika, a jaka ścieŜki?
26. Ania chce kupić pamiątki z wycieczki: 4 pocztówki, 2 breloczki i medal pamiątkowy. Ile reszty
otrzyma z 20zł?
Pocztówka
Breloczek
Medal pamiątkowy
80gr
3zł 20gr
2zł 70gr
27. Pociąg przejeŜdŜa trasę z Warszawy do Krakowa w ciągu 4 godzin i 50 minut. PasaŜer wyjechał z
Warszawy o godz. 23.30. Ile czasu będzie miał na przesiadkę na pociąg do Zakopanego, Który z
Krakowa odjeŜdŜa o godz. 5.15?
5
28. Warszawskie lotnisko Okęcie im. Fryderyka Chopina ma powierzchnię 850ha. Pas startowy ma kształt
prostokąta. Wymiary pasów podane są w tabelce.
Pas najkrótszy
Pas najdłuŜszy
a)
Długość
3960m
5000m
Szerokość
50m
60m
Powierzchnię lotniska wyraź w metrach kwadratowych
2
b) Podaj długość takiego boku kwadratu, którego pole jest o 500 000 m większe od pola powierzchni
lotniska
c) Podaj w metrach kwadratowych pole najkrótszego i najdłuŜszego pasa startowego
d) Narysuj odcinek, którego długość jest równa długości najdłuŜszego pasa startowego w skali 1 :100 000.
OPŁATY ZA POŁĄCZENIA TELEFONICZNE
RODZAJ
POŁĄCZENIA
OPŁATY
I DNI TYGODNIA
Połączenia miejscowe ( w obrębie
województwa)
Opłata za kaŜde
rozpoczęte 3 minuty
rozmowy
Połączenia miedzymiastowe do 100kn
Opłata za minutę
połączenia
Połączenia miedzymiastowe powyŜej
100kn
Połączenia miedzymiastowe do 100kn
Połączenia miedzymiastowe powyŜej
100kn
Opłata za minutę
połączenia
Opłata za minutę
połączenia
Opłata za minutę
połączenia
W godz. 8.00 – 18.00
Połączenia z abonamentami sieci
komórkowej w dni robocze
1zł 71gr
za minutę
W godz. 8.00 – 22.00
Połączenia z abonamentami sieci
komórkowej w soboty, niedziele i
święta
PORY DNIA
NiezaleŜnie od pory dnia i dni tygodnia
23gr
8.00-18.00
W dni robocze
18.00-22.00
22.00-8.00
70gr
52gr
35gr
93gr
70gr
40gr
W soboty, niedziele i święta
8.00 – 22.00
22.00 – 8.00
52gr
35gr
70gr
46gr
W godz. 18.00 – 22.00
8.00
W godz.22.00 –
1zł 28gr
85gr
za minutę
za minutę
W godz. 22.00 – 8.00
1zł 28gr
85gr
za minutę
za minutę
Informacje z tabeli wykorzystaj do rozwiązania zadań 29, 30
29. Ewa zadzwoniła w sobotę o godz. 16.35 do rodziców do Kłodzka i rozmawiała przez 3 minuty 20
sekund. Ile zapłaciła za tę rozmowę?
30. Adam zadzwonił „na komórkę” do taty w piątek o 14 15 i rozmawiał 1 minutę 4 sekundy. Ile zapłacił?
Ile zaoszczędziłby, gdyby zadzwonił o 18.00?
Dobór i opracowanie zadań: Jadwiga Sowińska
6
Etap szkolny
ZADANIE 1
Suma dwóch liczb jest równa 146. Pierwsza liczba jest o 14 większa od drugiej. Znajdź te liczby.
ZADANIE 2
Pan Adam zapomniał, jakie są ostatnie cyfry dziesięciocyfrowego szyfru otwierającego jego sejf. Pamięta tylko
osiem pierwszych cyfr tego szyfru: 19981999 . Pamięta takŜe, Ŝe cały szyfr był podzielny i przez 3, i przez 5.
Jaki to mógł być szyfr? Ile moŜliwości musi sprawdzić pan Adam?
ZADANIE 3
Stół ma kształt prostokąta o obwodzie 420cm. Jego szerokość jest sześć razy krótsza od długości. Jakie są
wymiary stołu? Ile decymetrów kwadratowych ceraty trzeba kupić na ten stół, wiedząc, Ŝe z kaŜdej strony stołu
naleŜy doliczyć pas o szerokości 1dm?
ZADANIE 4
Paweł ma w poniedziałek 5 lekcji. Lekcje rozpoczynają się o godzinie 8.00. KaŜda lekcja trwa 45 minut.
Przerwy są dziesięciominutowe, z wyjątkiem trzeciej, która trwa 20 minut.
O której godzinie Paweł kończy lekcje?
ZADANIE 5
Z Lublina do Gdańska jest 504km. Na tej trasie jechały samochód osobowy i autobus. Samochód jechał z
prędkością 84 km/godz. Jak długo jechał samochód? Z jaką prędkością jechał autobus, jeŜeli pokonał tę trasę w
czasie o 3 godziny dłuŜszym niŜ samochód?
Dobór i opracowanie zadań: Jadwiga Sowińska
7
Etap powiatowy
Test
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
A
7
A
Joasia i Ania zbierają pocztówki. KaŜda z nich ma ich po 150. Na imieniny Joasia dała Ani ze
swojego zbioru pewną ilość pocztówek i teraz Ania ma o 10 pocztówek więcej niŜ Joasia. Ile
pocztówek dostała Ania od Joasi?
10
B
C
2
D
4
5
Łamana składa się z odcinków o długości: 2cm, 2dm, 8mm, 6cm. Jaka jest długość taj łamanej?
18cm
B
28cm 8mm
C
10cm 8mm
D
28dm 8cm
Jaką cyfrę naleŜy wpisać w miejsce * w działaniu 14*2 : 4 = 363?
0
B
2
C
1144
C
D
5
kaŜdą cyfrę
Zapis MCXLIV oznacza liczbę
1164
B
1166
D
10144
Na parkingu stały rowery i samochody. Było 20 pojazdów i razem miały 70 kół. Ile było rowerów?
10
B
C
8
5
D
15
Liczby: 1,3,6,10,15,21, , , 45 wpisano według pewnej zasady. Brakuje dwóch liczb. Jakich?
9 i 19
B
C
28 i 36
30 i 40
D
23 i 42
Koło w skali 1 : 2 ma średnicę równą 6cm. Ile centymetrów ma promień koła w skali 1 : 1?
3cm
B
C
6cm
8
12cm
D
24cm
8
Jaki jest obwód narysowanej figury?
8m
10m
3m
5m
A
60
B
13m
C
56
46
D
Brak jednej
z danych
9
Obwód prostokąta jest równy 24cm. Jeden bok jest o 2cm dłuŜszy od drugiego. Jakie długości mają
boki tego prostokąta?
A
13cm i 11cm
10
A
B
10cm i 12cm
C
5cm i 7cm
D
7cm i 9cm
Zosia kupiła 1 kg 20 dag jabłek, 102 dag śliwek i 1020 g mandarynek. Największą masę mają:
jabłka
B
mandarynki
C
śliwki
D
Masa jabłek,
śliwek i
mandarynek jest
taka sama
Dobór i opracowanie zadań: Jadwiga Sowińska
9
Zadania otwarte
ZADANIE 1
Za 5 spódnic i 4 bluzki trzeba zapłacić 571 zł. Spódnica kosztuje 67 zł. Ile kosztuje bluzka?
ZADANIE 2
Na wczasy wyjechało 131 osób trzema autobusami. W pierwszym i drugim autobusie było 86 osób, a w drugim
i trzecim 87 osób. Ile osób było w kaŜdym autobusie?
ZADANIE 3
Z dwóch miast odległych o 300km wyjechało na spotkanie dwóch automobilistów; jeden z nich jechał
z prędkością 60km\h. Automobiliści spotkali się po 3 godzinach jazdy. Oblicz prędkość drugiego automobilisty.
ZADANIE 4
2
Jeden bok prostokąta wydłuŜono o 3cm, a drugi skrócono o 3cm, otrzymując kwadrat o polu 64cm .
Jakie było początkowo pole prostokąta?
ZADANIE 5
Komitet Rodzicielski przygotowywał paczki mikołajkowe dla dzieci z klasy IV c. Kupiono 36 bananów,
126 cukierków i 54 batony. Ile najwięcej takich samych paczek przygotowano?
Dobór i opracowanie zadań: Jadwiga Sowińska
10
Rozwiązanie testu
NR
ZADANIA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ODPOWIEDŹ
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
11
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
Rozwiązanie zadań otwartych etapu powiatowego
Zadanie 1
Dane:
67zł – cena jednej spódnicy
571zł – koszt 5 spódnic i 4 bluzek
Rozwiązanie:
67 ⋅ 5 = 335
571 – 335 = 236
236 : 4 = 59
Szukane:
Cena bluzki
Odpowiedź: Bluzka kosztowała 59zł.
Zadanie 2
Rozwiązanie:
131 – 86 = 45 – ilość osób w trzecim autobusie
131 – 87 = 44 – ilość osób w pierwszym autobusie
87 – 45 = 42 – ilość osób w drugim autobusie
Dane:
131 – ilość osób
86 – ilość osób w pierwszym i drugim autobusie
87 - ilość osób w drugim i trzecim autobusie
Odpowiedź: W pierwszym autobusie jechały 44 osoby, w drugim 42 osoby, a w trzecim 45osób.
Zadanie 3
Dane:
300km
I automobilista
prędkość - 60km/h
czas – 3 godz.
II automobilista
x km/h
Rozwiązanie:
60km/h ⋅ 3h = 180km
300km – 180km = 120km
120km: 3h = 40km/h
Odpowiedź: Drugi automobilista jechał z prędkością 40km/h?
Zadanie 4
Dane:
64cm
P=?
2
Rozwiązanie:
Bok kwadratu – 8cm
Długość prostokąta – 8cm + 3cm = 11cm
Szerokość prostokąta – 8cm – 3cm = 5cm
P = 11cm ⋅5cm = 55cm
2
2
Odpowiedź: Pole prostokąta wynosi 55cm .
12
Zadanie 5
Dane:
36 – ilość bananów
126 – ilość cukierków
54 – ilość batonów
Rozwiązanie:
NWD ( 36,126,54) = 18
Odpowiedź: Przygotowano 18 paczek.
13
KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW KLAS V
Zadania przygotowawcze
Kasia jest juŜ w klasie piątej. W tym roku pragnie wziąć razem z Tobą udział w szkolnym konkursie
matematycznym. Aby się do niego dobrze przygotować musisz rozwiązać zadania przygotowawcze.
Gdy któreś z nich sprawi Ci większą trudność poproś o pomoc nauczyciela.
LICZBY NATURALNE
Kasia lubi bawić się liczbami, zaprasza i Ciebie piątoklasisto do zabawy z nimi.
1.
2.
Liczbę 126 moŜna zapisać w systemie trójkowym następująco:
126 = 1 . 34 + 1 . 33 + 2 . 32 + 0 . 31 + 0 . 30 = 112003
58 to zapis liczby w systemie dziesiątkowym. Zapisz tę liczbę w systemie trójkowym.
W autobusie jechało 37 osób. Na przystanku wysiadło kilku pasaŜerów, ale wsiadło dwa razy więcej
osób, niŜ wysiadło. Teraz jedzie autobusem 41 osób. Ile pasaŜerów wysiadło na przystanku?
3.
Oszacuj, czy poniŜsze wyraŜenie przedstawia liczbę większą, czy mniejszą od 1500.
(5 . 327 + 4 . 517- 537) : 2
4. Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych od 10 do 1000, które zapisujemy za pomocą jednakowych
cyfr.
5.
śeby ponumerować wszystkie strony w zbiorze zadań do matematyki i w zeszycie ćwiczeń
z języka polskiego trzeba uŜyć 489 cyfr (znaków). Ile stron ma kaŜda z tych ksiąŜek, jeŜeli do
ponumerowania ćwiczeń z języka polskiego uŜyto o 15 cyfr więcej.
Wskazówka:
Oblicz najpierw liczbę cyfr potrzebnych do ponumerowania stron w kaŜdej ksiąŜce.
6.
Ile jest "dziewiątek" potrzebnych do zapisania liczb naturalnych od 1 do 100?
7.
Liczba krokodyli w ZOO jest liczbą pierwszą, której suma dzielników jest równa 14. Jaki ułamek liczby
gadów stanowią krokodyle, jeŜeli liczba gadów jest siedmiokrotnością liczby 39?
8. Ogrodnik miał do posadzenia mniej niŜ 400 cebulek tulipanów. Gdy posadził je w rzędach po 8 sztuk
lub po 20 sztuk, lub po 36 sztuk, to za kaŜdym razem pozostałyby mu trzy cebulki. Ile cebulek miał
do posadzenia ogrodnik?
9. Oblicz średnią arytmetyczną naturalnych liczb nieparzystych mniejszych od 1000.
10. Suma trzech liczb jest równa 420. Pierwsza z nich jest większa od drugiej o 41, a od trzeciej o 25.
Znajdź te liczby.
Wskazówka: JeŜeli do drugiej liczby dodamy 41, a do trzeciej 25 i obliczymy sumę tych trzech liczb,
to otrzymamy liczbę trzy razy większą od pierwszej. Suma ta będzie równa: 420+41+25.
11. Dwie lodówki i trzy pralki kosztują 7250 zł. Pięć takich lodówek i trzy pralki kosztują 9800 zł.
Ile kosztuje lodówka, a ile pralka?
12. Dane są trzy liczby. Suma pierwszej i drugiej wynosi 30, suma drugiej i trzeciej jest równa 36, a suma
pierwszej i trzeciej wynosi 32. Co to za liczby?
Wskazówka:
30+36+32 jest równa sumie niewiadomych liczb pomnoŜonych przez 2.
Suma tych liczb jest równa (30+ 36+ 32):2 = 49
13. Za dwa lata Jaś będzie dwa razy starszy niŜ dwa lata temu. Małgosia za trzy lata będzie 3 razy starsza
niŜ 3 lata temu. Które z dzieci jest starsze?
14. Ojciec ma 41 lat, jego starszy syn 13 lat, córka 10 lat, a młodszy syn 6 lat. Za ile lat wiek ojca będzie
równy sumie lat jego dzieci?
Wskazówka:
Po upływie kaŜdego roku suma lat dzieci zwiększa się o 3, a ojciec starzeje się o 1 rok.
15. Ile wynosi najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb względnie pierwszych?
14
UŁAMKI ZWYKŁE
Ułamki w klasie czwartej sprawiały Kasi trudność, w tym roku Kasia doskonale sobie
z nimi radzi. Przedstawione zadania pozwolą Ci siebie sprawdzić, czy radzisz sobie z nimi tak jak ona.
16. Woda płynąca z jednego kranu napełnia basen w ciągu 4 godzin. Woda płynąca z drugiego kranu
napełnia taki sam basen w ciągu 6 godzin. Czy w ciągu 3 godzin basen zostanie napełniony, jeŜeli będą
odkręcone obydwa krany jednocześnie?
17. Kran z ciepłą wodą napełnia basen w ciągu 3 godzin, a z zimną w ciągu 2 godzin. Ile czasu potrzeba
na napełnienie basenu, jeŜeli obydwa krany zostaną odkręcone jednocześnie?
18. Pitagoras, matematyk grecki zapytany o liczbę swoich uczniów odpowiedział: "Połowa moich uczniów
uczy się matematyki, czwarta część przyrody, siódma część milczenia, resztę stanowią trzy kobiety".
Ile uczniów miał Pitagoras?
19. Rozlewamy 42 litry soku do butelek o pojemności
3
7
litra, wypełniając
objętości kaŜdej butelki.
4
8
Ile butelek musimy przygotować?
20. Czy równość obok jest prawdziwa?
2
1 +
=
2
1 +
2
1
21
2
1 +
1 +
2
1 + 2
21. Wszyscy uczniowie klasy V c uczą się języka angielskiego lub niemieckiego. Języka angielskiego uczy
się
4
2
wszystkich uczniów tej klasy, a języka niemieckiego
. Jaka część uczniów klasy V c uczy się
5
5
obu języków?
22. Rozszyfruj to działanie (znaki , oraz zastępują trzy róŜne cyfry).
Uwaga. Zadanie ma 4 rozwiązania.
23. Jurek nalał pełną szklankę soku pomarańczowego, wypił
następnie
wypił znów
1
szklanki soku i dolał do pełna wody,
2
1
szklanki płynu i dolał do pełna wody. Czynność tę powtórzył czterokrotnie.
2
Oblicz ile szklanek soku, a ile szklanek wody wypił Jurek, jeŜeli ostatnią szklankę napoju wypił do
dna?
23. Ile kilogramów mąki naleŜy przesypać z trzeciego worka do pierwszego, a ile do drugiego,
aby we wszystkich workach była taka sama ilość mąki?
3
3 kg
4
I
1
4 kg
4
1
5 kg
2
II
III
15
UŁAMKI DZIESIĘTNE
W zadaniach z ułamkami dziesiętnymi Kasia znalazła duŜe zastosowanie matematyki w praktyce.
Przystąpiła do rozwiązywania ich z wielkim zapałem, gdyŜ uznała, Ŝe na pewno jej się przydadzą.
MoŜe i Ty znajdziesz wśród nich takie, które będziesz mógł wykorzystać
w Ŝyciu codziennym?
24. Przyjrzyj się podanym cenom. Oblicz, ile powinny kosztować lody z
Lody z owocami
bitą śmietaną.
Galaretka z owocami
2,67 zł
2,45 zł
1,68 zł
Galaretka z bitą śmietaną
25. Gwóźdź i dwie śrubki z nakrętkami waŜą 4,7 g. Gwóźdź i 10
pinezek waŜą 2,4 g, a gwóźdź i jedna śrubka z nakrętką waŜą 2,8 g. Ile waŜy pinezka?
26. Taksówkarz oblicza opłatę za przejazd następująco: pierwszy kilometr kosztuje 5 zł, a kaŜdy następny
rozpoczęty kilometr 2zł 10 gr. Ile trzeba zapłacić za przejechanie 5,5 km?
27. Średnica bakterii wynosi około 0,006 mm, wirusa około 0,00002 mm, a atomu około 0,0000001 mm .
Ile razy średnica bakterii jest większa od średnica wirusa? Ile razy średnica wirusa jest większa
od średnicy atomu? Ile razy średnica bakterii jest większa od średnicy atomu?
28. Kasia za 0,23 kg herbatników zapłaciła 3,49 zł. Potem dokupiła jeszcze 0,65 kg tych samych
herbatników. Oszacuj, czy razem z herbatnikami zapłaciła więcej czy mniej niŜ 14 zł.
GEOMETRIA
Rozwiązywanie zadań z geometrii sprawia Kasi wielką przyjemność, myślę Ŝe przedstawione
zadania zainteresują Ciebie równieŜ.
29. Oblicz miarę kąta β w trójkącie KLM.
30. Na rysunku poniŜej proste k i l są równoległe. Oblicz miary kątów trójkąta ABC.
31. Oblicz sumę miar wszystkich zaznaczonych kątów.
16
32. W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych jest 4 razy większy od drugiego kąta.
Oblicz miary kątów tego trójkąta.
33. Przekątna czworokąta dzieli go na dwa trójkąty, których obwody wynoszą 25 cm i 27 cm .
Oblicz długość tej przekątnej, jeŜeli obwód tego czworokąta jest równy 32 cm .
34. KaŜdy z pięciu sąsiadów posiada taką samą prostokątną działkę. Części działek zajęte przez klomby
kwiatowe ogrodzone są płotem (linia ciągła). Który z nich postawił najdłuŜszy płot?
35. Obwód prostokątnego ogrodu ma 231 metrów. JeŜeli długość ogrodu byłaby o 2,2 m mniejsza, a
szerokość o 4,7 m większa, to ogród miałby kształt kwadratu. Jaką długość miałby bok tego kwadratu?
36. Basen ma kształt prostopadłościanu, którego długość jest równa 20 m, a szerokość 12 m.
Oblicz wysokość wody wlanej do basenu, jeŜeli jej objętość jest równa 312 m3.
O ile metrów podniesie się poziom wody, jeŜeli do tego basenu dolejemy jeszcze 48 m3?
37. Pień długości 12 m rozpiłowano na dwie części tak, Ŝe jedna z nich ma dwa razy więcej centymetrów
niŜ druga – decymetrów. Podaj długość kaŜdej z tych części.
38. W łazience o wymiarach 2 m i 3 m trzeba wykafelkować podłogę oraz ściany do wysokości
2 m. Powierzchnia drzwi wynosi 1,6 m2. Ile paczek kafelek trzeba kupić, jeŜeli wiemy, Ŝe mają one
kształt kwadratu o boku 20 cm, a w jednej paczce jest 20 kafli?
39. Akwarium Łukasza ma 45 cm długości, 30 cm szerokości i 35 cm wysokości. Ile litrów wody moŜna
wlać do tego akwarium?
40. Dane są trzy sześciany ze srebra (pełne w środku). Krawędź pierwszego z nich ma długość
3 cm, drugiego 4 cm, a trzeciego 5 cm . Te trzy sześciany stopiono i odlano z nich jeden duŜy sześcian.
Oblicz długość jego krawędzi.
41. Szczelnie zamknięte prostopadłościenne szklane naczynie o krawędzi 5 cm, 12 cm i 20 cm jest
częściowo napełnione wodą. Naczynie stoi na najmniejszej ścianie, a woda sięga do wysokości 16cm.
Do jakiej wysokości sięga woda, gdy naczynie stoi na największej ścianie?
PRĘDKOŚC, DROGA, CZAS
Kasia często rozwiązuje zadania dla uczniów uzdolnionych matematycznie ze „Zbioru zadań dla ASA”.
Znalazła tam wiele ciekawych zadań dotyczących prędkości, drogi i czasu. MoŜe i Ty zmierzysz się z nimi?
42. Z dwóch miejscowości A i B odległych o 45 km wyjechały jednocześnie w przeciwnych kierunkach,
oddalając się od siebie, dwa samochody. Jeden samochód jedzie z prędkością 110 km/h, drugi
z prędkością 72 km/ h.
W jakiej odległości od siebie znajdą się te samochody po 3 godzinach i 30 minutach jazdy?
43. Sygnał echosondy powrócił po odbiciu od dna po czasie 0,1 sekundy od wysłania.
Jaką głębokość ma morze w tym miejscu, jeŜeli prędkość dźwięku w wodzie wynosi 1400 m/s?
7
7
godziny przejechał
zaplanowanej trasy. Jaką drogę zaplanował
12
15
3
do przejechania motocyklista, jeŜeli jechał ze średnią prędkością 69 km/h?
5
44. Motocyklista w ciągu
45. Z Warszawy do Katowic i z Katowic do Warszawy wyjechały jednocześnie dwa samochody.
Samochód z Katowic jechał ze średnią prędkością 50 km/h, a z Warszawy 70 km/h. Po 1
jazdy odległość między nimi zmniejszyła się i stanowiła
1
godziny
2
7
całej trasy.
19
Oblicz odległość między Warszawą a Katowicami.
Dobór i opracowanie zadań: Mariola Szałapska
17
Etap szkolny
ZADANIE 1
Zmieszano 5 kg cukierków czekoladowych po 18
2
4
zł za 1 kilogram i 15 kg po 20 zł
5
5
za 1 kilogram. Jaka jest cena 1 kilograma mieszanki czekoladowych cukierków?
UWAGA: Wykonaj obliczenia w jednym zapisie.
ZADANIE 3
Znajdź (oblicz) trzy liczby, których suma wynosi 1528. Druga liczba jest większa
od trzeciej o 86, a pierwsza jest równa drugiej. RozwiąŜ zadanie i sprawdź obliczenia.
Podaj słowną odpowiedź.
ZADANIE 3
3
km wyruszyli jednocześnie naprzeciw siebie dwaj kolarze. Jeden
8
2
1
1
z nich jechał ze średnią prędkością 15 km/h, a drugi 17 km/h. Jaka odległość dzieliła kolarzy po 3 h?
5
2
3
Z dwóch miejscowości odległych o 115
ZADANIE 4
Ponumerowano 287 stronic ksiąŜki. Ile uŜyto do tego cyfr? Zapisz odpowiednie obliczenia.
ZADANIE 5
Basen o wymiarach 6 m, 35 m, 2 m trzeba wyłoŜyć kwadratowymi kafelkami o boku 20 cm.
Ile paczek kafelek trzeba zakupić, jeŜeli w jednej paczce znajduje się 20 kafli?
Wykonaj rysunek pomocniczy.
UWAGA: Wymiar 2 m jest głębokością basenu.
Dobór i opracowanie zadań: Krystyna Hołyńska i Mariola Szałapska
18
Etap powiatowy
Test
„Zdrowie jest skarbem, którego wartość dopiero wtedy człowiek pozna, gdy go stracił.”
1
A
2
Znajomy pani Obolałej przywiózł jej z Berlina maść, za którą zapłacił 7,50 € (euro).
Pani Obolała postanowiła zwrócić tę kwotę w złotówkach, po kursie
1 € = 4,30 zł. Ile powinna zapłacić?
5,25 zł
B
C
322,5 zł
32,25 zł
D
52,25 zł
Twoja rówieśniczka Kasia jest chora na grypę. Oblicz, na ile dni kuracji
wystarczy dla niej jedno opakowanie lekarstwa z tego pudełka.
FLEGAMINA
20 tabletek
DAWKOWANIE:
DOROŚLI:
3 razy dziennie po 1 tabletce
A
3
Po 6 dniach zaŜywania
zostaną
2 tabletki.
B
Dokładnie
10 dni.
DZIECI:
3 do 8 lat 2 razy dziennie pół tabletki
9 do 14 lat 3 razy dziennie pół tabletki
C
Po 13 dniach
zaŜywania zostanie 1
tabletka
W szkolnej łazience na kaŜdej umywalce znajduje się kostka mydła waŜąca
D
Po 13 dniach zaŜywania
zostanie pół tabletki.
1
kg.
8
Na ile dni wystarczy mydła, które znajduje się na pięciu umywalkach,
jeśli dziennie uczniowie zuŜywają
A
4
A
5
A
Na 10 dni.
B
1
kg?
16
C
Na 2 dni.
D
Na niecały dzień.
Na 2,5 dnia
Statystyczny Polak wypala rocznie liczbę papierosów,
która jest wynikiem wyraŜenia: 55 – 54. Ile to papierosów?
5
B
C
2500
1825
D
3750
Kasia była chora i opuściła kilka lekcji matematyki. Właśnie nadrabia zaległości
i nie potrafi rozwiązać zadania. PomóŜ jej rozwikłać ten problem:
Z których odcinków o podanych długościach moŜna zbudować trójkąt?
6 cm, 8 cm, 2 cm
B
2cm, 7 cm, 3 cm
19
C
4 cm, 4 cm, 5 cm
D
2 cm, 4 cm, 2 cm
6
Rok
jest ogłoszony Europejskim Rokiem Osób Niepełnosprawnych.
Wojtek i Marek postanowili wziąć udział w Rzeszowskiej Olimpiadzie Osób Niepełnosprawnych w
konkurencji: wyścig na wózkach inwalidzkich.
Oto plan trasy jaką mają do pokonania:
Ile wynosi rzeczywista odległość między startem a metą?
A
7
A
8
12045 m
B
0,0002 km
C
3000 m
D
0,3 km
W Zakładzie Przyrodoleczniczym w Kołobrzegu
dno basenu solankowego ma kształt pięciokąta
jak na rysunku. Kąt BCA ma miarę:
30°
B
C
12°
D
15°
Po sześciu dniach systematycznego picia syropu pacjent zauwaŜył, Ŝe w butelce zostało
25°
4
syropu. Na ile
7
jeszcze dni wystarczy syropu, jeŜeli pacjent będzie go pił cały czas w tym samym tempie?
A
9
Na 24 dni
B
C
Na 14 dni
D
Na 4,5 dnia
Na 8 dni
Kasia podczas grypy mierzyła sobie temperaturę ciała o tej samej porze.
Dzień tygodnia
Temperatura
Wtorek
39,8° C
Środa
39,3° C
Czwartek
37,5° C
Piątek
37,3° C
Sobota
36,6° C
Jaką średnią temperaturę ciała miała Kasia podczas choroby?
A
10
38,1
B
C
37,5
Klasa liczy 20 uczniów. Po przeglądzie uzębienia okazało się, Ŝe
38,2
D
37,7
D
5
4
ma zdrowe zęby.
5
Ile dzieci z tej klasy musi leczyć swoje zęby?
A
16
B
C
4
20 :
4
5
Dobór i opracowanie zadań: Krystyna Hołyńska i Mariola Szałapska
20
Zadania otwarte
ZADANIE 1
Oblicz ile stopni ma kąt x ?
ZADANIE 2
Białystok i Łódź znajdują się w odległości 294 km od siebie. Z miast tych wyjechały jednocześnie naprzeciw
siebie dwa samochody. Pierwszy jechał z prędkością 84 km/h, a drugi z prędkością 56 km/h. Po przybyciu
do Łodzi pierwszy samochód miał godzinny postój, po czym ruszył w drogę powrotną.
W jakiej odległości od Białegostoku był wtedy drugi samochód?
ZADANIE 3
Podłoga szkolnego korytarza ma kształt prostokąta, którego długość jest 3 razy większa od szerokości.
Jej obwód wynosi 32 m.
a) Oblicz pole powierzchni tej podłogi.
b) Oblicz, korzystając z informacji na etykiecie, ile puszek farby potrzeba
na dwukrotne pomalowanie podłogi ?
Etykieta z puszki farby:
Czas schnięcia
Wydajność
Pojemność
Cena
5 godzin
5 m2/ litr
0,5 litra
8 zł
ZADANIE 4
Woda płynąca z jednego kranu napełnia basen w ciągu 3 godzin.
Woda płynąca z drugiego kranu napełnia taki sam basen w ciągu 8 godzin.
Czy w ciągu 2 godzin basen zostanie napełniony, jeŜeli będą odkręcone obydwa krany jednocześnie?
ZADANIE 5
Średnia arytmetyczna trzech liczb wynosi 3,1. Pierwsza liczba jest równa 2,4 ;
druga jest połową pierwszej. Jaka jest trzecia liczba?
Dobór i opracowanie zadań: Krystyna Hołyńska, Mariola Szałapska
21
Rozwiązanie testu
NR
ZADANIA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ODPOWIEDŹ
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
22
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
Rozwiązanie zadań otwartych etapu powiatowego
Zadanie 1
X – szukany kąt
Miara kąta pełnego - 180°
3x + 14°+ x + 2x +70° = 180°
6x + 84° = 180°
6x = 180° - 84°
6x = 96°
x = 96°: 6
x = 16°
Odpowiedź: Kąt ma 16°
Zadanie 2
Białystok
Łódź
294km
84km/h
I samochód
56km/h
II samochód
Dane:
Prędkość I samochodu – 84km/h
Prędkość II samochodu – 56km/h
Czas postoju – 1 godz.
Odległość między miastami – 294km
Rozwiązanie
294km/h : 84km/h = 3,5h
3,5h + 1h = 4,5h
56km/h ⋅ 4,5h = 252km
294km - 252km = 42km
Szukane:
X – odległość II samochodu od Białegostoku
Odpowiedź: Drugi samochód był wtedy 42km od Białegostoku.
Zadanie 3
Dane:
Obwód prostokąta – 32m
2
Wydajność farby – 5m /l
Cena jednej puszki – 8zł
Czas schnięcia – 5h
Pojemność – 0,5l
a
3a
3a
Szukane:
Pole powierzchni podłogi – P
Ilość puszek na dwukrotne pomalowanie podłogi
Rozwiązanie:
2 (3a+a) = 32m
2 ⋅ 4a = 32m
a = 4m
3a = 3 ⋅ 4
3a = 12m
P = 4m ⋅12m = 48m
2P = 2⋅48m
2
2
2
= 96m
2
2
96m : 5m =19,2
Ilość puszek 19,2 ⋅ 2 = 38,4 - 39 szt.
Odpowiedź: Na dwukrotne pomalowanie podłogi potrzeba 39 puszek farby.
23
Zadanie 4
Dane:
I kran napełnia basen w 3h
II kran napełnia basen w 8h
Rozwiązanie:
I kran w ciągu 1h napełnia 1/3 basenu
II kran w ciągu 1h napełnia 1/8 basenu
2⋅ (1/3+1/8) = 2⋅ (8/24+3/24) = 2⋅ 11/24 = 22/24 < 1
Szukane:
I to cały basen
Odpowiedź: W ciągu 2 godzin basen nie zostanie napełniony.
Zadanie 5
Dane:
I liczba – 2,4
II liczba – 2,4 : 2 = 1,2
Szukane:
III liczba – x
Rozwiązanie:
I sposób
(2,4 + 1,2 + x) : 3 = 3,1
(3,6 + x) : 3 = 3,1
3,6 + x = 3,1 ⋅3
3,6 + x = 9,3
x = 9,3 – 3,6
x = 5,7
Odpowiedź: Trzecia liczba to 5,7.
24
II sposób
3,1 ⋅3 = 9,3
2,4 + 1,2 = 3,6
9,3 – 3,6 = 5,7
KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW KLAS VI
Zadania przygotowawcze
GEOMETRIA
1.
2.
3.
4.
5.
Długość jednego z boków trójkąta wynosi 5cm, a suma długości pozostałych boków tego trójkąta
wynosi 13cm. Jakie mogą być długości pozostałych boków tego trójkąta wyraŜone w liczbach
całkowitych? Wymień wszystkie moŜliwe przypadki.
Boki pewnego czworokąta ABCD mają długości: AB = 5, BC = 10, CD = 12, AD = 7. Między jakimi
liczbami zawarta jest długość przekątnej AC tego czworokąta?
W trapezie ABCD poprowadzono z wierzchołka D odcinek DE równoległy do ramienia CB. Obwód
trójkąta AED wynosi 1m, długość odcinka CD wynosi 30cm. Oblicz obwód trapezu.
Wysokość trójkąta dzieli podstawę na pół i jest równa połowie długości jego podstawy. Oblicz kąty
tego trójkąta. Jaki to trójkąt?
Na kwadratowej działce o powierzchni 1 ara załoŜono klomb, którego bokami były odcinki łączące
środki boków działki. Oblicz pole powierzchni klombu.
2
6.
Na bokach kwadratu o polu 64cm odłoŜono na zewnątrz kwadraty o takim samym boku. Środki
odłoŜonych kwadratów połączono odcinkami. Oblicz pole otrzymanego kwadratu.
7.
Dany jest kwadrat KLMN o polu 25cm i trójkąt AOB, taki, Ŝe punkt O jest środkiem tego kwadratu,
a bok AB jest równy obwodowi kwadratu i zawiera bok KL. Sporządź odpowiedni rysunek. Oblicz pole
tego trójkąta. Porównaj je z polem kwadratu KLMN.
W trapezie prostokątnym kąt ostry jest równy 45°. Oblicz pole tego trapezu, jeśli krótsza podstawa jest
równa 8,5cm, a wysokość trapezu ma 3cm.
8.
9.
2
2
Na bokach rombu o polu 30cm i kącie ostrym 60° zbudowano na zewnątrz trójkąty równoboczne.
Zewnętrzne wierzchołki tych trójkątów połączono odcinkami. Jaki czworokąt otrzymano? Odpowiedź
uzasadnij. Oblicz pole tego czworokąta.
2
10. Pole równoległoboku jest równe 14cm , a jego boki wynoszą 3,5cmi 2,8cm. Oblicz wysokości tego
równoległoboku.
11. Oblicz obwód równoległoboku, w którym krótszy bok jest równy 6,75m, a róŜnica dwóch sąsiednich
boków wynosi 2
1
m.
3
12. Ile litrów wody zmieści się w basenie o wymiarach 40m, 25m, 20dm, który jest wypełniony do
3
4
wysokości?
DROGA, PRĘDKOŚĆ, CZAS
13. Sad owocowy ma kształt prostokąta, którego długości boków są w stosunku 2:7. Krótszy bok jest
równy 240m, W ciągu ilu dni obejdzie ten sad ślimak idący ze średnią prędkością 4m/h?
14. Turysta przebył pierwszego dnia
7
całej drogi, a drugiego dnia 30% drogi pozostałej. Jaką drogę
24
miał do przebycia turysta, jeŜeli po dwóch dniach pozostało mu jeszcze 59,5km?
15. Odległość między miastami A i B wynosi 30cm na mapie w skali 1 : 500 000. W ciągu ilu godzin
pokona tę trasę samochód jadący z prędkością 60km/h?
16. Jacek z Cieszyna wybierał się z rodzicami na mecz piłki koszowej do czeskiego miasta Novy Jicin.
Zmierzył tę odległość na mapie o skali 1 : 750 000 i stwierdził, Ŝe samochodem ze średnią prędkością
60km/h nie zdąŜą dojechać, bo mecz rozpoczyna się za 1
odcinek miał 6,8cm?
25
1
godziny. Czy miał rację, jeŜeli zmierzony
4
17. Odległość między Warszawą a Poznaniem wynosi 300km. Z Warszawy do Poznania wyjeŜdŜa pociąg o
średniej prędkości 50km/h. Jednocześnie na jego spotkanie wylatuje z Poznania samolot utrzymując
prędkość 200km/h. Samolot spotkawszy pociąg wraca do Poznania, potem znów leci na spotkanie
pociągu i powtarza to tak długo, aŜ pociąg osiągnie Poznań. Ile km przeleci samolot?
Wskazówka: Ile czasu jedzie pociąg do Poznania?
18. Dwa pociągi jadą po równoległych torach naprzeciw siebie: jeden z prędkością 40km/h, a drugi z
prędkością 80km/h. PasaŜer jadący w drugim pociągu zauwaŜył, Ŝe pierwszy pociąg mijał go przez 6
sekund. Jaka jest długość pierwszego pociągu?
19. Statek przepływa odległość z prądem rzeki w trzy godziny, pod prąd w ciągu 4 godzin. Ile godzin
przepływa tę odległość pusta butelka?
20. Klasa VI a opracowała trasę wycieczki, mierząc poszczególne etapy na mapie w skali 1 : 40 000. Były
to długości: 6cm, 8cm, 8,5cm, 5,5cm, 9cm, 12cm. Ile czasu będą potrzebować uczniowie na pokonanie
trasy, jeŜeli będą szli z prędkością 5km/h, a po kaŜdych dwóch odcinkach trasy będą odpoczywać
35 minut?
PROCENTY
2
21. O ile procent zwiększy się pole kwadratu równe 16cm , jeŜeli jego bok zwiększymy o 25 % ?
22. Oblicz 33
1
1
1
1
% iloczynu liczby 3 i sumy liczb 5 ; 10,2; 3 .
3
3
5
4
23. Jaka to liczba, której 40 % jest równe takiej liczbie, której 5 % jest równe wartości wyraŜenia:
1
2 1
3,75 : 2 + 6 : 1
2
3 3
2
1
4 : 1,125 + 3,75 ⋅
3
3
24. Znajdź dwie liczby, których suma jest równa 50, a mniejsza liczba stanowi 25% większej z tych liczb.
25. Cenę samochodu obniŜono jesienią o 20%, a wiosną jeszcze o 10%. Jaka była początkowa cena tego
samochodu, jeŜeli po dwóch obniŜkach kosztował 28 800zł?
RÓWNANIA
26. RozwiąŜ równania za pomocą grafu lub za pomocą równań przeciwnych
a) 1
1
⋅(3x-2) = 2
3
b) 5(
x
- 3) = 315
5
c) (4-
3
1
⋅x):6,2- = 0,375
5
8
27. Zmęczeni turyści weszli do schroniska, zamówili pierogi i zasnęli. Kiedy obudził się pierwszy, pyszne
1
1
pierogów i znów zasnął. Obudził się drugi, zjadł
pozostałych
3
3
1
pierogów i znów zasnął. Potem obudził się trzeci turysta, zjadł
tego, co zostało i wtedy na półmisku
3
jedzenie stało na stole, więc zjadł
zostało 8 pierogów. Jak podzielić te 8 pierogów pomiędzy turystów, Ŝeby kaŜdy zjadł po tyle samo
pierogów?
26
28. Ania pomyślała jakąś liczbę. Następnie dodała do niej 10, otrzymaną sumę podzieliła przez 3,
a otrzymany iloraz pomnoŜyła przez 6. Potem od ostatniego wyniku odjęła 9 i tę róŜnicę podzieliła
przez 3, otrzymując 7. Jaką liczbę pomyślała Ania?
29. MaharadŜa obdarował trzy swoje córki perłami przechowywanymi w szkatułce. Najstarszej dał połowę
zawartości szkatułki i jeszcze jedną perłę, młodszej dał połowę reszty i jedną perłę, a najmłodszej
połowę pozostałych pereł i jeszcze 3 perły. Ile pereł było w szkatułce, jeśli maharadŜa rozdał wszystkie
swoim córkom?
ZADANIA RÓśNE
30. Na wycieczkę naleŜy zebrać pieniądze. JeŜeli kaŜdy z uczestników wycieczki zapłaci po 75zł,
to na pokrycie kosztów zabraknie 440zł, a jeŜeli kaŜdy zapłaci po 80zł, to zostanie 440zł.
Ile osób bierze udział w wycieczce? Ile kaŜdy musi zapłacić, aby nic nie zostało i nic nie zabrakło?
31. Za 2,80m materiału i 1,60m podszewki zapłacono 189,44zł. Metr podszewki kosztował tyle, co 0,1m
materiału ubraniowego. Ile trzeba zapłacić za 3m materiału i 1,8m podszewki?
32. Na zakup ziemniaków do stołówki szkolnej przeznaczono pewną sumę pieniędzy. Gdyby za 1 kwintal
płacono po 70 zł, to z przeznaczonej kwoty zostałoby jeszcze 126zł, a gdyby cena 1 kwintala wynosiła
75zł, zabrakłoby 84zł. Ile kwintali ziemniaków zakupiono i za jaką kwotę?
33. W trzech koszach było razem 1200 jabłek. JeŜeli z pierwszego kosza przełoŜymy do drugiego kosza 80
jabłek, a następnie z drugiego do trzeciego przełoŜymy 240 jabłek, to liczba jabłek we wszystkich
koszach będzie jednakowa. Ile jabłek było w kaŜdym koszu?
34. Znajdź dwie liczby, jeŜeli wiesz, Ŝe ich róŜnica jest równa 25 i druga stanowi 3 8 pierwszej.
35. Średnia arytmetyczna 12 liczb jest równa 4,5. Oblicz, o ile zmieni się ta średnia, jeŜeli dodamy do tych
liczb jeszcze liczbę 8,4.
Dobór i opracowanie zadań: Janina Drozd, BoŜena Dudek
27
Etap szkolny
ZADANIE 1
Jacek pomyślał jakąś liczbę. Następnie dodał do niej 10, otrzymaną sumę podzielił przez 4, a otrzymany iloraz
pomnoŜył przez 5. Potem od ostatniego wyniku odjął 6 i tę róŜnicę podzieliła przez 2, otrzymując 7.
Jaką liczbę pomyślał Jacek?
ZADANIE 2
W trójkącie rozwartokątnym ABC o kącie ACB = 100° z wierzchołka tego kąta poprowadzono wysokość CD,
Która podzieliła podstawę AB na odcinki AD i DB, z których jeden jest równy tej wysokości.
Oblicz pozostałe kąty trójkąta ABC.
ZADANIE 3
Podczas rajdu grupa uczestników przeszła w ciągu 40 minut trasę, która na mapie w skali 1 : 50 000 wynosiła
8cm. Z jaką prędkością poruszali się uczestnicy rajdu (wynik podaj w km/h)?
ZADANIE 4
Długść boku kwadratu o polu 25 cm
2
powiększono o 10%. O ile procent zwiększy się pole tego kwadratu?
ZADANIE 5
2
Pole równoległoboku, w którym boki sąsiednie wynoszą 3,5cm i 2,8cm, jest równe 14 cm .
Oblicz wysokości tego równoległoboku.
Dobór i opracowanie zadań: Janina Drozd,
28
Etap powiatowy
Test
1
A
2
A
3
A
4
Samolot pasaŜerski przeleciał 2000 km w ciągu 2 godzin i 30 minut. Średnia prędkość samolotu z
dokładnością do jednego kilometra na godzinę była równa:
869km/h
B
C
870km/h
900km/h
D
800km/h
C
2ab
D
4ab
C
9, 5, 10
D
10, 20, 30
C
25
D
18
Pole zacieniowanej figury obliczysz za pomocą wzoru:
8ab
B
4a+b
Czy moŜna zbudować trójkąt o bokach:
4, 4, 10
B
7, 8, 15
Pole figury wynosi:
3
x
0
A
5
A
20
B
4
19
Maciek kupił akwarium w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 50cm, 60cm, 40cm i napełnił
0,75 jego pojemności wodą. W akwarium znalazło się:
90 litrów wody
B
120 litrów wody
29
C
150 litrów wody
D
34 litry
6
A
7
A
8
A
9
A
10
A
Arek kupił działkę w kształcie kwadratu. Jej obwód jest o 600m dłuŜszy od długości
Działka zajmuje powierzchnię:
36000m²
B
4000m²
boku.
C
20000m²
D
40000m²
C
47º, 67º, 66º
D
43,º 63º, 74º
Miary kątów poniŜszego trójkąta są równe:
45º, 65º, 70º
B
40º, 60º, 80º
Cenę spodni zmniejszono o 1/5, a po pewnym czasie jeszcze o 8zł. Po obniŜkach spodnie kosztują
40zł. Treść zadania przedstawia równanie:
x+1/5x +8=40
B
x-1/5-8=40
C
x-1/5x-8=40
D
1/5x-8=40
W aptece rozlano 8 litrów syropu do butelek o pojemności 200cm3. Syrop rozlano do:
4 butelek
B
40 butelek
C
160 butelek
D
400 butelek
Cenę ksiąŜki wynoszącą 65zł obniŜono najpierw o 20%, potem podwyŜszono o 10%. Obecnie
ksiąŜka kosztuje:
58,5zł
B
C
47,2zł
52zł
D
57,2zł
Dobór i opracowanie zadań: Janina Drozd, Anna Haracari
30
Zadania otwarte
ZADANIE 1
W trapezie równoramiennym kaŜde z ramion ma długość 13 cm, a wysokość 5 cm.
Obwód trapezu jest równy 60 cm.
Oblicz pole trapezu.
ZADANIE 2
Średnia wieku piłkarskiej druŜyny (11 osób) jest równa 22 lata. Jeden z piłkarzy otrzymał czerwoną kartkę
i zszedł z boiska. Średnia wieku pozostałych zawodników wynosi teraz 21 lat.
Ile lat miał piłkarz, który otrzymał czerwoną kartkę?
ZADANIE 3
Cenę towaru zwiększono o 20 %, a następnie nową cenę podwyŜszono o 25 %. O ile procent zwiększyła
się pierwotna cena po tych dwóch podwyŜkach?
ZADANIE 4
Damian i Maciek dzielili między siebie cukierki owocowe. Damian dostał 1/6 wszystkich cukierków i jeszcze 8.
Maciek dostał 0,5 pozostałych i jeszcze 11.
Ile cukierków było do podziału?
Ile cukierków dostał Damian, a ile Maciek?
ZADANIE 5
W trójkącie równobocznym ABC poprowadzono przez wierzchołek A prostopadłą do boku AC,
a przez wierzchołek B prostopadłą do boku BC. Oblicz miarę kąta ostrego między tymi prostopadłymi.
Dobór i opracowanie zadań: Anna Haracari
31
Rozwiązanie testu
NR
ZADANIA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ODPOWIEDŹ
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
32
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
Rozwiązanie zadań otwartych etapu powiatowego
Zadanie 1
b
Dane:
c = 13cm
h = 5cm
O = 60cm
Szukane: P
c
h
c
a
Rozwiązanie:
O = a + b + 2c
a + b + 2c = 60
a + b = 60 – 26
a + b = 34cm
P=
1
1
2
(a + b) ⋅ h = ⋅34⋅5 = 85cm
2
2
2
Odpowiedź: Pole trapezu wynosi 85cm .
Zadanie 2
Dane:
S – suma lat 11 piłkarzy
n= 11 – ilość piłkarzy
s 1 = 22 – średnia lat 11 piłkarzy
22 =
S
/⋅ 11
11
S = 22⋅11
S = 242
s 2 = 21 – średnia lat 10 piłkarzy
S−x
10
242 − x
21 =
/ ⋅10
10
s2 =
Szukane:
X – wiek piłkarza
Rozwiązanie:
s1 =
S
11
210 = 242 – x
x = 242 – 210
x = 32
Odpowiedź: Piłkarz, który otrzymał czerwoną kartkę ma 32 lata
Zadanie 3
a – cena towaru
120% z a = 1,2a – cena towaru po I podwyŜce
125% z 1,2a = 1,25 ⋅ 1,2a = 1,5a
1,5 ⋅100% = 150%
150% - 100% = 50%
Odpowiedź: Pierwotna cena zwiększyła się o 50%.
33
Zadanie 4
I sposób
x – ilość cukierków
2
5
x+
x – x = -8 + 4 – 11
12 12
1
x + 8 - ilość cukierków dla Damiana
6
1
x – ( x + 8) - ilość cukierków pozostałych
6
1
0,5 (x – ( x + 8) ) + 11 - ilość cukierków dla
6
-
5
12
x = -15 / ⋅ ( )
12
5
x = 36
Maćka
1
1
x+8=
⋅ 36 + 8 = 6 + 8 = 14
6
6
5
0,5 ⋅ ( ⋅36 – 8 ) + 11 = 0,5 ⋅22 + 11 = 22
6
1
1
x + 8 + 0,5 (x – x - 8) + 11 = x
6
6
2
5
x+8+
x - 4 + 11 = x
12
12
II sposób
:6
X
36
6
⋅6
-8
⋅5
30
:2
22
:5
+8
11
⋅2
Odpowiedź: Do podziału było 36 cukierków. Damian dostał 14 cukierków, a Maciek 22.
Zadanie 5
< BAD = < DBA = 180° - (90° + 60°) = 30°
< ADB = 180° – 2⋅ 30° = 120° (suma kątów trójkąta równa się 180°)
< α i < BDA to kąty przyległe
< α = 180° - 120° = 60°
Odpowiedź: Kąt α ma 60°.
34