Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza

Zaawansowane metody numeryczne
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych
4. Równania różniczkowe zwyczajne — podstawy
teoretyczne
P. F. Góra
http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/
semestr letni 2005/06
Wstep
˛
Najogólniejsza˛ postacia˛ równania różniczkowego zwyczajnego (ODE, Ordinary
Differential Equation) rz˛edu n jest wyrażenie postaci
F
x, y,
dny
dy
,..., n
dx
dx
!
= 0,
(1)
gdzie y : R → R lub, niekiedy, y : C → C.
4. Równania różniczkowe zwyczajne — podstawy teoretyczne
2
Jeśli pochodna F po ostatnim argumencie nie znika (przynajmniej lokalnie),
(1) zapisujemy jako
dny
dn−1y
!
e x, y, dy , . . . ,
=
F
.
n
n−1
dx
dx
dx
(2)
Trzeba jednak pamietać,
˛
iż transformacja od (1) do (2) może wymagać dookreślenia (w tym sensie równanie (1) może nie być jednoznaczne).
4. Równania różniczkowe zwyczajne — podstawy teoretyczne
3
Przykład: Równanie
(ẏ )2 + y 2 = 1
(3a)
można zinterpretować na jeden z dwu sposobów:
q
1 − y2 ,
ẏ =
q
ẏ = − 1 − y 2 .
4. Równania różniczkowe zwyczajne — podstawy teoretyczne
(3b)
(3c)
4
Układy równań pierwszego rzedu
˛
Równanie w postaci (2) na ogół przedstawia sie˛ w postaci układu n równań pierwszego rz˛edu. Najprostsza — co nie oznacza, iż w każdym wypadku najlepsza
— transformacja od równania rz˛edu n do układu n równań pierwszego rz˛edu ma
postać:
y1 ≡ y ,
dy
dy1
d2y
dy2
dn−1y
dyn−1
≡
= y2 ,
≡
= y3 , . . . , n−1 ≡
= yn ,
(4)
dx
dx
dx2
dx
dx
dx
dny
dyn
≡
= Fe (x, y1, y2, . . . , yn) .
n
dx
dx
Dlatego od tej pory bedziemy
˛
sie˛ zajmować głównie układami równań rz˛edu pierwszego. Układy te nie musza˛ mieć postaci sugerowanej przez transformacje˛ (4),
ale widać, że takie zainteresowanie nie ogranicza ogólności rozważań.
4. Równania różniczkowe zwyczajne — podstawy teoretyczne
5
Numerycznie można poszukiwać tylko szczególnych (nie ogólnych) rozwiaza
˛ ń
równań różniczkowych. Rozwiazanie
˛
równania rz˛edu n lub też, co równoważne,
układu n równań rz˛edu pierwszego, zależy od n stałych wyznaczanych z warunków, jakie spełniać ma poszukiwana funkcja. Jeśli wszystkie te warunki zadane
sa˛ w jednym punkcie, czyli dla jednej wartości zmiennej niezależnej, mówimy, iż
dany jest problem poczatkowy,
˛
zwany inaczej problemem Cauchy’ego.
4. Równania różniczkowe zwyczajne — podstawy teoretyczne
6
Problem Cauchy’ego:







dy
= f (x, y)
dx
(5)
y(x0) = y0
gdzie y, y0 ∈ Rn, f : R × Rn → Rn (czasami zamiast R bierze sie˛ C).
4. Równania różniczkowe zwyczajne — podstawy teoretyczne
7
Twierdzenie Peana
Twierdzenie 1. Jeżeli funkcja f jest ciagła
˛
w pasie x0 6 x 6 X, to problem
Cauchy’ego (5) ma rozwiazanie
˛
w tym pasie.
Tradycyjnie, acz niezgodnie z zasadami polszczyzny, twierdzenie to zwane jest
“twierdzeniem Peano”.
4. Równania różniczkowe zwyczajne — podstawy teoretyczne
8
Uwaga: Twierdzenie Peana nie gwarantuje jednoznaczności rozwiaza
˛ ń. Przykład: Problem Cauchy’ego
(
q
ẏ = 2 |y|
y(0) = 0
(6)
ma co najmniej dwa różne rozwiazania:
˛
(7a)
y1(t) = 0 ,
oraz
y2(t) =

−t2
 t2
t 6 0,
t>0
(7b)
(zauważmy, że dy2/dt = 2|t|).
4. Równania różniczkowe zwyczajne — podstawy teoretyczne
9
Twierdzenie Picarda
Twierdzenie 2. Jeżeli funkcja f jest ciagła
˛
w pasie x0 6 x 6 X oraz spełnia
warunek Lipschitza ze wzgledu
˛
na druga˛ zmienna:
˛
∃L > 0 ∀ x : x0 6 x 6 X, ∀ y1, y2 : ||f (x, y1) − f (x, y2)|| 6 L||y1 − y2||
to problem Cauchy’ego (5) ma w tym pasie rozwiazanie
˛
i jest ono jednoznaczne.
Metody numeryczne ograniczaja˛ sie˛ do przypadków spełniajacych
˛
założenia
twierdzenia Picarda.
4. Równania różniczkowe zwyczajne — podstawy teoretyczne
10
Twierdzenie o ciagłej
˛
zależności rozwiazania
˛
od warunków poczatkowych
˛
Twierdzenie 3. Niech funkcja f bedzie
˛
różniczkowalna w sposób ciagły
˛
w pewnym otoczeniu punktu (x0, y0) ∈ R × Rn. Wówczas istnieje takie otoczenie
U ⊂ R punktu x0 i takie otoczenie S ⊂ Rn, y0 ∈ S, w którym problem
Cauchy’ego dy/dx = f (x, y), y(x̃) = ỹ ma rozwiazanie
˛
dla wszystkich x̃ ∈ U ,
ỹ ∈ S. Rozwiazanie
˛
to zależy przy tym od punktu poczatkowego
˛
(x̃, ỹ) w sposób ciagły.
˛
4. Równania różniczkowe zwyczajne — podstawy teoretyczne
11
Metody numeryczne
↓
zamiana problemu ciagłego
˛
na dyskretny
x0, x1 = x0 + h, x2 = x1 + h, . . . , xn = xn−1 + h, . . .
y0 = y(x0), y1 = y(x1), y2 = y(x2), . . . , yn = y(xn), . . .
h — krok czasowy (niekiedy może sie˛ zmieniać, ale o tym później)
4. Równania różniczkowe zwyczajne — podstawy teoretyczne
12
Metoda jawna (explicit) s–krokowa, rz˛edu p:
yn+1 = F (h; xn, yn, yn−1, . . . , yn−s+1) + O(hp+1)
(8)
Przepis konstrukcyjny pozwalajacy
˛ wyliczyć wartość poszukiwanej funkcji w kolejnym punkcie korzystajac
˛ z s punktów, w których wartość ta jest znana. Różnica pomiedzy
˛
dokładnym a przybliżonym rozwiazaniem
˛
jest (w jednym kroku)
rz˛edu hp+1.
4. Równania różniczkowe zwyczajne — podstawy teoretyczne
13
Metoda niejawna (implicit) s–krokowa, rz˛edu p:
yn+1 = G(h; xn, yn+1, yn, yn−1, . . . , yn−s+1) + O(hp+1)
(9)
Równanie algebraiczne (na ogół nieliniowe, wielowymiarowe), jakie musi spełniać poszukiwana funkcja w kolejnym punkcie. Równanie to trzeba numerycznie
rozwiazać
˛
w każdym kroku całkowania równania różniczkowego. W równaniu
uwzgledniane
˛
sa˛ informacje z s punktów, w których poszukiwana funkcja jest już
znana. Różnica pomiedzy
˛
dokładnym a przybliżonym rozwiazaniem
˛
jest (w jednym kroku) rz˛edu hp+1.
4. Równania różniczkowe zwyczajne — podstawy teoretyczne
14
Zgodność
Od każdej metody numerycznego całkowania równań różniczkowych wymaga
sie,
˛ aby była zgodna z wyjściowym równaniem, to jest aby odtwarzała je w granicy nieskończenie małych kroków.
Przykład: Dla metody jawnej (8) rozpatrzmy wyrażenie
yn+1 − yn
F (h; xn, yn, yn−1, . . . , yn−s+1) − yn
=
.
h
h
(10)
Lewa strona (10) nie zależy od wyboru metody i jest równa (yn+1 − yn)/h =
(y(xn +h)−y(xn))/h, a zatem jej granica przy h → 0+ wynosi dy/dx|x=xn =
f (xn, yn).
4. Równania różniczkowe zwyczajne — podstawy teoretyczne
15
Cała informacja o metodzie zawarta jest w prawej stronie (10), a zatem warunkiem zgodności metody (8) jest
F (h; xn, yn, yn−1, . . . , yn−s+1) − yn
= f (xn, yn) .
h
h→0+
lim
(11)
Dla metod niejawnych zapisanych formalnie w postaci (9) nie można podać
kryterium zgodności w postaci zwartej (można to zawsze zrobić dla konkretnej metody niejawnej), tym niemniej wymaga sie,
˛ aby wszystkie, a wiec
˛ także
niejawne, metody były zgodne.
4. Równania różniczkowe zwyczajne — podstawy teoretyczne
16
Stabilność
Podczas numerycznego rozwiazywania
˛
równań różniczkowych popełnia sie˛ dwa
rodzaje nieuniknionych błedów
˛
numerycznych:
• bład
˛ metody, wynikajacy
˛ z zastapienia
˛
ścisłego problemu ciagłego
˛
problemem dyskretnym oraz
• bład
˛ zaokraglenia,
˛
wynikajacy
˛ z faktu, iż obliczenia prowadzone sa˛ ze skończona˛ dokładnościa.
˛
4. Równania różniczkowe zwyczajne — podstawy teoretyczne
17
Dlatego też warunek poczatkowy
˛
w problemie Cauchy’ego ulega w każdym kroku „rozmyciu”:






dy
dy
dy






= f (x, y)
= f (x, y)
= f (x, y)
dx
dx
dx
−→
−→






 y(x ) = y
 y(x ) = y +ε
 y(x ) = y +ε
0
0
1
1
1
2
2
2
(12)
Gdyby ten „bład
˛ rozmycia” mógł propagować sie˛ z kroku na krok, rozwiazanie
˛
numeryczne szybko mogłoby przestać mieć cokolwiek wspólnego z rozwiazaniem
˛
wyjściowego problemu Cauchy’ego: aby metoda była stabilna, błedy
˛ popełniane
w kolejnych krokach nie moga˛ narastać z kroku na krok.
4. Równania różniczkowe zwyczajne — podstawy teoretyczne
18
Zakładamy, że błedy
˛ sa˛ niewielkie, ||εn|| 1, możemy sie˛ wiec
˛ ograniczyć do
przybliżenia liniowego. W tym przybliżeniu
εn+1 = Gεn .
(13)
Błedy
˛ nie bed
˛ a˛ narastać z kroku na krok, jeśli wszystkie wartości własne macierzy G bed
˛ a˛ spełniać |γ| < 1. Macierz G nazywamy macierza˛ wzmocnienia.
4. Równania różniczkowe zwyczajne — podstawy teoretyczne
19
Przykład: Dla jednokrokowej metody jawnej
yn+1 + εn+1 = F (h; xn, yn + εn) '
∂F F (h; xn, yn) +
εn .
∂ y y=yn
(14)
W powyższym wyrażeniu ∂F /∂ y oznacza różniczkowanie wszystkich składowych F po wszystkich składowych y, czyli obliczanie jakobianu: Dla jednokrokowej metody jawnej
∂F
G=
(h; xn, yn) .
∂y
(15)
Jeżeli jakaś metoda w ogóle może być stabilna dla danego równania, wymóg
stabilności oznacza na ogół wziecie
˛
odpowiednio małego kroku h. Zgodnie
z wyrażeniem (15), krok czasowy, który w pewnym punkcie zapewnia stabilność,
może go nie zapewniać w innym.
4. Równania różniczkowe zwyczajne — podstawy teoretyczne
20