Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna
Statystyki dostateczne – teoria
Rozważamy model statystyczny (X , {Pθ , θ ∈ Θ}). Najczęściej mamy do czynienia z próbą prostą n-elementową i wówczas X = Xn , gdzie X to zbiór możliwych wyników pojedynczego losowania, a Pθ to iloczyn rozkładów n pojedynczych prób.
Definicja: Statystyką nazywamy odwzorowanie T : X → Rk , k ∈ N. (Czyli statystyka to
po prostu pewna funkcja próby o wartościach w Rk ).
Definicja: Statystyka T jest dostateczna, jeżeli dla każdej wartości t tej statystyki jej rozkład warunkowy Pθ (· | T = t) nie zależy od θ.
Kryterium faktoryzacji: Statystyka T jest dostateczna wtedy i tylko wtedy, gdy gęstość
rozkładu prawdopodobieństwa próby X1 , . . . , Xn można przedstawić w postaci
fθ (x1 , . . . , xn ) = gθ (T (x1 , . . . , xn ))h(x1 , . . . , xn ),
czyli w postaci iloczynu funkcji h zależnej od wartości próby, ale niezależnej od parametru
θ i funkcji gθ zależnej od parametru θ i zależnej od próby, ale tylko poprzez wartość statystyki T .
Uwaga:
• Statystyki dostateczne mają następujące zastosowanie praktyczne: zamiast brać pod
uwagę całą próbę, tzn. uwzględniać wszystkie wylosowane wartości oraz ich kolejność,
możemy ograniczyć się do informacji zawartej w wartości statystyki; jeśli statystyka jest dostateczna, to jej wartość jest wystarczającą (dostateczną) informacją do
wnioskowania o wartości nieznanego parametru.
• Dla danej rodziny rozkładów może istnieć kilka statystyk dostatecznych. Np. cała próba jest zawsze statystyką dostateczną. Najczęściej statystyką dostateczną jest
również statystyka porządkowa, czyli próba uporządkowana od wartości najmniejszej do największej. Powstaje problem jak wybrać statystykę, która będzie zawierała
minimalną ilość informacji wystarczającą do wyznaczenia wartości nieznanego parametru.
Definicja: Statystykę dostateczną S nazywamy minimalną statystyką dostateczną, jeżeli
dla każdej statystyki dostatecznej T istnieje funkcja h taka, że S = h(T ) (czyli S powstaje
jako pewna funkcja każdej innej statystyki dostatecznej).
(Na podstawie: Ryszard Zieliński, Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej, PWN, Warszawa, 1990)