Matura Próbna +odp

MATURA PRÓBNA - odpowiedzi
=−
Zadanie 1. (1pkt) Zbiorem wartości funkcji
A.
−∞, 2
B.
+ 6 − 7 jest przedział:
2, ∞
C.
−∞, 〉
D. 〈2, ∞
Zadanie 2. (1pkt) Objętość kuli wpisanej w sześcian o krawędzi długości 6 jest równa:
B. 4
A.
−4
Zadanie 3. (1pkt) Rozwiązaniem równania
− 3 + 12 = 0 jest liczba:
B. −2
A.
C. −3
Zadanie 4. (1pkt) Jeśli proste DE i GH są równoległe, to odcinek
rysunek):
A. 12
B.
Zadanie 5. (1pkt) Dla zbioru liczb
A.
B.
C.
D.
D. 12
C.
D. 3
ma długość (patrz
C. 4
D. 8
= {6; 9; 10; 1; 8; 2; 4; 2}:
mediana jest równa 4,5 i średnia arytmetyczna jest równa 5
mediana jest równa 5 i średnia arytmetyczna jest równa 5,25
mediana jest równa 4,5 i średnia arytmetyczna jest równa 5,25
mediana jest równa 5 i średnia arytmetyczna jest równa 5
Zadanie 6. (1pkt) Liczba −2 nie należy do dziedziny wyrażenia:
A. √ + 4
B. √2 + 4
C.
$ % &'
$ % ('
D.
) &
) ( )
Zadanie 7. (1pkt) Dany jest przedział liczbowy 〈3; 11 . Średnia arytmetyczna liczb pierwszych należących do tego przedziału
jest równa:
A. *
B.
+
'
Zadanie 8. (1pkt) Promień okręgu o równaniu
√
A.
C. 7
−2
+ ,+2
D. 6
= 24 ma długość:
C. 3
B. √3
D. 12
Zadanie 9. (1pkt) Dany jest ciąg geometryczny -. , w którym - = 12 i / = 3. Wówczas:
A. -0 = 4
B. 12 =
C. -0 = 6
D. -0 = 9
Zadanie 10. (1pkt) Kąt wpisany o mierze 60° jest oparty na:
A.
2
długości okręgu
B.
0
+
długości okręgu
Zadanie 11. (1pkt) Funkcja określona wzorem
A. 4 = 0
= 4+1
B. 5 = −2
C.
0
'
długości okręgu
D.
0
3
D.
4>1
długości okręgu
− 4 jest stała dla:
C.
4=1
+7
Zadanie 12. (1pkt) Rozwiązaniem nierówności
A. ∅
> 0 jest:
B. −7
−∞; −9 ∪ −9; +∞
C.
D. ℝ
Zadanie 13. (1pkt) W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych 5 i 12, sinus najmniejszego kąta jest równy:
A.
<
0
B.
0
<
C.
0
<
D.
*
2
Zadanie 14. (1pkt) Liczb trzycyfrowych, w której żadna z cyfr się nie powtarza, jest:
A. 729
B. 504
Zadanie 15. (1pkt) Jeżeli liczbę
A. 1
√3
'∙√
zapiszemy w postaci 2$ , to
A. 2
$ $&
$ % ('$
D. −
C. 2
D. 4
0
= 0 jest równa:
Zadanie 17. (1pkt) Iloczyn miejsc zerowych funkcji
B.
0
C.
B. 3
A. parzystą
D. 900
jest równe:
B. −2
Zadanie 16. (1pkt) Liczba rozwiązań równania
>
C.
=
+ 5 jest liczbą:
pierwszą
C. niewymierną
D. dodatnią
Zadanie 18. (1pkt) Suma przedziałów przedstawionych na rysunku jest rozwiązaniem nierówności:
A. |2 + 5| > 3
Zadanie 19. (1pkt) Jeżeli
A.
√ −
B. | ) + *| ≥
C. |2 − 5| > 3
D. |2 − 5| ≥ 3
C. −4
D. 4 − 2√2
= 2√2 i , = 2 − √2, to , równe jest:
B. 4 − √2
Zadanie 20. (1pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny -. = 2B − 5. Suma sześciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
A. 7
B. 2
C. 10
D. 14
Zadanie 21. (1pkt) Środek okręgu opisanego na trójkącie leży zawsze na przecięciu się:
A. dwusiecznych
Zadanie 22. (1pkt) Punkty
B.
symetralnych
D. wysokości
= 1; 4 i C = 4; 1 wyznaczają przekątną kwadratu DCE. Obwód tego kwadratu jest równy:
B. 12√2
A. 18
C. środkowych
C. 8√3
D. 2
Zadanie 23. (1pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość 8, wysokość ostrosłupa ma
długość 6. Ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem F takim, że:
A. sin F =
'
B. tg F = '
3
C. tg F = +
D. LM N =
Zadanie 24. (2pkt) Wartości kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz wartości tych kątów wiedząc, że najmniejszy
z nich jest równy 75°.
Jeżeli ciąg jest arytmetyczny, to oznaczamy różnicę ciągu literą U. Kolejne kąty (wyrazy ciągu) możemy zapisać w
sposób:
75°; 75° + U; 75° + 2U; 75° + 3U
Suma kątów w czworokącie wynosi zawsze 360°, więc:
75° + 75° + U + 75° + 2U + 75° + 3U = 360°
300° + 6U = 360°
6U = 60°
|: 6
U = 10°
Kąty czworokąta mają więc następujące wartości: 75°; 85°; 95°; 105°.
Zadanie 25. (2pkt) Rozwiąż nierówność
− 5 + 6 < 0.
−5 +6< 0
∆= 25 − 24 = 1
√∆= 1
0
=
5−1
=2
2
=
5+1
=3
2
Odp.
∈ (2; 3)
Zadanie 26. (2pkt) Wyznacz miarę kąta ostrego F, jeżeli wiadomo, że 2PQBFRSPF = PQB FRSPF + RSP F.
2 sin F cos F = sin F cos F + cos F
|: cos F
Jeżeli F ma być kątem ostrym czyli mniejszym od 90°, to możemy równanie podzielić stronami przez cos F, gdyż dla
kątów mniejszych od 90° cos F ≠ 0
czyli
2 sin F = [\
sin\\
F\]\
+ cos
\\\^
F
0
2 sin F = 1
sin F =
1
2
F = 30°
|: 2
+5
Zadanie 27. (2pkt) Rozwiąż równanie
+5
+4 =0
Wyłączamy
(
+ 4 = 0.
przed nawias:
+ 5 + 4) = 0
Jedno z rozwiązań wynosi 0, a pozostałe dwa znajdziemy obliczając ∆ i znajdując pierwiastki równania kwadratowego.
+5 +4= 0
∆= 25 − 16 = 9
√∆= 3
0
=
Odp.:
−5 − 3
= −4
2
0
=0
=
=
&<&
−5 + 3
= −1
2
= −4
Zadanie 28. (2pkt) Udowodnij, że 125
=
<
&<(
= −1
< 250 <.
125
<
< 250
(5 )
<
< (5 )0
5`< < 5
<
<
<a
Zadanie 29. (2pkt) Udowodnij, że suma kątów przedstawionych na rysunku wynosi 360°.
Możemy oznaczyć kąty w trójkącie jako kąty przyległe kolejno do
kątów F, b, c czyli 180° − F; 180° − b; 180° − c
Suma tych kątów wynosi 180° więc:
180° − F + 180° − b + 180° − c = 180°
−F − b − c = −360°
F + b + c = 360°
| ⋅ (−1)
Zadanie 30. (4pkt) Rzucamy dwoma symetrycznymi sześciennymi kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn
wyników, jakie wypadły na obu kostkach, jest dwucyfrowy.
f = 6 = 36
Obliczamy ilość wszystkich możliwych zdarzeń Ω
- zdarzenie w którym iloczyn wylosowanej pary liczb jest liczbą dwucyfrową np. 3 ⋅ 5 = 15
Wypisujemy możliwe zdarzenia
= {(2, 5), (5, 2), (2, 6), (6, 2), (3, 4), (4, 3), (3, 5), (5, 3), (3, 6), (6, 3), (4, 4), (4,5), (5, 4), (4, 6), (6, 4),
(5, 5), (5, 6), (6,5), (6, 6) }
czyli jest 19 takich par liczb, których iloczyn jest dwucyfrowy
̿ = 19
Odp. h( ) =
0i
+
Zadanie 31. (5pkt) Oblicz objętość czworościanu foremnego, w którym wysokość ma długość j = 2√6.
Odcinek między wierzchołkiem podstawy a spadkiem wysokości ostrosłupa czyli punktem, w którym osadzona jest wysokość
wynosi wysokości podstawy czyli wysokości trójkąta równobocznego
2
2 -√3 -√3
ℎ∆ = ⋅
=
3
3 2
3
Z tw. Pitagorasa
l ℎm n + j = o√
l
więc
n + (2√6) = -
- ⋅3
+ 24 = 9
+ 24 = 3
|⋅3
- + 72 = 3- − 3- = −72
−2- = −72
|: (−2)
- = 36
-=6
0 o% √
'
Obliczamy objętość ze wzoru p = ⋅
0 +% √
'
czyli p = ⋅
0
⋅ 2√6 = ⋅
+√
'
⋅
√+
0
⋅j
= 3√18 = 9√2 j
Zadanie 32. (6pkt) Trawnik w kształcie prostokąta miał powierzchnię 120 r . Gdyby zmniejszyć długość trawnika o 2r,
a szerokość zwiększyć o 2 r, to okazałoby się, że pole powierzchni tego trawnika nie zmieniło się. Oblicz wymiary trawnika.
- – długość trawnika
t – szerokość trawnika
- − 2 - długość po skróceniu o 2 m
t + 2 - szerokość po zwiększeniu o 2 m
- ⋅ t = 120
s
(- − 2)(t + 2) = 120
u
-t = 120
-t + 2- − 2t − 4 = 120
-t = 120
s
2- − 2t − 4 = 0
u
u
|: 2
-t = 120
-−t−2=0
-t = 120
- =t+2
Podstawiając do pierwszego równania za - wyznaczoną wartość otrzymamy równanie
(t + 2)t = 120
t + 2t − 120 = 0
Δ = 484
√Δ = 22
t0 =
−2 − 22
= −12 ∉ x(
2
czyli t = 10
- = t + 2 = 12
Odp. - = 12; t = 10
t =
−2 + 22
= 10
2