cz. 1

dr Arkadiusz Orzechowski
Szkoáa Gáówna Handlowa
Analiza efektywności obliczeniowej opcji
na przykładzie modelu F. Blacka i M. Scholesa
Wprowadzenie
Jednym z najwiĊkszych osiągniĊü w dziedzinie finansów jest model wyceny
opcji autorstwa F. Blacka i M. Scholesa (1973, s. 637–654). Opracowane podejĞcie opiera siĊ na zaáoĪeniu stanowiącym, iĪ ceny aktywów, na które opiewają
opcje, podlegają geometrycznemu ruchowi Browna, w którym zmiennoĞü notowaĔ
walorów bazowych jest staáa. Uproszczenie to nie pozwala jednak modelowaü rzeczywistego zachowania rynków finansowych. Jak zauwaĪa bowiem m.in. R. Cont
(2007, s. 289–309), empiryczne dane dotyczące zmian cen akcji i ich indeksów
wskazują na istnienie nadmiaru zmiennoĞci stóp zwrotu (Fama, French 1993,
s. 3–56), wystĊpowanie grubych ogonów w ich rozkáadach i dodatniej kurtozy
(Jondeau, Rockinger 2003, s. 559–581), braku liniowej autokorelacji rentowoĞci
papierów wartoĞciowych (Mandelbrot 1963, 394–419), skáonnoĞci dochodowoĞci
walorów i ich portfeli do ukáadania siĊ w klastry (Lux, Marchesi 2000, s. 675–702)
oraz korelacji wolumenu obrotu ze zmiennoĞcią rentownoĞci (Fleming, Kirby 2011,
s. 1714–1726). Zjawiska te przyczyniáy siĊ do powstania alternatywnych sposobów opisu ĞcieĪek cenowych aktywów i ich koszyków oraz opracowania nowych
podejĞü do okreĞlania wartoĞci kontraktów bazujących na prawach pochodnych.
Skonstruowane w tym celu modele moĪna podzieliü na te, w których:
• dopuszczona jest moĪliwoĞü wystĊpowania skoków kursowych, tj. modele S.
Kou’a (2002), VG (Madan, Carr, Chang 1998, s. 79–105), NIG (Barndorff-Nielsen 1998, s. 41–68), CGMY (Carr et al. 2002, s. 305–332);
• funkcjonuje zaáoĪenie o braku staáoĞci zmian wariancji kursów aktywów bazowych w czasie, tj. modele J. Hulla i A. White’a (1987, s. 281–300), E. Steina
i J. Steina (1991, s. 727–752), S. Hestona (1993, s. 327–343), C. Balla
i A. Romy (1994, s. 589–607) itd.;
• „parametry” nie są staáe, np. SABR (Hagan et al. 2002, s. 84–108).
138
dr Arkadiusz Orzechowski
NarzĊdziem, czĊsto wykorzystywanym w procesie okreĞlania wartoĞci opcji,
zarówno w modelach Levy’ego (modele F. Blacka i M. Scholesa, S. Kou’a, VG,
NIG, CGMY), jak i typu affine (modele stochastycznej zmiennoĞci), jest transformata Fouriera. Ze wzglĊdu na to, Īe moĪe ona zostaü uwzglĊdniona w przeksztaáceniach matematycznych na róĪne sposoby, istotnym wydaje siĊ wybór takiego
podejĞcia, które jest najbardziej efektywne.
Celem niniejszego artykuáu jest przegląd istniejących sposobów wykorzystania transformaty Fouriera w procesie okreĞlania wartoĞci opcji waniliowych typu
europejskiego oraz zaproponowanie autorskiej koncepcji, która moĪe stanowiü
alternatywĊ w stosunku do wczeĞniej opracowanych podejĞü. Wszystkie obliczenia wykonywane są przy zaáoĪeniu, Īe uproszczenia w funkcjonowaniu rynków
finansowych sformuáowane przez F. Blacka i M. Scholesa (1973) są prawdziwe.
Warto zauwaĪyü, Īe opracowana metodologia moĪe byü wykorzystana w modelach
Levy’ego oraz, po pewnych modyfikacjach, podlegaü implementacji do modeli
typu affine. W ramach podejmowanej problematyki przedmiotem szczególnego
zainteresowania czyni siĊ wybór takiego podejĞcia bazującego na transformacie
Fouriera, które jest najbardziej efektywne pod wzglĊdem szybkoĞci generowania
wartoĞci teoretycznych opcji oraz precyzji obliczeniowej. Czynnikami ryzyka branymi pod uwagĊ są cena i zmiennoĞü notowaĔ instrumentu bazowego oraz czas
pozostający do wygaĞniĊcia opcji.
1. Wycena opcji w modelu F. Blacka i M. Scholesa
Istnieją dwa podstawowe podejĞcia do wyceny opcji w ramach modelu F. Blacka i M. Scholesa (1973). Pierwsze z nich bazuje na rozwiązaniu równania róĪniczkowego cząstkowego drugiego rzĊdu, które przyjmuje nastĊpującą postaü:
(1)
gdzie:
V(St,t) – wartoĞü opcji zaleĪna od ceny instrumentu podstawowego St i czasu t,
ɐ – zmiennoĞü stopy zwrotu z aktywów, na które opiewa kontrakt,
r – stopa zwrotu wolną od ryzyka.
Ostatecznie, wartoĞci opcji kupna i sprzedaĪy wyznaczane są odpowiednio
zgodnie z poniĪszymi formuáami (model okreĞlany dalej jako BS):
(2)
(3)
gdzie:
K – cena wykonania opcji,
N(.) – dystrybuanta wystandaryzowanego rozkáadu normalnego.
Analiza efektywnoĞci obliczeniowej opcji na przykáadzie modelu...
139
Drugie podejĞcie, nazywane martyngaáowym, zakáada, iĪ cena opcji jest wartoĞcią oczekiwaną przyszáych przepáywów pieniĊĪnych zdyskontowanych wzglĊdem
pewnej miary martyngaáowej na moment dokonywania analizy. W konsekwencji,
wartoĞü kontraktów kupna i sprzedaĪy obliczana jest odpowiednio przy wykorzystaniu nastĊpujących wzorów:
(4)
(5)
2. Przegląd modeli wyceny opcji
opartych na transformacie Fouriera
WyróĪniü moĪna szeĞü podstawowych modeli pozwalających wyceniü opcje
przy wykorzystaniu transformaty Fouriera. Ze wzglĊdu jednak na to, Īe ich dokáadna analiza zostaáa przeprowadzona wczeĞniej (Orzechowski 2014, s. 157–174),
w dalszej czĊĞci artykuáu bĊdące przedmiotem zainteresowania koncepcje są prezentowane jedynie skrótowo.
Pierwszym z przedstawianych modeli jest model G. Bakshi i D. Madana (2000,
s. 205–238) (okreĞlany dalej jako BS-BM). W ramach tego podejĞcia ceny aktywów bazowych oraz rozliczenia przeksztaácane są do wartoĞci logarytmicznych.
W rezultacie formuáa (4) przyjmuje nastĊpującą postaü:
(6)
gdzie:
sT i k
– to odpowiednio logarytmy naturalne ceny aktywów podstawowych
w momencie rozliczenia i ceny wykonania opcji
– oznacza funkcjĊ gĊstoĞci prawdopodobieĔstwa zmiennej sT przy filtracji
NastĊpnie, prawa strona równania (6) rozbijana jest na dwie czĊĞci. Dla kaĪdej
z nich wyznaczane są transformaty Fouriera, które są kolejno odwracane. W rezultacie podjĊtych dziaáaĔ otrzymywany jest wzór na wartoĞü teoretyczną opcji, tj.:
140
dr Arkadiusz Orzechowski
(7)
gdzie:
ɕ(.) – transformata Fouriera,
Ը[.] – czĊĞü rzeczywista funkcji podcaákowej,
i
– czĊĞü urojona liczby zespolonej.
Drugim modelem wyceny opcji jest model P. Carra i D. Madana (1999,
s. 61–73) (okreĞlany dalej jako BS-CM). Punktem wyjĞcia rozpatrywanego podejĞcia jest zmiana cen aktywów bazowych i rozliczenia do postaci logarytmicznej, co
pozwala otrzymaü formuáĊ (6). NastĊpnie, za funkcjĊ gĊstoĞci prawdopodobieĔstwa
zmiennej sT podstawiana jest jej funkcja charakterystyczna, cena opcji zaĞ ulega
modyfikacji przy pomocy parametru a. Ostatecznie, dla otrzymanej wielkoĞci,
obliczane są transformata Fouriera oraz odwrotna transformata Fouriera. PodjĊte
dziaáania pozwalają wygenerowaü formuáĊ okreĞlającą wartoĞü modelową opcji
kupna, tj.:
(8)
Otrzymany wynik jest modyfikowany przez P. Carra i D. Madana dla opcji
o krótkich terminach pozostających do wygaĞniĊcia. Ostatecznie, wzór na wycenĊ
instrumentów finansowych bazujących na prawach pochodnych przybiera postaü:
(9)
gdzie:
.
Trzecim modelem opartym na transformacie Fouriera jest model M. Attariego
(2004) (metoda okreĞlana dalej jako BS-A). Wyprowadzenie rozpatrywanego podejĞcia rozpoczyna siĊ od uogólnienia procesu odpowiedzialnego za ksztaátowanie
cen instrumentu bazowego do nastĊpującej postaci:
(10)
gdzie:
x(t,T) – losowy „szok cenowy” aktywów bazowych, który moĪe byü utoĪsamiany
zarówno ze skokiem kursowym, jak i dowolnym procesem o charakterze
losowym.
Analiza efektywnoĞci obliczeniowej opcji na przykáadzie modelu...
141
Zakáadając, Īe x(t,T) ma rozkáad normalny, áatwo moĪna przetransformowaü
wzór (6) do nastĊpującej postaci:
(11)
gdzie:
.
, umoĪliwia
DostrzeĪenie tego, Īe
potraktowanie p1 i p2 jak funkcji gĊstoĞci prawdopodobieĔstwa. Wyznaczenie
dla tych wielkoĞci transformat Fouriera oraz odwrotnych transformat Fouriera
pozwala na wyprowadzenie formuáy okreĞlającej wartoĞü opcji, tj.:
(12)
Czwartym modelem wyceny wykorzystującym transformatĊ Fouriera jest
model D. Batesa (2006, s. 909–956) (okreĞlany dalej jako BS-B). Jego konstrukcja
oparta jest na niewielkiej modyfikacji koncepcji M. Attariego (2004). Podobnie
jak poprzednio, formuáa (6) ulega przeksztaáceniu, z tą jednak róĪnicą, Īe w tym
przypadku wygenerowany wzór przyjmuje nastĊpującą postaü:
(13)
NastĊpnie, wzór (13) jest modyfikowany poprzez zamianĊ cen aktywów bazowych i wykonania na logarytmiczne wartoĞci rozpatrywanych wartoĞci. Ostatecznie, obliczane są kolejno transformata Fouriera dla funkcji gĊstoĞci prawdopodooraz odwrotna transformata Fouriera. Pozwala to wyznaczyü
bieĔstwa
wartoĞü opcji zgodną z poniĪszym wzorem:
(14)
Piątym modelem opartym na transformacie Fouriera jest model A. Lewisa
(2001) (metoda okreĞlana dalej jako BS-Le). W ramach zaproponowanego podejĞcia wartoĞü kontraktów bazujących na prawach pochodnych okreĞlana jest poprzez
wielokrotne przeksztaácenie wzoru (6). Na początku, w ramach podejmowanych
czynnoĞci, dokonywane jest podstawienie: sT = lnST oraz wyznaczana jest transformata Fouriera zmodyfikowanej funkcji wypáaty analizowanych instrumentów
finansowych. Ostatecznie, odwoáanie siĊ do definicji uogólnionej transformaty
142
dr Arkadiusz Orzechowski
Fouriera pozwala okreĞliü wartoĞü europejskiej opcji kupna w modelu F. Blacka
i M. Scholesa w nastĊpujący sposób:
(15)
Szóstym modelem wyceny opcji, w którym wykorzystywana jest transformata Fouriera, jest model A. Liptona (2002) (metoda okreĞlana dalej jako BS-Li).
Punktem wyjĞcia przeprowadzonej analizy są przeksztaácenia wykonane w ramach
poprzedniego podejĞcia. Znając sposób wyznaczania funkcji charakterystycznej
przy zaáoĪeniu, Īe
, tj.:
(16)
moĪna áatwo obliczyü cenĊ teoretyczną europejskiej opcji kupna, tj.:
(17)
3. Nowy model wyceny opcji
oparty na transformacie Fouriera
Nowe podejĞcie (oznaczone dalej jako BS-Au), pozwalające wyceniü opcje
przy wykorzystaniu transformaty Fouriera, skáada siĊ z kilku etapów. Na początku dokonana jest nastĊpująca zamiana zmiennych: sT = lnST oraz k = lnK, która
umoĪliwia wyraĪenie wartoĞci opcji kupna zgodnie ze wzorem (6). NastĊpnie,
prawa strona równania (6) rozbijana jest na dwie czĊĞci, tj.:
(18)
Dla pierwszej z nich wyznaczana jest transformata Fouriera tak jak w modelu
G. Bakshiego i D. Madana (2000, s. 205–238), tj.:
(19)
Warto zauwaĪyü, Īe
moĪe byü traktowana zarówno jako
, jak i wartoĞü oczefunkcja charakterystyczna
przy
, tj.
kiwana zmiennej ST. Pozwala to przeksztaáciü wzór (19) do poniĪszej postaci:
Analiza efektywnoĞci obliczeniowej opcji na przykáadzie modelu...
143
(20)
Dla drugiej czĊĞci równania (18) wyznaczana jest transformata Fouriera
w nastĊpujący sposób:
(21)
Odwrócenie transformat Fouriera oraz wstawienie ich do wzoru (18) pozwala
ostatecznie otrzymaü wzór na cenĊ opcji kupna, tj.:
(22)
Po uproszczeniu formuáa (22) moĪe byü zapisana jako:
(23)
4. Szybkość obliczeniowa
ZnajomoĞü formuá analitycznych na wycenĊ opcji pozwala dokonaü pomiaru
szybkoĞci generowania wartoĞci teoretycznych kontraktów w ramach kaĪdego
z uwzglĊdnionych podejĞü. Czas, który jest potrzebny do okreĞlenia cen modelowych instrumentów finansowych bazujących na prawach pochodnych, jest wyznaczany przy zaáoĪeniu, Īe stosowne kody napisane są w pakiecie Mathematica 7.0
uruchamianym na komputerze z procesorem Intel i5-4210U CPU @ 2,40 GHz
z pamiĊcią RAM równą 6 GB. Przy obliczeniach przyjĊto zaáoĪenie, Īe cena
wykonania opcji wynosi 60, zmiennoĞü dochodowoĞci aktywa bazowego oraz
stopa zwrotu wolna od ryzyka ksztaátują siĊ na poziomie 5%, a okres pozostający
do wygaĞniĊcia zmienia siĊ z t/T = 0,01 do t/T = 0,05, a nastĊpnie do t/T = 0,09.
Wyniki otrzymane dla kontraktów in-the-money (ITM), at-the-money (ATM) oraz
out-of-the-money (OTM) w róĪnych okresach do wygaĞniĊcia prezentowane są
w tabeli 1.
Z informacji zawartych w tabeli wynika, Īe wycenĊ teoretyczną opcji europejskich moĪna otrzymaü najszybciej, stosując metodĊ BS. Nie powinno byü
to zaskoczeniem, gdyĪ jest to jedyne podejĞcie, spoĞród uwzglĊdnionych, które
ma charakter analityczny. Najwolniej wycenĊ kontraktów bazujących na prawach
pochodnych moĪna wygenerowaü, wykorzystując podejĞcia BS-CM i BS-A. Pozostaáe sposoby wyznaczania wartoĞci opcji naleĪy traktowaü jako równorzĊdne pod
wzglĊdem szybkoĞci obliczeniowej.
144
dr Arkadiusz Orzechowski
Tabela 1
Porównanie szybkoĞci obliczeniowej wyceny europejskich opcji kupna metodami bazującymi na transformacie Fouriera
Czas do wygaĞniĊcia dla róĪnych kategorii opcji (w sekundach)
OTM (S0 = 55)
ATM (S0 = 60)
ITM (S0 = 65)
t/T=0,01 t/T=0,05 t/T=0,09 t/T=0,01 t/T=0,05 t/T=0,09 t/T=0,01 t/T=0,05 t/T=0,09
BS
2,0×10-15 1,6×10-15 2,8×10-15 1,5×10-15 1,4×10-15 2,3×10-15 1,7×10-15 3,33×10-16 6,28×10-16
BS-BM
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
BS-CM
0,05
0,03
0,03
0,05
0,03
0,05
0,05
0,03
0,05
BS-A
0,05
0,05
0,03
0,05
0,05
0,03
0,05
0,05
0,03
BS-B
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
BS-Le
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
BS-Li
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
BS-Au
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
ħródáo: opracowanie wáasne.
5. Analiza błędu obliczeniowego
W celu ostatecznego wyboru najbardziej efektywnego rozwiązania, spoĞród
omawianych, obliczane są róĪnice pomiĊdzy cenami teoretycznymi generowanymi
przez model BS i poszczególne podejĞcia wykorzystujące transformatĊ Fouriera.
Podobnie jak poprzednio, przedmiotem analizy są opcje, których cena wykonania
wynosi 60, odchylenie standardowe dochodowoĞci aktywa bazowego oraz rentownoĞü instrumentów wolnych od ryzyka ksztaátują siĊ na poziomie 5%, a czas
pozostający do wygaĞniĊcia zmienia siĊ zt /T = 0,01 do t /T = 0,05, a nastĊpnie
do t /T = 0,09. Otrzymane wyniki prezentowane są na wykresach 1–7.
Analiza efektywnoĞci obliczeniowej opcji na przykáadzie modelu...
Wykres 1
RóĪnice pomiĊdzy teoretycznymi cenami opcji kupna wyznaczonymi metodą BS
oraz BS-BM dla opcji OTM, ATM i ITM
5yĪQLFD SRPLĊG]\
ĊG] cenami opcji kupnaa w modelach
de ch
BS
BS BM
BS i BS BM S0 55, K 60, r 0,05 dla t
0, 1
4.
10 6
2.
10 6
0
0,2
2.
10 6
0,5
4.
10 6
0,05
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Czas do wykupu t
5yĪQLFD SRPLĊG]\
ĊG] cenami opcji kupnaa w modelach
de ch
BS
BS BM
BS i BS BM S0 60, K 60, r 0,05 dla t
0, 1
4.
10 6
2.
10 6
0
0,2
2.
10 6
0,5
4.
10 6
0,05
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Czas do wykupu t
5yĪQLFD SRPLĊG]\
ĊG] cenami opcji kupnaa w modelach
de ch
BS
BS BM
BS i BS BM S0 65, K 60, r 0,05 dla t
0, 1
4.
10 6
2.
10 6
0
0,2
2.
10 6
0,5
4.
10 6
0,05
0.0
0.2
0.4
0.6
Czas do wykupu t
ħródáo: opracowanie wáasne.
0.8
1.0
145
146
dr Arkadiusz Orzechowski
Wykres 2
RóĪnice pomiĊdzy teoretycznymi cenami opcji kupna wyznaczonymi metodą BS
oraz BS-CM Į = 1 dla opcji OTM, ATM i ITM
5yĪQLFD SRPLĊG]\
ĊG] cenami opcji kupnaa w modelach
de ch
BS
BS CM
BS i BS CM S0 55, K 60, r 0,05 dla t
0, 1
4.
10 6
2.
10 6
0
0,2
2.
10 6
0,5
4.
10 6
0,05
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Czas do wykupu t
5yĪQLFD SRPLĊG]\
ĊG] cenami opcji kupnaa w modelach
de ch
BS
BS CM
BS i BS CM S0 60, K 60, r 0,05 dla t
0, 1
4.
10 6
2.
10 6
0
0,2
2.
10 6
0,5
4.
10 6
0,05
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Czas do wykupu t
5yĪQLFD SRPLĊG]\
ĊG] cenami opcji kupnaa w modelach
de ch
BS
BS CM
BS i BS CM S0 65, K 60, r 0,05 dla t
0, 1
4.
10 6
2.
10 6
0
0,2
2.
10 6
0,5
4.
10 6
0,05
0.0
0.2
0.4
0.6
Czas do wykupu t
ħródáo: opracowanie wáasne.
0.8
1.0
$QDOL]D HIHNW\ZQRĞFL REOLF]HQLRZHM RSFML QD SU]\NáDG]LH PRGHOX
147
Wykres 3
5yĪQLFH
SRPLĊG]\ WHRUHW\F]Q\PL FHQDPL RSFML NXSQD Z\]QDF]RQ\PL PHWRGą
%6 5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQD
Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD]
RUD] %6$ GOD RSFML 270$70 L ,70
OTM, ATM i ITM
5yĪQLFD SRPLĊG]\
5yĪQLFD SRPLĊG]\
SRPLĊG cenami opcji kupna w modelach
modelach
BS
BS A
BS i BS A S0 55, K 60, r 0,05 dla t
0, 1
4.
10 6
2.
10 6
0
0,2
2.
10 6
0,5
4.
10 6
0,05
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
ĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQD Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD]
5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami
OTM, ATM i ITM
5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQD
Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD]
5yĪQLFD SRPLĊG
SRPLĊG]\ cenami opcji kupna
na w modelach
modelach
ĪQLFD SRPLĊG]\
modelach
6
Czas do wykupu t
BS
BS A
6
6
6
4.
10 6
2.
10 6
A
BS i BS A S0 60, K 60, r 0,05 dla t 0, 1
5yĪQLFD
SRPLĊG]\
6
5yĪQLFD SRPLĊG]\
6
0,05
6
0
2.
10 6
4.
10 6
0,2
6
0,5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Czas do wykupu t
5yĪQLFD SRPLĊG]\
modelach
ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH
5yĪQLFD SRPLĊG]\
SRPLĊG cenami opcji kupna w modelach
modelach
6
6
BS A
6
BS
10 6
2.
10 6
0
5yĪQLFD
SRPLĊG]\
2.
10 6
4.
6
10 6
6
ħUyGáR RSUDFRZDQLH ZáDVQH
Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD]
0,05
modelach
5yĪQLFD SRPLĊG]\
0,2
0,5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Czas do wykupu t
ZáDVQH
0, 1
5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSF
4.
B
A
BS i BS A S0 65, K 60, r 0,05 dla t
6
6
6
ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH
ĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSF
Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD]
5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami
5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSF
Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD]
ĪQLFD SRPLĊG]\
modelach
5yĪQLFD SRPLĊG]\
modelach
6
5yĪQLFD SRPLĊG]\
B
6
,05
6
6
6
6
6
B
5yĪQLFD
SRPLĊG]\ cenami
6
6
,05
6
6
6
B
6
modelach
6
B
6
6
6
6
6
6
5yĪQLFD SRPLĊG]\
modelach
ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH
5yĪQLFD SRPLĊG]\
5yĪQLFD SRPLĊG]\
5yĪQLFD
SRPLĊG]\
148
dr Arkadiusz Orzechowski
ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH
5yĪQLFD SRPLĊG]\
Wykres 4
5yĪQLFH
SRPLĊG]\ WHRUHW\F]Q\PL FHQDPL RSFML NXSQD Z\]QDF]RQ\PL PHWRGą
%6 5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSF
Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD]
RUD] %6% GOD RSFML 270$70 L ,70
OTM, ATM i ITM
5yĪQLFD SRPLĊG]\
LĊG cenami opcji kupna
na w modelach
modelach
ZáDVQH
ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH
BS
BS B
BS i BS B S0 55, K 60, r 0,05 dla t
4.
10 6
2.
10 6
5yĪQLFD SRPLĊG]\
0, 1
0,05
0
0,2
2.
10 6
0,5
4.
10 6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Czas do wykupu t
ĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSF
Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD]
5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami opcji
5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSF
Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD]
OTM, ATM i ITM
ĪQLFD SRPLĊG]\
modelach
5yĪQLFD SRPLĊG]\
SRPLĊG cenami opcji kupna
SRP
na w modelach
modelach
6
5yĪQLFD SRPLĊG]\
BS i BS B S0 60, K 60, r 0,05 5yĪQLFD
dla t 0,SRPLĊG]\
1
BS
BS B
6
6
6
4.
10 6
2.
10 6
0
0,05
0
6
0,2
2.
10 6
6
0,5
4.
10 6
6
B
6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Czas do wykupu t
5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami opcji kupna w modelach
ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH
5yĪQLFD SRPLĊG]\
LĊG cenami opcji kupna
na w modelach
modelach
BS i BS B S0 65, K 60, r 0,05 dla t
6
BS B
6
6
BS
B
6
0, 1
4.
10 6
2.
10 6
0
0,2
2.
10 6
0,5
4.
10 6
,05
0,05
0.0
0.2
0.4
0.6
Czas do wykupu t
ZáDVQH
ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH
ħUyGáR RSUDFRZDQLH ZáDVQH
ϵ
ϵ
0.8
ϵ
1.0