TALENT Materiały do kolokwium II

TALENT
Materiały do kolokwium II
1. Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiór liczb zespolonych spełniający następujące warunki:
a) Im
1+iz
1−iz
e) Im
i+z
i−z
i) Im
m) Im
= 1,
b) Re
1+iz
1−iz
< 1,
f) Re
i+z
i−z
1+iz
1−iz
= 1,
j) Re
1+iz
1−iz
> 1,
n) Re
i+z
i−z
i+z
i−z
= 1,
¬ 1,
c) Im
1+iz
1−iz
g) Im
i+z
i−z
= 1,
k) Im
1+iz
1−iz
¬ 1,
o) Im
i+z
i−z
­ 0,
= 0,
= 0,
< 0,
d) Re
1+iz
1−iz
h) Re
i+z
i−z
> 0,
1+iz
1−iz
= 0,
­ 0.
l) Re
p) Re
i+z
i−z
= 0,
2. Obliczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej podane pierwiastki:
q
5
1−
√
3i,
√
5 − 12i,
q
4
−1 +
√
p
p
p
p
p
p
3i, 4 (1 + 2i)4 ,
(1 + i)4 , 4 (1 + i)4 , 4 (1 + i)2 , 3 (1 + i)3 , 3 (1 + i)6 .
3. Znaleźć i zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki następujących równań:
a) z 2 + 3 = 0;
b) z 2 − i = 0;
c) z 3 + 1 = 0;
d) z 2 − 2z + 5 = 0;
e) z 4 + 1 = 0;
f) z 4 − i = 0;
g) z 3 + 1 = 0;
h) z 4 − 3iz 2 + 4 = 0.
4. Wiedząc, że jednym z pierwiastków wielomianu W (z) = z 4 − 6z 3 + 18z 2 − 30z + 25 jest z1 = 2 + i,
wyznaczyć pozostałe pierwiastki.
√
5. Wiedząc, że pierwiastkami wielomianu W (z) = z 6 − 2z 5 + 5z 4 − 6z 3 + 8z 2 − 4z + 4 są z1 = i, z2 = − 2i
wyznaczyć pozostałe pierwiastki.