Ćw. nr 2 Drgania układów ciągłych

ELEKTROAKUSTYKA – LABORATORIUM ETE8300L
ĆWICZENIE NR 2
DRGANIA UKŁADÓW CIĄGŁYCH
1 Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest poznanie właściwości różnych układów drgających i metod ich
pomiaru.
2 Układ pomiarowy
1
2
6
3
4
5
Rys. 1 Układ pomiarowy: 1 - badany układ drgający, 2 - wzbudnica drgań,
3 - wzmacniacz mocy, 4 - generator, 5 - częstościomierz, 6 - stroboskop
3 Zadanie laboratoryjne
1. Zmierzyć częstotliwości poprzecznych drgań własnych (modów) belek o różnych
długościach i przekrojach poprzecznych, wykonanych z różnych materiałów.
2. Wyznaczyć trzy pierwsze sposoby (mody) drgań poprzecznych belek.
3. Określić prędkość fali podłużnej w belkach wykonanych z różnych materiałów.
4. Wyznaczyć figury Chladniego na drgających płytach o różnych kształtach.
4 Zagadnienia
1. Drgania strun, prętów, belek i płyt.
2. Częstotliwości drgań własnych (modów).
5 Literatura
1. A. Dobrucki, Podstawy akustyki. Skrypt PWr.,Wrocław 1987.
2. A. Januszajtis, Fizyka dla Politechnik, Tom III Fale,§5. PWN W-wa 1991.
3. Z. Żyszkowski, Podstawy elektroakustyki, wyd.3. WNT W-wa 1984, rozdz. 6.
Elektroakustyka – laboratorium ETE8300L
Ćwiczenie 2 – instrukcja
str. 1
Rys. 2 Deformacja elementu objętości ośrodka sprężystego (cząstki akustycznej)
w przypadku: a), c) fali podłużnej, b), d) fali poprzecznej
Elektroakustyka – laboratorium ETE8300L
Ćwiczenie 2 – instrukcja
str. 2
6 Drgania prętów - teoria
1. Rozważamy pręt o jednostajnym przekroju poprzecznym S [m2], wykonany
z materiału o gęstości ρ [kg/m3] i współczynniku sprężystości podłużnej materiału
(moduł Younga) E [N/m2].
2. W przeciwieństwie do strun nie uwzględnia się zupełnie naciągu. Przyjmuje się, że
całkowita siła zwracająca pręt do położenia równowagi pochodzi jedynie od jego
sprężystości własnej.
3. Pręt może drgać podłużnie, poprzecznie i skrętnie (wirowo).
6.1 Drgania podłużne prętów
Rys. 3 Zamocowanie pręta przy drganiach podłużnych
Rys. 4 Wymiarowanie dla drgań podłużnych pręta
Pod wpływem działającej siły F [N] odległość ξ odległość między dwoma dowolnymi
δξ
przekrojami wzrosła o dξ =
dx , zatem względne wydłużenie pręta w tym obszarze
δx
δξ
wynosi ε =
i zgodnie z prawem Hooke’a jest proporcjonalna do naprężenia σx :
δx
σ
1 F
ε= x =
, stąd F = εES .
E
E S
Siła działająca na prawy przekrój jest
δF
δ 2x
F+
dx = F + ES
dx ,
δx
δx 2
Elektroakustyka – laboratorium ETE8300L
Ćwiczenie 2 – instrukcja
str. 3
czyli, że wypadkowa siła działająca na odcinek pręta dξ wynosi: dF = ES
δ 2x
dx .
δx 2
Jest to siła sprężystości. Pod wpływem tej siły masa odcinka pręta dx równa dm = Sρdx ,
doznaje przyspieszenia
δ 2ξ
δt 2
. Zatem na podstawie II prawa Newton’a otrzymujemy
równanie:
δ 2ξ
(I.1)
δt 2
= c L2
δ 2ξ
δx 2
,
w którym c L = E / ρ [m/s] jest prędkością fali podłużnej (dźwięku) w pręcie.
Jest to równanie falowe, jednowymiarowe (fali dźwiękowej w pręcie). Spełnia je dowolna
funkcja typu ξ(x ± ct).
Dla wyznaczenia drgań własnych pręta postępuje się podobnie jak dla struny, tj.
metodą rozdzielenia zmiennych. Poszukuje się rozwiązania równania (I.1) w postaci iloczynu
dwóch funkcji, z których jedna zależy tylko od x, a druga tylko od t
ξ ( x , t ) = X ( x )T ( t ) .
Ostatecznie, rozwiązanie równania falowego ma postać:
ξ ( x , t ) = ∑ (C1n cos ω n t + C 2 n sin ω n t ) sin
n
nπ
x , n = 0,1,2,...
l
gdzie stałe C1n, C2n wyznacza się z warunków początkowych, natomiast częstości drgań
własnych (modów) są równe
ωn =
nπ
l
E
, [rad/s].
ρ
Należy zauważyć, że częstości podłużnych drgań własnych pręta są, podobnie jak struny,
harmoniczne w stosunku do częstości podstawowej ω1 (n = 1).
Elektroakustyka – laboratorium ETE8300L
Ćwiczenie 2 – instrukcja
str. 4
6.2 Drgania poprzeczne prętów
Rys. 5 Zamocowanie pręta przy drganiach poprzecznych
Drgania poprzeczne pręta o stałym przekroju S i gęstości ρ wzdłuż długości l opisuje
równanie różniczkowe:
δ 2 z δ 2 
δ 2 z 
ρS
+
EI
= 0,
(II.1)
δt 2 δx 2 
δx 2 
gdzie wyrażenie w nawiasie jest momentem zginającym, natomiast I jest momentem
bezwładności przekroju poprzecznego pręta
I = ∫ z 2 dS .
S
Równanie (II.1) nie jest równaniem falowym. Jeżeli podstawimy do (II.1) rozwiązanie
falowe np. w postaci z ( x , t ) = Z exp( j ( ωt − kx )) , to otrzymamy związek dyspersyjny
(dyspersja - zjawisko w którym prędkość fali zależy od częstotliwości):
ω = k2
EI
,
ρS
przy czym k = 2π/λ jest liczbą falową, λ długością fali poprzecznej.
Z zależności tej wynika, że prędkość przemieszczania się powierzchni stałej fazy,
czyli prędkość fazowa drgań poprzecznych, jest równa:
c=
ω
I
= ωc L
→ ∞ .
k
S ω →∞
Ze względów fizycznych jest to niemożliwe, zatem równanie (II.1) nie jest ścisłe. Jednak dla
małych częstotliwości, dla których długość fali poprzecznej λ jest znacznie większa od
wymiarów liniowych przekroju poprzecznego pręta (a/λ < 0.1), równanie (II.1) jest
wystarczająco dokładne dla zastosowań technicznych.
Podstawiając do równania (II.1)
z ( x , t ) = Z ( x ) exp( jωt )
otrzymamy:
d 4 Z( x )
ρS
(II.2)
− µ 4 Z ( x ) = 0, µ 4 = ω 2
.
4
EI
dx
Elektroakustyka – laboratorium ETE8300L
Ćwiczenie 2 – instrukcja
str. 5
Ogólne rozwiązanie równania (II.2) można przedstawić w postaci:
(II.3)
Z ( x ) = A1e µx + A2 e − µx + A3 e jµx + A4 e − jµx =
= B1 cosh µx + B 2 sinh µx + B3 cos µx + B 4 sin µx
.
Rozwiązanie (II.3) zawiera cztery stałe do wyznaczenia których potrzebne są cztery warunki
brzegowe, po dwa na każdy koniec pręta.
6.2.1 Pręt zaciśnięty na jednym końcu i swobodny na drugim
Dla x = 0 wychylenie i nachylenie pręta muszą być równe zero:
dZ ( x )
Z( 0 ) = 0 i
x =0 = 0 .
dx
Stąd B1 = -B3 oraz B2 = -B4.
Dla x = l moment zginający i siła ścinająca na swobodnym końcu pręt muszą być
równe zero:
d 2 Z( x )
d 3 Z( x )
x=l = 0 i
x=l = 0 .
dx 2
dx 3
Stąd
sin µl − sinh µl
cos µl + cosh µl
B 2 = B1
= − B1
,
sin µl + sinh µl
cos µl + cosh µl
(cos µl + cosh µl )2 = sinh 2 µl − sin 2 µl ,
cosh µl cos µl = −1.
Wartości własne ostatniego równania wynoszą:
µ1l = 1.8751,
µ 2 l = 4.6946 ,
µ 3 l = 7.8548 ,
µ 4 l = 10.9957 ,...
Dla tych wartości µn, n=1,2,..., otrzymuje się ze wzoru (II.2) częstotliwości poprzecznych
drgań własnych pręta:
(II.4)
ω n2 = µ n4
EI
.
ρS
Na rysunku poniżej pokazano cztery pierwsze mody drgań poprzecznych pręta zaciśniętego
na jednym końcu.
Elektroakustyka – laboratorium ETE8300L
Ćwiczenie 2 – instrukcja
str. 6
Cztery pierwsze sposoby (mody) drgań poprzecznych pręta zaciśniętego na jednym końcu
o częstotliwościach:
0.5596 EI
, [Hz]
f1 =
ρS
l2
f 2 = 6.268 f1 ,
f 3 = 17.548 f1 ,
f 4 = 34.387 f1 .
Rys. 6 Cztery pierwsze mody drgań poprzecznych pręta zaciśniętego na jednym końcu
Elektroakustyka – laboratorium ETE8300L
Ćwiczenie 2 – instrukcja
str. 7
6.3 Drgania skrętne prętów
Rys. 7. Zamocowanie pręta przy drganiach skrętnych
Gdy pręt jest pobudzany momentem skręcającym powstają drgania skrętne (wirowe).
Pręt przenoszący momenty skręcające nazywany jest wałem.
Częstotliwość podstawowa drgań własnych skrętnych jest określona wzorem:
f1 =
1
2l
E
, [Hz],
2ρ (1 + σ )
gdzie σ jest liczbą Poissona.
Częstotliwości drgań wyższych modów są harmoniczne w stosunku do częstotliwości
podstawowej f1.
Elektroakustyka – laboratorium ETE8300L
Ćwiczenie 2 – instrukcja
str. 8
6.4 Zagadnienia szczegółowe
1.
Kiedy przebieg
n
x ( t ) = ∑ X i cos(ω i t + ϕ i ) ,
i =1
jest przebiegiem okresowym, tj. spełnia równanie x ( t ± mT ) = x ( t ) , m = 1,2,..., gdzie
T jest najmniejszym odstępem czasu (okresem), po którym przebieg się powtarza.
2. „Jak wiadomo” częstotliwości poprzecznych drgań własnych pręta nie są harmoniczne dla
dowolnych warunków początkowych (patrz pkt. II). Zatem drgania swobodne pręta
zaciśniętego na jednym końcu są nieokresowe. Dlaczego więc kamerton (widełki
stroikowe), który jest drgającym swobodnie prętem zaciśniętym na jednym końcu, wydaje
ton?
3. Na swobodnym końcu nieważkiego pręta (zaciśniętego na drugim końcu) zaczepiono
ciężarek o masie m. Obciążony koniec pręta pozostaje w równowadze. Jego strzałka
ugięcia, tj. odchylenie od poziomu w wyniku działania obciążenia F = mg, wynosi:
Fl 3
z=
.
3 EI
Jaki ruch wykonuje koniec pręta przy niezbyt dużym jego wychyleniu z położenia
równowagi? Wyznaczyć częstotliwość jego drgań.
Elektroakustyka – laboratorium ETE8300L
Ćwiczenie 2 – instrukcja
str. 9