maxwell2 [tryb zgodności]

Wzór Maxwella-Mohra
Wyznaczanie przemieszczeń
Wzór Maxwella-Mohra:
1 ⋅δ +
∑R
j
⋅ ∆j −
j
∑
j
Rj ⋅ Rj
kj
MM
NN
TT
=
dx +
dx + κ
dx +
JE
AE
AG
l
l
l
∫
+∫
l
∫
Mα (t
t
d
h
− tg )
∫
dx + ∫ Nα t to dx
l
Wzór służy do wyznaczenia przemieszczenia od obciążenia rzeczywistego. W
równaniu występują wielkości, wywołane obciążeniem rzeczywistym i
jednostkowym obciążeniem wirtualnym, działającym na kierunku
wyznaczanego przemieszczenia.
Belka z rzeczywistym
obciążeniem
P
δ
q
Belka z jednostkowym wirtualnym obciążeniem w
punkcie, w którym wyznaczamy przemieszczenie
Pi = 1
Wyznaczanie przemieszczeń
Wzór Maxwella-Mohra:
∑R ⋅∆ −∑
Mα (t − t )
1 ⋅δ +
j
j
j
+∫
l
t
Rj ⋅ Rj
kj
j
d
h
g
MM
NN
TT
=
dx +
dx + κ
dx +
JE
AE
AG
l
l
l
∫
∫
∫
dx + ∫ Nα t to dx
l
N – siła normalna, T – siła tnąca, M – moment zginający , R – reakcje, A – pole
przekroju, J – moment bezwładności przekroju względem osi prostopadłej do
płaszczyzny zginania, E – moduł Younga (odkształcenia podłużnego), G – moduł
Kirchoffa (odkształcenia postaciowego), αt – współczynnik rozszerzalności cieplnej, h –
wysokość przekroju, ∆ – obciążenia geometryczne, to – temperatura w osi, td i tg –
temperatura górna i dolna
Wielkości z nadkreśleniem są wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym
Twierdzenia wykorzystywane we
wzorze Maxwella-Mohra
Twierdzenie Maxwella o wzajemności przemieszczeń: Jeżeli na konstrukcję działają dwie
niezależne uogólnione siły jednostkowe Pi=1 i Pj=1, wywołujące odpowiednio
przemieszczenia wji (przemieszczenie w punkcie j na kierunku siły Pj wywołane siłą Pi) i wij
(przemieszczenie w punkcie i na kierunku siły Pi wywołane siłą Pj), to te przemieszczenia są
sobie równe.
Pi wij = Pj wji oraz Pi=1 i Pj=1 ⇒ wij = wji
Pi=1
Ugięcie belki od siły Pi=1
wii
wji
wij
Pj
Praca siły Pj
wii
wji
Ugięcie belki od siły Pj=1
wjj
Pi Praca siły Pi
wjj
wij
Pj=1
Twierdzenia wykorzystywane we
wzorze Maxwella-Mohra
Twierdzenie Maxwella o wzajemności przemieszczeń
1i ⋅ u j = 1 j ⋅ ui
Belka z rzeczywistym
obciążeniem
ui
Pj=1
Belka z
wirtualnym
obciążeniem
uj
Pi = 1
ui
Praca obciążenia wirtualnego na
rzeczywistym przemieszczeniu
Praca obciążenia rzeczywistego
na wirtualnym przemieszczeniu
Pi = 1
ui
uj
Pj=1
uj
ui
1i ⋅ u j
=
1 j ⋅ ui
uj
Twierdzenia wykorzystywane we
wzorze Maxwella-Mohra
Zasada prac wirtualnych dla ciał odkształcalnych:
Suma prac sił zewnętrznych Pik na przemieszczeniach wirtualnych
uik
i naprężeń rzeczywistych σi na odkształceniach
Pi
wirtualnych εi jest równa zero.
T
P
⋅
u
−
σ
∑ ik ik ∫ i ε j dV = 0
k
ui
V
czyli
T
P
⋅
u
=
σ
∑ ik ik ∫ i ε j dV
k
V
ui
Dla układów prętowych
∑P
ik
k
⋅ uik = ∫ σ iε j dV + ∫ τ iγ j dV
V
V
Twierdzenia wykorzystywane we
wzorze Maxwella-Mohra
Twierdzenie Maxwella o wzajemności przemieszczeń
1i ⋅ u j = 1 j ⋅ ui
Zasada prac wirtualnych
1 j ⋅ ui = 1i ⋅ u j = ∫ σ iε j dV + ∫ τ iγ j dV
V
1i ⋅ u j = ∫ σ iε j dV + ∫ τ iγ j dV
V
lub 1i ⋅ u j = ∫ σ i ε j dV + ∫ τ i γ j dV
V
Belka z rzeczywistym
obciążeniem
ui
uj
Pj=1
V
V
Belka z
wirtualnym
obciążeniem
V
Pi = 1
ui
uj
Twierdzenia wykorzystywane we
wzorze Maxwella-Mohra
Praca siły wirtualnej na przemieszczeniu rzeczywistym jest równa
pracy naprężeń na odkształceniach wirtualnych
1i ⋅ u j = ∫ σ iε j dV + ∫ τ iγ j dV
V
V
lub praca siły wirtualnej na przemieszczeniu rzeczywistym
jest równa
pracy
naprężeń wirtualnych na odkształceniach rzeczywistych
∫
∫
V
V
1i ⋅ u j = σ i ε j dV + τ i γ j dV
Belka z rzeczywistym
obciążeniem
ui
Pi = 1
Pj=1
uj
σ, τ, ε, γ − naprężenia normalne i styczne oraz
odkształcenia podłużne i postaciowe od
obciążenia rzeczywistego
ui
Belka z wirtualnym
obciążeniem
uj
σ , τ , ε , γ - naprężenia normalne i styczne
oraz odkształcenia podłużne i postaciowe od
obciążenia wirtualnego
Twierdzenia wykorzystywane we
wzorze Maxwella-Mohra
Wzór Maxwella-Mohra
1 ⋅δ +
∑
j
R j ⋅ ∆j +
∑
j
Rj ⋅ Rj
kj
=
∫
l
MM
NN
TT
dx +
dx + κ
dx +
JE
AE
AG
l
l
∫
∫
+∫
Mα t (td − t g )
l
h
dx + ∫ Nα t to dx
l
wynika z twierdzenia, że praca siły wirtualnej na przemieszczeniu
rzeczywistym jest równa pracy naprężeń na odkształceniach wirtualnych lub
praca siły wirtualnej na przemieszczeniu rzeczywistym jest równa pracy
naprężeń wirtualnych na odkształceniach rzeczywistych
1i ⋅ u j = ∫ σ iε j dV + ∫ τ iγ j dV
V
V
lub
∫
∫
V
V
1i ⋅ u j = σ i ε j dV + τ i γ j dV
Wyprowadzenie wzoru Maxwella-Mohra wymaga znajomości
zależności pomiędzy naprężeniami i odkształceniami a siłami
wewnętrznymi
Naprężenia i odkształcenia a siły
wewnętrzne
Wzór Maxwella-Mohra 1 ⋅u
wyprowadzenie
i
Wz = Ww
j
= ∫ σ iε j dV + ∫ τ iγ j dV
V
V
Naprężenia od zewnętrznych sił rzeczywistych:
P
• normalne od momentu zginającego
α−α
z
α
σ(z)
A, J
h
z
b
α
=
Μα
M α = σ (z )zdA
∫
A
Mα z
σ (z ) =
J
M – moment zginający, A – pole przekroju, J – moment bezwładności przekroju
względem osi prostopadłej do płaszczyzny zginania, b – szerokość przekroju
Wzór Maxwella-Mohra 1 ⋅u
wyprowadzenie
i
Wz = Ww
j
= ∫ σ iε j dV + ∫ τ iγ j dV
V
V
Naprężenia od zewnętrznych sił rzeczywistych:
α
• normalne od siły normalnej
P
α
α−α
z
σ(z)
A, J
h
z
=
Να
b
N – siła normalna, A – pole przekroju, b – szerokość przekroju
Nα = σ ( z )dA
∫
A
Nα
σ=
A
Wzór Maxwella-Mohra 1 ⋅u
wyprowadzenie
i
Wz = Ww
j
= ∫ σ iε j dV + ∫ τ iγ j dV
V
V
Naprężenia od zewnętrznych sił rzeczywistych:
•styczne od siły tnącej przy zginaniu
α−α
z
z
b
Ŝ ( z )
α
τ(z)
α
A, J
h
P
=
Τα
Tα = τ (z )dA
∫
A
Tα Sˆ (z )
τ (z ) =
bJ
M – moment zginający, A – pole przekroju, J – moment bezwładności przekroju
względem osi prostopadłej do płaszczyzny zginania, b – szerokość przekroju,
Ŝ ( z ) moment statyczny od krawędzi przekroju do współrzędnej z
Wzór Maxwella-Mohra 1 ⋅u
wyprowadzenie
i
Naprężenia od
rzeczywistych:
zewnętrznych
σ=
ˆ (z )
T
S
α
• styczne od siły tnącej τ (z ) =
bJ
Nα
A
P
ui
j
= ∫ σ iε j dV + ∫ τ iγ j dV
V
V
α−α
sił
• normalne od momentu zginającego σ (z ) =
• normalne od siły normalnej
Wz = Ww
uj
Mα z
J
A, J
h
z
b
α
α
N – siła normalna, T – siła tnąca, M – moment zginający, A – pole przekroju, J – moment
bezwładności przekroju względem osi prostopadłej do płaszczyzny zginania, b –
szerokość przekroju, Ŝ ( z ) moment statyczny od krawędzi przekroju do współrzędnej z
Ŝ ( z )
Wzór Maxwella-Mohra 1 ⋅u
wyprowadzenie
i
• normalne od siły normalnej
• styczne od siły tnącej
Pi = 1
ui
α
uj
σ=
j
∫
∫
V
V
= σ i ε j dV + τ i γ j dV
α−α
Naprężenia od zewnętrznych sił wirtualnych:
• normalne od momentu zginającego
Wz = Ww
A, J
σ (z ) =
Mα z
J
Nα
A
Tα Sˆ (z )
τ (z ) =
bJ
h
z
b
α
N – siła normalna, T – siła tnąca, M – moment zginający, A – pole przekroju, J – moment
bezwładności przekroju względem osi prostopadłej do płaszczyzny zginania, b –
szerokość przekroju,
moment statyczny od krawędzi przekroju do współrzędnej z
Ŝ ( z )
Wzór Maxwella-Mohra 1 ⋅u
wyprowadzenie
i
Odkształcenia od zewnętrznych sił rzeczywistych:
• odkształcenie liniowe od obciążeń statycznych
σ (z ) Mz N
ε (z ) =
=
+
E
EJ EA
• odkształcenie postaciowe od obciążeń statycznych
τ (z ) TSˆ ( z )
γ (z ) =
=
G
bJG
• od temperatury w osi ε = t oα t
z (t d − t g )α t
• od różnicy temperatur ε ( z ) = t ( z )α t =
h
Wz = Ww
j
∫
∫
V
V
= σ i ε j dV + τ i γ j dV
z
tg
to
td
Wzór Maxwella-Mohra 1 ⋅u
wyprowadzenie
i
Wz = Ww
j
= ∫ σ iε j dV + ∫ τ iγ j dV
V
Odkształcenia od zewnętrznych sił wirtualnych:
• odkształcenie liniowe od obciążeń wirtualnych
σ (z )
Mz N
ε (z ) =
=
+
E
EJ EA
• odkształcenie postaciowe od obciążeń
wirtualnych
τ (z ) T Sˆ (z )
γ (z ) =
=
G
bJG
z
V
Wzór Maxwella-Mohra wyprowadzenie
δ=? tg
Układ z obciążeniem:
∆ – obciążenie geometryczne
tg, td – obciążenie temperaturą
P – obciążenie statyczne
P
td
1
Stan wirtualny
Praca sił wirtualnych na przemieszczeniach rzeczywistych R
równa jest pracy naprężeń rzeczywistych na odkształceniach
wirtualnych:
Wz = Ww
1i ⋅ u j + R ∆ −
RR
= σ i ε j dV + τ i γ j dV = σ i ε j dV + τ i γ j dV
k
V
V
V
V
∫
∫
∫
∫
∆
Podpora sprężysta
Podpora sprężysta – podparcie sprężyste, na którym może
nastąpić osiadanie. Wektor osiadania ma kierunek reakcji R, a
zwrot tego wektora jest przeciwny do reakcji. Wartość osiadania
wynosi ∆=Rd, gdzie d jest podatnością lub ∆=R/k, gdzie k jest
sztywnością.
k=
P
∆
R
1
d
Podpora sprężysta
Podpora sprężysta – podparcie sprężyste, na którym może
nastąpić osiadanie. Podporę mogą charakteryzować:
d [m/kN] – podatność, która mówi o ile osiądzie podpora, jeżeli
reakcja R=1kN
k [kN/m] – sztywność, która mówi ile wynosi siła, która
spowoduje, że osiadanie wyniesie ∆=1m
P
∆
Osiadanie wynosi co do wartości ∆ = Rd =
a wektorowo
R
∆ = − Rd = −
k
R
k
R
Rodzaje podpór sprężystych
Podpora sprężysta z osiadaniem – podpora przesuwna, możliwość
osiadania wzdłuż reakcji
Podpora sprężysta z obrotem – niepełna blokada obrotu
M
Podporę mogą charakteryzować:
d [rad/kNm] – podatność, która mówi o ile osiądzie podpora, jeżeli reakcja M=1kNm
k [kNm/rad] – sztywność , która mówi ile wynosi siła, która spowoduje, że osiadanie wyniesie
ϕ=1
Rodzaje podpór sprężystych
Podpora sprężysta z obrotem – niepełna blokada obrotu
ϕ
M
P
Obrót wynosi co do wartości
ϕ = − Md = −
M
k
a minus we wzorze oznacza, że obrót będzie miał zwrot przeciwny do reakcji M
Podporę mogą charakteryzować:
d [rad/kNm] – podatność, która mówi o ile osiądzie podpora, jeżeli reakcja M=1
k [kNm/rad] – sztywność , która mówi ile wynosi siła, która spowoduje, że osiadanie wyniesie
ϕ=1
Wzór Maxwella-Mohra wyprowadzenie
Wz = Ww
Wyznaczenie części wzoru dla układu z podporą sprężystą
od obciążenia statycznego
P
Układ obciążony
∆
rzeczywistym obciążeniem z
δ
osiadaniem podpory
∆ = − Rd = −
R
k
1
R
Stan wirtualny
Praca sił wirtualnych na przemieszczeniach rzeczywistych
R
Wz = 1 ⋅ δ + R ⋅ ∆ = 1 ⋅ δ − R ⋅
k
R
Wzór Maxwella-Mohra wyprowadzenie
Wz = Ww
Wyznaczenie części wzoru od obciążenia geometrycznego
Układ obciążony
rzeczywistym obciążeniem
geometrycznym
∆
δ
1
Stan wirtualny
R
Praca sił wirtualnych na przemieszczeniach rzeczywistych
Wz = 1 ⋅δ + R ⋅ ∆
Wz = 1 ⋅δ + ∑ R j ⋅ ∆ j
j
Wzór Maxwella-Mohra wyprowadzenie
δ=?
Układ z rzeczywistym
obciążeniem statycznym
Wz = Ww
P
1
σ ,τ
ε ,γ
Stan wirtualny
R
Praca sił wewnętrznych wywołanych
rzeczywistymi na odksztaceniach wirtualnych:
∫
∫
V
V
obciążeniami
Wwp = σ i ε j dV + τ i γ j dV
Wwp
Mz Mz
N N
TSˆ (z ) T Sˆ (z )
=
dV +
dV +
dV
J JE
A EA
bJ bJG
V
V
V
∫
∫
∫
Wzór Maxwella-Mohra wyprowadzenie
Wz = Ww
Praca sił wewnętrznych wywołanych obciążeniami
rzeczywistymi na odkształceniach wirtualnych:
∫
∫
V
V
Wwp = σ i ε j dV + τ i γ j dV
- naprężenia rzeczywiste
Mz
σ (z ) =
J
- odkształcenia wirtualne
ε (z ) =
Wwp
σ (z )
E
=
N
σ =
A
TSˆ ( z )
τ (z ) =
bJ
τ (z )
T Sˆ (z )
γ (z ) =
=
G
bJG
Mz N
+
EJ EA
Mz Mz
N N
TSˆ (z ) T Sˆ (z )
=
dV +
dV +
dV
J JE
A EA
bJ bJG
V
V
V
∫
∫
∫
Wzór Maxwella-Mohra wyprowadzenie
Praca sił wewnętrznych wywołanych obciążeniami
wirtualnymi na przemieszczeniach od obciążeń statycznych:
M z Mz
N N
T Sˆ (z ) TSˆ ( z )
Wwp = ∫
dV + ∫
dV + ∫
dV =
J JE
A EA
bJ bJG
V
V
V
2
ˆ
MM 2
NN
TT (S ( z ))
= ∫ 2 z dV + ∫
dV + ∫ 2 2
dV =
2
b J G
V J E
V EA
V
2
ˆ
MM
NN
TT (S (z ))
= ∫∫ 2 z 2 dAdx + ∫∫ 2 dAdx + ∫∫ 2 2
dAdx =
b J G
Al J E
Al A E
Al
2
ˆ
MM
NN
A(S ( z ))
TT
2
= ∫ z dA∫ 2 dx + ∫ dA∫ 2 dx + ∫ 2 2 dA∫
dx
AG
b J
A
l J E
A
l A E
A
l
Wzór Maxwella-Mohra wyprowadzenie
Praca sił wewnętrznych wywołanych obciążeniami
wirtualnymi na przemieszczeniach od obciążeń statycznych:
Wwp
( )
2
ˆ
MM
NN
A S (z )
TT
2
= z dA 2 dx + dA 2 dx +
dA
dx
2 2
AG
J E
A E
b J
A
l
A
l
A
l
∫
∫
∫ ∫
∫
∫
Ponieważ
J = ∫ z dA
2
A = ∫ dA
A
A
A
κ= 2
J
Sˆ 2
∫A b 2 dA
A, J
h
z
to otrzymujemy
Wwp
MM
NN
TT
=
dx +
dx + κ
dx
JE
AE
AG
l
l
l
∫
∫
∫
b
Ŝ ( z )
Wzór Maxwella-Mohra wyprowadzenie
Praca sił wewnętrznych wywołanych obciążeniami
wirtualnymi na przemieszczeniach od obciążeń statycznych:
∫
∫
A
l
Wwp = z 2 dA
gdzie stała
MM
NN
TT
dx
dA
dx
+
+
κ
dx
2
2
AG
J E
A E
A
l
l
A
κ= 2
J
∫ ∫
Sˆ 2
∫A b 2 dA
∫
A, J
h
zależy od kształtu np.:
b
• prostokąt κ=1.2;
• koło κ=32/27
• dwuteownik κ= ~A/As; A- pole całkowite przekroju; A- pole
środnika.
z
Ŝ ( z )
Wzór Maxwella-Mohra wyprowadzenie
δ=?
Układ z obciążeniem
temperaturą
Wz = Ww
tg
td
1
Stan wirtualny
Praca sił wewnętrznych wywołanych obciążeniami
wirtualnymi na przemieszczeniach od temperatury:
∫
Wwt = σ i ε j dV
σ =
V
Wwt
σ (z ) =
N
A
(
)
Mz
J
ε = t oα t
M z zα t t d − t g
N
=
dV +
α t to dV
J
h
A
V
V
∫
∫
ε (z ) = t (z )α t =
R
z (t d − t g )α t
h
Wzór Maxwella-Mohra wyprowadzenie
Wz = Ww
Praca sił wewnętrznych wywołanych obciążeniami
wirtualnymi na przemieszczeniach od temperatury:
∫
Wwt = σ i ε j dV
V
Naprężenia od obciążeń wirtualnych
Odkształcenia od temperatury
N
σ =
A
ε = t oα t
M z zα t (t d − t g )
N
Wwt = ∫
dV + ∫ α t to dV =
J
h
A
V
V
Mα t (t d − t g ) 2
N
= ∫∫
z dxdA + ∫∫ α t to dxdA =
Jh
A
Al
Al
Mz
σ (z ) =
J
ε ( z ) = t (z )α t =
=
z (t d − t g )α t
h
h
Spody na belce
to
td
tg
Wzór Maxwella-Mohra wyprowadzenie
Wz = Ww
Praca sił wewnętrznych wywołanych obciążeniami
wirtualnymi na przemieszczeniach od temperatury:
Wwt =
∫∫
(
Mα t t d − t g
Jh
Al
= ∫ z dA∫
2
A
Jh
l
Mα t (t d − t g )
h
2
∫∫
Al
Mα t (td − t g )
l
=∫
)z dxdA +
dx + ∫ dA∫
A
l
N
α t to dxdA =
A
Nα t to
dx
A
tg
to
dx + ∫ Nα t to dx
l
Spody na belce
td
Wzór Maxwella-Mohra wyprowadzenie
Wz = Ww
Praca wirtualnych sił zewnętrznych na przemieszczeniach
RR
rzeczywistych
Wz = 1 ⋅δ +
R ⋅∆ −
∑
j
j
j
k
Praca sił wewnętrznych, wywołanych obciążeniem
wirtualnym, na odkształceniach od obciążenia rzeczywistego
Wwp
MM
NN
TT
=∫
dx + ∫
dx + ∫ κ
dx
JE
AE
AG
l
l
l
Praca sił wewnętrznych, wywołanych obciążeniem
wirtualnym, na odkształceniach od temperatury
Mα t (td − t g )
Wwt = ∫
dx + ∫ Nα t to dx
h
l
l
Wzór Maxwella-Mohra wyprowadzenie
Wz = Ww
Ponieważ praca wirtualnych sił zewnętrznych na
przemieszczeniach rzeczywistych równa się pracy naprężeń
wirtualnych na odkształceniach rzeczywistych:
W z = Wwp + Wwt
to otrzymujemy wzór Maxwella Mohra w następującej formie:
1 ⋅δ +
∑
j
Rj ⋅ ∆j −
RR
MM
NN
TT
=
dx +
dx + κ
dx +
k
JE
AE
AG
l
l
l
∫
∫
+∫
l
∫
Mα t (t d − t g )
h
dx + ∫ Nα t to dx
l
Wzór Maxwella-Mohra
dla ram płaskich
W układach ramowych uwzględniamy wpływ momentów
zginających oraz obu rodzajów temperatury:
M α t (td − t g )
RR
MM
1 ⋅ δ + ∑ Rj ⋅ ∆ j −
=∫
dx + ∫
dx + ∫ N α t to dx
k
JE
h
j
l
l
l
P
1
A
q
tg
td
∆
Rama z obciążeniem
k
Rama z jednostkowym obciążeniem wirtualnym
do obliczeń yA
Wzór Maxwella-Mohra
dla ram przestrzennych
W układach ramowych uwzględniamy wpływ momentów zginających w dwóch
płaszczyznach zginania i moment skręcający oraz oba rodzaje temperatury:
RR
M 2M 2
M 3M 3
m1m1
1 ⋅ δ + ∑ Rj ⋅ ∆ j −
=∫
dx + ∫
+ dx ∫
dx +
k
J2E
J3E
J2E
j
l
l
l
M 2 α t (t d − t g )
M 3α t (t d − t g )
+∫
dx + ∫
dx + ∫ N α t to dx
h
h
l
l
l
q
P
∆
Rama z obciążeniem
1
A
Rama z jednostkowym obciążeniem wirtualnym
do obliczeń xA
Wzór Maxwella-Mohra dla krat
W układach kratowych uwzględniamy wpływ sił normalnych
oraz temperatury w osi:
1 ⋅δ +
∑
j
RR
NN
R j ⋅ ∆j −
=
dx + Nα t to dx
k
AE
l
l
∫
∫
Ponieważ siły normalne są stałe w elementach kratowych to
można wzór zapisać w formie:
1 ⋅δ +
∑
j
RR
R j ⋅ ∆j −
=
k
∑
k
N k N k lk
+
AE
∑N α t
n
t o n ln
n
to
P
to
∆
k
Wzór Maxwella-Mohra dla łuków
W łukach uwzględniamy wpływ wszystkich sił wewnętrznych
oraz temperatury:
1 ⋅δ +
∑
j
RR
MM
NN
TT
Rj ⋅ ∆j −
=
dx +
dx + κ
dx +
k
JE
AE
AG
l
l
l
∫
∫
+∫
q
l
td
∆
tg
k
∫
Mα t (t d − t g )
h
dx + ∫ Nα t to dx
l
Wzór Maxwella-Mohra dla łuków
Łuki wyniosły czyli stosunek strzałki do rozpiętości f/l>1/5 spełniające warunek h/l<1/10:
Łuki płaskie czyli stosunek strzałki do rozpiętości f/l<1/5 spełniające warunek h/l<1/30:
1 ⋅δ +
∑
j
(
)
Mα t t d − t g
RR
MM
R j ⋅ ∆j −
=
dx +
dx + Nα t t o dx
k
JE
h
l
l
l
∫
∫
∫
Pozostałe łuki płaskie czyli stosunek strzałki do rozpiętości f/l<1/5 spełniające warunek
h/l>1/30:
1 ⋅δ +
∑
j
h
f
l
Rj ⋅ ∆j −
RR
MM
NN
TT
=
dx +
dx + κ
dx +
k
JE
AE
AG
l
l
l
∫
∫
+∫
l
Mα t (t d − t g )
h
∫
dx + ∫ Nα t to dx
l
Całkowanie na przykładzie belki
swobodnie podpartej
Wyznaczenie obrotu punktu B.
tg
q
td
x
1
B
l
Rama z jednostkowym obciążeniem wirtualnym
Belka z obciążeniem
ql 2
8
(
q
M = lx − x 2
2
1
M [kNm]
)
Równania momentów zginających
M=
∫ (
)
M [/]
x
l
l
MM
1 q
q  2 x3 
q 1 3 1 x4 
2 x
 x − dx =
1 ⋅ϕB =
dx =
 lx − x
dx =
 x −



JE
JE
2
l
2
JE
l
2
JE
3
4
l



0
l
0
0
q  1 3 1 l 4  
ql 3
 − 0 =
1 ⋅ϕB =
 l −
2 JE  3
4 l   24 JE
∫
l
l
∫
Całkowanie na przykładzie belki
swobodnie podpartej
Całkowanie uproszczone dla iloczynu funkcji liniowej i dowolnej
xs
Wykres dowolnej funkcji
M (x ) = f ( x )
x
środek ciężkości figury
Wykres funkcji liniowej
M (x ) = ax + b
l
Wyznaczanie całki
M (xs )
∫ M Mdx = ∫ (ax + b ) f (x )dx = ∫ af (x )xdx + ∫ bf (x )dx = aS + bA =
l
l
l
 S

= A a + b  = A(ax s + b ) = AM ( xs )
 A

f ( x )xdx - moment statyczny figury, opisanej funkcją f(x)
∫
A = ∫ f ( x )dx
S=
l
l
l
xs =
S
A
- pole figury, opisanej funkcją f(x)
- współrzędna środka ciężkości figury, opisanej funkcją f(x)
Całkowanie na przykładzie belki
swobodnie podpartej
Wyznaczenie obrotu punktu B.
tg
q
td
x
1
B
l
Rama z jednostkowym obciążeniem wirtualnym
Belka z obciążeniem
ql 2
8
1
MM
1 ⋅ϕB =
dx =
JE
JE
l
∫
1
M [kNm]
ql 2
8
1
l
1  2 ql 2  1
ql 3

=
l  ⋅ 1 =

JE  3 8  2
24 JE
M [/]
Pola i środki ciężkości
podstawowych figur
Prostokąt
A = ab
Trójkąt
s
b/2
a/2
Parabola 2o
A=
1
ab
2
b
s
a
a
Parabola 2o
A=
b
2
ab
3
s
a/2
b/3
2 a
3
2
ab
3
s
A=
5 a
8
a
a
Parabola 2o
1
A = ab
3
b
s
3 a
4
a
b
b
Koniec