Dominik Senczyk

FIZYCZNE PODSTAWY ZALEŻNOŚCI
OPISUJĄCYCH
NATĘŻENIE PROMIENIOWANIA HAMOWANIA
Dominik SENCZYK
Politechnika Poznańska
Słowa kluczowe: natężenie promieniowania rentgenowskiego, promieniowanie hamowania,
krótkofalowa granica widma ciągłego, długość fali promieniowania, rozkład
energii w widmie promieniowania hamowania według jego energii, częstotliwości
lub długości fal, sprawność lampy rentgenowskiej
1. Promieniowanie hamowania, widmo i charakterystyczne wielkości (natężenie, położenie
maksimum natężenia, krótkofalowa granica widma)
Promieniowanie rentgenowskie jest promieniowaniem elektromagnetycznym o długości fali 10-4−10 Å i
energii kwantów od pojedynczych elektronowoltów do setek megaelektronowoltów. Promieniowanie rentgenowskie to przede wszystkim promieniowanie hamowania, a poczynając od pewnej minimalnej wartości
napięcia wzbudzenia również charakterystyczne promieniowanie rentgenowskie. Widma obu tych promieniowań nakładają się na siebie, co pokazuje rys. 1 przykładowo dla lampy z anodą molibdenową, do
której przyłożono różnej wielkości napięcia. Przy napięciach 10 kV i 15 kV obserwujemy jedynie widmo ciągłe, pochodzące z procesu hamowania swobodnych elektronów. Po przekroczeniu
napięcia wzbudzenia serii K promieniowania charakterystycznego, wynoszącego dla molibdenu
Uwzb = 19,9 kV, na tle widma ciągłego pojawiają się trzy ostre maksima tego promieniowania dla
fal o długościach: 63,225 pm, 70,926 pm i 71,354 pm.
Rys. 1. Widmo promieniowania rentgenowskiego z lampy o anodzie molibdenowej
1
Dalej będziemy zajmowali się wyłącznie promieniowaniem hamowania. Widmo tego promieniowania charakteryzują następujące cechy:
a) ma ono charakter ciągły w całym zakresie długości fal,
b) widmo to opisuje krzywa przedstawiająca nieliniową zależność natężenia promieniowania od długości fali, która od strony krótkich fal jest wyraźnie ograniczona (jest to tzw. krótkofalowa granica widma
ciągłego promieniowania hamowania), ma maksimum przy pewnej długości fali, po przekroczeniu którego natężenie promieniowania dość szybko maleje wraz ze wzrostem długości fali.
Wymienione cechy widma promieniowania hamowania wyjaśnimy w dalszej części.
2. Natężenie promieniowania rentgenowskiego, definicja, natężenie na jednostkowy przedział energii, częstotliwości i długości fali, ich wzajemne przeliczanie
Zanim przejdziemy do opisu i wyjaśnienia charakterystycznych cech tego widma, wpierw przedstawimy niektóre wielkości stosowane do opisu promieniowania rentgenowskiego oraz sposoby opisu
widm tego promieniowania.
Jedną z głównych wielkości stosowanych do opisu promieniowania rentgenowskiego jest natężenie
promieniowania. Natężeniem promieniowania nazywamy ilość energii tego promieniowania, która w
ciągu jednostki czasu (s) pada na jednostkową powierzchnię (m2) ustawioną prostopadle do kierunku
biegu tego promieniowania.
Natężenie promieniowania rentgenowskiego jest zazwyczaj określane jako natężenie IE, Iν lub Iλ
przypadające na jednostkowy przedział energii dE, częstotliwości dν lub długości fali Iλ:
I E dE = I ν dν = I λ dλ = dI ,
(1)
gdzie: dI - zmiana natężenia promieni. Z powyższej równości otrzymujemy następujące wielkości:
IE =
dI
dI
dI
, Iν =
, Iλ =
,
dE
dν
dλ
(2)
a więc rozkład energii w widmie promieniowania hamowania według jego energii, częstotliwości lub
długości fal jest określony przez spektralną gęstość promieniowania wyrażoną wzorami (2).
Na rysunku 1 jest stosowany ostatni sposób opisu, a więc na osi rzędnych odłożono zmianę energii promieniowania przypadającą na jednostkowy przedział długości fali, a na osi odciętych długość fali.
Podane równości (1) umożliwiają wyrażanie jednych z nich (np. IE) przez inne (np. Iν lub Iλ).
W tym celu stosuje się następujące zależności:
a) Z równości (1) mamy:
IE = Iν
dν
,
dE
(3)
lecz
E = hν ,
(4)
gdzie: E - energia promieniowania [J], h - stała Plancka h = 6,626·10–34 J s, ν - częstotliwość [s-1], skąd
dE
=h
dν
2
(5)
i wobec tego wzór (3) przyjmuje postać:
IE =
1
Iν .
h
(6)
dλ
,
dE
(7)
b) Z równości (1) mamy:
IE = Iλ
lecz
E = hν = h
c
,
λ
(8)
gdzie: c - prędkość światła c = 2,99792458·108 m s–1, λ - długość fali [m], skąd
dE
1
= − hc 2
dλ
λ
(9)
i wobec tego wzór (7) przyjmuje postać:
IE =
λ2
Iλ .
hc
(10)
c) Z równości (1) mamy:
dλ
,
dν
(11)
c
,
λ
(12)
dν
c
=− 2
dλ
λ
(13)
Iν = Iχ
lecz
ν=
skąd
i wobec tego wzór (11) przyjmuje postać:
Iν =
λ2
Iχ .
c
d) Z równości (1) mamy:
3
(14)
dE
,
dν
(15)
I ν = hI E .
(16)
dE
,
dλ
(17)
hc
IE .
λ2
(18)
Iν = IE
lecz ze względu na wzory (4) i (5) mamy:
e) Z równości (1) mamy:
Iλ = IE
lecz ze względu na wzory (8) i (9) mamy:
Iλ =
f) Z równości (1) mamy:
Iλ = Iν
dν
,
dλ
(19)
lecz ze względu na wzory (12) i (13) mamy:
Iλ =
c
Iν .
λ2
(20)
Podane równości pozwalają więc rzeczywiście na wyrażanie jednych wielkości określających natężenie promieniowania przez inne. Otrzymane czynniki przeliczeniowe zestawiono w tablicy 1.
Tablica 1
Czynniki umożliwiające wzajemne przeliczanie wielkości występujących w równości (1)
Obliczana
wielkość y = ax
IE
Iν
Iλ
Czynniki przeliczeniowe a dla danej wielkości x
IE
Iν
Iλ
1
λ2
1
h
hc
λ2
h
1
c
hc
c
1
2
λ2
λ
3. Ciągły charakter widma promieniowania hamowania w całym zakresie długości fal
Rozpoczniemy od ciągłego charakteru widma promieniowania hamowania. Jest on związany z mechanizmem powstawania tego promieniowania.
4
Otóż promieniowanie hamowania powstaje podczas hamowania swobodnych elektronów o
dużej energii kinetycznej i stąd jego nazwa. Proces hamowania według modelu kwantowego stanowi wiele skokowych zmian energii kinetycznej elektronu, spowodowanych kolejnymi zderzeniami z atomami materiału anody. Podczas każdego takiego zderzenia zmiana energii ∆E jest
wypromieniowana w postaci kwantu o energii hν, przy czym
∆E = hν,
(21)
gdzie: h - stała Plancka h = 6,626·10–34 J s, ν - częstotliwość [s-1].
Każdy elektron traci energię podczas różnej liczby zderzeń. Został on przyspieszony w polu
elektrycznym wytworzonym różnicą potencjałów U. Pole to wykonało więc pracę eU i wobec
tego całkowity bilans energetyczny dla danego elektronu możemy zapisać w postaci:
eU =
1
mv 2 = hν 1 + hν 2 + L + hν n ,
2
(22)
gdzie:
e – ładunek elektronu,
U – napięcie przyłożone do lampy rentgenowskiej,
m – masa elektronu,
v – prędkość elektronu,
hνi – energia kwantu promieniowania hamowania emitowanego w i-tym zderzeniu,
n – liczba zderzeń danego elektronu.
W procesie wielokrotnego zderzenia elektronu z atomami anody powstaje więc promieniowanie rentgenowskie o różnych energiach (a więc na podstawie wzoru (8) o różnych długościach
fali), co tłumaczy ciągłe widmo tego promieniowania.
4. Krótkofalowa granica widma ciągłego promieniowania hamowania
Elektron traci energię w wielu zderzeniach z atomami materiału anody, lecz może stracić całą
energię w jednym zderzeniu, a więc gdy n = 1; w tym przypadku z równania (22) mamy:
eU = hν max =
hc
,
λ min
(23)
hc
.
eU
(24)
skąd:
λ min = λ KGW =
Jest to najkrótsza długość fali promieniowania rentgenowskiego mogąca powstać podczas zasilania lampy rentgenowskiej napięciem U. Odpowiada ona krótkofalowej granicy widma ciągłego promieniowania hamowania.
Granicznej długości fali λKGW odpowiada graniczna częstotliwość νKGW:
ν KGW =
c
λ KGW
5
=
eU
.
h
(25)
Po podstawieniu do wzorów (24) i (25) wartości stałej Plancka, prędkości światła i ładunku
elektronu stwierdzamy, że graniczna długość fali λKGW i graniczna częstotliwość νKGW są związane z napięciem na lampie rentgenowskiej U następującymi zależnościami:
1
,
U
(26)
ν 0 = 2,42 ⋅ 1014 U .
(27)
λ 0 = 1,24 ⋅ 10 −6
Z powyższych rozważań wynika, że rzeczywiście widmo promieniowania hamowania jest
ciągłe i od strony krótkich fal ograniczone tzw. krótkofalową granicą widma λKGW, określoną
wzorem (23). Wynika z niego, że krótkofalowa granica widma promieniowania hamowania zależy tylko od wartości napięcia anodowego lampy rentgenowskiej: im wyższe napięcie, tym
mniejsze λmin, a więc otrzymujemy promieniowanie bardziej przenikliwe. Pokazuje to rysunek 2,
na którym przedstawiono widmo ciągłe promieniowania hamowania uzyskane z lampy rentgenowskiej o anodzie wolframowej dla różnych napięć.
Rys. 2. Widmo ciągłe promieniowania hamowania uzyskane z lampy rentgenowskiej
o anodzie wolframowej przy różnych napięciach
Z powyższego rysunku widać, że przy wzroście napięcia anodowego krótkofalowa granica
widma przesuwa się ku krótszym falom i jednocześnie rośnie natężenie emitowanych promieni.
Schematycznie pokazują to rysunki 3 i 4.
Rys. 3. Schemat wpływu zwiększenia napięcia pracy lampy rentgenowskiej na natężenie
emitowanego promieniowania hamowania
przy stałym natężeniu prądu anodowego
Rys. 4. Schemat wpływu zwiększenia natężenia prądu płynącego w lampie rentgenowskiej na natężenie promieniowania hamowania przy stałym napięciu anodowym
6
5. Natężenie promieniowania hamowania, wyprowadzenie wzorów, położenie maksimum
natężenia widma ciągłego i jego związek z krótkofalową granicą tego widma
Teoretyczny rozkład energii rentgenowskiego promieniowania hamowania według częstotliwości dla cienkiej anody został wyprowadzony przez Kramersa [1] na podstawie danych doświadczalnych Kuhlenkampffa [2].
Spektralną gęstość promieniowania Iν widma ciągłego promieniowania rentgenowskiego, generowanego przy natężeniu prądu anodowego równego i, w anodzie wykonanej z pierwiastka o
liczbie atomowej Z, wyraża wzór [2]:
Iν =
dI
= AiZ[(ν KGW − ν ) + BZ] ,
dν
(28)
gdzie:
νKGW − graniczna częstotliwość widma, określona ze wzoru (25), A, B − stałe.
W oryginalnych pracach Kuhlenkampffa częstotliwość graniczna widma ciągłego promieniowania hamowania była oznaczana symbolem ν0, natomiast obecnie - ze względów językowych (skrót KGW oznacza: krótkofalowa granica widma) - stosujemy symbol νKGW. Podobnie
stała A była oznaczana symbolem C.
Składnik BZ w nawiasie prostokątnym jest istotny tylko w pobliżu krótkofalowej granicy widma.
W przybliżonych obliczeniach można go zaniedbać i wzór (28) przedstawić w postaci:
Iν =
dI
= AiZ(ν KGW − ν ) .
dν
(29)
Wzory (28) i (29) pozwalają na uzyskanie wyrażenia dla natężenia promieniowania hamowania i jego zależności od napięcia przyłożonego do lampy rentgenowskiej. W tym celu należy wyrażenia (28) lub (29) scałkować w granicach zmiany częstotliwości, a więc w granicach od zera
do wartości νKGW. Oba przypadki rozpatrzymy poniżej.
a) Dokonajmy wspomnianej operacji wpierw na wyrażeniu uproszczonym (29). Mamy:
I=
ν KGW
∫ I dν = AiZ ∫ (ν
ν
0
ν KGW
ν KGW
0
KGW
⎛
ν2 ⎞
⎜
− ν )dν = AiZ⎜ ν KGW ν − ⎟⎟
2 ⎠0
⎝
⎛
ν2
ν2 ⎞
= AiZ⎜⎜ ν 2KGW − KGW ⎟⎟ = AiZ KGW .
2 ⎠
2
⎝
=
(30)
Dla krótkofalowej granicy widma ciągłego promieniowania hamowania jest słuszna równość:
hν KGW = eU ,
(31)
która oznacza, że cała energia elektronu, którą nabył podczas przyspieszania w polu elektrycznym wytworzonym różnicą potencjałów U, jest zamieniana w energię kwantu promieniowania
rentgenowskiego o częstotliwości νKGW. Z tej równości otrzymujemy:
eU
h
i po podstawieniu do wyrażenia (30) przyjmuje ono postać:
ν KGW =
7
(32)
I = AiZ
e2 2
U = A1iZU 2 ,
2h 2
(33)
gdzie: A1 - nowa stała, A 1 = Ae 2 / 2h 2 . W ten sposób otrzymane wyrażenie pokazuje, że natężenie promieniowania hamowania zależy wprost proporcjonalnie od natężenia prądu płynącego
przez lampę rentgenowską, kwadratu napięcia, przy którym ona pracuje i liczby porządkowej
pierwiastka, z którego wykonano anodę tej lampy. Zależność ta jest powszechnie stosowana,
lecz często podaje się, że jest ona otrzymana wyłącznie na drodze doświadczalnej. Obecne rozważania pokazują, że ma ona również uzasadnienie teoretyczne.
b) Z kolei rozpatrzmy pełne wyrażenie (28). Całkujemy je:
I=
ν KGW
∫ I dν = AiZ ∫ [(ν
ν
0
ν KGW
ν KGW
0
KGW
⎛
⎞
ν2
− ν ) + BZ]dν = AiZ⎜⎜ ν KGW ν −
+ BZν ⎟⎟
2
⎝
⎠0
⎞
⎛ ν2
⎞
⎛
ν2
= AiZ⎜⎜ ν 2KGW − KGW + BZν KGW ⎟⎟ = AiZ⎜⎜ KGW + BZν KGW ⎟⎟ .
2
⎠
⎝ 2
⎠
⎝
=
(34)
Częstotliwość νKGW odpowiadającą krótkofalowej granicy widma ciągłego promieniowania hamowania wyrażamy za pomocą wzoru (32) przez różnicę potencjałów U i otrzymujemy:
⎛ e2
e ⎞
I = AiZ⎜⎜ 2 U 2 + BZ U ⎟⎟ = A1iZU 2 + A 2iZ 2 U ,
h ⎠
⎝ 2h
(35)
gdzie: A1, A2 - nowe stałe, A 1 = Ae 2 / 2h 2 , A 2 = ABe / h .
Okazuje się więc, że w natężenie promieniowania hamowania wnosi określony wkład również drugi składnik w wyrażeniu (28), którego wartość zależy wprost proporcjonalnie od napięcia pracy lampy rentgenowskiej i kwadratu liczby porządkowej pierwiastka jej anody.
Widmo ciągłe promieniowania lampy rentgenowskiej nieco różni się od teoretycznego:
− w długofalowej części widma − wskutek pochłaniania promieniowania w materiale anody
oraz w szklanym i metalowym korpusie lampy,
− w krótkofalowej części widma − wskutek straty energii na wzbudzenie charakterystycznego
promieniowania rentgenowskiego materiału anody.
Dla celów obliczeń wymienione odchylenia widma doświadczalnego od teoretycznego nie
mają istotnego znaczenia.
Ze wzorów (1) można otrzymać rozkład natężenia rentgenowskiego promieniowania hamowania według długości fal:
I ν dν = − I λ dλ ,
(36)
dν
.
dλ
(37)
a więc:
I λ = −I ν
Częstotliwość i długość fali wiąże wzór (12):
8
c
,
λ
ν=
z którego - zgodnie z wyrażeniem (13) - mamy:
dν
c
=− 2 .
dλ
λ
Po podstawieniu tego wyrażenia do wzoru (37) przyjmuje on następującą postać:
Iλ = Iν
c
.
λ2
(38)
Wzór (38) pozwala na uzyskanie wyrażenia opisującego rozkład natężenia promieniowania
hamowania według długości fal. Możemy do niego podstawić albo pełne wyrażenie (28) albo
wyrażenie uproszczone (29) bez składnika BZ w nawiasie kwadratowym w wyrażeniu (28).
a) Analiza wyrażenia (29)
Dokonamy wpierw analizy wyrażenia uproszczonego (29). Po podstawieniu go do wzoru (38)
mamy:
I λ = AiZ(ν KGW − ν )
c
,
λ2
a po podstawieniu wyrażenia (12), które umożliwia wyrażenie częstotliwości przez długość fali,
otrzymujemy:
⎛ c
c⎞ c
c 2 ⎛ 1 λ KGW ⎞
c 2 λ − λ KGW
.
I λ = AiZ⎜⎜
− ⎟⎟ 2 = AiZ
⎜ − 3 ⎟ = AiZ
λ KGW
λ3
λ KGW ⎝ λ2
λ ⎠
⎝ λ KGW λ ⎠ λ
(39)
Z otrzymanego wyrażenia (39) można uzyskać cenną informację, dotyczącą położenia maksimum natężenia widma ciągłego promieniowania hamowania i jego związek z krótkofalową
granicą widma ciągłego. W tym celu wyznaczymy ekstremum wyrażenia (39). Warunkiem jego
istnienia jest spełnienie równości:
dI λ
= 0.
dλ
(40)
Obliczmy więc pochodną natężenia Iλ względem długości fali:
dI λ
c 2 λ3 − 3λ2 (λ − λ KGW )
c 2 − 2λ3 + 3λ KGW λ2
= AiZ
=
AiZ
.
dλ
λ KGW
λ6
λ KGW
λ6
Pochodna ta przyjmuje wartość zero, gdy licznik drugiego ułamka jest równy zero, a więc gdy:
− 2λ3 + 3λ KGW λ2 = 0 ,
9
skąd po uproszczeniu:
λ max =
3
λ KGW .
2
(41)
Wyprowadziliśmy więc znany wzór określający położenie maksimum natężenia widma ciągłego promieniowania hamowania i wiążący je z krótkofalową granicą tego widma.
b) Analiza wyrażenia (28)
Z kolei rozważymy pełne wyrażenie (28). Po podstawieniu go do wzoru (38) mamy:
I λ = AiZ[(ν KGW − ν ) + BZ]
c
,
λ2
a po podstawieniu wyrażenia (12), które umożliwia wyrażenie częstotliwości przez długość fali,
otrzymujemy:
⎡⎛ c
⎡ c 2 ⎛ 1 λ KGW ⎞
c⎞ c
c⎤
c⎤
I λ = AiZ⎢⎜⎜
− ⎟⎟ 2 + BZ 2 ⎥ = AiZ⎢
⎜ 2 − 3 ⎟ + BZ 2 ⎥ =
λ ⎦
λ ⎠
λ ⎦
⎣ λ KGW ⎝ λ
⎣⎝ λ KGW λ ⎠ λ
⎡ c 2 λ − λ KGW
c⎤
= AiZ⎢
+ BZ 2 ⎥ .
3
λ
λ ⎦
⎣ λ KGW
(42)
Z otrzymanego wyrażenia (42) można również uzyskać informację dotyczącą położenia maksimum natężenia widma ciągłego promieniowania hamowania i jego związek z krótkofalową
granicą widma ciągłego. W tym celu wyznaczamy ekstremum wyrażenia (42). Warunkiem jego
istnienia jest spełnienie równości (40), a więc należy obliczyć pochodną natężenia Iλ względem
długości fali:
⎡ c 2 λ3 − 3λ2 (λ − λ KGW )
⎡ c 2 − 2λ3 + 3λ KGW λ2
dI λ
− 2λ c ⎤
c⎤
= AiZ⎢
+
BZ
AiZ
=
− BZ 3 ⎥ .
⎥
⎢
6
4
6
λ
dλ
λ ⎦
λ
λ ⎦
⎣ λ KGW
⎣ λ KGW
Pochodna ta ma wartość zero, gdy wyrażenie w nawiasie kwadratowym wynosi zero, a więc gdy:
c2
λ KGW
− 2λ3 + 3λ KGW λ2
c
= BZ 3 ,
6
λ
λ
skąd po przekształceniach mamy:
⎛ c
⎞
− 2λ⎜⎜
+ BZ ⎟⎟ + 3c = 0 ,
⎝ λ KGW
⎠
a więc ostatecznie
10
λ max =
3
2
c
c
λ KGW
.
(43)
+ BZ
Otrzymane wyrażenie pokazuje, że określony wkład w położenie maksimum natężenia widma
ciągłego promieniowania hamowania wnosi również składnik BZ w wyrażeniu (28). Jeżeli mianownik ułamka w wyrażeniu (43) jest powiększony o składnik BZ, to wartość tego ułamka nieco
zmaleje, a więc λmax przesunie się ku krótszym falom. Jeżeli składnik BZ pominąć, to ze wzoru
(43) otrzymujemy wyrażenie identyczne ze wzorem (41).
6. Natężenie promieniowania hamowania generowanego podczas zasilania lampy rentgenowskiej napięciem stałym i zmiennym
Podczas zmiany w czasie natężenia prądu anodowego i = i(t) i napięcia U = U(t) rozkład natężeń Iν = Iν(t) i Iλ = Iλ(t) również się zmienia. Podczas okresowych zmian natężenia prądu i napięcia średnia w okresie T wartość I ν natężenia promieniowania może być wyznaczona ze wzoru:
T
Iν =
1
I ν (t )dt ,
T ∫0
(44)
do którego podstawiamy uproszczone wyrażenie (29):
T
Iν =
T
T
1
AZ
AZ
⎡e
⎤
I ν (t )dt =
i(t )(ν KGW − ν )dt =
i(t )⎢ U(t ) − ν ⎥ dt =
∫
∫
∫
T0
T 0
T 0 ⎣h
⎦
T
T
⎤
AZ ⎡ e
=
⎢ ∫ U(t )i(t )dt − ν ∫ i(t )dt ⎥ ,
T ⎣h 0
0
⎦
(45)
Podobnie możemy uzyskać wyrażenie dla natężenia promieniowania I λ korzystając z wyrażenia dla Iλ = Iλ(t):
T
1
I λ = ∫ I λ (t )dt .
T0
(46)
Po podstawieniu wyrażenie (39) otrzymujemy:
T
T
T 2
T
⎤
c 2 λ − λ KGW
AZ ⎡ c 2 1
c
AZ
1
(
)
(
)
(
)
=
−
i
t
dt
i
t
dt
i
t
dt
I λ = ∫ I λ (t )dt =
⎢
∫0 λ3 ⎥⎦ =
λ KGW
λ3
T ⎣ ∫0 λ KGW λ2
T ∫0
T0
T
T
T
⎤ AZ ec ⎡ T
⎤
hc
c2
AZ ⎡ ec
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
−
i(t )dt ⎥ .
(47)
=
−
U
t
i
t
dt
U
t
i
t
dt
i
t
dt
⎢ 2∫
⎥
3 ∫
2 ⎢∫
∫
λ 0
eλ 0
T hλ ⎣ 0
T ⎣ hλ 0
⎦
⎦
Jeżeli prawa zmian natężenia prądu i napięcia w czasie są znane, to ze wzorów (45) i (47)
można obliczyć średnią wartość gęstości spektralnej natężenia promieniowania hamowania.
=
11
Dla sinusoidalnej zmiany napięcia w czasie wzory (45) i (47) przyjmują postać:
Isin (ν ) =
Isin (λ ) =
⎡
ν ⎤
2
AZi0 ⎢ ν 2KGW − ν 2 − ν ⋅ arccos
⎥,
π
ν KGW ⎦
⎣
(48)
λ
2
⎡
⎤ 1
CU 0i 0 ⎢ λ2 − λ2KGW − λ KGW ⋅ arccos KGW ⎥ 3 .
π
λ ⎦λ
⎣
(49)
Stosunek spektralnych gęstości promieniowania hamowania generowanych za pomocą napięcia sinusoidalnego i stałego określa wyrażenie (50), którego wartości podano w tablicy 2:
Isin (λ ) 2 ⎡ λ KGW ⎤
= ⎢1 −
π⎣
λ ⎥⎦
I(λ )
−1
2
⎤
⎡
λ
λ
λ
⎢ 1 − ⎛⎜ KGW ⎞⎟ − KGW arccos KGW ⎥
λ
λ ⎥
⎢
⎝ λ ⎠
⎦
⎣
(50)
Tablica 2
Stosunek [%] spektralnych gęstości natężenia dla napięcia sinusoidalnie zmiennego
i stałego oraz różnych wartości λKGW/λ
λ KGW
λ
97
95
94
92
90
88
Isin (λ )
I(λ )
10,8
12,2
14,3
16,3
19,2
21,2
Isin (λ )
I(λ )
24,9
27,2
29,8
32,2
34,5
36,5
λ KGW
λ
84
80
76
72
68
64
λ KGW
λ
60
56
52
48
44
40
Isin (λ )
I(λ )
39,0
41,0
42,5
44,5
46,5
48,0
λ KGW
λ
36
32
28
24
20
16
Isin (λ )
I(λ )
50,0
51,5
53,0
54,5
56,0
57,5
Zależność (50) przedstawiono graficznie na rys. 5. Widać z niego, że stosunek Isin (λ ) / I(λ )
dla wszystkich λ KGW / λ ma wartości mniejsze od 100 %, co oznacza, że całkowite natężenie
promieni rentgenowskich dla napięcia sinusoidalnego jest mniejsze niż dla napięcia stałego.
Isin(λ)/I(λ)
[%]
60
50
40
30
20
10
0
20
40
60
80
100
λKGW/λ
Rys. 5. Wykres zależności (50)
7. Rozkład przestrzenny natężenia promieniowania hamowania
12
Rozkład przestrzenny natężenia promieniowania hamowania można wyznaczyć teoretycznie.
Elektron zbliżający się do danego atomu, na którym ulega rozproszeniu, porusza się w polu sił
atomu. Pod ich wpływem uzyskuje przyspieszenie a:
a=
Ze 2
,
mr 2
(51)
gdzie:
Z - liczba porządkowa pierwiastka anody lampy rentgenowskiej,
e, m - ładunek i masa elektronu,
r - promień wodzący elektronu określający jego położenie.
Podczas ruchu elektronu z przyspieszeniem promieniuje on energię w postaci kwantu promieniowania elektromagnetycznego. Natężenie pola elektrycznego E i magnetycznego H tej fali
elektromagnetycznej w pewnym punkcie przestrzeni wynoszą:
H=E=
ea
sin ϕ ,
c2R
(52)
gdzie:
a − przyspieszenie elektronu,
R − promień poprowadzony od elektronu do rozważanego punktu przestrzeni, w którym są
określane wartości natężeń E i H,
ϕ − kąt zawarty między kierunkiem przyspieszenia elektronu i promieniem R.
Należy zaznaczyć, że we wzorze (52) natężenie pola elektrycznego jest wyrażone w jednostkach elektrostatycznych, natomiast natężenie pola magnetycznego w jednostkach elektromagnetycznych (dzięki temu unikamy w zapisach niewygodnych współczynników liczbowych), co nie
wpływa na charakter wniosków.
Natężenie promieniowania elektromagnetycznego jest określone wartością wektora gęstości
energii (tzw. wektor Poyntinga-Umowa):
Iϕ =
c
e2a 2
EH =
sin 2 ϕ .
3 2
4π
4πc R
(53)
Dla bardzo dużych prędkości elektronów wprowadza się poprawkę zgodnie z teorią względności i wzór (53) przyjmuje postać:
e 2a 2
sin 2 ϕ
Iϕ =
,
4πc 3 R 2 (1 − β cos ϕ)6
(54)
gdzie: v - prędkość elektronu, c - prędkość światła, β = v/c.
Przedstawimy teorię rozkładu natężenia widma ciągłego w przestrzeni dla przypadku masywnej anody. Podał ją Sommerfeld [3, 4], który pominął jednak zmianę początkowego kierunku
ruchu elektronów. Teoria ta może więc być stosowana tylko wtedy, gdy anody są wykonane z
lekkich pierwiastków. Dla innych pierwiastków jest to teoria przybliżona, która jednak dość dobrze opisuje obserwowane fakty doświadczalne.
Wyznaczymy natężenie promieniowania w pewnym punkcie B (rys. 6) położonym w odległości R od elektronu e poruszającego się wzdłuż osi X prostopadłej do powierzchni anody AA.
13
Rys. 6. Schemat do obliczenia rozkładu natężenie promieniowania hamowania w przestrzeni
W celu wyznaczenia natężenia Ii emitowanego przez wszystkie hamowane elektrony należy
scałkować wyrażenie (54):
I i = D ∫ I ϕ dt .
(55)
gdzie: D - stała, a całkowanie jest wykonywane po całym czasie procesu hamowania aż do całkowitego zahamowania elektronów.
Niech przyspieszenie elektronu w pewnej chwili t’ wynosi a. Jeżeli fala elektromagnetyczna doszła do pewnego punktu w przestrzeni przebywając drogę R, to upłynął czas R/c i wobec tego czas,
w którym ta fala znalazła się w rozważanym punkcie wynosi:
t = t′ +
R
.
c
(56)
Po obustronnym zróżniczkowaniu tej równości mamy:
dt = dt ′ +
dR
.
c
(57)
Oznacza to, że w czasie dt’, w którym elektron przesunie się o v·dt’, odległość R elektronu do
punktu B zwiększy się o dR. Z rysunku 2 wynika, że odległość ta wynosi:
dR = − v ⋅ cos ϕ ⋅ dt ′ = −β c ⋅ cos ϕ ⋅ dt ′
i po podstawieniu tego wyrażenia do równania (57) mamy:
dt = dt ′ +
dR
= dt ′ − β ⋅ cos ϕ ⋅ dt ′ = dt ′(1 − β ⋅ cos ϕ) .
c
(58)
Należy więc wyznaczyć wartość dt’. Korzystamy z zależności:
⎛ v⎞
d⎜ ⎟ ⋅ c
dv
dβ
c
a=
= ⎝ ⎠ =c
,
dt ′
dt ′
dt ′
skąd:
dt ′ =
c
dβ .
a
14
(59)
Po podstawieniu wyrażenia (59) do równości (58) otrzymujemy:
dt =
c
(1 − β cos ϕ)dβ .
a
(60)
Wyrażenia (60) i (54) podstawiamy do wzoru (55):
I i = D ∫ I ϕ dt = D
β
e2 a
4πc R
2
sin ϕ∫
2
2
0
dβ
.
(1 − β cos ϕ)5
(61)
W celu wyznaczenia wartości Ii należy więc wpierw obliczyć wartość występującej całki.
Dokonamy tego podstawiając
1 − β cos ϕ = u ,
skąd:
β=
(62)
1− u
cos ϕ
i wobec tego:
dβ = −
du
.
cos ϕ
(63)
Należy również odpowiednio zmienić granice całkowania:
- dolna granica: dla β = 0 z równości (62) mamy u = 1,
- górna granica: dla β ≠ 0 z równości (62) mamy u = 1 - βcosϕ.
Możemy więc obliczyć wartość całki
β
u
u
dβ
du
1
du ⎛
1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1
∫0 (1 − β cos ϕ)5 = − ∫1 u 5 cos ϕ = − cos ϕ ∫1 u 5 = ⎜⎜⎝ − cos ϕ ⎟⎟⎠⎜⎝ − 4 ⎟⎠ u 4
=
⎤
1 ⎡
1
− 1⎥ .
⎢
4
4 cos ϕ ⎣ (1 − β cos ϕ)
⎦
u
=
1
1 ⎛ 1
⎞
⎜ 4 − 1⎟ =
4 cos ϕ ⎝ u
⎠
(64)
Po podstawieniu tego wyrażenia do wzoru (61) otrzymujemy rozkład w przestrzeni natężenie
promieniowania hamowania emitowanego z masywnej anody:
Ii = D
⎤
sin 2 ϕ ⎡
1
− 1⎥ .
⎢
2 2
4
16πc R cos ϕ ⎣ (1 − β cos ϕ)
⎦
e2 a
(65)
Jeżeli anoda jest masywna, to elektrony rozpraszają się w niej w miarę przechodzenia do coraz
głębiej położonych warstw anody i zmienia się charakter rozkładu energii promieniowania w przestrzeni. Teoretycznie kątowy rozkład natężenia promieniowania hamowania otrzymywanego z masywnej anody jest opisany równaniem (65). W miarę przechodzenia elektronów do coraz głębszych
warstw anody obserwuje się odstępstwo od tej zależności. W celu oceny roli wspomnianego rozpro15
szenia elektronów w materiale anody skorzystamy z danych doświadczalnych określających liczbę
elektronów rozproszonych w anodzie w zakresie kątów od 90o do 180o. Otrzymaną zależność pokazuje rys. 7. Na osi rzędnych na tym rysunku odłożono liczbę atomową Z pierwiastka będącego anodą
lampy rentgenowskiej, a na osi odciętych − liczbę elektronów p [%] rozproszonych w anodzie.
Rys. 7. Zależność liczby elektronów p [%] rozproszonych wstecz w masywnej anodzie
lampy rentgenowskiej od liczby atomowej Z pierwiastka
Z rysunku 7 widać, że liczba elektronów p rozproszonych wstecz szybko rośnie wraz ze
wzrostem liczby atomowe Z od Z = 4 (Be) do Z = 29 (Cu). Dalszemu wzrostowi Z również towarzyszy wzrost tej liczby elektronów, lecz szybkość wzrostu ulega zmniejszeniu. Oznacza to,
że zmianę początkowego kierunku ruchu elektronów można pominąć w przypadku anod wykonanych z lekkich pierwiastków, natomiast nie można pominąć w przypadku anod z ciężkich pierwiastków.
Przechodząc do rozpatrzenia kątowego rozkładu natężenia Iλ w przypadku masywnej anody
należy uwzględnić, że promieniowanie o danej długości fali może być wysyłane przez elektron
nie do chwili całkowitego zatrzymania, lecz do chwili osiągnięcia takiej prędkości, przy której
jego energia kinetyczna spełnia warunek
mv 2 mc 2β 2
hc
,
=
≥ hν =
2
2
λ
(66)
gdzie:
m=
m0
1 − β2
,
(67)
m0 - masa spoczynkowa elektronu.
Z równości (66) możemy wyznaczyć graniczną wartość prędkości względnej elektronu βλ odpowiadającej danej długości fali promieniowania:
βλ =
2h
.
mcλ
(68)
W celu otrzymania rozkładu kątowego natężenia Iλ należałoby dokonać scałkowania wyrażenia (54) w granicach od βλ do β. Sommerfeld [3, 4] uprościł ten problem zastępując to całkowanie zwykłym uśrednianiem w wyrażeniu (54) w podanym przedziale wartości, a więc zastąpił β
wartością βλ :
16
βλ =
β + βλ β βλ β
h
= +
= +
.
2
2 2 2
2mcλ
(69)
Przy takiej metodzie wyznaczania prędkości względnej elektronu β Sommerfeld otrzymał następujące przybliżone wyrażenie dla natężenia Iλ:
Iλ = D
sin 2 ϕ
.
(1 − βλ cos ϕ)6
(70)
Zgodnie ze wzorem (69) βλ zależy od długości fali i wobec tego również Iλ będzie zależało
nie tylko od kierunku wyznaczonego przez kąt ϕ, lecz również od długości fali.
Wzór (70) będzie dawał tym dokładniejsze wyniki, im węższy będzie przedział uśredniania
(βλ, β), którego granice zgodnie ze wzorem (69) wyznaczają βλ . Wzór (70) jest wzorem dokładnym w przypadku krótkofalowej granicy widma ciągłego, czyli w pobliżu długości fali λKGW, dla
której β = β κKGW = βλ KGW .
Z kolei wyznaczymy kierunek rozchodzenia się promieniowania rentgenowskiego o maksymalnym natężeniu (Iλ)max. W tym celu wyznaczymy ekstremum funkcji (70). Warunek jego istnienia ma postać:
dI λ
= 0.
dλ
(71)
Obliczamy więc powyższą pochodną:
dI λ
2 sin ϕ cos ϕ[1 − β λ cos ϕ] − 6[1 − β λ cos ϕ] (− β λ )(− sin ϕ) sin 2 ϕ
=D
=
dλ
[1 − βλ cos ϕ]12
6
5
sin 2ϕ(1 − β λ cos ϕ) − 6β λ sin 3 ϕ
.
=D
(1 − βλ cos ϕ)7
(72)
Wyrażenie (72) będzie równe zero gdy licznik tego wyrażenia będzie równy zero:
sin 2ϕ(1 − β λ cos ϕ) − 6β λ sin 3 ϕ = 0
czyli
2 cos ϕ(1 − β λ cos ϕ) − 6β λ sin 2 ϕ = 0 ,
a po podstawieniu ze wzoru jedynkowego: sin2ϕ = 1 - cos2ϕ otrzymujemy:
2β λ cos 2 ϕ + cos ϕ − 3β λ = 0 .
Jest to równanie drugiego stopnia ze względu na cosϕ. Jego wyróżnik wynosi: ∆ = 1 + 24β λ2 ,
a pierwiastek dodatni ma postać:
17
cos ϕ max =
1 + 24β λ2 − 1
.
4β λ
(73)
Drugi pierwiastek powyższego równania kwadratowego ma wartość ujemną, a więc pomijamy go.
Ze wzoru (73) wynika, że dla β = 0 ϕmax = π/2, a więc największe natężenie promieniowania
wystąpi w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku wiązki elektronów.
Natężenie promieniowania hamowania dla różnych kątów ϕ można wyznaczyć ze wzoru (70).
Dla ϕ = 0 lub ϕ = π (czyli w kierunku zgodnym z kierunkiem wiązki elektronów lub w kierunku
przeciwnym) natężenie Iλ = 0 gdy βλ < 1. Gdy β = 1, to w pobliżu krótkofalowej granicy widma
można uważać, że βλ jest również równe 1 i według wzoru (73) otrzymujemy ϕmax = 0, a więc
promieniowanie rozchodzi się w kierunku wiązki pierwotnej.
Dla wartości 0 < β < 1 kąt ϕmax jest zawarty w przedziale 0 < ϕmax < π/2. Ponieważ energia kinetyczna elektronów zgodnie ze wzorem (22) zależy od napięcia pracy lampy rentgenowskiej:
mv 2 mc 2β 2
=
= eU ,
2
2
to ze wzrostem napięcia U rośnie również względna prędkość β elektronów, a więc kierunek Imax
przesuwa się w stronę wiązki elektronów.
8. Porównanie rezultatów obliczeń z danymi doświadczalnymi
Porównamy obecnie rezultaty obliczeń teoretycznych z danymi uzyskanymi doświadczalnie.
Najlepszej zgodności - zgodnie z wcześniejszymi stwierdzeniami - należy oczekiwać dla bardzo
cienkich anod lub masywnych anod wykonanych z najlżejszych pierwiastków.
Na rysunku 8 pokazano zależność [5] natężenia Iλ od wartości kąta ϕ przy napięciu 34 kV.
Anodą były folie aluminiowe o grubościach 0,01, 0,035 i 0,6 µm. Krzywe uzyskano dla długości
fali bliskiej krótkofalowej granicy widma promieniowania hamowania. W tym przypadku we
wzorze (73) βλ = β = 0,347 , a ϕmax = 45,5o. Z rysunku 8 widać, że w rzeczywistości maksimum
natężenia jest nieco przesunięte w kierunku większych kątów ϕ i położone przy kącie około 52o.
Rys. 8. Rozkład w przestrzeni natężenia widma ciągłego promieniowania hamowania przy
U = 34 kV dla anod w postaci cienkich folii aluminiowych o grubościach 0,01, 0,035 i 0,6
µm, przy czym λ ≈ λKGW
18
Według rozważań teoretycznych dla ϕ = 0 natężenie w kierunku rozchodzenia się strumienia
elektronów Iλ = 0, tymczasem dane doświadczalne pokazują, że Iλ ≠ 0. Wraz ze zmniejszeniem
grubości folii natężenie tego promieniowania maleje, lecz nie jest równe zero.
Mogą być dwie przyczyny tych rozbieżności:
a) folia o grubości 0,01 µm (i większej) rozprasza elektrony,
b) nie jest ścisłe założenie, że kierunek przyspieszenia elektronów jest przeciwny do kierunku
jego prędkości początkowej.
Być może, że obie przyczyny działają jednocześnie. Z tego powodu Böhm [6] przeprowadził
badania kątowego rozkładu natężenia dla dwóch długości fali: w pobliżu krótkofalowej granicy
widma i przy znacznie większej długości fali. Anodą była folia z magnezu o grubości mniejszej
od 0,1 µm. Napięcie pracy lampy rentgenowskiej wynosiło 31 kV. Na rysunku 9 pokazano dwie
krzywe: jedną dla λ = 43 pm, druga dla λ = 160 pm.
Rys. 9. Rozkład w przestrzeni natężenia widma ciągłego promieniowania hamowania dla
długości fali λ = 43 pm (1) i λ = 160 pm (2) przy U = 31 kV dla anody w postaci
cienkiej folii magnezowej o grubości mniejszej niż 0,01 µm
Pierwszą krzywą na tym rysunku określa tylko warstwa powierzchniowa folii, a drugą cała grubość
folii. Mimo że folia była cieńsza niż 0,1 µm, druga krzywa wykazuje znacznie bardziej wygładzony
rozkład natężenia w zależności od kąta niż pierwsza krzywa. Maksimum natężenia przesuwa się jednocześnie dla drugiej krzywej w kierunku mniejszych (w porównaniu do krzywej 1) kątów. Kierunki
odpowiadające maksimum obu krzywych na rys. 9 zaznaczono strzałkami.
Na podstawie powyższych danych doświadczalnych wykreślono [7] krzywe rozkładu natężenia Iλ jako funkcja częstotliwości. Na rysunku 10 pokazano takie krzywe dla różnych kątów ϕ.
Rys. 10. Rozkład natężenia widma promieniowania hamowania Iν jako funkcja częstotliwości ν przy U = 31 kV dla anody Mg o grubości mniejszej niż 0,01 µm. Rozkład podano dla
różnych kierunków tworzących kąt ϕ z kierunkiem strumienia elektronów
19
Z rysunku 10 widać, że rozkład natężenia rzeczywiście zależy od kierunku rozchodzenia się
promieniowania.
Dotychczas zajmowaliśmy się porównaniem teorii z danymi doświadczalnymi tylko dla cienkich anod. Obecnie przejdziemy do rozważenia tego zagadnienia dla masywnych anod. W takich
badaniach stosuje się anody o kształcie pokazanym na rys. 11. Jest to część kuli (lub walca), do
środka której jest kierowany strumień elektronów. Przy takim kształcie anody promienie rentgenowskie wychodzące z niej pod różnymi kątami względem kierunku padającego strumienia elektronów są pochłaniane przez anodę w jednakowym stopniu, a więc rezultaty badań można bezpośrednio ze sobą porównywać. Badania takie mają też pewne ograniczenie: nie można wykonać
pomiarów dla kątów ϕ bliskich wartości 180o.
Rys. 11. Kształt masywnej anody stosowanej w badaniach rozkładu natężenia
promieniowania hamowania w zależności od kierunku tego promieniowania
Na rysunku 12 pokazano rozkład przestrzenny natężenia promieniowania hamowania anody
berylowej przy U = 140 kV. Widać, że mimo iż badania wykonano dla anody wykonanej z jednego z najlżejszych pierwiastków, to jednak dzięki rozproszeniu elektronów w masywnej anodzie nastąpiło znaczne wyrównanie krzywej rozkładu natężenia tego promieniowania. Jednocześnie stwierdzono, że dla kąta ϕ = 0, a więc w kierunku biegu strumienia elektronów, natężenie
nie tylko nie jest równe zeru, lecz nawet przekracza natężenie promieni w kierunku prostopadłym do strumienia elektronów i tylko nieznacznie jest mniejsze od natężenia maksymalnego.
Rys. 12. Rozkład w przestrzeni natężenia promieniowania hamowania uzyskanego
z masywnej anody berylowej przy napięciu U = 140 kV
Determann [8] doświadczalnie wyznaczył zależność kąta ϕmax, pod którym rozchodzi się promieniowanie o maksymalnym natężeniu Imax, od napięcia pracy lampy rentgenowskiej (rys. 13).
Zgodnie z podaną teorią wzrost napięcia powoduje zmniejszanie się wartości kąta ϕmax i kierunek rozchodzenia się promieniowania o największym natężeniu zbliża się do kierunku strumienia elektronów. Podobne rezultaty uzyskano również dla anody z Al i W [9].
20
Rys. 13. Zależność kąta ϕmax, pod którym rozchodzi się promieniowanie o maksymalnym
natężeniu Imax, od napięcia pracy lampy rentgenowskiej z masywną anodą z Be, C lub Al
9. Prawo odwrotnych kwadratów
Z wyrażeń (53), (54) i (65) wynika, że natężenie promieniowania hamowania zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do długości promienia R, a więc odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu
odległości od anody do rozpatrywanego punktu:
I1 R 22
=
.
I 2 R 12
(74)
Powyższa zależność nosi nazwę prawa odwrotnych kwadratów. Jest ono słuszne tylko dla punktowych
źródeł i przy braku pochłaniania i rozpraszania promieniowania w materii. Przy pewnej energii elektronów, w
pełni określonej dla danego materiału anody, oprócz promieniowania hamowania o widmie ciągłym powstaje
również rentgenowskie promieniowanie charakterystyczne o widmie liniowym.
10. Sprawność wzbudzenia promieniowania rentgenowskiego
Lampę rentgenowską, podobnie jak każde inne urządzenie techniczne, możemy scharakteryzować współczynnikiem sprawności:
η=
P αZiU 2
=
= αZU,
P0
iU
(75)
gdzie:
P – energia wypromieniowana przez lampę w jednostce czasu,
P0 – moc pobierana przez lampę,
α – stała, wynosząca około 1,5·10-6,
Z – liczba porządkowa pierwiastka, z którego wykonano anodę.
Współczynnik sprawności lampy rentgenowskiej zależy więc od dwóch wielkości:
– liczby porządkowej pierwiastka anody,
– napięcia anodowego lampy rentgenowskiej.
W celu uzyskania możliwie dużej sprawności lampy rentgenowskiej jej anodę wykonuje się
więc z pierwiastka o dużej liczbie porządkowej (najczęściej wolframu, Z = 74) i zasila prądem o
napięciach przekraczających 80 kV. Na przykład dla lampy o anodzie wolframowej pracującej
przy napięciu U = 200 kV współczynnik sprawności wynosi:
21
η = 1,5·10–6·74·200 = 2,2%.
Pozostała część pobieranej energii (97,8%) ulega w lampie zamianie w ciepło. Z tego powodu
lampa (a raczej jej anoda) musi być intensywnie chłodzona (najczęściej olejem w obiegu zamkniętym lub z wtórnym chłodzeniem oleju wodą).
W defektoskopii rentgenowskiej korzysta się z widma ciągłego promieniowania hamowania i
dlatego też pominięto omówienie procesu powstawania promieniowania charakterystycznego,
stosowanego przede wszystkim w rentgenografii strukturalnej (badania struktury krystalicznej za
pomocą dyfrakcji charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego).
Cytowana literatura
[1] Kramers H. A., Phil. Mag., 1923, t. 46, nr 275, s. 836-871.
[2] Kuhlenkampff H., Ann. der Phys., 1922, t. 69, s. 548.
[3] Sommerfeld. A., Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1929, t. 15, s. 393.
[4] Sommerfeld A., Ann. d. Phys., 1931, t. 11, s. 257.
[5] Honerjäger R., Ann. d. Phys., 1940, t. 38, nr 5, s. 33.
[6] Böhm K., Ann. d. Phys., 1938, t. 33, nr 5, s. 315.
[7] Kuhlenkampff H., Ann. d. Phys., 1938, t. 33, nr 5, s. 600.
[8] Determann H., Ann. d. Phys., 1937, t. 30, nr 5, s. 481.
[9] Tordarson S., Ann. d. Phys., 1939, t. 35, nr 5, s. 135.
[10] Senczyk D., Radiografia przemysłowa – podstawy fizyczne (w druku)
22