Sterowanie silnikiem prądu stałego w strukturze kaskadowej cz.1

LABORATORIUM
AUTOMATYKA NAPĘDU
PRZEKSZTAŁTNIKOWEGO
ĆWICZENIE 7
STEROWANIE SILNIKIEM PRĄDU STAŁEGO W STRUKTURZE
KASKADOWEJ
WROCŁAW, 2004
PLAN ĆWICZENIA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Budowa układu regulacji prędkości silnika prądu stałego (SPS) z kaskadowym
połączeniem regulatorów.
Zapoznanie się z modelem badanego układu regulacji w programie Matlab/Simulink.
Zbadanie właściwości dynamicznych silnika prądu stałego.
Dobór nastaw regulatora prądu twornika SPS według kryterium modułu (instrukacja).
Dobór nastaw regulatora prędkości SPS według kryterium Zieglera-Nicholsa:
a. regulator typu P;
b. regulator typu PI.
Dobór nastaw regulatora prędkości SPS typu PI według kryterium symetrii (instukcja).
Badanie dynamiki układu regulacji w przypadku ograniczenia maksymalnej wartości
prądu twornika.
Badanie szeregowej struktury regulacji silnika prądu stałego
1. Model silnika obcowzbudnego prądu stałego
Silnik bocznikowy prądu stałego jest podstawowym elementem napędowym w wysoko
wyspecjalizowanych napędach przemysłowych. Wynika to z faktu łatwego kształtowania jego
charakterystyk mechanicznych. Mimo, że istnieje tendencja zastępowania jego innymi typami
silników, silnik prądu stałego jest w dalszym ciągu wykorzystywany w praktyce (robotyka,
napędy obrabiarek, walcarki, napędy wyciągowe).
Przy formułowaniu modelu matematycznego silnika przyjęto następujące założenia
upraszczające:
-
strumień wzbudzenia jest prostopadły do prądu twornika (silnik z uzwojeniami
kompensującymi strumień reakcji twornika),
-
parametry obwodu twornika są skupione, niezmienne w czasie i niezależne od
temperatury,
-
pomija się zjawiska nieliniowe (wpływ nasycenia, histerezy magnetycznej),
-
pomija się moment tarcia,
-
zakłada się idealną sztywność pomiędzy wałem silnika a maszyną roboczą.
Schemat układu elektromechanicznego z silnikiem obcowzbudnym prądu stałego o
wzbudzeniu elektromagnetycznym przedstawiono na rys.1.
It ( t )
Rt
Lt
+
M o (t )
ω( t )
Me( t)
J
φw = const
U t (t )
−
Es ( t )
M
I w = const
U w = const
Rys.1. Model układu napędowego z silnikiem obcowzbudnym prądu stałego
przy stałej wartości strumienia wzbudzenia
Strumień wzbudzenia wytwarzany jest przez prąd płynący w uzwojeniu wzbudzenia.
Bardzo często w napędach mniejszych mocy stosuje się silniki o wzbudzeniu
magnetomotorycznym, wówczas strumień wzbudzenia pochodzi od magnesów trwałych
umieszczonych w stojanie silnika. Jednakże model matematyczny silnika (pomijając obwód
wytwarzania strumienia wzbudzenia), jest w obydwu przypadkach identyczny.
Uwzględniając sformułowane powyżej założenia upraszczające układ napędowy z
silnikiem obcowzbudnym prądu stałego połączony sprzęgłem sztywnym jest opisany przez
następujący układ równań:
U t ( t ) = Rt I t ( t ) + Lt
d
It ( t ) + E s ( t )
dt
M e (t ) = M o ( t ) + J m
(1)
d
ω( t )
dt
(2)
E s ( t ) = k eφ f ω ( t ) = ceω ( t )
(3)
M e ( t ) = k mφ f I t ( t ) = c M I t ( t )
(4)
gdzie:
Ut - napięcie zasilające obwód twornika; It - prąd twornika; Es - siła elektromotoryczna
twornika; Lt, Rt - całkowita indukcyjność i rezystancja obwodu twornika; Me - moment
elektromagnetyczny silnika; Mo - moment mechaniczny na wale silnika; Jm - zastępczy
moment bezwładności układu napędowego; ω - prędkość kątowa silnika; φf - strumień
wzbudzenia silnika; ce, cM - stała konstrukcyjna i stała momentu silnika; t - czas.
Schemat silnika odpowiadający równaniom1 – 4 przedstawiono na rysunku 2.
M o (t)
U t (t)
1
cM
Lt
It (t )
M e (t )
1
J
ω (t )
ce
Es (t )
Rys.2. Schemat blokowy silnika obcowzbudnego prądu stałego
przy stałej wartości strumienia wzbudzenia
Bardzo często wyniki badań przedstawia się w jednostkach względnych, z uwagi na łatwość
porównania silników o różnych danych znamionowych. Przejście na jednostki względne
odbywa się za pomocą podstawień:
ut =
Ut
,
U tN
it =
It
,
I tN
ψf =
φf
φ fN
,
ω=
Ω
Ωo
m=
,
M
.
MN
Wówczas silnik opisany jest następującymi równaniami różniczkowymi:
di
Te t = −i t + K t (u t −ψ f ω m ),
dt
dω m
TM
=ψ f i f − mo ,
dt
(5)
(6)
gdzie:
Kt =
UtN
,
I tN RtN
- współczynnik wzmocnienia obwodu twornika
silnika prądu stałego ,
L
Te = t ,
Rt
JΩ o
TM =
,
MN
- stała elektromagnetyczna obwodu twornika,
- stała mechaniczna,
Schemat strukturalny silnika obcowzbudnego prądu stałego odpowiadający układowi
równań (9 –10) jest przedstawiony na rysunku 3.
ut
Kt
ψf
Te
it
me
mo
TM
ω
ψf
Rys 3. Schemat strukturalny silnika obcowzbudnego prądu stałego w jednostkach względnych
Na podstawie równań silnika można wyprowadzić operatorowe transmitancje badanego
obiektu, które są określone następująco:
-
transmitancja przewodnia prędkościowa Gpω(s):
G pω ( s ) =
-
(1 ψ f )
∆ω ( s )
=
∆u t ( s ) Te Tm s 2 + Tm s + 1
transmitancja przewodnia prądowa GpI(s):
(7)
G pI ( s ) =
∆it ( s )
K t sTm
=
∆u t ( s ) TeTm s 2 + Tm s + 1
(8)
- transmitancja zakłóceniowa prędkościowa Gzω(s):
[ (
)]
2
∆ω ( s ) − 1 K tψ f (1 + sTe )
Gzω ( s ) =
=
∆m o ( s )
TeTm s 2 + Tm s + 1
-
transmitancja zakłóceniowa prądowa GzI(s):
G zI ( s ) =
gdzie:
(9)
Tm =
(1 ψ f )
∆it ( s )
=
∆mo ( s ) TeTm s 2 + Tm s + 1
(10)
TM
- elektromechaniczna stała czasowa.
K tψ 2 f
2 Dobór nastaw regulatorów
2.1 Dobór nastaw regulatora prądu – kryterium modułu
Oprócz kształtowania charakterystyk statycznych, zadaniem regulatorów jest
regulacja prędkości i prądu w stanach przejściowych. Schemat blokowy napędu o regulatorach
połączonych szeregowo, uwzględniający właściwości dynamiczne przekształtnika i silnika
przedstawiono na rysunku 4.
Ki T i
KRω TRω
ω
z
KR i TR i
it z
Kp To
us
K t Te
mo
ut
TM
ωm
me
es
it
ψf
KT
Rys. 4. Schemat blokowy układu napędowego o regulatorach połączonych szeregowo
Sygnał zadający ωz może być podany na wejście regulatora prędkości poprzez człon
inercyjny opóźniający szybkość narastania sygnału, co łagodzi przebieg odpowiedzi skokowej
układu (zmniejsza przeregulowanie prędkości silnika przy zmianie jej wartości zadanej).
Przekształtnik jest zwykle zastępowany członem inercyjnym pierwszego rzędu o stałej
czasowej To. Obwód twornika jest odwzorowywany elementem inercyjnym o stałej czasowej
Te, a układ mechaniczny elementem całkującym o stałej całkowania TM. Pomiar prądu cechuje
stała czasowa Ti, wynikająca z zastosowanego układu pomiarowego. Pomiar prędkości
prądnicą tachometryczną przyjmuje się jako bezinercyjny.
Dobór nastaw regulatorów rozpoczyna się od syntezy regulatora prądu w
wewnętrznej pętli sterowania, przyjmując następujące założenia:
− ciągłe przewodzenie zaworów przekształtnika zasilającego twornik silnika,
− napięcie wewnętrzne indukowane silnika es uważa się za wielkość zakłócającą, która z
punktu widzenia właściwości dynamicznych obwodu regulacji prądu twornika it zmienia
się bardzo wolno w porównaniu z czasem ustalania się wartości prądu; dlatego pomija się
jej wpływ na dynamikę obwodu regulacji prądu.
Elementy obwodu regulacji prądu mają następujące transmitancje:
− twornik silnika:
Ge ( p ) = Kt
1
1 + pTe
(11)
− przekształtnik:
GPT ( p ) = K o
1
1 + pTo
(12)
− układ pomiaru prądu:
Gi ( p) = K i
1
1 + pTi
(13)
Transmitancja regulatora prądu ma postać:
GRi ( p) = KRi
1 + sTRi
,
sTRi
(14)
Zgodnie z kryterium modułu przyjmuje się czas zdwojenia regulatora prądu w
następujący sposób:
TRi=Te,
(15)
oraz jego wzmocnienie:
K Ri =
Te
.
2 K p Kt Ki ( To + Ti )
Transmitancja układu otwartego ma postać:
(16)
Goi ( p ) = K Ri
1 + pTRi
1
1
1
Kt
Kp
Ki
,
pTe
1 + pTe
1 + pTo 1 + pTi
Po uwzględnieniu nastaw regulatora prądu powyższe wyrażenie upraszcza się do
następującej postaci:
Goi ( p ) =
Te
1 + pTe
1
1
1
Kt
Kp
Ki
2 K p Kt K i (T0 + Ti ) pTe
1 + pTe
1 + pTo 1 + pTi ,
Goi ( p ) =
1
,
2 p(T0 + Ti )(1 + pT0 )(1 + pTi )
(17)
Transmitancja zamkniętego układu regulacji prądu ma postać:
Gzi ( p ) =
1
1
1
≈
=
,
1 + 2 p (T0 + Ti )(1 + pT0 )(1 + pTi ) 1 + 2 p (T0 + Ti ) 1 + pTZ
(18)
gdzie:
Tz = 2( To + Ti )
- zastępcza stała czasowa obwodu regulacji prądu.
Po skompensowaniu stałej czasowej twornika Te, obwód regulacji prądu staje się w
przybliżeniu członem inercyjnym pierwszego rzędu o zastępczej stałej czasowej TZ. Stała TZ
uwzględnia sumę małych stałych czasowych: opóźnienia przekształtnika To oraz układu
pomiaru prądu Ti. Z powyższej transmitancji wynika, że w zoptymalizowanym obwodzie
regulacji prądu, pozostały nieskompensowane tylko małe stałe czasowe. Tak więc schemat
blokowy obwodu regulacji prądu ulega znacznemu uproszczeniu i przyjmuje postać, jak na
rysunku 2.5.
ω
z
ψ
KZ TZ
KR i TR i
it z
f
mo
TM
ωm
KT
Rys. 5. Schemat blokowy uproszczonego układu napędowego o regulatorach połączonych
szeregowo po dostrojeniu regulatora prądu wg kryterium modułu
Transmitancje poszczególnych bloków schematu uproszczonego są następujące:
− obwód mechaniczny:
GM ( p ) =
1
,
pTM
(19)
− obwód wytwarzania momentu:
Gψ ( p ) = ψ f ,
(20)
− obwód regulacji prądu:
GZ ( p ) = K Z
1
,
1 + pTZ
(21)
− sprzężenie prędkościowe:
GTP ( p ) = K T ,
(22)
− regulator prędkości:
GRω ( p ) = K Rω
1 + pTR ω
,
pTRω
(23)
Transmitancja układu otwartego będzie miała postać:
G0 ( p ) =
1
1
1 + pTR ω
ψ f KZ
KT K R ω
pTM
1 + pTZ
pTR ω
2.2 Dobór nastaw regulatora prędkości – kryterium symetrii
Stosując kryterium symetrii wyznacza się parametry regulatora prędkości w
następujący sposób:
K Rω =
TM
,
2 K Zψ f T Z K T
TRω = 4TZ .
(24)
(25)
Po uwzględnieniu nastaw regulatora prędkości transmitancja układu otwartego
upraszcza się do następującej postaci:
Goω ( p ) =
1
1
TM
1 + p4T Z
ψ f KZ
KT
,
pTM
1 + pTZ
2 K Zψ f TZ KT p 4TZ
Goω ( p ) =
1
1
1 1 + p 4TZ
,
p ( 1 + pTZ ) 2TZ p4TZ
(26)
Dokonując prostych przekształceń wyznacza się transmitancję układu zamkniętego:
Gωz ( p ) =
1 + p 4TZ
,
1 + p 4TZ + p 2 8TZ2 + p 3 8TZ3
(27)
Układ zoptymalizowany wg powyższej metody charakteryzuje się krótkim czasem
narostu tn=3,1TZ, z pierwszym przeregulowaniem prędkości przekraczającym δ > 43% oraz
czasem regulacji (przy założonej dokładności rzędu 2%) tu=16,5TZ. W celu zmniejszenia tak
znacznego przeregulowania sygnał zadający podaje się poprzez filtr w zadajniku prędkości o
transmitancji:
GF ( p ) =
Odpowiedź
prędkości
1
.
1 + p 4TZ
na
(28)
skokową
zmianę
sygnału
zadanego
w
tak
zoptymalizowanym układzie regulacji charakteryzuje się przeregulowaniem rzędu δ ≅ 8%,
czasem narastania tn=7,6TZ oraz czasem ustalania tu=13,3TZ. W wyniku działania regulatorów
PI prądu i prędkości uzyskuje się kompensację dwóch podstawowych dużych stałych
czasowych napędu: stałej elektromagnetycznej obwodu twornika Te, oraz stałej mechanicznej
TM. Nieskompensowana stała czasowa TZ składa się ze stałej czasowej związanej z
opóźnieniem przekształtnika oraz stałej Ti wynikającej z opóźnienia układu pomiaru prądu.
2.3 Dobór nastaw regulatora prędkości – metoda Ziegler-Nichols
Metoda ta jest stosowana w przypadku, gdy model matematyczny obiektu nie jest znany
(może ona być też oczywiście zastosowana do obiektu o znanym modelu matematycznym).
Daje ona parametry regulatora Kp, TI, i Td które zapewniają stabilność układu zamkniętego.
Jednakże układ może się charakteryzować duży nieakceptowanym przeregulowaniem. W
takim przypadku konieczne jest dalsze eksperymentalne dostrajanie regulatora. W wobec tego
należy ją traktować jako metodę dającą wstępne nastawy regulatora. Istnieją dwa rodzaje
metody Ziegler-Nichols.
2.3.1 Metoda pierwsza
W metodzie pierwszej bazujemy na eksperymentalnej odpowiedzi układu na skok
jednostkowy. Obiekt jest układem pozbawionym całkowania, a w pierwiastkach układu części
urojone nie są dominujące. Schemat zadawania wymuszenie jest przedstawiony na rysunku
u( t )
Obiekt
y( t )
Rys. 6. Schemat zadania wymuszenia
Odpowiedz układu przybiera kształt litery S. Może ona być scharakteryzowana przez dwa
parametry – L - czas opóźnienia oraz T- stała czasowa. Te dwie stałe można wyznaczyć
rysując linie styczną do odpowiedzi czasowej w punkcie przełamania zgodnie z rysunkiem 7.
y( t )
K
t
L
T
Rys. 7. Sposób wyznaczenia parametrów z odpowiedzi czasowej
Funkcja przejścia układu może być odwzorowana jako iloczyn członu inercyjnego pierwszego
rzędu i opóźnienia czasowego:
y ( p) Ke − Lp
=
u( p ) Tp + 1
(29)
Zgodnie z regułą Ziegler-Nichols w metodzie pierwszej parametry regulatora należy ustawić
jak w tabeli 1.
Tabela 1. Wyznaczenie parametrów regulatora zgodnie z pierwszą metodą Ziegler’aNichols’a
Typ regulatora
P
PI
Kp
T
L
0,9 T
PID
1,2 T
Ti
∞
L
L
L
0,3
2L
Td
0
0
0,5L
Transmitancja regulatora jest określona wzorem


1
G( p ) = K p 1 +
+ Td p 
 Ti p

2.3.1 Metoda druga
(30)
W drugiej metodzie metodzie pierwszym kroku następuje ustawienie współczynników
Ti = ∞ i Td = 0 . Używając tylko proporcjonalnej części regulatora, zwiększa się Kp od zera
do krytycznej wartości Kpkr, gdy na wyjściu układu powstają drgania niegasnące o stałej
amplitudzie (jeśli na wyjściu nie pojawią się niegasnące oscylacje o stałej amplitudzie metoda
ta nie nadaje się do użytku). Parametry Kpkr i okres niegasnących oscylacji Tkr wyznaczone
eksperymentalnie służą do określenia nastaw regulatorów zgodnie z tabelą 2. Schemat układu
do wyznaczenia parametrów został przedstawiony na rysunku 8.
x( t )
u( t )
Kp
y( t )
Obiekt
Rys. 8. Schemat układu
Sposób wyznaczenia Tkr z odpowiedzi układu został przedstawiony na rysunku 7.
Tkr
y( t )
t
Rys. 9. Sposób wyznaczenia parametrów z odpowiedzi czasowej
Tabela 2. Wyznaczenie parametrów regulatora zgodnie z drugą metodą Ziegler’a-Nichols’a
Typ regulatora
P
Kp
0,5K pkr
PI
0,45 K pkr
PID
0,6 K pkr
Ti
Td
0
1 T pkr
1,2
0,5T pkr
0
∞
0,125T pkr