Wprowadzenie do mechaniki - Zakład Wytrzymałości Materiałów i

Marian OSTWALD
PODSTAWY MECHANIKI
MECHANIKA TECHNICZNA
DLA STUDENTÓW
KIERUNKÓW NIEMECHANICZNYCH
Materiały z wykładów
Wersja 06
Marzec 2014
Politechnika Poznańska
01 Wprowadzenie do mechaniki.doc
SPIS TREŚCI
1. Wprowadzenie ................................................................................. 1
2. Statyka ........................................................................................... 10
3. Statyka – przykłady do rozwiązania ............................................... 38
4. Kinematyka .................................................................................... 39
5. Dynamika ....................................................................................... 63
6. Drgania – wprowadzenie ............................................................... 82
7. Wytrzymałość materiałów – charakterystyka ................................. 87
8. Pręty, układy prętów ....................................................................... 91
9. Momenty bezwładności ................................................................ 102
10. Stany naprężenia i odkształcenia. Hipotezy wytrzymałościowe ... 108
11. Skręcanie wałów okrągłych .......................................................... 110
12. Zginanie belek .............................................................................. 117
13. Wytrzymałość złożona ................................................................. 135
14. Zagadnienia wybrane ................................................................... 141
Opanowanie materiału z przedmiotu MECHANIKA TECHNICZNA wymaga
działań na dwóch płaszczyznach:
– poznanie i zrozumienia podstaw teoretycznych,
– nabycie praktycznych umiejętności posługiwaniem się wiedzą teoretyczną.
Podstawy teoretyczne to przede wszystkim przyswojenie i zrozumienie
podstawowych pojęć związanych z przedmiotem, nabycie umiejętności kojarzenia oraz zastosowania omawianych zagadnień. To również „wiedza” o tym,
gdzie w literaturze można znaleźć szczegółowe informacje (wzory, procedury,
przykłady).
Niniejszy materiał zawiera materiał prezentowany na wykładach i stanowi
rodzaj przewodnika umożliwiający opanowanie podstaw teoretycznych. Umiejętności praktyczne nabyć można poprzez analizę przykładów liczbowych, a
przede wszystkim przez SAMODZIELNE ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ. Cechą
zawodu inżyniera jest praktyczne wykorzystywanie swojej wiedzy i umiejętności
w działalności zawodowej, stąd studiowanie MECHANIKI TECHNICZNEJ wymaga uwzględnienia obu tych aspektów.
LITERATURA UZUPEŁNIAJACA
[1] Kozak B.: Mechanika techniczna. WSiP, Warszawa2004.
[2] Niezgodziński T.: Mechanika ogólna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1999
[3] Ostwald M.: Podstawy wytrzymałości materiałów. Wydawnictwo Politechniki
Poznańskiej, Poznań 2012.
[4] Ostwald M.: Wytrzymałość materiałów. Zbiór zadań. Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2012
[5] Siuta W.: Mechanika techniczna. WSiP, Warszawa.
01 Wprowadzenie do mechaniki.doc
2
MECHANIKA TECHNICZNA
Struktura przedmiotu
Metody i pojęcia
matematyki
do badania zjawisk
Obserwacja
rzeczywistości
Fizyka
Matematyka
MECHANIKA
TEORETYCZNA (OGÓLNA)
Mechanika
relatywistyczna
(skala makro, E = mc2)
MECHANIKA
STOSOWANA (TECHNICZNA)
(newtonowska)
MECHANIKA CIAŁA SZTYWNEGO:
- dynamika
- kinematyka
- statyka
Mechanika
kwantowa
(skala mikro, chaos)
MECHANIKA CIAŁ
ODKSZTAŁCALNYCH:
Doświadczenie
MECHANIKA CIAŁ STAŁYCH
WYTRZYMAŁOŚĆ
MATERIAŁÓW:
- teoria sprężystości
- teoria plastyczności
- reologia
- .............
MECHANIKA
PŁYNÓW:
- hydromechanika
- aeromechanika
MECHANIKA
GRUNTÓW
(budownictwo)
Mechanika należy do najstarszych dziedzin ludzkiej aktywności. Początki mechaniki sięgają starożytnego Babilonu, starożytnej Grecji, Egiptu i Rzymu. Podstawy mechaniki jako nauki ścisłej w starożytności tworzyli m. in. Arystoteles ((384-322 p.n.e.),
Archimedes (287-212 p.n.e) i Ptolemeusz (II w n.e.). Gwałtowny rozwój mechaniki nastąpił w średniowieczu i związany jest z takimi nazwiskami jak Leonardo da Vinci (1452
-1519), Galieo Galilei (Galileusz 1564-1642), René Descarte (Kartezjusz 1596-1650)
Isaac Newton (1642-1727, autor "Philosophiae naturalis principia mathematica", Londyn, 1687r.), Pierre Varigon (1654-1722), Jan Bernoulli (1667-1748), Michał Łomonosow (1711-1765), Leonard Euler (1701-1783), Jean D'Alambert (1717-1783), Ludwig
Lagrange (1737-1813) i wielu innych. Twórcami mechaniki kwantowej byli m. in. Max
Planck (1858-1947) i Erwin Schrödinger (1887-1961), mechaniki relatywistycznej jest
Albert Einstein (1879-1955).
Spośród polskich uczonych którzy wnieśli znaczący wkład do rozwoju mechaniki
należy wymienić Mikołaja Kopernika (1473-1543), Feliksa Jasińskiego (1856-1899),
Maksymiliana Tytusa Hubera (1872-1950), Stefana Banacha (1895-1945) i innych.
01 Wprowadzenie do mechaniki.doc
3
MECHANIKA TECHNICZNA
Mechanika jest dziedziną nauki zajmującą się badaniem ruchu i równowagi ciał materialnych. Ciało materialne jest
myślowym uproszczeniem ciała rzeczywistego. Modele:
 punkt materialny
 układ punktów materialnych
 ciało sztywne
TRADYCYJNY PODZIAŁ MECHANIKI:
 STATYKA – badanie warunków równowagi ciał w spoczynku.
 KINEMATYKA – badanie ruchu ciał bez analizy przyczyn
tego ruchu.
 DYNAMIKA – analiza oddziaływań między ciałami oraz
ich skutków.
Ciało doskonale sztywne stanowi przybliżony model ciała stałego i wystarcza do rozwiązywania wielu ważnych
w praktyce inżynierskiej przypadków ruchu i równowagi.
Podstawowe jednostki miar wielkości fizycznych
układ SI
 długość: metr
m
 masa: kilogram
kg
 czas: sekunda
s
 natężenie prądu: amper
A
 temperatura: kelwin
K
 ilość materii: mol
mol
 światłość: kandela
cd


kąt płaski: radian
kąt bryłowy: steradian
Jednostki pochodne w mechanice:
długość (droga)
prędkość =
czas
praca = siła  długość (droga)
praca
=
moc
czas
01 Wprowadzenie do mechaniki.doc
rd
sr
m
s
Nm
Nm
s
=W
4
SKALARY
Liczby mianowane
Skalary są pojęciami opisującymi wartość liczbową wielkości fizycznej (mechanicznej) poprzez porównanie jej ze wzorcem (np. długość, masa, temperatura, praca, moc itp.). Skalarami są także wartości liczbowe (moduły) wektorów.




WEKTORY
wartość liczbowa (moduł)
kierunek w przestrzeni
zwrot na kierunku działania
punkt przyłożenia.
Kierunek działania
Zwrot
P
Punkt przyłożenia
Wartość liczbowa (moduł)
Wektor siły skupionej
Wektor jest obiektem geometrycznym opisanym za pomocą ww. czterech
parametrów. Przykłady wektorów: siła, moment siły, pęd, prędkość, przyspieszenie i. in.
RACHUNEK WEKTOROWY
Dział matematyki (geometrii analitycznej), analizujący działania na wektorach (uogólnienia skalara) oraz tzw. tensorach (uogólnienie pojęcia wektora).
Rachunek wektorowy jest bardzo przydatny w rozwiązywaniu wielu zagadnień
z mechaniki.
PODSTAWOWE POJĘCIA MECHANIKI
SIŁA – wynik wzajemnego mechanicznego oddziaływania na siebie ciał (oddziaływanie bezpośrednie).
 Siły zewnętrzne czynne i bierne (reakcje), wewnętrzne
 Siły skupione, rozłożone liniowo, powierzchniowo, objętościowo
Szersza definicja: siła to wynik oddziaływań fizycznych ciał na siebie.
Pozwala to na wprowadzenie pojęcia sił elektrodynamicznych (magnetycznych),
działających na przewodniki umieszczone w polu magnetycznym, przez które
płynie prąd elektryczny, (maszyny elektryczne). Jest oddziaływanie pośrednie
(inny przykład – oddziaływanie magnesów).
01 Wprowadzenie do mechaniki.doc
5
CIAŁA SWOBODNE
CIAŁA NIESWOBODNE
Stopnie swobody
Więzy (ograniczenia) ograniczające ruch
CIAŁA SWOBODNE
Ciało swobodne może się przemieszczać dowolnie w przestrzeni. W przypadku ogólnym ciało swobodne ma sześć stopni swobody. Oznacza to, że
może się przemieszczać liniowo w trzech kierunkach oraz obracać względem
trzech osi.
CIAŁA NIESWOBODNE
Ciało nieswobodne nie ma możliwości dowolnego (swobodnego) przemieszczania się w przestrzeni. Przemieszczanie ciała jest ograniczone przez
nałożone na ciało więzy.
Więzy (ograniczenia) ograniczające ruch
Przykłady podpór ruchomych w statyce
01 Wprowadzenie do mechaniki.doc
6
Przykłady podpór nieruchomych w statyce
Przykłady podparcia konstrukcji oraz reakcje podporowe:
a) pręt spoczywający na podłożu, b) podparcie przegubowe nieprzesuwne,
c) podparcie przegubowe przesuwne, d) ostrze, e) utwierdzenie, f) tuleja przesuwna, g) przegub pośredni
PODSTAWOWE WIĘZY W MECHANICE
Przegub ruchomy
Przegub nieruchomy
01 Wprowadzenie do mechaniki.doc
Utwierdzenie
7
Podstawą mechaniki są trzy prawa Newtona, sformułowane w 1687 r., mające fundamentalne znaczenie
w mechanice i wytrzymałości materiałów.
Punkt materialny, na który nie działa
I prawo Newtona
żadna siła, pozostaje w spoczynku lub
(prawo
porusza się ruchem jednostajnym po
bezwładności)
linii prostej.
Właściwość ciał materialnych, polegająca na zachowywaniu swego stanu – ruchu jednostajnego prostoliniowego,
a w szczególności stanu spoczynku, nazywa się bezwładnością.
II prawo Newtona Przyspieszenie punktu materialnego
(prawo
jest proporcjonalne do siły działającej
zmienności ruchu) na ten punkt i ma kierunek siły.
Matematycznie II prawo Newtona zapisuje się w postaci
wektorowej:
 
m a =P ,
gdzie m jest współczynnikiem proporcjonalności zwanym
masą. Masa jest miarą bezwładności, czyli właściwości
materii polegającej na tendencji do zachowywania stanu ruchu lub spoczynku. Masa jest wielkością skalarną charakteryzującą ciało.
Siły wzajemnego oddziaływania
III prawo Newtona dwóch punktów materialnych są rów(prawo akcji
ne co do wartości i są przeciwnie
i reakcji)
skierowane wzdłuż prostej łączącej
oba punkty.
01 Wprowadzenie do mechaniki.doc
8
PRAWA NEWTONA W XXI WIEKU
1687
2011
CZŁOWIEK
WYTWÓR TECHNICZNY
Postrzeganie i analiza otoczenia (fragmentu rzeczywistości)
Prawa Newtona – równania różniczkowe
OGRANICZENIA
Społeczne, socjologiczne,
polityczne, środowiskowe, …
Fizjologiczne:
 funkcjonowanie mózgu
 wzrok, słuch
PROBLEM – znalezienie
rozwiązania
KOMPUTER
KOMPUTER NIE MYŚLI!
KOMPUTER OSZUKUJE!
PRZYBLIŻONE WIDZENIE I ANALIZA OTOCZENIA
PRZYBLIŻONE SPOSOBY POMIARÓW – MODELE, UPROSZCZENIA, WERYFIKACJA I WALIDACJA DOŚWIADCZALNA
WIEDZA
KAPITAŁ
REGUŁA ŚW. MATEUSZA:
01 Wprowadzenie do mechaniki.doc
GOSPODARKA WIEDZY
SPOŁECZEŃSTWO INFORNACYJNE
Wiedza jest szczególnym czynnikiem rozwoju – NIGDY SIĘ NIE WYCZERUJE!
Znaczenie
praw Newtona (1687)
w technice XXI wieku:
1. Prawa Newtona umożliwiają opis każdego zjawiska fizycznego
za pomocą równań różniczkowych. Punktem odniesienia jest
Ziemia. PROBLEM: znalezienie rozwiązań.
2. Wykorzystanie komputerów do rozwiązywania problemów technicznych. PROBLEM: komputer „nie myśli” oraz komputer „oszukuje” (binarny zapis liczb wymusza ich zaokrąglanie).
3. Człowiek spostrzega rzeczywistość za pomocą ograniczonych
zmysłów (wzrok – 300-950 nm + kolor, słuch – 16-20000 Hz).
Mózg człowieka (najdoskonalszy „komputer”) przetwarza porcje
informacji w specyficzny sposób (porównaj – złudzenia optyczne
+ iluzja, kompresja stratna plików MP3, MPEG4).
4. Zarówno człowiek jak i komputer widzą i oceniają rzeczywistość
w pewnym przybliżeniu (suwmiarka – pomiar z dokładnością do
0,1 mm, mikrometr – 0,001 mm).
5. Ważność praw Newtona wynika z ograniczeń człowieka jak i
ograniczeń komputerów.
WNIOSEK: w technice (w tym w WM) stosowanie opisu rzeczywistości za pomocą modeli, stosowanie uproszczeń i przybliżeń jest uzasadnione. PROBLEM: adekwatność modeli do rzeczywistości. ROZWIĄZANIE: doświadczenie i eksperyment (filar
WM), weryfikacja i walidacja rozwiązań.
01 Wprowadzenie do mechaniki.doc
ZAKRES ZASTOSOWANIA MECHANIKI NEWTONA
(NIUTONOWSKIEJ)
Mechanika oparta o prawa Newtona w zupełności wystarcza do opisu wszystkich zjawisk mechanicznych, w których
występują prędkości znacznie niższe od prędkości światła
– dotyczy to inżynierskich zastosowań mechaniki w budowie maszyn i budownictwie.
JEDNOSTKI MASY I SIŁY
1 niuton  1N  1 kg 1
1 kN = 103 N,
m
kg  m

1
s2
s2
1 MN = 103 kN = 106 N
ZWIĄZEK MIĘDZY MASĄ A CIĘŻAREM
Siła ciężkości – siła z jaką Ziemia przyciąga
dane ciało materialne
Ciężar ciała = masa  przyspieszenie ziemskie
G = m g
g = 9,81 m/s2
m  g = 1kg  9,81 m/s2 = 9,81 kgm/s2 = 9,81 N
Ciężar ciała o masie 1 kg wynosi 9,81 N.
ZWIĄZEK MIĘDZY MASĄ I CIĘŻAREM
Ciało 1: ciężar G1, masa m1
Ciało 2: ciężar G2, masa m2
G1 = m1  g,
G2 = m2  g,
G1 m1

G2 m2
Stosunek dwóch ciężarów jest równy stosunkowi ich mas.
Jest to podstawa pomiaru masy ciała za pomocą ważenia
(porównania ze wzorcem).
01 Wprowadzenie do mechaniki.doc
11