Wykorzystanie metody $k$ średnich w taksonomii portfela akcji

Wykorzystanie metody $k$ średnich w taksonomii portfela akcji

WYKORZYSTANIE METODY K-ŚREDNICH W TAKSONOMII PORTFELA AKCJI
Dorota Kozioł
Katedra Ekonometrii
WSEI ul. Stokłosy 3, 02-787 Warszawa
e-mail:[email protected]
Robert Pietrzykowski, Wojciech Zieliński
Katedra Ekonometrii i Informatyki
SGGW ul. Nowoursynowska 159, 02-787 Warszawa
e-mail:[email protected]
e-mail:[email protected]
Streszczenie. W pracy analizowano notowania akcji na Warszawskiej Giełdzie Papierów Wartościowych w
roku 2003. Zastosowanie metody k-średnich pozwoliło na wychwycenie powiązań pomiędzy badanymi akcjami
spółek giełdowych oraz wyróżnienie akcji ściśle ze sobą związanych.
Wstęp
Statystyczne metody taksonomiczne polegają na podziale grupy pewnych obiektów obserwowanych wielocechowo na grupy obiektów o podobnych własnościach. Metody wywodzą się z zastosowań biologicznych,
niemniej jednak spektrum ich zastosowania może być rozszerzone na wiele innych dziedzin. W ostatnich latach metody taksonomiczne znajdują zastosowania w ekonomii, a w szczególności w analizie giełdy [Gatnar
1998]. Metody te mogą wspomóc doświadczenie i intuicję inwestora w wyborze efektywnego portfela akcji,
tzn. portfela maksymalizującego zysk przy jednoczesnej minimalizacji ryzyka. Do takich metod należą m.in.
właśnie metody analizy skupień.
Analiza skupień to najbardziej znana i najczęściej stosowana technika taksonomii. W jej wyniku otrzymujemy
podział obserwowanych obiektów rozłączne grupy. Techniki analizy skupień można podzielić na dwie kategorie: metody aglomeracyjne oraz podziałowe. Techniki aglomeracyjne polegają na tworzeniu grup poprzez
dołączanie do już istniejących grup kolejnych obiektów. Wynik działania tych technik prezentowany jest przeważnie w postaci dendrogramu. Odpowiednie przecięcie gałęzi takiego dendrogramu powoduje rozpadnięcie
się powstałego drzewa na rozłączne grupy [Falniowski 2003].
Metody podziałowe polegają na dzieleniu całego zbioru obiektów zgodnie z ogólną zasadą maksymalizacji
wariancji pomiędzy poszczególnymi grupami, przy jednoczesnej minimalizacji wariancji wewnątrz badanych
grup. W wyniku stosowania metod z tej grupy jest wskazanie skupień w badanym zbiorze obiektów. Przykładem takiej techniki jest metoda k-średnich zaproponowana przez MacQueena [MacQueen 1967].
Celem pracy jest przybliżenie metody k-średnich oraz jej zastosowania w klasyfikacji portfela akcji, wychwycenie wzajemnych powiązań pomiędzy badanymi spółkami i zastosowanie do konstrukcji portfela akcji
wybranych spółek notowanych na Warszawskiej Giełdzie Papierów Wartościowych w roku 2003. Należy zwrócić uwagę na to, że zastosowanie metod taksonomicznych nie daje jednoznacznej odpowiedzi, który podział
jest ”najlepszy”, to znaczy najbliższy rzeczywistości. Uzyskany podział oparty jest na analizie zmienności
akcji i może być tylko wskazówką do konstrukcji optymalnego portfela.
Opis metody
Niech X1 , X2 , . . . , XN będą zaobserwowanymi obiektami p cechowymi, tzn. Xi = (Xi1 , . . . , Xip ), i =
1, . . . , N . W metodzie k-średnich zakłada się, że obiekty pochodzą z pewnej nieznanej liczby k populacji. Na
podstawie zebranych danych identyfikowana jest liczba k oraz ”przydziela” badane obiekty do poszczególnych
populacji.
Niech J (k) = {I1 , . . . , Ik } będzie podziałem zbioru {1, . . . , N } na k rozłącznych podzbiorów. Liczby w zbiorze I1 traktowano jako numery obserwowanych obiektów pochodzących z pierwszej populacji, liczby w zbiorze
I2 numery obiektów z drugiej populacji, itd. Zakładając, że liczba k populacji jest ustalona szukano ”najlepszego” podziału. Spośród wszystkich podziałów J (k) za najlepszy uznano ten, dla którego zróżnicowanie
międzygrupowe w stosunku do zróżnicowania wewnątrzgrupowego będzie największe. Niech
1 X
X̄Ii =
Xj ,
ni
j∈Ii
1
gdzie ni oznacza ilość elementów zbioru Ii (n1 +· · ·+nk = N ). Jako miernik zróżnicowania międzygrupowego
przyjęto
k
1X
SAJ (k) =
kX̄Ii − X̄J (k) k2 ,
k i=1
Pk
gdzie X̄J (k) = k1 i=1 X̄Ii jest ”środkiem ciężkości” proponowanego
podziału. Symbol kXk oznacza normę
Pp
euklidesową wektora X = (X1 , . . . , Xp ) tzn. kXk2 = i=1 Xi2 . Miernikiem zróżnicowania wewnątrzgrupowego będzie
k
1X 1 X
SEJ (k) =
kXj − X̄Ii k2 .
k i=1 ni
j∈Ii
Niech J ∗ (k) będzie takim podziałem na k grup, że
SAJ ∗ (k)
SAJ (k)
= max
SEJ ∗ (k)
J (k) SEJ (k)
oraz niech
f (k) =
SAJ ∗ (k)
.
SEJ ∗ (k)
Jako optymalny podział J ∗ (k) obiektów na skupienia wybrano ten, dla którego funkcja f (k) osiąga minimum.
Wyniki
W analizie wzięto pod uwagę 44 spółki giełdowe z różnych sektorów gospodarki. W celu zmniejszenia ryzyka
inwestycyjnego ustalono minimalną liczbę grup akcji na pięć, a następnie szukano takiego k, które zminimalizowało wartość funkcji f (k), przy czym poszukiwanie ograniczono do przedziału h5, N/3i. To ostatnie
ograniczenie wynika stąd, że w przypadku przyjęcia k większego od N/3 uzyskujemy grupy złożone z co
najwyżej dwóch obiektów. Dla każdej z 44 spółek obliczono wartości X̄i (t):
X̄i (t) = ln Xi (t) − ln Xi (t − 1),
gdzie Xi (t) jest średnią miesięczną ceną i-tej spółki, a t = 2, . . . , 12 oznacza poszczególne miesiące w roku
2003. Szukając minimum funkcji f(k) uzyskano najmniejszą wartość dla k = 6 (rysunek 1). Wykorzystując metodę k-średnich z opcją maksymalizacji odległości pomiędzy skupieniami wybrano podział na sześć
skupień. W efekcie do poszczególnych skupień przydzielono następujące spółki:
Skupienie
Skupienie
Skupienie
Skupienie
Skupienie
Skupienie
1:
2:
3:
4:
5:
6:
KGN, MCF, SFT, SPT
12N
7BC
HWL
APL, CMR, ,DBC, KTY, MCI, ORB, PFK, PLE, PPS, VST
01N, 02N, 04N, 05N, 06N, 07N, 08N, 09N, 10N, 13N, 14N, 15N, AGO,
AMC, BDX, BRE, CPL, FSC, PEO, PGF, PKM, PKN, PLC, STO, TPS, WAR, ZWC
W drugim, trzecim i czwartym skupieniu jest tylko po jednej spółce: HWL zajmująca się sprzedaż metali,
7BC zajmująca się sprzedażą pojazdów mechanicznych oraz 12N zajmująca się doradztwem finansowym. W
skupieniu pierwszym znajdują się cztery spółki w tym dwie zajmujące się doradztwem w zakresie oprogramowania (MCF, SFT), a jedna zajmująca się dostarczaniem energii elektrycznej (KGN) i druga z branży
telekomunikacyjnej (SPT). W skupieniu piątym znajduje się 10 spółek. W tym skupieniu znalazły się spółki
zajmujące się przetwarzaniem aluminium i jego stopów (KTY), produkcją wyrobów metalowych (APL), z
branży farmaceutycznej i kosmetycznej (PFK, PLE), turystycznej i hotelarskiej (ORB), odzieżowej (VST).
Najliczniejsze jest skupienie szóste do którego przydzielono 27 spółek. Skupienie szóste jest zdominowane
przez spółki zajmujące się pośrednictwem finansowym (04N, 14N, 10N, 06N, 09N, 05N, 08N, 01N, 13N, 15N,
2
02N - fundusze inwestycyjne). W skupieniu szóstym znalazły się wiodące firmy na polskim rynku (AMC,
BDX, STO, FSC, WAR, ZWC), monopoliści (PKN, TPS), banki (BRE, PEO).
Jak można zauważyć w poszczególnych skupieniach znalazły się spółki silnie ze sobą związane ze względu na
prowadzoną działalność gospodarczą. Przeprowadzona analiza potwierdza przypuszczenia, że spółki z tego
samego skupienia podlegają takim samym procesom na giełdzie (TPS, PEO, BRE, PKN). Poza tym można
stwierdzić, że spółki będące w tych samych skupieniach charakteryzują się synchronizacją cen akcji.
Wyraźne wydzielenie trzech spółek 12N, HWL, 7BC od pozostałych związane jest ze zmianami cen akcji na
giełdzie dla tych spółek w miesiącach. Jak można zauważyć spółka 12N znajdująca się w drugim skupieniu
wyraźnie odbiega od innych spółek w 7 i 8 badanym okresie (rysunek 2), podobnie wygląda sytuacja dla
dwóch pozostałych spółek.
Wnioski
Przedstawiona w pracy metoda k-średnich pozwoliła na wyróżnienie spółek silnie powiązanych ze sobą.
Analiza poszczególnych skupień może być pomocna do wyboru portfela akcji, kierując się wiedzą o tym,
że w portfelu inwestycyjnym akcji nie powinny znajdować się spółki silnie ze sobą związane. Należy jednak
nadmienić, że metoda k-średnich nie daje pewności co do wyboru akcji. Celem pracy było zaprezentowanie
jednej z metod, która może służyć do analizy giełdy poprzez klasyfikacje poszczególnych spółek giełdowych.
TABELA 1. Lista badanych spółek notowanych na Warszawskiej Giełdzie Papierów Wartościowych w roku
2003.
01N - Pierwszy Narodowy Fundusz Inwestycyjny S.A.
02N - Drugi Narodowy Fundusz Inwestycyjny S.A.
04N - Narodowy Fundusz Inwestycyjny Progress S.A.
05N - V Narodowy Fundusz Inwestycyjny Victoria S.A.
06N - Narodowy Fundusz Inwestycyjny Magna Polonia S.A.
07N - Siódmy Narodowy Fundusz Inwestycyjny Imienia Kazimierza Wielkiego S.A.
08N - Narodowy Fundusz Inwestycyjny Octava S.A.
09N - Narodowy Fundusz Inwestycyjny Im. Eugeniusza Kwiatkowskiego S.A.
10N - Foksal Narodowy Fundusz Inwestycyjny S.A.
12N - Narodowy Fundusz Inwestycyjny Piast S.A.
13N - Narodowy Fundusz Inwestycyjny Fortuna S.A.
14N - Narodowy Fundusz Inwestycyjny Zachodni S.A.
15N - Narodowy Fundusz Inwestycyjny Hetman S.A.
7BC - Bulls.Com S.A.
AGO - Agora S.A.
AMC - Amica Wronki S.A.
APL - Ampli S.A.
BDX - Budimex S.A.
BRE - Bre Bank S.A.
CMR - Comarch S.A.
CPL - Computerland S.A.
DBC - Firma Oponiarska Dębica S.A.
FSC - Frantschach Świecie S.A.
HWL - Howell S.A.
KGN - Zespół Elektrociepłowni Wrocławskich Kogeneracja S.A..
KTY - Grupa Kęty S.A.
MCF - Macrosoft S.A.
MCI - Mci Management S.A.
ORB - Orbis S.A.
PEO - Bank Polska Kasa Opieki S.A.
PFK - Kutnowskie Zakłady Farmaceutyczne Polfa S.A.
PGF - Polska Grupa Farmaceutyczna S.A.
PKM - Prokom Software S.A.
3
PKN - Polski Koncern Naftowy Orlen S.A.
PLC - Polifarb Cieszyn-Wrocław S.A.
PLE - Fabryka Kosmetyków Pollena-Ewa S.A.
PPS - Przedsiębiorstwo Przemysłu Spożywczego Pepees S.A.
SFT - Softbank S.A.
SPT - Przedsiębiorstwo Telekomunikacyjne Szeptel S.A.
STO - Sanockie Zakłady Przemysłu Gumowego Stomil Sanok S.A.
TPS - Telekomunikacja Polska S.A.
VST - Vistula S.A.
WAR - Towarzystwo Ubezpieczeń i Reasekuracji Warta S.A.
ZWC - Grupa Żywiec S.A.
Literatura cytowana
Gatnar E. 1998: Symboliczne metody klasyfikacji danych. PWN
Falniowski A. 2003 Metody numeryczne w taksonomii. WUJ
MacQueen J.B. 1967 Some Methods for Classification and Analysis of Multivariate Observations., Proceedings of 5th Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. University of California Press,
Berkeley, CA, 1, 281-297
4
Rysunek 1. Wykres wartości funkcji f (k)
Rysunek 2. Podział na sześć skupień metodą k-średnich
5