fragment książki w pliku pdf

18
Liczby rzeczywiste
Liczby rzeczywiste
93.
Jaką liczbę dodatnią należy wpisać w trójkątach, a jaką w kwadratach,
aby zachodziła poniższa równość? Podaj trzy różne rozwiązania.
1 + 1 + 1 : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0,3
94.
Uzupełnij przedstawiony obok diagram w taki
sposób, aby powstał kwadrat magiczny z magicznym
iloczynem (iloczyny w wierszach, kolumnach i obu
przekątnych są równe).
95.
Asia pomnożyła pewną liczbę naturalną przez
ułamek dziesiętny i otrzymała 22,05. Po dodaniu
tych samych liczb również otrzymała 22,05. Na jakich liczbach Asia wykonywała działania?
96.
Ślimaczek Wojtuś lubi od czasu do czasu przemierzać odległość od
muchomora do prawdziwka równą 1,5 m. Gdyby poruszał się dwa razy szybciej niż zwykle, to pokonałby tę odległość w czasie o 1 godzinę i 15 minut
krótszym. O ile krócej niż zwykle sunąłby ślimaczek, gdyby poruszał się trzy
razy szybciej?
97.
a) Sprawdź, wykonując odpowiednie rachunki, że zachodzi równość:
1 + 1 + 1 :2+ 1 + 1 + 1 :3+ 1 + 1 + 1 :6=1
2
3
6
2
3
6
2
3
6
b) Wykorzystując zależność 1 + 1 + 1 + 1 = 1, zapisz podobną równość jak
2
3
7
42
w podpunkcie a) zadania. Uzasadnij poprawność zapisanej równości.
98.
Uzupełnij liczbami przedstawiony poniżej diagram tak, aby w każdym
polu (oprócz górnego wiersza) znalazła się średnia arytmetyczna trzech liczb
leżących nad nim – tak jak we wzorze na rysunku poniżej.
CYAN MAGENTA YELLOW BLACK
MZGK2 str. 18
Liczby rzeczywiste
99.
Filip kupił trzy batony i z 4 zł kasjerka wydała mu kilkanaście groszy
reszty. Kasia kupiła cztery takie same batony i chciała zapłacić monetą 5 zł,
ale okazało się, że to za mała kwota. Musiała dopłacić jeszcze kilka groszy. Ile
kosztował jeden baton?
100.
W wyrażeniu
+3 3
11
· 4 − 6,789 pod symbolem trójkąta kryje się
5
pewna liczba.
Wartość
całego wyrażenia jest równa 2,811. Oblicz wartość
3
· 5 − 6,789.
wyrażenia + 3
11
4
101.
Wojtek rzucił 10 razy kostką do gry. Średnia wyników pierwszych
dwóch rzutów była równa 2,5, trzech następnych 5, a czterech kolejnych
3,25. Średnia wszystkich dziesięciu wyników po zaokrągleniu do całości była
równa 3. Ile oczek otrzymał Wojtek w dziesiątym rzucie?
102.
Jurek utworzył ułamek, umieszczając w liczniku pewną liczbę trzycyfrową, a w mianowniku – również trzycyfrową, zapisaną tymi samymi cyframi,
ale w odwrotnej kolejności. Po skróceniu stwierdził, że ułamkowi brakuje 33
49
do jedynki. Jaki ułamek mógł zapisać Jurek? Czy mógł utworzyć ten ułamek,
używając innych cyfr?
103.
Kwadrat podzielono na mniejsze kwadraty tak
jak na rysunku obok. Ile kwadratów należy zamalować,
aby powierzchnia zamalowana stanowiła piątą część
powierzchni początkowego kwadratu? Kwadratów nie
można dzielić na mniejsze części.
104.
Usuń pięć przecinków, tak aby powstał poprawny zapis dodawania.
6,3,56 + 89,8,1 + 7,1,22 + 99,4,3 = 266,8,16
105.
Oblicz, nie wykonując mnożenia ułamków danych w zapisie tego
wyrażenia:
299 · 253 + 700 · 253 + 248 · 635 + 751 · 635
999
888
999
888
999
888
999
888
106.
Wojtek bawił się ułamkami, tworząc z jednego ułamka inny według
następującej reguły: zaczynał od dodatniego ułamka właściwego i tworzył
nowy, umieszczając w liczniku różnicę między mianownikiem i licznikiem
poprzedniego ułamka, a w mianowniku – iloczyn licznika i mianownika poprzedniego ułamka. Z otrzymanym ułamkiem postępował tak samo. Trzecim
23
. Od jakiego ułamka rozpoczął?
ułamkiem, jaki utworzył, był ułamek 210
CYAN MAGENTA YELLOW BLACK
MZGK2 str. 19
19
20
Liczby rzeczywiste
107.
Z okazji walentynek przy zakupie sześciu róż po 5 zł za sztukę Kacper
otrzymał dwie róże gratis. O ile procent była tańsza jedna róża dzięki tej
promocji?
108.
Uzupełnij liczniki i mianowniki ułamków, wiedząc, że użyte symbole
– liczby dwucyfrowe, – liczby
oznaczają: – liczbę jednocyfrową,
trzycyfrowe.
109.
Michał szedł od schroniska na Żabiej Polanie do schroniska w Ropuchowie. Pierwszą część drogi, stanowiącą 25% całości, przebył, idąc ze stałą
prędkością w ciągu 20% całego czasu wędrówki. Przez pozostałe 4 godziny
szedł również ze stałą prędkością, ale nieco wolniej, tak że średnia prędkość
km
całej wędrówki była równa 3,2 h . Z jaką prędkością przeszedł pierwszą,
a z jaką drugą część trasy?
110.
Wojtek chce zwiększyć o 1 jedną z czterech liczb 2009 występujących
w zapisie poniższego wyrażenia, tak aby wartość całego wyrażenia zmalała.
Czy taka zmiana może spowodować zmniejszenie wartości całego wyrażenia?
Odpowiedź uzasadnij.
1
1
−
106 − 2009 2009 + 102
1
1
+
2009 − 102 106 + 2009
111. Po osi liczbowej toczy się kwadrat ABCD, przemieszczając się zgodnie
z jej zwrotem. W pewnym momencie wierzchołek A znalazł się w punkcie
o współrzędnej 5 13 . Po wykonaniu kolejnego pełnego obrotu wierzchołek A
2
trafił w punkt o współrzędnej 6 5 .
a) Ustal, który z wierzchołków jako pierwszy trafi w punkt o współrzędnej
całkowitej.
b) Wskaż najbliższy punkt o współrzędnej całkowitej, w którym znajdzie się
wierzchołek A.
112.
Ulica Konkursów Matematycznych jest prostoliniowym odcinkiem drogi o długości 1200 m. Przy ulicy równomiernie, co 300 metrów, rozmieszczono
5 przystanków tramwajowych. Znajdują się tam również dwa oddalone od
siebie kioski, w których Asia niekiedy kupuje bilety na przejazd. Kioski są tak
położone, że suma odległości każdego z nich od wszystkich pięciu przystanków jest taka sama i równa 2 km. Ile wynosi odległość między tymi kioskami?
CYAN MAGENTA YELLOW BLACK
MZGK2 str. 20
Liczby rzeczywiste
113.
W ułamku zapisanym poniżej licznik jest iloczynem kolejnych liczb
naturalnych od 1 do 23, a w mianowniku kolejne liczby naturalne od 1 do
203 są naprzemian odejmowane i dodawane. Czy wartość tego ułamka jest
liczbą całkowitą?
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · ... · 23
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ... + 203
114.
W pewnej potędze podstawa i wykładnik były liczbami naturalnymi
mniejszymi od 10. Ania zmniejszyła wykładnik o 25%, a podstawę zwiększyła
o 25%, otrzymując również potęgę o podstawie i wykładniku naturalnym, ale
o wartości w przybliżeniu 4 razy mniejszej. Ustal początkową potęgę.
115.
Znajdź wszystkie liczby naturalne x spełniające warunek:
x : 2008 ≈ 200,8
gdzie liczba po prawej stronie jest zaokrągleniem wyniku z dokładnością do
części dziesiątych. Ile jest takich liczb?
116.
Kwadratowa mapka jest wykonana w skali 1 : 60000. Za pomocą kserokopiarki powiększono ją półtora raza, a następnie otrzymaną mapkę zmniejszono o połowę. Jaka jest skala otrzymanej mapki?
117.
Wpisując do kratek diagramu (rysunek obok) różne
liczby naturalne, otrzymujemy różne ułamki (w postaci
liczby mieszanej). Używając pewnych trzech różnych liczb
naturalnych, Asia utworzyła wszystkie możliwe ułamki,
a następnie dodała je i otrzymała sumę 20. Jakie liczby
Asia wpisywała do diagramu?
118.
Wojtek pomnożył licznik pewnego ułamka u przez 100, a do mianownika tego ułamka dodał 100 i otrzymał ułamek o wartości 1. Asia najpierw
skróciła ułamek u przez 5, a następnie zrobiła to co Wojtek, czyli licznik swojego ułamka pomnożyła przez 100, a do mianownika dodała 100 i otrzymała
ułamek o wartości 5 . Znajdź ułamek u.
9
119.
Marek, pisząc pewne wyrażenie zawierające potęgi, nie zapisał wykładników we właściwy sposób, ale napisał je na równi z cyframi podstawy,
na przykład zamiast 615 napisałby 615. Wynik nie zawierał potęg, więc jest
zapisany poprawnie. Odtwórz to wyrażenie.
151·152·153 = 1
35·45·55
1024
CYAN MAGENTA YELLOW BLACK
MZGK2 str. 21
21
Rozwiązania zadań
Liczby rzeczywiste
93.
Równość można sprowadzić do postaci:
Po przekształceniach otrzymujemy:
W trójkącie należy wpisać wielokrotność liczby 5. Przykładowe rozwiązania:
• trójkąt 5, kwadrat 3
94.
• trójkąt 10, kwadrat 6
• trójkąt 15, kwadrat 9
Iloczyn magiczny jest równy 3 · 96 · 3 = 216.
4
Liczba w prawym dolnym polu to 216 : (3 · 1 1 ) = 48.
2
Liczba w środkowym polu to 216 : (48 · 3 ) = 6.
4
Liczba w środkowym polu lewej kolumny to 216 : (6 · 1 1 ) = 24.
2
Liczba w środkowym polu dolnego wiersza to 216 : (96 · 6) = 3 .
8
Liczba w lewym dolnym polu to 216 : (6 · 3) = 12.
95.
Ponieważ suma szukanych liczb jest równa 22,05, a jeden ze składników
jest liczbą naturalną, więc część ułamkowa drugiej liczby to 0,05. Szukane
liczby znajdują się wśród par: 22 i 0,05, 21 i 1,05, 20 i 2,05, 19 i 3,05, . . . ,
2 i 20,05, 1 i 21,05. Po zaokrągleniu ułamka dziesiętnego z dokładnością
do jedności i oszacowaniu iloczynu można szybko wyeliminować prawie
wszystkie pary. Zostaje do sprawdzenia para liczb 21 i 1,05.
21 · 1,05 = 22,05
96.
Ślimaczek poruszając się dwukrotnie szybciej, pokonuje drogę w dwukrotnie krótszym czasie. Jeżeli czas byłby krótszy o 1 h 15 min, to przemieszczając się w normalnym tempie, pokonałby tę drogę w czasie dwukrotnie
dłuższym, czyli 2 h 30 min. Sunąc trzykrotnie szybciej, ślimaczek pokonałby
drogę w czasie (2 h 30 min) : 3 = 150 min : 3 = 50 min. Gdyby ślimaczek
poruszał się trzykrotnie szybciej, drogę przemierzyłby w czasie o 2 h 30 min –
– 50 min = 150 min – 50 min = 100 min = 1 h 40 min krótszym.
CYAN MAGENTA YELLOW BLACK
MZGK2 str. 73
73
74
Rozwiązania zadań
97.
b) Równość 1 + 1 + 1 + 1
2
3
7
42
= 1 jest prawdziwa i można ją zapisać
w postaci: 1 : 2 + 1 : 3 + 1 : 7 + 1 : 42 = 1 Wstawiając po lewej stronie w miejsce
jedynek sumę 1 + 1 + 1 + 1 , otrzymamy równość:
2 3 7 42
1 + 1 + 1 + 1 :2+ 1 + 1 + 1 + 1 :3+ 1 + 1 + 1 + 1 :7+
2 3 7 42 2 3 7 42
2 3 7 42
1
1
1
1
+
+ + +
: 42 = 1
2
3
7
42
98.
Przykładowe rozwiązanie:
99.
Szacujemy cenę jednego batona.
1,26 · 4 = 5,04 [zł],
1,27 · 4 = 5,08 [zł],
1,28 · 4 = 5,12 [zł]
Zauważmy, że 1,27 · 3 = 3,81 [zł], czyli Filip otrzymałby 19 groszy reszty.
W przypadku pozostałych kwot nie otrzymałby kilkunastogroszowej reszty.
Zatem jeden baton kosztował 1,27 zł (tylko w tym przypadku trzeba dopłacić
kilka groszy).
100.
+ 3 3 = 12, więc + 3 3 · 5 − 6,789 = 8,211
11
11
4
101.
Sumy oczek w dwóch pierwszych rzutach to 2 · 2,5 = 5, w trzech kolejnych: 3 · 5 = 15, w czterech następnych: 4 · 3,25 = 13. W dziewięciu rzutach
otrzymano więc 5 + 15 + 13 = 33 oczka. Ponieważ średnia po zaokrągleniu
wynosiła 3, więc jedyna możliwość to wyrzucenie w dziesiątym rzucie jedynki.
Ułamek Jurka po skróceniu jest równy 1 − 33 = 16 . Licznik ułamka 16
49
49
49
będzie trzycyfrowy, jeśli ułamek rozszerzymy, mnożąc przez liczby większe
od 6:
16 = 16·8 = 128
16 = 16·9 = 144
16 = 16·7 = 112
102.
49
49·7
347
49
49·8
392
49
49·9
441
Ułamkiem spełniającym warunki zadania jest 144 . Nie jest to jedyne rozwiązanie. Jurek mógł zapisać także 288 .
441
882
CYAN MAGENTA YELLOW BLACK
MZGK2 str. 74
Rozwiązania zadań
103.
Początkowy kwadrat podzielono na 9 dużych kwadratów. Jeden z nich
9
podzielono na jeden kwadrat średni 25 dużego kwadratu i 16 małych
1
25 dużego kwadratu każdy . Ponieważ 9 : 5 = 1,8, więc należy zamalować
jeden duży kwadrat, średni kwadrat i 11 małych kwadracików.
104.
Lewa strona równości jest mniejsza od 64 + 899 + 72 + 995 = 2030, więc
wynikiem jest 266,816. Cyfrę 6 w rzędzie części tysięcznych wyniku można
uzyskać jedynie z cyfry 6 w pierwszym składniku, więc ma on postać 6,356.
Drugi składnik nie może być równy 898,1, gdyż byłby większy od wyniku,
więc jest równy 89,81. Z tych samych powodów czwarty składnik to 99,43.
Po wykonaniu prostych rachunków stwierdzamy, że trzeci składnik to 71,22.
105.
299 · 253 + 700 · 253 + 248 · 635 + 751 · 635 =
999 888 999 888 999 888 999 888
+ 248 + 751
999
999
299 + 700
999 999
· 253 +
888
· 635 = 1 · 253 + 1 · 635 = 1
888
888
888
106.
Różnica między mianownikiem a licznikiem drugiego z utworzonych
ułamków jest równa 23, a iloczyn tego licznika i mianownika jest równy 210.
Rozłóżmy 210 na iloczyny dwóch liczb:
210 = 210 · 1 = 105 · 2 = 70 · 3 = 42 · 5 = 35 · 6 = 30 · 7 = 21 · 10 = 15 · 14
Tylko czynniki w iloczynie 30 · 7 różnią się o 23. Drugi z utworzonych
ułamków to 7 .
30
Różnica między mianownikiem a licznikiem pierwszego z utworzonych ułamków jest równa 7, a iloczyn tego licznika i mianownika jest równy 30.
Rozłóżmy 30 na iloczyny dwóch liczb:
30 = 30 · 1 = 15 · 2 = 10 · 3 = 6 · 5
Tylko czynniki w iloczynie 10 · 3 różnią się o 7. Przedostatnim ułamkiem jest
ułamek 3 .
10
Różnica między mianownikiem a licznikiem początkowego ułamka jest równa
3, a iloczyn tego licznika i mianownika jest równy 10. Rozłóżmy 10 na
iloczyny dwóch liczb: 10 = 10 · 1 = 5 · 2. Tylko czynniki w iloczynie 5 · 2
różnią się o 3. Początkowym ułamkiem jest 2 .
5
107.
Kacper zapłacił za róże 6 · 5 = 30 [zł]. Każda z ośmiu róż kosztowała
30 : 8 = 3,75 [zł]. Róża była tańsza o 5 − 3,75 = 1,25 [zł], czyli o 1,25 · 100% =
5
= 25%. Jedna róża dzięki promocji była tańsza o 25%.
108.
Przykładowe rozwiązanie to 9 = 45 = 90 = 180 = 900 .
CYAN MAGENTA YELLOW BLACK
11
55
110
220
1100
MZGK2 str. 75
75
76
Rozwiązania zadań
109.
Cztery godziny, czyli czas przejścia drugiej części drogi, stanowią
80% całego czasu wędrówki, tak więc czas całej wędrówki to 4 : 0,8 = 5 [h].
Skoro średnia prędkość całej wędrówki była równa 3,2 km , a Michał szedł 5
h
godzin, więc droga, którą pokonał, to 3,2 · 5 = 16 [km]. Pierwsza część drogi
to 25% · 16 = 4 [km], a druga to 16 − 4 = 12 [km]. Prędkość na pierwszym
odcinku drogi jest równa 4 km , na drugim 3 km .
h
110.
h
Wyrażenie ma strukturę A − B , gdzie:
C+D
A =
1
106 −2009
B=
1
2009+102
C=
1
2009−102
D=
1
106 +2009
Gdy zwiększymy liczbę 2009 o 1, to wartość wyrażenia A wzrośnie, a B, C, D
– zmaleje.
• Jeżeli Wojtek dokona zmiany w wyrażeniu A lub B, to licznik ułamka
A − B wzrośnie, a mianownik się nie zmieni, więc wartość całego wyrażenia
C+D
wzrośnie.
• Jeżeli Wojtek dokona zmiany w wyrażeniu C lub D, to licznik ułamka
A − B pozostanie niezmieniony, a mianownik zmaleje, więc wartość całego
C+D
wyrażenia wzrośnie.
W ten sposób nie można zmniejszyć wartości całego wyrażenia.
111.
a) Bok kwadratu ma długość (6 2 − 5 1 ) : 4 = 4 . Niech k oznacza naj5
3
15
mniejszą całkowitą liczbę odcinków długości 4 (boków kwadratu), które na15
leży odłożyć na osi, zaczynając od punktu 6 2 , aby trafić do liczby całkowitej.
Liczba 6 2 + k · 4 ma być całkowita.
5
5
15
2
6 + k · 4 = 32 + 4k = 96 + 4k = 96+4k = 4(24+k)
5
15
5
15
15 15
15
15
Ponieważ 4 i 15 są względnie pierwsze, więc 24 + k musi być podzielne przez
15. Najmniejsze k naturalne, które spełnia ten warunek, jest równe 6. Łatwo
ustalić, że szukanym punktem jest punkt o współrzędnej 8 i trafi do niego
wierzchołek C.
b) Aby wierzchołek A trafił w punkt o współrzędnej całkowitej, wyrażenie
6 2 + m · 16 musi być całkowite przy m będącym liczbą naturalną.
5
15
6 2 + m · 16 = 96 + 16m = 96+16m = 16(6+m)
5
15
15
15
15
15
Ponieważ 16 i 15 są względnie pierwsze, więc 6 + m musi być podzielne
przez 15. Najmniejsze m naturalne, które spełnia ten warunek, jest równe 9.
Wówczas punkt A trafi w punkt o współrzędnej 16.
CYAN MAGENTA YELLOW BLACK
MZGK2 str. 76