pobierz/otwórz

VIII Powiatowa Olimpiada Matematyczna
Klasa III Liceum
Czas trwania: 90 minut
27 luty 2012r.
W zadaniach testowych tylko jedna odpowiedź jest poprawna!
Zadanie 1 (1pkt) Okrąg o równaniu x2 + y2 – 4x + 8y + 11 = 0:
A. Jest współśrodkowy z okręgiem (x + 2)2 + (y – 4)2 = 1
B. Jest styczny do okręgu (x – 6)2 + (y + 1)2 = 4
C. Ma promień dwa razy dłuższy od promienia okręgu
x2 + y2 -2x + 8y – 8 = 0
D. Przecina prostą y = - 2x w punkcie, którego odległość od początku układu
współrzędnych równa się √
Zadanie 2 (1pkt) Rozwiązania równania x3 – 2x2 + px + 3 = 0 z niewiadomą x:
A.
B.
C.
D.
są wymierne dla dowolnej liczby całkowitej p
istnieją tylko dla p = 0
są całkowite tylko dla czterech różnych całkowitych wartości p
są niewymierne dla p = -3/2
Zadanie 3 (1pkt) Funkcja y = x2 + 4x + √
A.
B.
C.
D.
przyporządkowuje każdej liczbie:
niewymiernej liczbę wymierną
wymiernej liczbę niewymierną
wymiernej liczbę wymierną
niewymiernej liczbę niewymierną
Zadanie 4 (3pkt) Wykaż, że jeżeli x, y, z są długościami boków trójkąta, to:
√
√
Zadanie 5 (3pkt) Boki trójkąta A1B1C1 są styczne do okręgu w punktach A, B, C,
a kąty trójkąta ABC są odpowiednio równe α, β, γ. Oblicz miary kątów trójka A1B1C1.
Zadanie 6 (6pkt) W stożek o wysokości H = 9 i objętości V = 108π wpisano walec, którego
wysokość jest równa długości promienia podstawy stożka.
a) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej walca.
b) Jaki procent objętości stożka stanowi objętość walca?
Zadanie 7 (3pkt) Znajdź wszystkie funkcje, dla których zachodzi równość:
xf(x) – f(1 – x) = 2
Zadanie 8 (3pkt) Pokazać, że dla każdej liczby całkowitej n liczba n5 – n jest podzielna przez 5.
Zadanie 9 (3pkt) Dla pewnej liczby całkowitej dodatniej n wartość wyrażenia: n 3 – n + 15 jest
równa 21. Wyznacz tę liczbę.
Zadanie 10 (5pkt) Podaj interpretację geometryczną zbioru A∩B, jeśli:
A = {xєR, yєR: |x|=|y|-x} B = {xєR, yєR: |x|+|y|≤2}.
Rozwiązania:
1. B
2. C
3. B
4.
Założenie np. x ≤ y ≤ z (bez utraty ogólności)
Zastosowanie warunku trójkąta (1pkt)
Rozwiązanie zadania na podstawie szacowania (2pkt)
5.
Wykonanie rysunku pomocniczego i wprowadzenie oznaczeń (1pkt)
Zastosowanie twierdzenia o stycznej i siecznej (1pkt)
Obliczanie miar kątów trójkąta i podanie odpowiedzi (1pkt)
Odp: A1=180∘- α, B1=180∘- β, C1=180∘- γ
6.
a) V=24π, Pc=32π (4pkt)
b)
(2pkt)
7.
podstawienie za argument wyrażenia 1-x (1pkt)
Zapisanie obu równań: xf(x)-f(1-x)=2 i (1-x)f(1-x)-f(x)=2 oraz odjęcie ich stronami
(1pkt)
Wyznaczenie wzoru funkcji f (1pkt)
8
Zapisanie podanego wyrażenia np. w postaci:
(n - 1)n(n + 1)(n - 2)(n + 2) + 5n(n - 1)(n + 1) (2pkt)
Wyciągnięcie wniosków i podanie odpowiedzi (1pkt)
9.
Zapisanie odpowiedniego równania (1pkt)
Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi (2pkt)
n=2
10.
Rozwiązanie zbioru A (2pkt)
Rozwiązanie zbioru B (2pkt)
Podanie odpowiedzi (1pkt)