Funkcje addytywne gorszego sortu

Funkcje addytywne gorszego sortu
Rafał Filipów
Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki
Rafał Filipów (Uniwersytet Gdański)
Funkcje addytywne gorszego sortu
Definicja funkcji addytywnych
Definicja
Funkcja f jest funkcją addytywną, gdy spełnia równanie funkcyjne
Cauchy’ego tzn. gdy
f (x + y ) = f (x) + f (y )
dla wszystkich x, y ∈ R.
Przykład na „TAK”
Funkcja liniowa f (x) = ax jest funkcją addytywną.
Dowód
f (x + y ) = a(x + y ) = ax + ay = f (x) + f (y )
Rafał Filipów (Uniwersytet Gdański)
Funkcje addytywne gorszego sortu
Definicja funkcji addytywnych
Definicja
Funkcja f jest funkcją addytywną, gdy spełnia równanie funkcyjne
Cauchy’ego tzn. gdy
f (x + y ) = f (x) + f (y )
dla wszystkich x, y ∈ R.
Przykład na „NIE”
Funkcja „liniowa” f (x) = 2x + 3 nie jest funkcją addytywną.
Dowód
f (1 + 1) = f (2) = 2 · 2 + 3 = 7
f (1) + f (1) = (2 · 1 + 3) + (2 · 1 + 3) = 5 + 5 = 10
Czyli f (1 + 1) 6= f (1) + f (1)
Rafał Filipów (Uniwersytet Gdański)
Funkcje addytywne gorszego sortu
Własności funkcji addytywnych
Definicja
Funkcja f jest funkcją addytywną, gdy spełnia równanie funkcyjne
Cauchy’ego tzn. gdy
f (x + y ) = f (x) + f (y )
dla wszystkich x, y ∈ R.
Twierdzenie
Jeżeli f jest funkcją addytywną, to
f (0) = 0.
Dowód.
f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0)
Odejmując od obu stron równości liczbę f (0), dostajemy 0 = f (0).
Rafał Filipów (Uniwersytet Gdański)
Funkcje addytywne gorszego sortu
Własności funkcji addytywnych
Twierdzenie
Jeżeli f jest funkcją addytywną, to
f (x1 + x2 + · · · + xn ) = f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ).
Dowód indukcyjny
Sprawdzamy dla n = 1.
f (x1 ) = f (x1 )
Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n tzn.
f (x1 + x2 + · · · + xn ) = f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn )
Mamy pokazać, że twierdzenie jest prawdziwe dla n + 1
f ( x1 + x2 + · · · + xn + xn+1 ) =
f ((x1 + x2 + · · · + xn ) + xn+1 ) =
f (x1 + x2 + · · · + xn ) + f (xn+1 ) =
f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) + f (xn+1 )
Rafał Filipów (Uniwersytet Gdański)
Funkcje addytywne gorszego sortu
Własności funkcji addytywnych
Twierdzenie
Jeżeli f jest funkcją addytywną, to dla dowolnego n ∈ N i x ∈ R
f (nx) = nf (x).
Dowód
f (nx) = f (x + x + · · · + x ) = f (x) + f (x) + · · · + f (x) = nf (x)
|
{z
}
|
{z
}
n razy
n razy
Twierdzenie
Jeżeli f jest funkcją addytywną, to dla dowolnego n ∈ N i x ∈ R
f (−nx) = −nf (x).
Dowód
0 = f (0) = f (−nx + nx) = f (−nx) + f (nx)
Odejmując od obu stron równości f (nx) otrzymujemy
−f (nx) = f (−nx)
Rafał Filipów (Uniwersytet Gdański)
Funkcje addytywne gorszego sortu
Własności funkcji addytywnych
Wniosek
Jeżeli f jest funkcją addytywną, to dla dowolnego k ∈ Z i x ∈ R
f (kx) = kf (x).
Wniosek
Każda funkcja addytywna jest nieparzysta tzn.
f (−x) = −f (x)
dla każdego x ∈ R.
Rafał Filipów (Uniwersytet Gdański)
Funkcje addytywne gorszego sortu
Własności funkcji addytywnych
Twierdzenie
Jeżeli f jest funkcją addytywną, to dla dowolnego x ∈ R oraz dowolnej
liczby wymiernej q ∈ Q mamy
f (qx) = qf (x)
Dowód
Niech n ∈ Z i k ∈ N takie, że q =
n
k
f (nx) = f (k · kn x) = kf ( kn x)
f (nx) = nf (x)
Porównując te dwie równości otrzymujemy nf (x) = kf ( kn x)
dzieląc obie strony równości przez k otrzymujemy
n n
f
x = f (x)
k
k
Rafał Filipów (Uniwersytet Gdański)
Funkcje addytywne gorszego sortu
Funkcje addytywne gorszego sortu
Definicja
f jest funkcją addytywną, gdy spełnia równanie
f (x + y ) = f (x) + f (y )
dla wszystkich x, y ∈ R.
Twierdzenie
Funkcje liniowe f (x) = ax są funkcjami addytywnymi.
Twierdzenie (Hamel, 1905)
Istnieją funkcje addytywne, które nie są postaci f (x) = ax.
Rafał Filipów (Uniwersytet Gdański)
Funkcje addytywne gorszego sortu
Baza Hamela
Definicja
Zbiór H ⊂ R nazywamy bazą Hamela, gdy dla dowolnej liczby x ∈ R
istnieją h1 , . . . , hn ∈ H oraz liczby wymierne q1 , . . . , qn ∈ Q takie, że
x = q1 h1 + · · · + qn hn
oraz przedstawienie to jest jednoznaczne.
Przykład na „NIE”
Zbiór H = {1} nie jest bazą Hamela.
Dowód nie wprost
Przypuśćmy, że H = {1} jest bazą Hamel.
√
Wówczas istnieje taka liczba wymierna q, że 2 = q · 1 = q,
√
√
czyli 2 jest liczbą wymierną, sprzeczność, bo 2 jest liczbą
niewymierną.
Rafał Filipów (Uniwersytet Gdański)
Funkcje addytywne gorszego sortu
Baza Hamela
Przykład na „NIE”
√
Zbiór H = {1, 2} nie jest bazą Hamela.
Dowód nie wprost
√
Przypuśćmy, że H = {1, 2} jest bazą Hamel.
Wówczas istnieją takie liczby wymierne q1 , q2 , że
√
√
3 = q1 · 1 + q2 · 2.
Mamy 3 przypadki:
(1) q1 = 0
(2) q2 = 0
√
√
√
3 = q1 · 1 = q1
p3 = q2 2
3/2 = q2
Sprzeczność
Sprzeczność
Rafał Filipów (Uniwersytet Gdański)
(3) q1 , q2 6= 0
√
√
2
( 3)2 = (q1 2 +
√q2 · 1)2
2
3 = 2q1 + 2q1 q2 2 + q2
√
3 − 2q12 − q22
2=
2q1 q2
Sprzeczność
Funkcje addytywne gorszego sortu
Baza Hamela
Twierdzenie (Hamel, 1905)
Istnieje baza Hamela.
Dowód indukcyjny∗ (∗ indukcja pozaskończona)
Niech h1 = 1.
Niech h2 będzie
elementem, który nie jest postaci qh1 dla q ∈ Q
√
(np. h2 = 2).
√
Niech h3 będzie
elementem, który nie jest postaci q1 · 1 + q2 · 2
√
(np. h3 = 3).
Niech h4 będzie
który nie jest postaci
√ elementem,
√
q1 · 1 + q2 · 2 + q3 · 3.
i tak dalej, aż do momentu, gdy już nie będzie można wybrać
nowego elementu h tzn. do momentu, gdy każda liczba będzie
kombinacją jakichś liczb wybranych wcześniej.
Zbiór wszystkich liczb h wybranych powyżej jest bazą Hamela.
Rafał Filipów (Uniwersytet Gdański)
Funkcje addytywne gorszego sortu
Konstrukcja funkcji addytywnej gorszego sortu
Twierdzenie (Hamel, 1905)
Istnieje funkcja addytywna, która nie jest postaci f (x) = ax.
Dowód
Niech H będzie bazą Hamela. Niech x ∈ R. Niech h1 , . . . , hn ∈ H
oraz q1 , . . . , qn ∈ Q takie, x = q1 h1 + · · · + qn hn
Definiujemy f (x) = q1 + · · · + qn
Musimy pokazać dwie rzeczy:
1
2
f (x) 6= ax dla dowolnego a.
f jest funkcją addytywną
Dowodzimy (1) nie wprost.
Przypuśćmy, że istnieje a takie, że f (x) = ax
Niech h1 , h2 ∈ H takie, że h1 6= h2
Wówczas f (h1 ) = f (1 · h1 ) = 1 oraz f (h2 ) = f (1 · h2 ) = 1.
Z drugiej strony, f (h1 ) = ah1 i f (h2 ) = ah2 ,
czyli ah1 = 1 = ah2 , czyli h1 = h2 , sprzeczność
Rafał Filipów (Uniwersytet Gdański)
Funkcje addytywne gorszego sortu
Konstrukcja funkcji addytywnej gorszego sortu
Twierdzenie (Hamel, 1905)
Istnieje funkcja addytywna, która nie jest postaci f (x) = ax.
Dowód
Niech H będzie bazą Hamela. Niech x ∈ R. Niech h1 , . . . , hn ∈ H
oraz q1 , . . . , qn ∈ Q takie, x = q1 h1 + · · · + qn hn
Definiujemy f (x) = q1 + · · · + qn
Musimy pokazać dwie rzeczy:
1
2
f (x) 6= ax dla dowolnego a.
f jest funkcją addytywną
Dowodzimy (2)
Niech x = q1 h1 + · · · + qn hn oraz y = p1 h1 + · · · + pn hn .
Wówczas f (x + y ) = f ((q1 h1 + · · · + qn hn ) + (p1 h1 + · · · + pn hn )) =
f ((q1 + p1 )h1 + · · · + (qn + pn )hn ) = (q1 + p1 ) + · · · + (qn + pn ) =
(q1 + · · · + qn ) + (p1 + · · · + pn ) =
f (q1 h1 + · · · + qn hn ) + f (p1 h1 + · · · + pn hn ) = f (x) + f (y )
Rafał Filipów (Uniwersytet Gdański)
Funkcje addytywne gorszego sortu
Ciągłość funkcji addytywnych
„Definicja”
Funkcja f : R → R jest ciągła w punkcie x, gdy dla dowolnego ciągu
x1 , x2 , . . . zbieżnego do x ciąg wartości f (x1 ), f (x2 ), . . . jest zbieżny do
wartości f (x). Funkcja jest ciągła, gdy jest ciągła w każdym punkcie.
Geometrycznie ciągłość funkcji oznacza, że można narysować jej wykres
bez odrywanie ołówka od papieru.
1
1.5
0.8
1
0.6
0.4
0.5
0.2
0
0
−1 −0.5
0
0.5
1
Rafał Filipów (Uniwersytet Gdański)
−1 −0.5
Funkcje addytywne gorszego sortu
0
0.5
1
Ciągłość funkcji addytywnych
Twierdzenie (Cauchy, 1821)
Jeżeli funkcja addytywna f jest ciągła, to istnieje a ∈ R takie, że dla
wszystkich x ∈ R mamy f (x) = ax
Dowód
Niech a = f (1)
Z poprzedniego twierdzenia f (q) = f (q · 1) = qf (1) = qa = aq
Niech x ∈ R. Pokażemy, że f (x) = ax.
Niech q1 , q2 , . . . będzie ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do x
Z ciągłości f wynika, że ciąg f (q1 ), f (q2 ), . . . jest zbieżny do f (x)
Ale f (q1 ) = aq1 , f (q2 ) = aq2 , . . . ,
czyli ciąg aq1 , aq2 , . . . jest zbieżny do f (x)
Z drugiej strony ciąg aq1 , aq2 , . . . jest zbieżny do ax,
więc f (x) = ax
Rafał Filipów (Uniwersytet Gdański)
Funkcje addytywne gorszego sortu
Ciągłość funkcji addytywnych
Twierdzenie
Jeżeli funkcja addytywna jest nieciągła w chociaż jednym punkcie, to jest
automatycznie nieciągła w każdym punkcie.
Dowód nie wprost
Przypuśćmy, że f jest ciągła w jakimś punkcie x
Niech a = f (1).
Tak jak w dowodzie tw. Cauchy’ego pokazujemy, że f (x) = ax
Niech y ∈ R będzie punktem nieciągłości f
Niech y1 , y2 , . . . będzie dowolnym ciągiem zbieżnym do y
Wówczas yn − y + x → x
f ciągła w x, czyli f (yn − y + x) → f (x)
ale f (yn − y + x) = f (yn ) − f (y ) + f (x)
czyli f (yn ) − f (y ) + f (x) → f (x), czyli f (yn ) → f (y ),
czyli f jest ciągła w y , sprzeczność
Rafał Filipów (Uniwersytet Gdański)
Funkcje addytywne gorszego sortu
Wykres funkcji addytywnych
Wniosek
Jeżeli funkcja addytywna nie jest postaci f (x) = ax, to jest nieciągłą w
każdym punkcie.
Przykład (Funkcja Dirichleta – jest nieciągła w każdym punkcie)
(
f (x) =
1
0
dla x ∈ Q
dla x ∈
/Q
Twierdzenie
Jeżeli funkcja addytywna jest nieciągła,
to jej wykres jest gęsty na całej
płaszczyźnie tzn. w dowolnym
prostokącie na płaszczyźnie znajduje się
co najmniej jeden punkt wykresu.
Rafał Filipów (Uniwersytet Gdański)
Funkcje addytywne gorszego sortu
Ograniczoność funkcji addytywnych
Twierdzenie
Jeżeli funkcja addytywna jest ograniczona z góry lub z dołu na jakimś
odcinku, to jest postaci f (x) = ax.
Dowód
Załóżmy, że f jest ograniczona z góry na odcinku (c; d) przez M.
Niech a = f (1). Definiujemy g (x) = f (x) − ax.
g jest okresowa o dowolnym okresie wymiernym:
g (x +q) = f (x +q)−a(x +q) = f (x)+f (q)−ax −aq = (f (x)−ax)+
(f (q)−aq) = g (x)+(f (q ·1)−aq)) = g (x)+(qf (1)−f (1)q) = g (x)
g jest ograniczona z góry na całej prostej. Niech x ∈ R i q ∈ Q
takie, że x + q ∈ (c; d). Wówczas
g (x) = g (x + q) = f (x + q) − a(x + q) ¬ M + |a| · max(|c|, |d|) = K
g (x) ¬ 0 dla dowolnego x. Dla dowolnego n ∈ N mamy
n→∞
ng (x) = g (nx) ¬ K , czyli ng (x) ¬ K ,więc g (x) ¬ Kn −−−→ 0.
Ale g jest funkcją nieparzystą, czyli g (x) = 0, czyli f (x) − ax = 0,
czyli f (x) = ax.
Rafał Filipów (Uniwersytet Gdański)
Funkcje addytywne gorszego sortu
Wykres funkcji addytywnych
Twierdzenie
Jeżeli funkcja addytywna jest nieciągła, to jej wykres jest gęsty na całej
płaszczyźnie tzn. w dowolnym prostokącie na płaszczyźnie znajduje się co
najmniej jeden punkt wykresu.
Dowód
• Weźmy dowolny prostokąt (a; b) × (c; d).
• f nie jest ograniczona ani z góry ani z dołu
na (a; b), czyli istnieją x1 , x2 ∈ (a; b) takie, że
f (x1 ) < c i f (x2 ) > d
• Wówczas istnieje q ∈ Q ∩ (0; 1) takie, że
x = qx1 + (1 − q)x2 ∈ (a; b)
oraz
y = f (x) = f (qx1 + (1 − q)x2 ) =
qf (x1 ) + (1 − q)f (x2 ) ∈ (c; d)
Rafał Filipów (Uniwersytet Gdański)
f (x2 )
d
c
f (x1 )
a x1 x2 b
f (x2 )
d
f (x)
c
f (x1 )
Funkcje addytywne gorszego sortu
a x1 x x2 b
Własność Darboux funkcji addytywnych
Definicja
Funkcja f : R → R ma własność Darboux
(własność przyjmowania wartości pośrednich),
gdy dla dowolnych a < b oraz dowolnego
y ∈ (f (a); f (b)) istnieje x ∈ (a; b) taki, że
f (x) = y .
f (b)
y
f (a)
a
xb
Twierdzenie (Darboux)
Każda funkcja ciągła ma własność Darboux.
Twierdzenie
1
Istnieje nieciągła (w każdym punkcie) funkcja addytywna mająca
własność Darboux.
2
Istnieją nieciągłe funkcje addytywne bez własności Darboux.
Rafał Filipów (Uniwersytet Gdański)
Funkcje addytywne gorszego sortu
Mierzalność funkcji addytywnych
Twierdzenie
Jeżeli funkcja addytywna jest mierzalna w sensie Lebesgue’a, to jest
postaci f (x) = ax. (Zamiast mierzalności w sensie Lebesgue’a można
zakładać własność Baire’a lub borelowskość.)
Twierdzenie (Dorais-Filipów, 2004)
Jest niesprzeczne, że istnieje mierzalna w sensie Marczewskiego funkcja
addytywna, która nie jest postaci f (x) = ax.
Problem
Czy taka funkcja istnieje zawsze (tzn. bez dodatkowych założeń
teoriomnogościowych).
Rafał Filipów (Uniwersytet Gdański)
Funkcje addytywne gorszego sortu