Metoda Clebscha

Zadanie 3: Dla belki wolnopodpartej jak na Rys.1 (str.2), wyznaczyć metodą Clebscha:
• równanie odkształconej osi belki,
• równanie kątów obrotu przekrojów belki,
• sporządzić wykresy:
• odkształconej osi belki
• kątów obrotu przekrojów belki
Metoda Clebscha
Przy określonym porządku zapisywania i całkowania równań różniczkowych
odkształconej osi belki można zredukować ilość dowolnych stałych całkowania do liczby
dwóch: C i D. Równość między sobą dowolnych stałych całkowania
(C1 = C2=...= C i D1 = D2 = ... = D ) jest możliwa przy spełnieniu następujących
warunków:
1. odcięte we wszystkich przedziałach powinny być liczone od jednego i tego samego
początku układu współrzędnych - skrajnego lewego (lub prawego) punktu osi belki;
2. wszystkie składowe w wyrażeniu na moment gnący w przedziale poprzednim powinny
powtórzyć się bez zmian w wyrażeniu na moment gnący dla przedziału następnego;
warunek ten może byc spełniony, jeżeli przy zapisywaniu równania momentów
w poszczególnych przedziałach belki będziemy rozpatrywać tę część belki, która
zawiera w sobie początek układu współrzędnych;
3. w przypadku działania obciążenia rozłożonego w sposób ciągły kończącego się
w określonym punkcie belki spełnienie warunku (2) wymaga doprowadzenia tego
obciążenia do końca belki z jednoczesnym dodaniem na tym odcinku równoważnego mu
obciążenia o zwrocie przeciwnym;
4. wszystkie nowe dochodzące człony w wyrażeniu na moment gnący dla dalszych
przedziałów (odcinków belki) powinny zawierać mnożnik (x-a), gdzie a - suma długości
wszystkich poprzednich przedziałów (odcinków);
5. w przypadku działania w pewnym przekroju belki pary o momencie M (moment
skupiony) warunek (4) będzie spełniony, jeśli w wyrażeniu na M(x) wielkość M będzie
pomnożona przez (x-a)0, a - część długości belki od początku układu współrzędnych do
punktu przyłożenia M;
6. całkowanie równania różniczkowego powinno przebiegać bez rozwijania wyrażeń
w nawiasach.
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka
1/6
Rys.1
Rys.2
0 ≤ x ≤1
1≤ x ≤ 3
3≤ x≤5
5≤ x≤6
Równania momentów zginajacych w poszczególnych przedziałach osi belki - Rys.2
wg zapisu metodą Clebscha:
A−B
0 ≤ x ≤1
[
M ( x) = − 4 x
AB
]
B−C
1≤ x ≤ 3

M ( x) = − 4 x

C−D
3≤ x ≤5

M ( x) = − 4 x

D−E
5≤ x≤6

M ( x) = − 4 x

4( x − 1) 2
+ 9( x − 1) −
AB
2
+ 9( x − 1) −
AB
4( x − 1) 2
2
+ 9( x − 1) −
AB
4( x − 1) 2
2
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka
BC
BC
BC



+ 8( x − 3) 0 +
4( x − 3) 2
2
+ 8( x − 3) 0 +
4( x − 3) 2
2
CD
CD



+ 3( x − 5)
DE



2/6
Równanie różniczkowe odkształconej osi belki:
EJ
EJ
d 2w
=−
d 2x
d 2w
= − M ( x)
d 2x
[ − 4x
+ 9( x − 1) −
AB
4( x − 1) 2
2
0 ≤ x ≤1
+ 8( x − 3) 0 +
BC
1≤ x ≤ 3
4( x − 3) 2
2
]
+ 3( x − 5)
CD
DE
3≤ x≤5
5≤ x≤6
Równanie kątów obrotu przekrojów belki:
4x 2
dw
EJ
=C+
2
dx
AB
9( x − 1) 2 4( x − 1) 3
−
+
2
6
BC
4( x − 3) 3
− 8( x − 3) −
6
CD
3( x − 5) 2
−
2
DE
Równanie odkształconej osi belki
EJw = D + Cx +
4x3
6
−
AB
9( x − 1) 3 4( x − 1) 4
+
6
24
−
BC
8( x − 3) 2 4( x − 3) 4
−
2
24
−
CD
3( x − 5) 3
6
DE
Warunki brzegowe::
Dla
Dla
4 ∗ 13
EJ ∗ 0 = D + C ∗ 1 +
x =1 w = 0
6
x=5 w=0
EJ ∗ 0 = D + C ∗ 5 +
4 ∗ 5 3 9(5 − 1) 3 4(5 − 1) 4 8(5 − 3) 2 4(5 − 3) 4
−
+
−
−
6
6
24
2
24
Obliczenie stałych D i C:
0 = D + C + 0,6667

0 = D + 5C + 11,3333
C = −2,6667
D = 2,0
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka
3/6
Równanie kątów obrotu przekrojów belki
EJ
4x 2
9( x − 1) 2 4( x − 1) 3
4( x − 3) 3
3( x − 5) 2
dw
= −2,667 +
−
+
− 8( x − 3) −
−
dx
2 AB
2
6
6
2
DE
BC
CD
0 ≤ x ≤1
1≤ x ≤ 3
3≤ x≤5
5≤ x≤6
Równanie odkształconej osi belki
4x 3
9( x − 1) 3 4( x − 1) 4
8( x − 3) 2 4( x − 3) 4
3( x − 5) 3
EJw = 2,0 − 2,6667x +
−
+
−
−
−
6 AB
6
24
2
24
6
DE
BC
CD
0 ≤ x ≤1
1≤ x ≤ 3
3≤ x≤5
5≤ x≤6
Obliczenie wartości w(x) - Tabela 1 oraz w’(x) - Tabela 2
w poszcególnych przedziałach osi belki.:
Przekrój belki – dwuteownik 100
Jy = 171*10−8 m4
E = 2*108 KN/m2
EJ = 342 KNm2
Tabela 1
Tabela 2
x [m]
EJ*w(x)
w(x) [m]
x [m]
EJ*w'(x)
w'(x) rd
0
2
0,005848
0
-2,667
-0,0078
0,4
0,976
0,002854
0,4
-2,3467
-0,00686
1
0
0
1
-0,6667
-0,00195
1,19
-0,06
-0,00018
1,188
0
0
1,4
0,0043
1,26E-05
1,4
0,578
0,00169
2
0,6667
0,001949
2
1,5
0,004386
2,4
1,3403
0,003919
2,4
1,863
0,005447
3
2,6667
0,007797
3
2,667
0,007798
3,4
3,2853
0,009606
3,4
0,507
0,001482
3,609
3,3127
0,009686
3,609
0
0
4
2,8333
0,008285
4
-1,833
-0,00536
4,4
1,892
0,005532
4,4
-2,7933
-0,00817
5
0
0
5
-3,333
-0,00975
5,4
-1,3333
-0,0039
5,4
-3,3333
-0,00975
6
-3,3333
-0,00975
6
-3,3333
-0,00975
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka
4/6
WYKRESY
x
M(x)
0 ≤ x ≤1
1≤ x ≤ 3
x
D
x
E
+
-4,0
x
C
-2,0
B
-
A
+ 6,0
Wykres momentów zginających M(x)
3≤ x≤5
5≤ x≤6
Wykres odkształconej osi belki w(x) [m]
0 ≤ x ≤1
1≤ x ≤ 3
3≤ x≤5
5≤ x≤6
Wykres kątów obrotu przekrojów belki w′(x) [rd]
Zestawienie wykresów:
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka
5/6
KOŃCOWE ZESTAWIENIE WYKRESÓW
1. Dana belka wolnopodparta obciążona jak na rysunku poniżej:
x
M (x )
x
D
x
E
+
C
-2,0
-4,0
x
B
-
A
+6,0
2. Wykres momentów zginających M(x)
3. Wykresy:
• odkształconej osi belki w(x)
• wykres kątów obrotu przekrojów belki w′(x)
0 ≤ x ≤1
1≤ x ≤ 3
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka
3≤ x≤5
5≤ x≤6
6/6